《复数的加法与减法》教学设计
《5.2.1 复数的加法与减法》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一
《复数的加法与减法》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握复数的加法与减法的运算法则及运算顺序；2. 能够运用复数的加法与减法运算法则进行简单的计算；3. 理解复数运算中的参考数概念，并能够处理相关问题。
二、教学重难点1. 教学重点：复数加法与减法的运算法则及运算顺序；2. 教学难点：理解参考数的概念，并能够灵活运用。
三、教学准备1. 准备教学PPT，包含复数加法与减法的例题和练习题；2. 准备教学视频，演示复数加法与减法的计算过程；3. 准备足够的练习题，供学生练习和巩固知识。
四、教学过程：（一）导入新课1. 复习回顾：在初中学过的代数运算中，有哪些运算涉及到相反数和绝对值？2. 提出问题：在数学中，除了整数和实数之外，还有一类数，叫做“复数”。
复数的运算与实数的运算有很多相似之处，但是复数也有一些特殊的地方。
那么，如何进行复数的加法与减法运算呢？（二）探究新知1. 复数的加法运算（1）定义：对于两个复数 a + bi 和 c + di(a, b, c, d 都是实数)，当实部和实部相加、虚部和虚部相加时，所得的和仍记作a + bi，这就是复数的加法运算。
（2）法则：(i) 交换律：(a + bi) + c = (c + ai) (b≠0)；(ii) 结合律：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + di)(b, d 均为实数)。
举例说明：验证公式(b = 0), b≠0, ai+bi=0；用图形说明复数加法的几何意义。
(3)两个复数相加，当其和为实数时，其结果可能是一个单复数或双复数。
当其和为虚数时，则必须保证两复数同为虚数才能进行加法运算。
2. 复数的减法运算定义：两个复数 a + bi 和 c + di(a, b, c, d 都是实数)，当实部和为 c，虚部和为 d 时，所得的结果仍记作 a + bi，这就是复数的减法运算。
法则：(i)结合律：(a + bi) - c = (a - c) + (b - ci)；(ii)(c + di) - (a + bi) = (c - a) + (d - b)i。
2.1复数的加法与减法-北师大版选修2-2教案
2.1 复数的加法与减法-北师大版选修2-2教案一、知识点梳理1. 复数的定义和表示方法复数是指形如a+bi的数，其中a和b均为实数，i为虚数单位，满足i2=−1。
2. 复数的加法设z1=a1+bi1，z2=a2+b i2，则：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i即把复数的实部和虚部分别相加。
3. 复数的减法设z1=a1+bi1，z2=a2+b i2，则：z1−z2=(a1−a2)+(b1−b2)i即把复数的实部和虚部分别相减。
复数的加减法与实数的加减法类似，但需要注意实部和虚部分别计算。
二、教学重点与难点1. 教学重点•掌握复数的定义和表示方法；•掌握复数的加法和减法的规则；2. 教学难点•理解和掌握复数的虚部和虚数单位的概念；•理解和掌握计算复数实部和虚部的方法。
三、教学过程1. 课前预习在课前，学生应该进行如下预习：•阅读相关教材，理解并掌握复数的定义和表示方法；•学习和掌握复数的加法和减法的规则；•尝试练习相关题目，以检验自己的理解情况。
2. 讲解与示范1.复数定义和表示方法：给学生讲解复数的定义，让学生理解其中的实数和虚数单位的概念。
然后展示复数的表示方法，并举例说明。
2.复数加法和减法：讲解复数加法和减法的规则，给学生演示如何计算复数的实部和虚部，以及如何将复数实部和虚部相加或相减。
3. 小组讨论让学生分成小组，自己找出一些复数加减法的练习题目，进行讨论和答案核对。
4. 课堂练习教师提供一些练习题目，并在课堂上进行讲解和解答。
四、课后作业1.阅读相关教材，复习复数的定义和表示方法；2.独立完成一些复数加减法的练习题。
五、教学反思本课的教学重点是掌握复数定义和表示方法，以及复数加减法的规则。
因此，教师需要结合具体例子，简单明了地讲解。
另外，在讲解的同时，可以让学生通过小组讨论和课堂练习来加强对知识点的理解和掌握程度。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
复数的加法与减法－教学教案
复数的加法与减法－教学教案
教学目标 〔1〕驾驭复数加法与减法运算法那么，能娴熟地进展加、 减法运算； 〔2〕理解并驾驭复数加法与减法的几何意义，会用平行四边 形法那么和三角形法那么解决一些简洁的问题； 〔3〕能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题； 〔4〕通过学习平行四边形法那么和三角形法，造就学生的数 形结合的数学思想； 〔5〕通过本节内容的学习，造就学生良好思维品质〔思维的 严谨性，深刻性，敏捷性等〕．
第4页 共7页
我们得到了复数减法法那么，两个复数的差仍是复数．是唯 一确定的复数．
复数的加〔减〕法与多项式加〔减〕法是类似的．就是把复 数的实部与实部，虚部与虚局部别相加〔减〕，即〔 + i〕±〔 + i〕=〔 ± 〕+〔 ± 〕i．
〔三〕复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据——复数减法法那么，那么复数 减法的几何意义是什么？ 设 z= + i〔 ， ∈R〕，z1= + i〔 ， ∈R〕，对应 向量分别为 ， 如图 由于复数减法是加法的逆运算，设 z=〔 - 〕+〔 - 〕i， 所以 z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角 线， 1 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量 OZ2 就与复数 z-z1 的差〔 - 〕+〔 - 〕i 对 应，如图．
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。
2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。
2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。
3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。
4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。
5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。
四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。
2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。
3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。
4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。
5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。
4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。
六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。
2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。
