离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。

问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。

a) L={1，2，3，4，6，12}b) L={1，2，3，4，6，8，12}c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。

b) 〈L ，≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

例如：8 12=LUB{8，12}不存在。

63163 112c) 〈L ，≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

倒例如：4⊕6=LUB{4，6}不存在。

2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。

证明：〈S ，⊆〉是〈2B ，⊆〉的子格。

其中S={y|y=f (x)，x ∈2A }[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(∃x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B ，故此S ⊆2B ；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A )，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A ，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1））由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A ，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。

对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A ，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2)⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。

由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(∃x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。

故此x ∈A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以71GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)⊆f (A1∩A2)这说明G L B{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)=f (A1∩A2)于是从A1∩A2∈2A可知f (A1∩A2)∈S，即下确界GLB{B1，B2}存在。

因此，〈S，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。

3．设〈L，≼〉是格，任取a，b∈L且a≼b。

证明〈B，≼〉是格。

其中B={x|x∈L 且a≼x≼b}[证] 显然B⊆L；根据自反性及a≼b≼b所以a，b∈B，故此B非空；对于任何x，y∈B，则有a≼x≼b及a≼y≼b，由于x，y∈L，故有z1=x⊕y 为下确界∈L存在。

我们只需证明z1，z2∈B即可，证明方法有二，方法一为：由于a≼x，所以a⊕x=x，于是z1=x⊕y=(a⊕x) ⊕y （利用a⊕x=x）=a⊕ (x⊕y) （由⊕运算结合律）因此a≼z1；另一方面，由y≼b可知y⊕b=b，由x≼b可知x⊕b=b，于是z1⊕b=(x⊕y) ⊕b=x⊕(y⊕b) （由⊕运算结合律）=x⊕b （利用y⊕b=b）=b （利用x⊕b=b）因此z1≼b，即a≼z1≼b 所以z1∈B由于a≼x及a≼y，所以a*x=a，a*y=a，因而a*z2=a* (x*y)=(a*x) *y （由*运算结合律）=a*y （利用a*x=a）=a （利用a*y=a）因而a≼z2；又由于y≼b，所以y*b=y 于是z2=x*y=x* (y*b)=(x*y) *b （利用*运算结合律）=z2*b从而z2≼b，即a≼z2≼ b 所以z2∈B因此〈B，≼〉是格（是格〈L，≼〉的子格）。

方法二：根据上、下确界性质，由a≼x，a≼y，可得a≼x*y，（见附页数）4．设〈L，≼，*，⊕〉是格。

∀a，b∈L，证明：（附页）a≼x≼⊕y，即a≼z2，a≼又由x≼b，y≼b，可得x⊕y≼b，x*y≼y≼b，即z1≼b，z2≼ b所以a≼z1≼b，a≼z2≼b，故此z1，z2∈Ba*b≺a且a*b≺b⇔a与b是不可比较的。

[证] 先证⇒用反证法，假设a与b是可比较的，于是有a≼b或者b≼a。

当a≼b时，a*b=a与a*b≺a（得a*b≠a）矛盾；当b≼a时，a*b=b与a*b≺b（得a*b≠b）矛盾；因此假设错误，a与b是不可比较的。

次证⇐由于a*b≼a，a*b≼b。

如果a*b≼a，则a≼b，与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠a，故此a*b≺a；如果a*b=b，则b≼a，也与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠b，故此可得a*b≺b。

5．设〈L，≼，*，⊕〉是格。

证明：a) (a*b) ⊕ (c*d)≼(a⊕ c) * (b⊕ d)b) (a*b) ⊕ (b*c)≼(c ⊕ a)≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)[证] a) 方法一，根据上、下确界的性质，由a*b≼a≼a⊕c及a*b≼b≼b⊕d 所以得到a*b≼(a⊕c) * (b⊕d)又由c*d≼c≼a⊕c及c*d≼d≼b⊕d，所以得到c*d≼(a⊕c) * (b⊕d)因此(a*b) ⊕ (c*d) ≼(a⊕c) * (b⊕d)方法二(a*b) ⊕ (c*d)≼[(a⊕c) * (a⊕d)] * [(a⊕c) * (b⊕d)]（分配不等式，交换律，结合律，保序性）≼(a⊕c) * (b⊕d) （保序性）b) 方法一，根据上、下确界的性质由a*b≼a≼a⊕b，a*b≼b≼b⊕c，a*b≼a≼c⊕a可得a*b≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)同理可得b*c≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)及c*a≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)所以(a⊕b) ⊕(b⊕c) ⊕ (c⊕a)≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)方法二：(a⊕b) ⊕(b⊕c) ⊕ (c⊕a)≼[b* (a⊕c)] ⊕ (c*a) （交换律，结合律，分配不等式，保序性）≼[b⊕ (c*a)] * [(a⊕c) ⊕ (c*a)]（分配不等式，交换律，）≼[(a⊕b) * (b⊕c)] * (a⊕c)（分配不等式，结合律，交换律，吸收律，保序性）≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a) （结合律）6．设I是整数集合。

