解析广东省深圳市高一下学期期末考试数学试题含解析
广东省深圳市2019年高一下学期数学期末考试试卷一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（）A. {-2}B. {2}C. {-2，2}D. ∅【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵∴故答案为：B【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。
2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A. B. C. D. 【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：故答案为：C【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A. y=x3B. y=|x|C. y=sinxD. y= 【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数,但它在区间(0，+∞)上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞)上单调递减，故满足条件。
故答案为：D【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。
4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A. B. 2π C. 3π D. 4π【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。
5.已知函数f(x)=cosx，下列结论不正确的是（）A. 函数y=f(x)的最小正周期为2πB. 函数y=f(x)在区间(0，π)内单调递减C. 函数y=f(x)的图象关于y轴对称D. 把函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=sinx的图象【答案】 D【考点】余弦函数的奇偶性，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性【解析】【解答】解：∵函数其最小正周期为2π，故选项A正确；函数在上为减函数，故选项B正确；函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确；把函数的图象向左平移个单位长度可得，故选项D不正确。
故答案为：D【分析】利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左+右-”及诱导公式得出进而得出答案。
6.已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）A. 相交的直线B. 平行的直线C. 异面的直线D. 垂直的直线【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】解：∵直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线。
∴在平面内肯定不存在与直线平行的直线。
故答案为：B【分析】本题考查平面的斜线与平面内的直线的位置关系。
7.若a>0，且a≠1，则“a= ”是“函数f(x)=log a x-x有零点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当时,,函数与有交点，故函数有零点；当有零点时，不一定取，只要满足都符合题意。
所以“”是“函数有零点”的充分不必要条件。
故答案为：A【分析】结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案。
8.如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则 =（）A. B. C. D.【答案】C【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】【解答】解：∵E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，∴G是的重心∴又∵∴故答案为：C【分析】本题考查向量的加减法的法则，利用G是的重心，进而得出，再利用向量的加减法的法则，即可得出答案。
9.英国数学家布鲁克泰勒( Taylor Brook，1685~1731)建立了如下正、余弦公式（）sinx=x-cosx-1=其中x∈R，n∈N*，n!=1×2×3×4x…xn，例如:1!=1，2!=2，3!=6。
试用上述公式估计cos0．2的近似值为(精确到0．01)A. 0．99B. 0．98C. 0．97D. 0．96【答案】B【考点】微积分基本定理【解析】【解答】解：由题中的余弦公式得故答案为：B【分析】利用题中给出的公式即可估算出答案。
10.已知函数f(x)=m·2x+x+m2-2，若存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则实数m的取值范围为（）A. (-∞，-2]U(0，1)B. [-2，0)U(0，1]C. [-2，0)U[1，+∞)D. (-∞，-2]U[1，+∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由题意知,方程有解，则，化简得,，即。
∵，∴当时，化简得，解得;当时，化简得，解得综上所述的取值范围为故答案为：A【分析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出，再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围。
二、填空题:本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分．11.设i为虚数单位，复数z=i(4+3i)的模为________。
【答案】5【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：∵∴复数的模为故答案为：5【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案。
12.已知=(2，4)，=(1，3)，则=________．【答案】-6【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：∵=(2，4)，=(1，3)∴，∴故答案为：-6【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求得。
13.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0．8，乙的中靶概率为0．7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为________ ．【答案】0.56【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：∵甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，∴两人均中靶的概率为故答案为：0.56【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率为单独射中目标时的概率之积计算。
14.某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有________人【答案】16【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：∵共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，∴抽到的家长人数为：故答案为：16【分析】利用分层抽样的性质直接可以求出答案。
15.函数f(x)=Asin( x+ )的部分图象如图，其中A>0，>0，0<<．则=________ ; tan =________ ．【答案】2；【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：∵∴∵∴由图可知：又，解得∵∴∴故答案为：2 ；【分析】本题考查由f(x)=Asin(x+)的部分图象确定其解析式，由图可知，由求出，再由图象过点求出，进而求出。
16.棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm(如图1); 当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A-A1BC(如图2)，则a=________ ;h=________ ．【答案】；【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：∵正三棱柱的棱长均为1m，∴，∴由题意可得由得∴∴∵∴∴在等边中，边上的高为∵∴故答案为：；【分析】本题利用体积相等得出，进而算出,，进而得出，通过面积的比值得出对应边长的比值，进而求出即可。
三、解答题:本大题共5小题，第17题12分，其余每小题14分，共68分．17.已知△BC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a>c，且2csinA= a．（1）求角C的大小;（2）若c=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长【答案】（1）解：∵2csinA=a由正弦定理得，得∵a>c∴∴（2）∵解得又∵解得即∴∴的周长为【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用【解析】【分析】本题考查正余弦定理的应用以及正余弦定理的变形式，（1）通过正弦定理得，进而求出，再根据a>c得出，进而得出；（2）由正弦定理中的三角形面积公式求出，再根据余弦定理求出，最后求得的周长。
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a，b)（1）当θ= 时，求ab的值（2）设θ∈[ ，]，求b-a的取值范围【答案】（1）解：有题意可得，当时，即∴（2）∵∴，∴∵θ∈[，]∴即的取值范围为【考点】任意角的三角函数的定义【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义。
（1）有题意得出，，再通过当时，，进而求出的值；（2）利用配角公式化简得，由θ∈[，]得出，进而得到的取值范围。
19.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表周跑量(km/周) [10，15 ) [15，20 ) [20，25 ) [25，30 ) [30，35 ) [35，40 ) [40，45 ) [45，50 ) [50，55 )人数100 120 130 180 220 150 60 30 10（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数(保留一位小数)，并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里 20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元） 2500 4000 4500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?【答案】（1）（2）中位数的估计值：∵∴中位数位于区间中，设中位数为，∴解得∵（3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数【解析】【分析】（1）根据频数和频率之间的关系计算即可；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值。
2024届广东省深圳市高级中学数学高一下期末调研试题含解析
2024届广东省深圳市高级中学数学高一下期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解2．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=3．51(1)x x++展开式中的常数项为（ ） A ．1B ．21C ．31D ．514．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1B ．5C ．9D ．45．同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图象关于直线3x π=对称；③ 在5[,]6ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos()26x y π=+B ．5sin(2)6y x π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．sin(2)6y x π=-6．为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有6只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这6只小动物中随机取出2只检测，则恰有1只注射过该新药的概率为( ) A ．23B ．35C ．25D ．157．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．使函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，且在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数的θ的一个值是( )A ．6π B ．3π C ．23π-D ．56π-9．函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<B ．0m >或1m =-C ．0m >或10m -≤<D ．01m <<10．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届深圳高级中学数学高一下期末检测试题含解析