3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。
《复数的加法与减法》示范教学方案人教新课标B版
《复数的加法与减法》教学设计第1课时◆教学目标1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．2.理解复数加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题．◆教学重难点◆教学重点：熟练地进行复数的加、减运算．教学难点：理解复数加、减法运算的几何意义．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：我们知道任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即时，必定有．，．那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？师生活动：学生先回忆实数中的加法运算、交换律与结合律．【想一想】是否可以类比，理解复数加法运算？设计意图：引导学生进行类比思考．发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养．引语：要解决这个问题，就需要学习复数的加法.（板书：复数的加法与减法）【新知探究】1．分析实例，对实数加法运算法则的的回顾，提出复数加法运算问题．问题2：设，，，你认为的值应该是等于多少？复数的加法法则是什么？师生活动：由此尝试给出任意两个复数相加的运算法则．一般地，设，，称为与的和，并规定12()()z a c b d iz+=+++．两个复数相加就是实部与实部，虚部与虚部分别相加.其运算法则类似于多项式的合并同类项追问：复数加法的交换律与结合律都成立吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：两个复数的和仍然是复数，而且容易证明，复数的加法运算满足交换律与结合律及对任复数，，，有=．)设计意图：引导学生进行类比思考，发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养．2.在实例感知的基础上，总结出复数加法的几何意义问题3：设，，求出，并在复平面内分别作出，，所对应的向量．猜想并归纳复数加法的几何意义．复数加法的几何意义是什么？★资源名称：【数学探究】复数的加法的几何意义★使用说明：本资源通过向量加法的几何意义对比探究复数加法的几何意义．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．师生活动：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 预设的答案：由复数与向量之间的对应关系可以得出复数加法的几何意义：如果复数12,z z 所对应的向量分别为1OZ 与2OZ ，则当1OZ 与2OZ 不共线时，以1OZ 与2OZ 为两条邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则12z z +所对应的向量就是OZ ，如图所示.由复数加法的几何意义可以得出：121212||||||||||||z z z z z z -≤+≤+设计意图：通过复数与向量的关系，让同学们对复数的加法运算及几何意义有更好的认识，培养学生分析和归纳的能力.问题4：在实数中减去一个数，可以看成加上这个数的相反数．例如，因为3的相反数为，因此， ，在复数中是否可以用类似的方法来定义两个复数的减法呢？师生活动：设，，猜测2Z 的相反数以及12Z Z 的值． 一般地，复数，的相反数记作-z ，并规定()z a bi a bi -=-+=-- 复数1z 减去2z 的差记作：12z z -，并规定1212()z z z z -=+-．追问：一般地，如果， ，如何表示12Z Z -？复数减法的几何意义是什么？有什么性质？预设的答案：一般地，如果， ，则12()()()()z z a bi c di a c b d i -=+-+=-+-；设点满足=， 则所对应的向量就是如图所示于是得到复数的减法的几何意义为两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．由复数减法的几何意义可以得出：121212||||||||||||z z z z z z -≤-≤+．设计意图：通过复数与向量的关系，让同学们对复数的减法运算及几何意义有更好的认识，培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝________. (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z.(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)[法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i. 设计意图：让学生能掌握复数的减法运算，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．例2. (1)在复平面内，平行四边形ABCD (顶点顺序为ABCD )的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别是1＋3i ，－i ，2＋i ，则点D 对应的复数为__________．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.师生活动：(1)先写出点A ，B ，C 的坐标，利用向量AB → ＝DC →列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．预设的答案：(1)设D (x ，y )，类比向量的运算知AB →＝DC →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以D 对应的复数为3＋5i.(2)设复数z 1，z 2，z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理，得cos ∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12． 所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°．因此△OZ 1Z 2是正三角形，所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1设计意图：通过联系向量知识，体会复数加法与减法的几何意义．例3. (1).复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i ，2，5＋3i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作ABCD ，求|BD →|.师生活动：首先由A ，C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．预设的答案：如图，设D (x ，y )，F 为ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2．所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝5，y ＋0＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 所以点D 对应的复数为z ＝3＋4i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋4i －2＝1＋4i ，所以|BD →|＝17.