证明：〈I，min，max〉是分配格。

[证] 由于整数集合I是全序集，所以任何两个整数的最小者和最大者是存在的，因此〈I，min，max〉是格是格是显然的。

下面我们来证〈I，min，max〉满足分配律对于任何a，b，c∈I 有a* (b⊕c)=min{a，max{b，c}}(a*b) ⊕ (a*c)=min{min{a，b}，min{a，c}}（1）若b≤c时，当（a）a≤b，则a≤c ，故此min{a，max{b，c}}=min{a，c}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{a，a}=a（b）b≤a≤c ，则min{a，max{b，c}}=min{a，c}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{b，a}=a（c）c≤a，则b≤a，因此min{a，max{b，c}}=min{a，c}=cmax{min{a，b}，min{a，c}}=max{b，a}=c（2）若c≤b时，当（a）a≤c，则a≤b，故此min{a，max{b，c}}=min{a，b}max{min{a，b}，min{a，c}}=min{a，a}=a（b）c≤a≤b，则min{a，max{b，c}}=min{a，b}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{a，c}=a（c）b≤a，则c≤a，因此min{a，max{b，c}}=min{a，b}=bmax{min{a，b}}，min{a，c}}=max{b，c}=b综合（1）（2）总有a* (b⊕c)=(a⊕b) * (a⊕ c)根据对偶原理，就还有a⊕ (b*c)=(a⊕b) * (a⊕c)因此〈I，min，max〉是分配格。

7．设〈A，*，⊕，max〉是分配格，a，b∈A且a≼b。

证明：f (x)=(x⊕a) *b是从A到B的同态函数。

其它B={x|x∈A且a≼x≼b}[证] 由于a≼x⊕a，及已知a≼b，所以a≼(x⊕a)*b；其次(x⊕a)*b≼b，所以a≼f (x)≼b，因而f (x)是从A到B的函数。

对于任何x，y∈A，f(x⊕y)=((x⊕y)⊕a)*b=((x⊕a) ⊕ (y⊕a)) *b（幂等律，交换律，结合律）=((x⊕*a)b)((y⊕a) *b)（分配律）=f (x) ⊕f (y)f (x*y) =((x*y) ⊕a) *b=((x⊕a) * (ya⊕))*b （分配律）=((x⊕a) *b)((y⊕a) *b) （幂等律，交换律，结合律）=f (x) *f (y)所以，f满足同态公式，因而f 是从A到B的同态函数。

8．证明：一个格是分配格的充分必要条件是∀a，b，c∈L，有(a*b) ⊕ (b*c) ⊕ (c*a)=(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)[证] 必要性。

对于任何a，b，c∈L，(a*b) ⊕ (b*c) ⊕ (c*a)=(b* (a⊕c)) ⊕ (c*a) （交换律，分配律）=(b⊕ (c*a)) * ((a⊕c) ⊕ (c*a)) （分配律）=(b⊕c) * (b⊕a) * (a⊕c) （分配律，吸收律）=(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a) （交换律）充分性，f满足同态公式，因而f是从A到B的同态函数。

8．证明：一个格是分配格的充分必要条件是∀a，b，c∈L，有(a*b) ⊕ (b*c) ⊕ (c*a)=(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)[证] 必要性。

对于任何a，b，c∈L，(a*b) ⊕ (b*c) ⊕ (c*a)=(b* (a⊕c)) ⊕ (c*a) （交换，分配律）=(b⊕ (c*a))(( a⊕ c) ⊕ (c*a)) （分配律）=(b⊕c) * (b⊕a) * (a⊕c) （分配律，吸收律）=(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a) （交换律）充分性，对于任何a，b，c∈La⊕ (b*c)=(a⊕ (a*c)) ⊕ (b*c) （吸收律）=((a⊕ (a*b)) ⊕ (a*c)) ⊕ (b*c) （吸收律）=(a*b) ⊕ (b*c) ⊕ (c*a) ⊕ a （交换律，结合律）=((a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)) ⊕a （已知条件）=((a⊕b) * (a⊕c) * (b⊕c)) ⊕ ((b⊕c) *a) ⊕a （交换律，吸收律）=((a⊕b) * (a⊕c) * (b⊕c)) ⊕ ((b⊕c) *a) ⊕ (a* (a⊕ b) * (a⊕ c)) （吸收律）=(((a⊕b) * (a⊕c))⊕ (b⊕c)) * ((b⊕c) ⊕a) * (a⊕ ((a⊕ b)) * (a⊕c)))（已知条件）=(((a⊕b)*(a⊕c))⊕(b⊕c)) * (a⊕b⊕c)*((a⊕b)*(a⊕c))（因为a⊕((a⊕b)* (a⊕c))= (a⊕b) * (a⊕c)=(((a⊕b) * (a⊕c)) ⊕(b⊕c)) * (((a⊕b)⊕c) *(a⊕ b)* (a⊕c) （结合律）=(((a⊕b) * (a⊕c)) ⊕(b⊕c)) *((a⊕ b)* (a⊕c)) （吸收律，结合律）=(a⊕ b)* (a⊕c) （吸收律）根据对偶原理还有a* (b⊕c)= (a⊕b) * (a⊕c)所以格L是分配格。