2024届深圳高级中学数学高一下期末检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4π B ．2π C ．34π D ．π2．已知等比数列{}n a ，若141,8a a =-=，则3a =( ) A ．22B ．22-C ．4D ．4-3．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1radB ．32rad C ．2rad D ．52rad 4．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．235．直线2320x y +-=的斜率为（ ） A ．23-B ．1-C ．32-D ．126．如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ）A ．,AB A B x x s s >> B ．,A B A B x x s sC ．,A B A B x x s s ><D ．,A B A B x x s s <<7．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．154C ．18D ．6388．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则+a b 的值为（ ） A ．12B ．14-C ．12-D ．109．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若1223AA AB ==，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．8πC ．16πD ．64π10．在等差数列{}n a 中，1713a a a π++=，则212cos()a a +的值=（） A ．32-B ．12-C ．12D ．32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省深圳市高级中学2022年高一数学理期末试卷含解析
广东省深圳市高级中学2022年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，则三角形的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形参考答案：A2.参考答案：3. （4分）设D、E、F分别是△A BC的三边 BC、C A、A B上的点，且=2，=2，=2，则++与（）A．互相垂直B．既不平行也不垂直C．同向平行D．反向平行参考答案：D考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、共线定理即可得出．解答：解：∵=2，=2，=2，∴++=++=，因此++与反向共线．故选：D．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于基础题．4. （5分）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）A．f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B．f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）C．f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）D．f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）参考答案：C考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可知函数f（x）的周期为6，利用函数周期性，对称性和单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=f（x+6），∴f（x）在R上以6为周期，∵函数的对称轴为x=3，∴f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5）∵f（x）在（0，3）内单调递减，0.5＜1.5＜2.5∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）即f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）故选：C点评：本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用，利用周期性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．5. 已知定义域为的函数满足，则函数在区间[－1,1)上的图象可能是参考答案：C6. 若非零平面向量，，满足，则A．，一定共线 B．，一定共线C．，一定共线 D．，，无确定位置关系参考答案：A略7. 已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）参考答案：D略8. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A B C D参考答案：D9. 已知函数则的是A. B. C. e D. 3参考答案：D【分析】根据自变量的范围确定表达式，从里往外一步步计算即可求出.【详解】因为，所以，因为，所以＝＝3.【点睛】主要考查了分段函数求值问题，以及对数的运算，属于基础题.对于分段函数求值问题，一定要注意根据自变量的范围，选择正确的表达式代入求值.10. 已知是上的奇函数，且当时，，那么的值为（）A．0 B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 时钟从6时走到9时，时针旋转了_____________弧度参考答案：试题分析：因为是顺时针所以是负角，时钟从6时走到9时，所转过的弧度数为，所以时针旋转了弧度.考点：弧度12. =参考答案：略13. （6分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为．参考答案：πcm3考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=，R=5∴球的体积为π×（5）3=πcm3故答案为．点评：本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．14. 如图，程序执行后输出的结果为．参考答案：略15. “”是“有且仅有整数解”的__________条件。
广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题含解析
广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1B ．52-C ．25-D ．522．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是A ．)+∞ B ．[)2,+∞C ．(D ．(]0,2 3．已知函数()()32110,032f x ax bx x a b =+->>在1x =处取得极小值，则14a b+的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．9D ．104．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．B C ．12D ．235．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将其终边绕O 点逆时针旋转34π后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ）A ．5-B ．10-C ．10D ．10-6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V ＝112×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3B ．3.14C ．3.2D ．3.37．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，那么A =（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．两条平行直线250x y --=与42350x y -+=间的距离等于（ ）A ．12B ．2C ．52D ．410．若圆()()()222120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x y -+=的距5r 的取值范围是（ ） A ．(0,25B ．5,35C ．5,25D ．(25,35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期期末模拟数学试卷(含解析)
深圳市盐田高级中学2023-2024学年第二学期高一下期末考试数学模拟试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．设全集，集合M 满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，满足“”的单调递增函数是A ．B ．C ．D ．3．若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）A．B ．C ．D ．5．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：①若，则或 ②若，则③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④6．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A ．B ．C ．1D ．28．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）{1,2,3,4,5}U ={1,3}U M =ð2M ∈3M ∈4M ∉5M∉()()()f x y f x f y +=()12f x x =()3f x x=()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3x f x ={}Ω1,2,3,4={}1,2A =A B B {}1,3{}1,2,3{}3,4{}2,3,4(2,a b =-= b a 14a 14a - b - bαβ、m n 、m αβ= //m n //n α//n βm n ⊥,n n αβ⊥⊥//n α//n β//m n n αβm n⊥()y f x =πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6()y f x =1122y x =-2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =()y g x ==a 1-12ABC DEF -AD BE CF ∥∥123AD BE CF ===，，ABB ．CD二、多选题（每题6分，共18分）9．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）A ．对应的点在复平面的第四象限B ．是一个纯虚数C ．D ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．的最小值为2C ．D的最小值为211．已知函数，则下列说法正确的有（）A ．若，则在上的最小值为0B ．若，则点是函数的图象的一个对称中心C ．若函数在上单调递减，则满足条件的值有3个D ．若对任意实数，方程在区间内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的值有11个三、填空题（每题5分，共15分）12．已知向量与的夹角为，且，.13．已知，则 ．14．如图所示，由到的电路中有4个元件，分别为，，，．若，，，能正常工作的概率都是，记事件“到的电路是通路”，则 ．四、解答题15．（13分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知．12+12-1i z =-z z z 2z z ⋅=i z z =-22ac bc >a b>b a a b +,0,b b m a b m a a m +∀>><+()2()cos cos f x nx nx nx n ++∈N 1n =()f x π[0,]22n =5π(,0)24()f x ()f x ππ[,]43n 0x 3()4f x =00π(,6x x +n a b 60 ()2,6a =-- b = ⋅= a b 2log 5,85b a ==ab =X Y A B C D A B C D 23N =X Y ()P N =ABC ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-(1)若，求C ；(2)证明：16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，E 为棱的中点，平面.