设计意图：通过联系向量知识，体会复数加法与减法的几何意义．【课堂小结】1． 板书设计：10.2.1复数的加法与减法1．复数的加法与减法 例12．复数的加法与减法的几何意义 例23．复数的加法与减法的几何意义 例3练习与作业：2．总结概括：问题：（1）复数的加法与减法的法则是什么？（2）两个复数的和(差)，结构是什么？（3）复数的加法与减法的几何意义是什么？（4）如何求两个复数对应向量的和？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和；复数的减法的几何意义为两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确复数的加法与减法的有关知识．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．设计意图：理解复数的加法与减法．2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－i C．i D．－i设计意图：理解复数的加法与减法．3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2 B．4 C．3 D．－4设计意图：理解复数的加法与减法．4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．设计意图：理解复数的加法与减法．5．在复平面内，点A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，求点D 对应的复数z 4及AD 的长．设计意图：理解复数的加法与减法的几何意义． 参考答案： 1． (1)× (2)× (3)×2． (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A ．3． z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.4．依题意设z ＝5＋b i ，则|z |＝25＋b 2，而|4－3i|＝224(3)--＝5，所以25＋b 2＝5，即b ＝0.5．如图，由复数加减法的几何意义，知AD →＝AB →＋AC →．∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)．∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ．∴|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.。
《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修
数学：3.2.1 《复数的运算- 复数的加法与减法》教案（1）（新人教选修2-2 ）§3.2 复数代数形式的四则运算§3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z=a+bi（a、b€ R）与有序实数对（a , b）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi（a、b€ R）,由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a , b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1. 虚数单位:(1) 它的平方等于-1，即; (2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1 的一个根，方程x2=－ 1 的另一个根是－3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b€ R)是实数a;当b^0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b^0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5. 复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a, b, c, d€ R那么a+bi=c+dia=c ，b=d一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b€ R）可用点Z（a , b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义. 也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8. 若，，则9. 若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即=?=( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)讲解新课：一．复数代数形式的加减运算1 .复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1 与z2 的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.证明：设Z仁a1+b1i , Z2=a2+b2i(a1 , bl, a2, b2€ R).v Zl+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.Z2+Z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又v a1+a2=a2+a1, b1+b2=b2+b1.二z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i ，z3=a3+b3i(a1 ，a2，a3，bl, b2, b3€ R). v (z1+z2)+z3= [(a1+b1i)+(a2+b2i) ]+(a3+b3i)=[(a1+a2)+(b1+b2)i ]+(a3+b3)i=[(a1+a2)+a3 ]+[(b1+b2)+b3 ]i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+ [(a2+b2i)+(a3+b3i) ]=(a1+b1i)+ [ (a2+a3)+(b2+b3)i ]=[ a1+(a2+a3) ]+[ b1+(b2+b3) ] i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iV (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) , (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).••• (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例 1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) = (5-2-3)+(-6-1-4) i= - 11 i例 2 计算：(1 －2i)+( －2+3i)+(3 －4i)+( －4+5i)+...+( －2002+2003i)+(2003 - 2004i)解法一：原式=(1 - 2+3- 4+... - 2002+2003)+( - 2+34+5+...+2003 -2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 - 1003i.