高斯随机过程的定义

③ D[ax]= E[a2x2]- E2[ax]=a2{ E[x2]- E2[x]}= a2D[x]
④ D[X ± Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
⑷ 联合矩
联合原点矩：E[XnY k]称为两个随机变量X和Y的联合原点矩，反映X
和Y的关联程度。
当n=k=1时， E[XY]称为互相关函数或相关矩。
概率密度函数：若二维分布函数F( X,Y)是连续的，且二阶混合偏导
数存在，则定义
2F ( x, y) xy
f (x, y)
为二维概率密度函数，记为f(x,y)。
显然：
yx
F(x, y) f (,)dd
f(x,y)的性质：
① f(x,y) ≧0
yx
② F(x, y) f (,)dd
2/3
② F(-∞)=0， F(∞)=1
1/3 1/6 1/12 0
③ F(x)单调增，即：若x1 ≦ x2， 则F(x1) ≦ F(x2)
④ F(x)右连续。
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x
概率密度函数f(x)
若F(x)是连续的，一阶导数存在，则定义
dF(x) dx
f (x)
为随机变量x的概率密度函数f(x)。
第三章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 典型随机过程
X
3.1 随机过程的基本概念 1. 随机变量的统计特性 2. 随机过程的统计特性
X
随机变量
随机变量：表示随机实验结果的一个变量，叫随机变量。 用大写字母X、Y、…等表示随机变量，用小写字母x、y、…等， 表示随机变量的取值。 ➢连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收 机输出电压噪声。 ➢离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如掷殺子。
= E[x2-2 mxx+ mx2]
= E[x2]-2mx2+mx2
= E[x2]- mx2
= E[x2]- E2[x] 均方值-均值的平方
2阶中心矩称为“方差”，用
2 x
或D(x)表示。反映随机变量X相
对于统计平均值mx的分散程度。 性质：① D[x] = E[x2]- E2[x]
② D[a]= E[a2]- E2[a] =0
1阶原点矩：E[x] xf (x)dx 为X的期望。
⑶ 中心矩
n阶中心矩：E[(x-mx)n]= (x mx )n f (x)dx
1阶中心矩： E[(x-mx)1]= E[x] -E[mx]= mx- mx= 0
2阶中心矩：方差
2 x
=D[x]
=
E[(x-mx)2]=
(x mx )2 f (x)dx
…………X为连续随机变量
mx E[x] xi P(x xi ) xi P(xi )
… X为离散随机变量
i 1
i 1
性质：
① E[a]= a
（ a为常数）
② E[ax]=a E[x]
③ E[X±Y]= E[X] ± E[Y] （X、Y均为随机变量）
④ 随机变量X的函数g(x)的期望为：
④ 随机变量X的函数g(x)的期望为
f(x)的性质：
①非负，即 f(x) ≧0 x
② F(x) = P (X≦x) = f ()d
③ f (x)dx F() 1
(因为f(x)为F(x)的导数)
x2
④P(x1≦x ≦x2)= P(x ≦x2) －P(x≦x1)= f ( x)dx
x1
多维随机变量：如二维
二维分布函数：两个随机变量X、Y，其可能取值为x、y，将两个事 件(X≦x)和(Y≦y)同时出现的概率定义为二维随机变量X、Y的二 维（联合概率）分布函数，F(X,Y)。即F(X,Y)=P(X≦x, Y≦y)
E[XY] xyf (x, y)dxdy Rxy
联合中心矩： E{(X-E[X])n (Y-E[Y])k}
E[g(x)] g(x) f (x)d…x ………X为连续随机变量
E[g(x)] g(xi )P(x xi ) g(xi )P(xi )
i 1
i 1
… X为离散随机变量
⑵ 原点矩
n阶原点矩：E[xn ] xn f (x)dx
2阶原点矩：E[x2] x2 f (x)dx 为X的均方值。
分布函数：F(x)= P(X ≦x)。F(x)是关于x的函数。
如取x=x3 ,即F(x3)= P(X ≦x3)= P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3
①x﹤ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1时， F(x) =P(X ≦ x ﹤x1)=0。
② x1 ≦ x﹤ x2 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)=1/12
③ x2 ≦ x﹤ x3 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2) =1/12+ 1/12=1/6
连续随机变量的分布函数
④x3 ≦ x﹤ x4 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3) = =1/12+ 1/12+ 1/6 =1/3
⑤ x4 ≦ x﹤ x5 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3)+ P(x4) = 1/12+ 1/12+ 1/6 + 1/3 =2/3
分布函数
在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率更有意义。
随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)为X的（概率）分布函数。 记为F(x)= P(X ≦x)。
设离散随机变量X可能取值有6个,x1～x6 ,且x1﹤…﹤x6 ,概率表：
X
x1
x2
x3
x4
x5
x6
P(xi) 1/12 1/12 1/6 1/3 1/6 1/6
③ f (,)dd 1
④ F(x) f (x, y)dy F( y) f (x, y)dx
⑤ 若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。
若X、Y相互统计独立，则f(x,y) =f(x)f(y)
随机变量的数字特征
⑴ 数学期望：随机变量X的统计平均值。
mx E[x] xf (x)dx
⑥ x5 ≦ x﹤ x6 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x5) = 2/3 + 1/12 =5/6。 ⑦x6 ≦ x时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x6) = 5/6 +1/6 =1。
F(x)波形：
1 5/6
F(x)性质： ① 0 ≦ F(x) ≦ 1