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.17．（15分）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．(1)设第一次接球人为，第二次接球人为，通过次传接球后，列举出的所有可能的结果；(2)完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率．18．（17分）已知函数．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若，且，求的值；(3)若函数在区间上恰有4个不同的零点，求的取值范围．2A B =2222a b c =+P ABCD -//AD BC AD DC ⊥112BC CD AD ===AD PA ⊥ABCD PAB ⊥PBD P CD A --45︒PA PBD x y2(),x y ()π4sin cos 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭122f α⎛⎫= ⎪⎝⎭cos α()()()π2236g x f x a f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦a19．（17分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e 是自然对数的底数，）.(1)计算的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.深圳市盐田高级中学2023-2024学年第二学期高一下期末考试数学模拟试卷参考答案1．A2．D3．A【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.【详解】由题意得，A 选项，，，故，所以，故事件相互独立，A 正确；4．A 【详解】由，得，所以在方向上的投影向量为.5．A6．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特()e e sinh 2x x x --=()e e cosh 2x xx -+=e 2.71828= ()()2cosh 22cosh 1-()cosh x y +=[]0,ln 2t ∈x ()()sinh cosh t x a +=a ()P A B ⋂()()P A P B ()2142P A ==()2142P B =={}1A B ⋂=()14P A B = ()()()P A B P A P B ⋂=,A B (2,a b =-= ||4,214a a b ==⋅=-⨯+= b a 224144||a b a a a a ⋅== ()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.7．D 【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax +-=+21cos a x ax -=+()()21,cos F x ax a G x x =+-=(1,1)x ∈-()y F x =()y G x =()(),F x G x ()()00F G =11a -=2a =2a =()()F x G x =221cos 0x x +-=()1,1x ∈-220,1cos 0x x ≥-≥0x =221cos 0x x +-≥0x =221cos 0x x +-=()y F x =()y G x =所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；8．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.9．BC10．AD2a =2a =()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-()h x ()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=()h x ()h x ()020h a =-=2a =2a =()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-220,1cos 0x x ≥-≥0x =()0h x ≥0x =()h x 2a =HIJ LMN -ABC DEF -,D N ,E M ,F L AD BE CF ∥∥1,2,3AD BE CF ===1322314+=+=+=212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.【详解】对于A ，若，则，A 正确;对于B，或，因为不知道和的大小关系，B 错误；对于C ，若，则，而，但是与的大小不能确定，故C 错误；对于D，即取等号，11．ACD【详解】，对于A ，当时，，A 正确；对于B ，函数图象的对称中心的纵坐标应为，B 错误；对于C ，，由，，解得，因此，C 正确；对于D ，方程等价于，函数的图象和直线的交点，如图，函数的最小正周期，设，（其中)，显然，由下图可知，因为在区间内的解的个数，所以区间长度应满足：22ac bc >a b >2b a a b +≥2b a a b+≤-b a 0,0a b m >>()()()()()b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m +-+-+-==+++()0m b a -<()a a m +02≥=sin 0x =211π1()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x nx nx nx nx nx nx =+=++=++π[0,]2x ∈min ππ7ππ12[,)[,1],()066662x x f x +∈+∈-=()f x 12πππ2ππ2[,]62636n n nx +∈++πππ2π2262ππ3π2π362n k n k ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩Z k ∈214[,2][,5]33n ∈ 1,2,5n =3()4f x =π1sin(2)64nx +=π()sin(2)6g x nx =+14y =()g x 13||T A A =1223,A A dT A A DT ==1D d =-1π0sin 46<<112,26364323d D d D <<<<<<<<00π(,6x x +[5,9]m ∈π6，由，则，化简得，所以，正整数的值有11个，故选：ACD12．1013．3【详解】由，得，所以.14．【详解】设“正常工作”，“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”由于“到的电路是通路”等价于“正常工作”或“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”，即，由于事件互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得.故答案为：15．(1)；(2)证明见解析．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．16．(1)证明见解析【详解】（1）由平面，平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又由且，所以四边形为平行四边形，π(2)(4)6D T d T +<≤+πT n =πππ(2)(4)6D d n n+<≤+126246D n d +<≤+[16,26]n ∈n 85b =5log 8b =2525log 5log 83log 5log 23ab =⋅=⋅=70811N =D 2N =D A ,B C X Y D D A ,B C 12N N N =⋃()123P N =()222111611333381P N ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,N N ()()121670381812P N P N N =⋃=+=70815π82A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-π02B <<()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-πC C A +-=2A B =πA B C ++=5π8C =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-2222a b c =+PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥BE //BC DE BC DE =BCDE ,1DE CD BC CD ⊥==BCDE BD EC ⊥//BC AE BC AE =BCEA则，所以， 又 平面，所以平面，由平面，所以平面平面；（2）由平面，平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，即，在中，，作，垂足为M ，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，在中，与平面17．(1)答案见解析(2)【详解】（1）通过次传接球后，的结果：（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）；（2）三次传接球，接球的结果：（乙，甲，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，乙，丙），共8种，它们是等可能的，其中球正好在乙处的结果有：（乙，甲，乙），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，所以第3次传接球后，球正好在乙处的概率为//AB EC BD AB ⊥,PA AB A ⋂=,PA AB ⊂PAB BD ⊥PAB BD ⊂PBD PBD ⊥PAB PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥CD AD ⊥,PA AD A = ,PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥PDA ∠P CD A --45PDA ︒∠=Rt PAD △2PA AD ==AM PB ⊥PBD ⊥PAB PBD PAB PB =AM ⊂PAB AM ⊥PBD PM AP PBD APM ∠AP PBD Rt PAB 2,AB CE PA PB ====PA AB AM PB ⋅===Rt AMP sin AM APM AP ∠===AP PBD 382(),x y 3818．(1)，(3)【详解】（1），所以的最小正周期．令，解得，所以的单调递增区间为．（2）由题意知，所以，又．所以，则故（3），所以，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，要使函数在区间上恰有4个不同的零点，令，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根均在内，因为，所以．解得，即的取值范围是．19．(1)(2)，证明见解析πT =()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()π14sin cos 14cos cos 162f x x x x x x ⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2cos 1cos22sin 26x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z ()f x ()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z π12sin 262f αα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,636α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πcos 6α⎛⎫+== ⎪⎝⎭ππππππ11cos cos cos cos sin sin 66666642αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ22sin 222sin 46666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22ππππ2sin 222cos 224sin 2226266x x x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()()()2π223216g x f x a f x f x a f x ⎛⎫=-+-+=+-+ ⎪⎝⎭π11π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π11π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()π2236g x f x a f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x t =t ()2210t a t +-+=(]2,0-()202010a +-⨯+>22Δ(2)402202(2)2(2)10a a a ⎧=-->⎪-⎪-<-<⎨⎪---+>⎪⎩102a -<<a 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1-()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +(3)【详解】（1）由已知可得，，，所以，，所以，.