解法二：V (1 - 2i)+( - 2+3i)= - 1+i ,(3 -4i)+( -4+5i)= -1+i，(2001 -2002i)+( -2002+2003)i= -1+i.相加得(共有1001 个式子)：原式=1001( - 1+i)+(2003 - 2004i) =(2003-1001)+(1001-2004)i=1002 -1003i. 复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a ±c)+(b ±d)i. 与多项式加(减) 法是类似的. 就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加( 减).1. 复平面内的点平面向量2. 复数平面向量3. 复数加法的几何意义：设复数z1=a+bi ，z2=c+di ，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a , b), =(c , d)以、为邻边作平行四边形0Z1ZZ2则对角线0Z对应的向量是，二=+=(a , b)+(c , d)=(a+c , b+d) = (a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a-c)+(b - d)i，所以z -z1=z2, z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边0Z2所表示的向量就与复数z - z1的差(a - c)+(b - d)i 对应由于，所以，两个复数的差z- z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例 3 已知复数z1=2+i ，z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A、B,求对应的复数乙z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2 - z1=(1+2i) - (2+i)= - 1+i ,Tz的实部a=- 1v 0，虚部b=1>0,•••复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是zB—zA.，而所表示的复数是zA—zB,故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z1=1+2i ，z2=—2+i ，z3=—1—2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用，求点D的对应复数.解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A B、C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x , y€ R),是：=(x+yi) —(1+2i)=(x —1)+(y —2)i;=( —1 —2i) —( —2+i)=1 —3i.•••，即(x —1)+(y —2)i=1 —3i ,二解得故点D对应的复数为2 —i.分析二：利用原点0正好是正方形ABCD勺中心来解.解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点0为正方形的中心，于是(—2+i)+(x+yi)=0，二x=2, y= —1.故点D对应的复数为2 —i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1. 已知复数z1=2+i,z2=1+2i, 则复数z=z2－z1 在复平面内所表示的点位于A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 在复平面上复数－3－2i, －4+5i,2+i 所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD勺对角线BD所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC. 7－11i D . －7+11i3. 已知复平面上△ AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA 0B为邻边的平行四边形的对角线长为A. 3B.2C.2D.4. 复平面上三点A B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B. C所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C. 锐角三角形D.钝角三角形5. 一个实数与一个虚数的差（）A. 不可能是纯虚数B. 可能是实数C. 不可能是实数D. 无法确定是实数还是虚数6. 计算( －= ___ .7. 计算：(2x+3yi) －(3x －2yi)+(y －2xi) －3xi= ________ (x 、y€ R).8. 计算( 1－2i) －(2 －3i)+(3 －4i) －... －(2002－2003i).9. 已知复数z仁a2 - 3+(a+5)i,z2=a - 1+(a2+2a - 1)i(a € R) 分别对应向量、(0为原点)，若向量对应的复数为纯虚数，求a 的值.解：对应的复数为z2 - z1，贝Vz2-z1=a-1+(a2+2a-1)i -[a2-3+(a+5)i ]=(a- a2+2)+(a2+a - 6)i •/z2- z1是纯虚数二解得a=- 1.10．已知复平面上正方形的三个顶点是A(1，2)、B(-2，1)、C (- 1,- 2),求它的第四个顶点D对应的复数. 解：设D(x,y), 贝对应的复数为(x+yi) -(1+2i)=(x -1)+(y -2)i对应的复数为：( - 1 - 2i) - ( - 2+i)=1 - 3i•••(x - 1)+(y - 2)i=1 - 3i二，解得• D点对应的复数为2-i。
《复数的加法和减法》 学历案
《复数的加法和减法》学历案一、学习目标1、理解复数的加法和减法的定义和运算法则。
2、掌握复数加法和减法的几何意义。
3、能够熟练进行复数的加法和减法运算。
二、学习重难点1、重点（1）复数加法和减法的运算法则。
（2）复数加法和减法的几何意义。
2、难点（1）对复数加法和减法几何意义的理解和应用。
三、知识回顾1、什么是复数？形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数，其中\（a\）叫做复数的实部，＼（b\）叫做复数的虚部。
2、复数的相等：两个复数\（a ＋ bi\）和\（c ＋ di\）（＼（a,b,c,d\in R\））相等，当且仅当\（a ＝ c\）且\（b ＝ d\）。
四、新课导入我们已经学习了复数的基本概念，接下来让我们一起探讨复数的运算——复数的加法和减法。
五、复数的加法1、定义设\（z_1 ＝ a ＋ bi\），＼（z_2 ＝ c ＋ di\）（＼（a,b,c,d\in R\）），则\（z_1 ＋ z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）。
2、示例例如，＼（z_1 ＝ 3 ＋ 2i\），＼（z_2 ＝ 1 4i\），则\（z_1 ＋ z_2＝（3 ＋ 1) ＋（2 4)i ＝ 4 2i\）3、运算律（1）交换律：＼（z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1\）（2）结合律：＼（（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＼）4、几何意义复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行。