（2）.证明如下：左边，右边.所以，左边=右边，所以，.（3）原题可转化为方程有解，即有解.令，，，因为在上单调递增，，，所以，.又，当且仅当，即时等号成立，所以，即有最大值，又当，则要使有解，应有，即，所以.【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，74a ≥()22e e cosh 22-+=()1e e cosh 12-+=()21222e e e e cosh 1242--⎛⎫++==⎪⎝+ ⎭()()2cosh 22cosh 1-2222e e e e 21224--⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭+()cosh x y +=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +()()e e cosh 2x y x y x y -+++=+=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y =+e e e e e e e e 2222y y y x x x x y ----++--=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y +--+--+--+--+++--+=+()e e 2x y x y -+++=()cosh x y +=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +()()sinh cosh t a x =-e e e e 22+x t xt a ---=-()e e 2t t f t --=[]0,ln 2t ∈()e 2+e x xg x a -=-()e e 2t t f t --=[]0,ln 2()00f =()ln 2ln 2e e 3ln 224f --==()304f t ≤≤e e 12+x x -≥=e e =x x -0x =()e e 1+2xx g x a a -=-≤-()g x ()max 1g x a =-(),x g x →+∞→-∞()()f t g x =()()max max 34g x f t ≥=314a -≥74a ≥e e e e 22+x t x t a ---=-()e e 2tt f t --=[]0,ln 2t ∈，然后分别求出的值域，即可得出关系式.()e 2+e x xg x a -=-()(),f t g x。
广东省深圳市高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省深圳市2020-2021学年高一数学下学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题（含解析）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（）A. {-2}B. {2}C. {-2，2}D. ∅【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵∴故答案为：B【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。
2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：故答案为：C【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A. y=x3B.y=|x| C. y=sinx D. y=【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数,但它在区间(0，+∞)上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞)上单调递减，故满足条件。
故答案为：D【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。
4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.B. 2πC. 3πD. 4π【答案(dá àn)】 C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。
2020-2021学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知A={3,4，5，6}，B={x|2≤x<6}，则A∩B=()A. {2,3，4}B. {3,4，5}C. {2,3，4，5}D. {3,4，5，6}2.复数z的共轭复数是1+√3i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是()A. √3iB. √3C. −√3iD. −√33.已知向量a⃗=(−3,1)，b⃗ =(1,−2)，则向量a⃗与b⃗ 夹角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°4.已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为()A. 12.4B. 12.3C. 12.2D. 12.15.已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)，则tanα的值为()A. −√3B. −1C. −√33D. −26.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的()A. 18倍B. 24倍C. 36倍D. 48倍7.已知函数f(x)=sinx+√3cosx，则“x0=π6”是“f(x)在x=x0处取得最大值”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是()A. a+1b <b+1aB. 2a+ba+2b<abC. ba−c>ab−cD. √ca3<√cb3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策.如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况.则下列说法正确的是()A. 年均增长率逐次减小B. 第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大10.把函数f(x)=cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，下列说法正确的是()A. 函数g(x)的最小正周期为πB. 直线x=π是函数g(x)图象的对称轴C. 函数g(x)在区间[−12,32]上的最小值为−1D. 点(π4−12,0)为函数g(x)的图象的一个对称中心11.已知实数x，y，z满足2x=log2y=1z，则下列关系式中可能成立的是()A. y=z>xB. z=x>yC. y>z>xD. z>y>x12.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=√2，AC=AD=BC=BD=√5，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是()A. 异面直线AB与CD所成的角为90°B. 平面α截四面体ABCD所得截面周长不变C. 平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形D. 该四面体的外接球表面积为6π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.求值：(49)−12+log48+e ln2=______ ．14.甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为______ ．15.如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为______ ．16.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m−1)sin(2x+π6)−m2，若∀x1∈[−1,3]，∀x2∈[0,π2]，f(x1)≥g(x2)，则m的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3,4)，z2对应的向量坐标为(0,1)，且zz1=−1+7i(其中i为虚数单位)．(1)求z；(2)求|(z+i)z2|.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC．(1)求B；(2)若b=1，△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．19. 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位：小时)数据分成6组：[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，(时间均在[0,6]内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5． (1)求m ，n 的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．20. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 中点，点F 为BC 的三等分点，且靠近点C ，设CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)如果∠ACB =60°，AC =2，且CD ⊥EF ，求|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.21.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6√2，点E为线段AB上一点，AE=1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B′位置，使得点B′在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B′−AECD．(1)在图2中，线段B′C上是否存在点F，使得EF//平面B′AD？若存在，求B′F的值，若不存在，请说B′C明理由；(2)在图2中求二面角B′−EC−D的大小．22.已知函数f(x)=|e x−1|．(1)试判断函数f(x)的单调性，并画出函数f(x)图象的草图；(2)若关于x的方程2f2(x)−4mf(x)+5m−2=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={3,4，5，6}，集合B ={x|2≤x <6}， ∴A ∩B ={3,4，5}． 故选：B ．根据已知条件，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数z 的共轭复数是1+√3i(其中i 为虚数单位)， ∴z =1−√3i ， 则z 的虚部−√3， 故选：D ．利用共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．本题考查了共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，设向量a⃗ 与b ⃗ 夹角为θ， 向量a ⃗ =(−3,1)，b ⃗ =(1,−2)，则|a ⃗ |=√10，|b ⃗ |=√5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−5， 故cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√10×√5=−√22， 又由0°≤θ≤180°，则θ=135°， 故选：D ．根据题意，设向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为θ，求出|a ⃗ |、|b ⃗ |、a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，计算可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，一组数据如下：1，2，5，6，11，其平均数x −=1+2+5+6+115=5，则其方差S 2=15[(1−5)2+(2−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(11−5)2]=12.4， 故选：A ．根据题意，先求出数据的平均数，进而计算其方差即可得答案． 本题考查方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)， ∴2sinαcosα=−sinα， ∴cosα=−12． ∵α∈(π2,π)， ∴α=2π3．∴tanα=tan 2π3=−tan π3=−√3．故选：A ．利用二倍角公式和诱导公式对已知等式进行变换，然后结合特殊角的三角函数值得到答案． 本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长， 经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为a ，则a(1+6.25%)30=6a ，∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y =a(1+6.25)60=a[(1+6.25%)30]2=36a ． ∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍． 故选：C ．利用等比数列的性质直接求解．本题考查等比数列的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，所以当x +π3=π2+2kπ,k ∈z ，x =π6+2kπ,k ∈Z 时，f(x)有最大值2； 所以“ x 0=π6”是“f(x)在x =x 0处取得最大值”的充分不必要条件． 故选：A ．首先通过辅助角公式化简函数解析式，再求出取得最大值时对应的x ，再从集合的包含关系角度判断充分必要性本题结合三角函数的知识，从集合包含关系的角度考查充分必要性的判断；8.【答案】B【解析】解：A 、∵a >b >0，∴1a <1b ，∴a +1b >b +1a ，∴A 错误， B 、∵a >b >0，∴2a+ba+2b −ab =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0，∴B 正确，C 、当a =2，b =1，c =−1时，∵ba−c =13，ab−c =1，∴ba−c <ab−c ，∴C 错误， D 、当a =8，b =1，c =−1时，√c a 3=−12，√cb 3=−1，∴√ca 3>√cb 3，∴D 错误，故选：B ．根据不等式的性质判断A ，根据举实例判断CD ，根据作差法判断B ． 本题考查不等式的性质，运用举实例，作差法是关键．9.【答案】BD【解析】解：由图可知，第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故选项A 错误； 第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是2.09%−0.53%=1.56%，故选项B 正确； 由图可知，这七次普查的人口数逐次增加，且第七次增幅最小，故选项C 错误； 由图可知，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故选项D 正确． 故选：BD ．利用题中条形图和折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由题意知，g(x)=cos(2x +1)， 对于A ，最小正周期T =2π2=π，即选项A 正确；对于B ，令2x +1=kπ，k ∈Z ，则g(x)图象的对称轴为x =kπ2+12，k ∈Z ，显然x =π不符合，即选项B错误；对于C ，∵[−12,32]，∴2x +1∈[0,4]， 当2x +1=π，即x =π−12时，f(x)min =f(π−12)=−1，即选项C 正确；对于D ，令2x +1=π2+kπ，k ∈Z ，则x =π4−12+kπ2，k ∈Z ，∴g(x)图象的对称中心为(π4−12+kπ2,0)k ∈Z ，当k =0时，g(x)图象的对称中心为(π4−12,0)，即选项D 正确． 故选：ACD ．由题意知，g(x)=cos(2x +1)，再结合余弦函数的周期性、对称轴、对称中心和值域逐一判断选项的正误，即可．本题考查三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的变换法则，以及余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：如图，x，y，z的关系有下列三种情况：y>z>x，y=z>x，z>y>x，由图象可看出，z与x不可能相等，∴B 错误，ACD都正确．故选：ACD．的图象，并画出y=c的图象，根据图象即可判断出x，y，在同一坐标系下画出y=2x，y=log2x和y=1xz可能的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数和反比例函数的图象的画法，数形结合解题的方法，考查了作图能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，取CD得中点E，连接BE和AE，∵BC=BD，AC=AD，∴BE⊥CD，AE⊥CD，又∵BE∩AE=E，且BE，AE⊂平面ABE，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成的角为90°，故A正确；对于B，如图，平面α与四面体的交点分别为F，G，H，P，∵AB//α，AB⊂平面ABC，且平面ABC∩α=FG，⋅AB，∴AB//FG，则FG=CGAC同理得GH=AGAC ⋅CD，PH=DPBD⋅AB，FP=BPBD⋅CD，∵AB=CD=√2，AC=AB=BC=BD=√5，∴FG+GH+PH+FP=ABAC(CG+AG+DP+BP)=2AB=2√2，即平面α截四面体ABCD所得截面周长不变，为2√2，故B正确；对于C，当CG=AG=DP=BP时，即G、P分别是AC，BD的中点，此时GH//CD，∴GH⊥AB，∵FG//AB且FG、AB共面，∴FG⊥GH，所以四边形FGHP为正方形，故C错误；对于D，作AB的中点Q，连接EQ，取EQ中点T，易得TA=TB=TC=TD，则T为四面体ABCD外接球的球心，AE=BE=√5−14=3√22，∴EQ=√92−12=2，则半径R=TA=√1+12=√62，∴S=4πR²=4π×64=6π，故D正确．故选：ABD．对于A，作图，取CD得中点E，连接BE和AE，由条件可得CD⊥平面ABE，则CD⊥AB，故A正确；对于B，作图，利用平行线成比例性质得到FG=CGAC ⋅AB，GH=AGAC⋅CD，PH=DPBD⋅AB，FP=BPBD⋅CD，进而可得FG+GH+PH+FP=ABAC(CG+AG+DP+BP)=2AB，故B正确；对于C，举出反例当CG=AG=DP=BP时，即G、P分别是AC，BD的中点，此时GH//CD，推出四边形为正方形；对于D，作图，找到球心即可．本题考查异面直线夹角的求发法，考查四面体外接球表面积，截面形状的判断及面积的求解，综合性强，属于中档偏难题．13.【答案】5【解析】解：原式=32+log4432+2=32+32+2=5．故答案为：5．进行分数指数幂和对数的运算即可．本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】0.994【解析】解：根据题意，甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，则三人都没有中靶的概率P′=(1−0.8)(1−0.9)(1−0.7)=0.006，则三人中至少有一人中靶的概率P=1−P′=0.994；故答案为：0.994．根据题意，求出三人都没有中靶的概率P′，由对立事件的性质分析可得答案．本题考查互斥事件的概率的计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．15.【答案】π6【解析】解：如图，取D1C中点O，连接DO、OB，则DO⊥D1C，，∵{BC⊥面DD1C1CDO⊂ 面DD1C1C，∴DO⊥BC，∴DO⊥面D1BC，∵EF//DB，∴∠DBO就是直线EF与平面BCD1所成的角，∵DB=2DO，∴∠DBO=π6．故答案为：π6．如图，取D1C中点O，连接DO、OB，利用EF//DB，即可得∠DBO就是直线EF与平面BCD1所成的角，解△DOB即可．本题考查直线与平面所成的角，考查了空间线面位置关系，考查了计算能力，属于中档题．，16.【答案】(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)【解析】解：记f(x)在区间[−1,3]上的最小值为[f(x)]min，g(x)在区间[0,π2]的最大值为[g(x)]max，由题意可知[f(x)]min≥[g(x)]max，由x12+1∈[1,10]，可得[f(x)]min=0，由2x2+π6∈[π6,7π6]，可得sin(2x2+π6)∈[−12,1]，由g max(x)≤0，得{−12×4(m−1)−m2≤0, 4(m−1)−m2≤0,解之，得x≤−1−√3或x≥−1+√3，所以，m的取值范围是(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)，故答案为：(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)．记f(x)在区间[−1,3]上的最小值为[f(x)]min，g(x)在区间[0,π2]的最大值为[g(x)]max，由题意可知[f(x)]min≥[g(x)]max，进而可得答案．本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意知z1=3+4i，解方程zz1=−1+7i，得z=−1+7i3+4i，化简得z=(−1+7i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25+25i25=1+i．(2)由题意知z2=i，则(z+i)z2=(1+2i)i=−2+i，所以|(z+i)z2|=|−2+i|=√(−2)2+12=√5．【解析】(1)由题意写出z1，再解关于z的方程zz1=−1+7i即可；(2)由题意写出z2，化简(z+i)z2，求模长即可．本题考查了复数的四则运算，复数与点、向量的一一对应关系，以及复数的模长等知识点，也考查了转化为化归、数形结合的数学方法，考查了数学运算、逻辑推理、直观想象的数学素养．18.【答案】解：(1)将(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC，展开得sin2A+sin2C−sin2B=sinAsinC，由正弦定理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =12，因为0<B<π，所以B=π3．(2)根据余弦定理，b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac，因为△ABC的面积为12acsinB=√34，所以ac=1，因为b=1，所以1=(a+c)2−3，解之，得a+c=2，所以△ABC 的周长为a +c +b =3．【解析】(1)由已知利用正弦定理得a 2+c 2−b 2=ac ，由余弦定理得cos B 的值，结合范围0<B <π，可得B 的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求a +c 的值，即可求解△ABC 的周长． 本题主要考查了正余弦定理等知识点在解三角形中的应用，考查转化与划归得方法与方程思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养，属于基础题．19.【答案】解：(1)由于0.05+0.15+m +n +0.11+0.04=1，则m +n =0.65，且0.05+0.15+m +(3.5−3)×n =0.7，则m +0.5n =0.5，于是{m =0.35n =0.3， 那么平均值为0.05×12+0.15×32+0.35×52+0.3×72+0.11×92+0.04×112=2.89，(2)由于第二组和第四组的频率之比为：0.150.3=12，则分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人，设两个人来自于不同组为事件A ，∵基本事件总数为C 62=15，，事件A 包含的基本事件数为C 21⋅C 41=8， ∴p(A)=815．【解析】(1)利用频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的定义即可求解．(2)求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可．本题主要考查了频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的基本概念和求法，以及分层抽样的性质，古典概型的概率问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由图可得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ −12b ⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =b ⃗ +25(a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ +35b ⃗ ；(2)由(1)可知，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25a ⃗ +35b ⃗ )(13a ⃗ −12b ⃗ )=0， 所以215a ⃗ 2−310b ⃗ 2=0， 由|b⃗ |=2，可得|a ⃗ |=3， 则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√425a ⃗ 2+925b ⃗ 2=√425×9+925×4=6√25． 【解析】(1)数形结合，利用平面向量加减法则表示即可；(2)利用(1)中表达式，结合条件先求得|a ⃗ |，再利用模的定义代入求解即可．本题考查了平面向量基本定理，向量共线，向量模的求法等知识点，重在培养学生数学运算，逻辑推理，直观想象的数学素养，属基础题．21.【答案】解：(1)在B′C 上取点F ，使得B′F B′C =14， 过F 作CD 的平行线交B′D 于M 点，连接EF ，AM ，因为MF//CD 且MF CD =B′F B′C =14，又AE//CD 且AE CD =14，所以AE//MF 且AE =MF ，故四边形AEFM 为平行四边形，故EF //AM ，又EF ⊄平面B′AD ，AM ⊂平面B′AD ，所以EF//平面B′AD ；(2)如图，记点B′在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B′N ，因为CE ⊥ON ，CE ⊥B′O ，ON ∩B′O =O ，ON ，B′O ⊂平面B′ON ，所以CE ⊥平面B′ON ，又B′N ⊂平面B′ON ，所以CE ⊥B′N ，则∠B′NO 为二面角B′−CE −D 的平面角，在矩形ABCD 中，BE =3，BC =6√2，则CE =9，BN =2√3，EN =1，又△EBN∽△OBA ，所以BN BE =BA BO ，可得BO =3√2，故ON =√2，则cos∠B′NO =ON B′N =12，所以二面角B′−EC −D 的大小为60°．