设复数\（z_1\），＼（z_2\）对应的向量分别为\（＼overrightarrow{OZ_1}＼），＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼），以\（＼overrightarrow{OZ_1}＼），＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼）为邻边作平行四边形\（OZ_1ZZ_2\），则对角线\（＼overrightarrow{OZ}＼）所表示的向量\（＼overrightarrow{OZ}＼）就是\（z_1 ＋ z_2\）对应的向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学目标
（1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算；
（2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题；
（3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题；
（4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的数学思想；
（5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则。
难点是复数加减法的几何意义。
复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。
复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。
三、教学建议
（1）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：①当时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．
（2）复数加法的向量运算讲解设，画出向量，后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量），画出向量后，问与它对应的复数是什么，即求点Z的坐标OR与
RZ（证法如教材所示）．
（3）向学生介绍复数加法的三角形法则．讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以指出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图8－5（2）所示，求与的和，可以看作是求与的和．这时先画出第一个向量，再以的终点为起点画出第二个向量，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量，就是这两个向量的和向量．（4）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当与在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便．
（5）讲解了教材例2后，应强调（注意：这里是起点，是终点）就是同复数－对应的向量．点，之间的距离就是向量的模，也就是复数－的模，即．
例如，起点对应复数－1、终点对应复数的那个向量（如图），可用来表示．因而点与（）点间的距离就是复数的模，它等于。
教学设计示例
复数的减法及其几何意义
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
教学过程设计
（一）引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+ i）-（+ i）=（- ）+（- ）i，
1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（+ i）-（+ i）=（- ）+（- ）i（，，，∈R）．
把（+ i）-（+ i）看成（+ i）+（-1）（+ i）如何推导这个法则．
（+ i）-（+ i）=（+ i）+（-1）（+ i）=（+ i）+（- - i）=（- ）+（- ）i．推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．
推导：设（+ i）-（+ i）= + i（，∈R）．即复数+ i为复数+ i减去复数+ i的差．由规定，得（+ i）+（+ i）= + i，依据加法法则，得（+ ）+（+ ）i= + i，依据复数相等定义，得
故（+ i）-（+ i）=（- ）+（- ）i．这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．
复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+ i）±（+ i）=（±）+（±）i．
（三）复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
设z= + i（，∈R），z1= + i（，∈R），
对应向量分别为，如图
由于复数减法是加法的逆运算，设z=（- ）+（- ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（- ）+（- ）i对应，如图．
在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量2吗？
还有．因为OZ2 Z1Z，所以向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．
能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
（四）应用举例
在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．
例2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．
解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．
例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．
几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．
由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．
例4 设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p= + i对应．求
（1）复平面内圆的方程；
解：设定点P为圆心，r为半径，如图
由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．
（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．
探究活动
复数等式的几何意义
复数等式在复平面上表示以为圆心，以1为半径的圆。
请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。
分析与解
1．复数等式在复平面上表示线段的中垂线。
2．复数等式在复平面上表示一个椭圆。
3．复数等式在复平面上表示一条线段。
4．复数等式在复平面上表示双曲线的一支。
5．复数等式在复平面上表示原点为O、构成一个矩形。
说明复数与复平面上的点有一一对应的关系，如果我们对复数的代数形式工（几何意义）之间的关系比较熟悉的话，必然会强化对复数知识的掌握。
原文地址：/article/591?title=。