【解析】(1)在B′C 上取点F ，使得B′F B′C =14，过F 作CD 的平行线交B′D 于M 点，连接EF ，AM ，利用平行线的性质可证明四边形AEFM 为平行四边形，即可得到EF//AM ，再利用线面平行的判定定理证明即可．(2)记点B′在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B′N ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可得CE ⊥B′N ，从而得到∠B′NO 为二面角B′−CE −D 的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查立体几何中线线垂直、线面垂直的判定、性质定理及二面角的平面角的证明求法，重在培养学生运算、空间想象等能力，该题充分体现了数形结合的思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=|e x −1|={1−e x ,x <0,e x −1,x ≥0,当x ∈(−∞,0)时，函数f(x)为单调减函数，值域为(0,1)；当x ∈[0,+∞)时，函数f(x)为单调增函数，值域为[0,+∞)．画出函数f(x)的草图，如图所示：(没有画渐近线的扣1分)(2)∵关于的方程2f 2(x)−4mf(x)+5m −2=0有两个不等实数根．设t =f(x)∈[0,+∞)，结合图象可知，一元二次方程2t 2−4mt +5m −2=0有两个不相等的实数根t 1，t 2，满足下列情况时符合题意：①当0<t 1<1，t 2<0时，则有{5m −2<0,m >0,解之，得0<m <25； ②当t 1=0，t 2≥1时，则由t 1=0得m =25，代入方程得t 2=45<1不合题意；③当t 1=t 2∈(0,1)时，则△=16m 2−8(5m −2)=0，解之，得m =2或m =12，当m =2时，t 1=t 2=2(舍去)，m =12时，t 1=t 2=12符合题意；④当t 1≠t 2且都在[1,+∞)内时，则有{2×12−4m +5m −2≥0,(4m)2−4×2×(5m −2)>0,m >1,得m >2．综上所述，m 的范围是(0,25)∪{12}∪(2,+∞)．【解析】(1)分段去绝对值，分段考虑单调性，作出图像即可．(2)设t =f(x)∈[0,+∞)，结合图象讨论t 1，t 2 的范围，从而求解m 的取值范围．本题考查了绝对值、指数函数图象与性质、二次函数、一元二次不等式、复合函数性质、函数的零点等知识点，考查了转化与化归、数形结合、分类讨论等数学方法，考查了学生数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养．。
2020-2021学年广东省深圳高中高一(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年广东省深圳高中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|（x+1）（4﹣x）＜0}，集合B={y|y=2sin3x}，则A∩B=（）A．（﹣1，2]B．（2，4 ）C．[﹣2，﹣1 ）D．[﹣2，2]2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．D．f（x）=﹣log2|x|3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+84．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的外形确定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不行能是（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．297．ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不愿定垂直8．设变量x，y 满足，则（x+y）2的最大值是（）A．9 B．3 C．2 D．19．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β10．两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（X﹣3）2+y2=1 C．（X+）2+y2=D．（2x﹣3）2+4y2=112．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6 D．2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且asinAsinB+bcos2A=a ，则=．14．等差数列{a n}的前n项的和为S n，若a1=24，S17=S10．则S n取最大值时n的值为．15．已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为，则a=．16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos 2﹣1），且．（1）求角B的大小；（2）假如b=2，求S△ABC的最大值．18．如图，正四周体S﹣ABC中，其棱长为2．（1）求该几何体的体积；（2）已知M，N分别是棱AB和SC的中点．求直线BN和直线SM所成的角的余弦值．19．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC 所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，b n+1=b n+2．（1）求a n，b n；（2）若数列{b n}的前n项和为B n ，比较++…+与2的大小；（3）令T n =++…+，是否存在正整数M，使得T n＜M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x2﹣4x﹣16，且|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立．（1）求a、b的值；（2）记h（x）=﹣f（x）﹣4，那么当k ≥时，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得函数h（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，恳求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．2022-2021学年广东省深圳高中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|（x+1）（4﹣x）＜0}，集合B={y|y=2sin3x}，则A∩B=（）A．（﹣1，2]B．（2，4 ）C．[﹣2，﹣1 ）D．[﹣2，2]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，即可确定出两集合的交集．解答：解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣4）＞0，解得：x＜﹣1或x＞4，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），由B中y=2sin3x，得到﹣2≤2sin3x≤2，即﹣2≤y≤2，∴B=[﹣2，2]，则A∩B=[﹣2，﹣1），故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．D．f（x）=﹣log2|x|考点：函数单调性的推断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数单调性的性质分别进行推断即可．解答：解：A．f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数．B．f（x）=x2﹣3x=（x ﹣）2﹣在（0，+∞）上为不单调．C.==1﹣在（0，+∞）上为增函数．D．当x＞0时，f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上为减函数．故选：C点评：本题主要考查函数单调性的推断，要求娴熟把握把握常见函数的单调性，比较基础．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+8考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是直三棱柱，由三视图推断三棱柱的高，推断底面三角形的外形及相关几何量的数据，把数据代入表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，∴几何体的表面积S=2××2×2+（2+2+2）×4=4+16+8=20+8．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，推断几何体的外形及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．4．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的外形确定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosB•sinA=sinC，”化去角C，最终得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．解答：解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C点评：本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形外形时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．5．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不行能是（）。
2021年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
2021年高一数学下学期期末考试试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 945．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣28．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•=．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．xx学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值si n210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．分析：通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．解答：解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：角α的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sinα=，故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义，比较基础．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：运用诱导公式化简解析式可得f（x）=﹣xcosx，由f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），即可得函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．解答：解：∵f（x）=x•sin（+x）=﹣xcosx，又f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），∴函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．故选：A．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 94考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先根据甲、乙两组的平均分相同，求出α的值，再求乙组的中位数即可．解答：解：∵甲、乙两个小组的平均分相同，∴=α=2∴乙组数学成绩的中位数为=93．故选：B．点评：本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目．5．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：向量=（4，2），=（x，3），若∥，可得12=2x，解得x=6．故选：B．点评：本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．解答：解：第一次，n=1，S=0，满足条件．S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件．S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件．S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件．S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件．S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则①可以为n≤5？，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，﹣3），∴k﹣2=k（1，1）﹣2（2，﹣3）=（k﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•=k﹣4+k+6=0，解得k=﹣1．故选：A．点评：本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．8．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．解答：解：因为，所以；．故选D点评：本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角．解答：解：由题意可得=（+）2，∴||2=||2+||2+2||||cosθ，其中θ为向量与的夹角，∵==，∴cosθ=﹣，∴向量与的夹角为故选：D点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到•=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则•=xm+yn．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解答：解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37 ．考点：系统抽样方法．专题：应用题．分析：由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．解答：解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．故答案为：37．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为1﹣．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，b范围是判别式△≥0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，b范围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的正切函数求解即可．（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．解答：解：tanα=2（1）tan2α==；（2）sin2α+sinα cosα﹣2cos2α===．点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由≤α＜．可得≤α+＜，根据cos（α+）=＞0，可得≤α+＜，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+）．（2）由（1）可得，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+）的值．解答：解：（1）∵≤α＜．可得≤α+＜，∵cos（α+）=＞0，∴≤α+＜，∴sin（α+）=﹣=﹣．（2）由（1）可得≤α+＜，∴，∴sinα=sin[（α+）﹣]=（﹣﹣）=﹣，cosα=cos[（α+）﹣]=（﹣）=﹣，sin2α=2sinαcosα=2×=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴cos（2α+）=（﹣﹣）=﹣．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用平均数公式，可求，；（Ⅱ）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（Ⅲ）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可．解答：解：（Ⅰ）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（Ⅱ）∵x i2=280，x i y i=3487，∴b==，a=，∴回归方程为y=x+，（Ⅲ）当x=20时，y≈175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元．点评：本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合范围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区．当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，π]，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，2π]，从而可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由函数图象可得：T=（）=π，解得：T==，从而可求ω=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，由0≤φ＜2π，从而可得：φ=或．故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）．（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[，]，k∈Z，当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[﹣，]，k∈Z，（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[0，2]．当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，2π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[﹣2，]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组 15 25 40合计 30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=•=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t的范围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB=•=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．t33181 819D 膝32203 7DCB 緋27654 6C06 氆27207 6A47 橇 23273 5AE9 嫩j25952 6560 敠 ^l33905 8471 葱X。
广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
2023年深圳市普通高中高一年级调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{}03B x x =<<，则A B = （）A.{1,1}-B.{1,2}C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合{}1,0,1,2,{|03}A B x x =-=<<，根据集合交集的概念与运算，可得{}1,2A B = .故选：B.2.设复数z 满足i 1i z =+（i 是虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.2D.【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的除法法则求出复数z ，然后由复数的求模公式计算出z .【详解】因为i 1i z =+，所以1+i (1+i)(i)1i i i (i)z ⨯-===-⨯-，所以z =故选：D .3.已知tan 2α=，则cos 2=α（）A.35- B.35 C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α，代入求值.【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125ααααααααα---=-====-+++.故选：A ．4.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A.平均数B.中位数C.极差D.标准差【答案】B 【解析】【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断.【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：4.05.97.79.09.614.98.526+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：14.9 4.010.9-=，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：4.05.97.79.014.99622.926+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：96 4.092-=，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题错误．．的是（）A.//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m nB.//m n ，//m α，n α⊂/，则//n αC.αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D.αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥【答案】C 【解析】【分析】对于A,由线面平行的性质定理即可判定；对于B ,可利用排除的思想；对于C ,根据条件可直接判定//,m n 或者m 与n 相交，C 错误；对于D ，通过构造平面γ，利用平面与平面所成角的大小即可判定.【详解】对于A,由线面平行的性质定理可知A 正确；对于B ,//m n ，//m α，//n α∴或者n ⊂α，又n α⊂/则//n α，故B 正确；对于C ,由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则//,m n 或者m 与n 相交或者异面，则m n ⊥不一定成立，故C 错误；对于D ,若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m 与n 一定不平行，否则有//αβ，与已知矛盾，通过平移使m 与n 相交，设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α和β所成的角，又αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，故D 正确.故选:D .6.在梯形ABCD 中，若2AB DC =，且ACxAB y AD =+，则x y +=（）A.32B.2C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，222AB DC AC AD ==-，化简得12AC AB AD =+ ，即1,12x y ==，则32x y +=，故选：A.7.已知正实数m ，n 满足2m n +=，则下列不等式恒成立的为（）A.ln ln 0m n +≥B.222m n +≤C.112m n+≥ D.+≤【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可.【详解】对于A ，2ln ln ln ln ln102m n m n mn +⎛⎫+=≤== ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，取等号，所以ln ln 0m n +≤，故A 错误；对于B ，因为222m n mn +≥，所以()()2222222m nmn mn m n +≥+++=，所以()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时，取等号，所以222m n +≥，故B 错误；对于C ，()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n =，即1m n ==时，取等号，所以112m n+≥，故C 正确；对于D ，因为m n +≥()22m n m n +≥++，2≤=，当且仅当1m n ==2≤，故D 错误.故选：C.8.已知函数()e elg xxf x x -=++，则不等式()()121f x f x +>-的解集为（）A.()0,2 B.110,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.()0,3 D.110,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判断出函数()f x 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数()e elg xxf x x -=++的定义域为{}0x x ≠，且()()ee lg e e lg xx x x f x x x f x ---=++-=++=，即()f x 是偶函数，当0x >时，()e e lg xxf x x -=++，构造e e x x y -=+，()0,x ∈+∞，令e 1x t =>，则1y t t=+在()1,+∞上单调递增，又e x t =也是增函数，则e e x x y -=+在()0,∞+上单调递增，又lg y x =是定义域内的增函数，故()e elg xxf x x -=++在()0,∞+上单调递增，不等式()()121f x f x +>-等价于()()121fx f x +>-，即12110210x x x x ⎧+>-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，平方得：222144110210x x x x x x ⎧++>-+⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得02x <<且12x ≠，则不等式()()121f x f x +>-的解集为110,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 的图象关于5π12x =对称 D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AC 【解析】【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，2π2,πT ωω===，A 正确；B 项，∵函数cos y x =关于()ππ,0Z 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，∴在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，()ππ2πZ 62x k k +=+∈，解得：()ππZ 26k x k =+∈，当π12x =-时，Z k ∉，故B 错误.C 项，在函数cos y x =中，函数关于()πZ x k k =∈对称，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，()π2πZ 6x k k +=∈，解得：()1ππZ 212x k k =-∈当1k =时，5π12x =，C 正确；D 项，在函数cos y x =中，函数在()()2π,2ππZ k k k +∈上单调递减，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，当函数单调递减时，()π2π<2+<2ππZ 6k x k k +∈，解得：()π5ππ<2<π+Z 1212k x k k -∈，∴()f x 在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()f x 在5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 错误.故选：AC .10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件【答案】ACD 【解析】【分析】列出事件A ，B ，C ，AC 的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C 的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC 的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件A B ⋃是必然事件，故正确；B.因为A B ⋂≠∅，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故错误；C.因为C B ⊆，所以事件B 包含事件C ，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618P A P C P AC ======⨯⨯⨯，所以()()()P A P C P AC ⋅=，所以事件A 与事件C 是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如， 1.22[]-=-，[1.5]1=.已知()[]f x x x =+，则（）A.11(22f =B.()f x 为奇函数C.12x x ∃>，使得()()12f x f x <D.方程()31f x x =-所有根的和为32【答案】AD 【解析】【分析】代入计算判断A ，根据奇函数性质判断B ，根据[]x 的定义对函数作差判断C ，根据[]1x x x -<≤求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D .【详解】对于A ，1111()2222f =+=，正确；对于B ，举反例，当 1.3x =时，(1.3) 1.3 1.3 2.3f =+=，而( 1.3) 1.3 1.3 1.32 3.3f -=-+-=--=-，所以(1.3)( 1.3)f f ≠-，故函数()f x 不是奇函数，错误；对于C ，根据[]x 的定义，可知对12x x ∀>，有12[][]x x ≥，所以()()1211221212[][][][]0f x f x x x x x x x x x -=+--=-+->，所以()()12f x f x >，错误；对于D ，()31f x x =-即[]31x x x +=-，所以2[]10x x --=，即[]21x x =-，又[]1x x x -<≤，所以121x x x -<-≤，解得01x <≤，当1x =时，满足方程，即1x =是方程()31f x x =-的根，当01x <<时，[]x x x +=，方程()31f x x =-化为31x x =-，解得12x =，故方程()31f x x =-所有根的和为13122+=，正确.故选：AD12.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段BC 上的动点，则（）A.11AB A M⊥B.三棱锥11C AMB -的体积不变C.11A M C M +的最小值为3+D.当M 是BC 的中点时，过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得的截面面积为26π9【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A ；1111C AMB A B C M V V --=，由底面积和高判断体积验证选项B ；11A M C M +转化为点()和点()2,2到点()0,t 的距离之和，计算验证选项C ；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.【详解】连接1A B ，如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，11ABA B 为正方形，11AB A B ⊥，90ABC ∠=︒，BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ⊥，1,A B BC ⊂平面1A BC ，1A B BC B =I ，1AB ⊥平面1A BC ，1A M ⊂平面1A BC ，11AB A M ⊥，A 选项正确；由直三棱柱的结构特征，11111111111143323C AMB A B C M B C M V V S AB B C CC AB --==⋅=⨯⨯⋅⋅= ，故三棱锥11C AMB -的体积为定值，B 选项正确；设BM t =，02t ≤≤，2MC t =-，22222221118A M A A AM A A AB BM t =+=++=+，()222221122C M C C MC t =+=+-，11A M M C +=()和点()2,2到点()0,t的距离之和，最小值为点()-到点()2,2，C 选项错误；当M 是BC 的中点时，13A M=，11AC =1C M =，2221111111112cos 22A M A C C M MA C A M A C +-∠===⋅⋅，11sin 2MA C ∠=，111111111sin 33222MA C S A C A M MA C =⋅⋅∠=⨯⨯= ，112112CC M S =⨯⨯= ，设点C 到平面11MA C 的距离为c h ，由1111C A MC A CC M V V --=，得321c h =⨯，23c h =，直三棱柱111ABC A B C -是正方体的一半，外接球的球心为1AC 的中点O，外接球的半径1112A O A C ==，点O 到平面11MA C 的距离为1123O c h h ==，则过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -263=，截面面积为26π9，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0lg 2lg 5π+-=______.【答案】0【解析】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】0lg 2lg 5πlg101110+-=-=-=.故答案为：014.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意，圆锥的母线长为3，且其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则底面周长为2π32π3r ⨯=，解得1r =，则该圆锥的体积为21π133⨯⨯=.故答案为：22π3.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，在点C 测得大厦顶A 的仰角60ACB ∠=︒，则该大厦高度AB =_____________米（精确到1米）.1.414≈ 1.732≈.【答案】212【解析】【分析】在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再解Rt ABC △即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，则45CBD ∠=︒，因为sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以3100222BC ⨯==米，在Rt ABC △中，60ACB ∠=︒，则tan ABACB BC∠==所以1501.414212AB ==≈⨯≈米.故答案为：212.16.四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得22PC PD PF ⋅=- ，然后利用数量积的运算律得22PF PF PE=⋅，设出向量夹角，从而2cos 2PC PD θ⋅= ，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为PC PF FC =+ ，PD PF FD =+，又点F 分别是CD 的中点，所以FD FC =- ，所以PD PF FC =- ，222221()()22PC PD PF FC PF FC PF FC PF CD PF ⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=- ⎪⎝⎭，又0PA PB ⋅= ，所以PA PB ⊥，又点E 分别是AB 的中点，所以112PE AB ==，因为EF PF PE =- ，所以2222()2EF PF PE PF PF PE PE =-=-⋅+ ，即22PF PF PE =⋅，设,PF PE θ= ，PF x = ，则221cos x x θ=⨯⨯⨯，所以2cos x θ=，所以2224cos 22cos 2PC PD x θθ⋅=-=-=，所以当20θ=即0θ=时，cos 2θ有最大值1，即PC PD ⋅有最大值为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin(2)f x x θ=+，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求θ；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.【答案】（1）π6θ=（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）代入π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求θ的值；（2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域.【小问1详解】ππsin 163f θ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π6θ=；【小问2详解】()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ266x +=时，即0x =，函数取得最小值12，当ππ262x +=时，即π6x =，函数取得最大值1，所以函数的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22cos b c a B =-.（1）求A ；（2）若a =，2c b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角A ；（2）根据条件结合余弦定理计算边,b c ，再代入面积公式计算即可.【小问1详解】因为ABC 中，22cos b c a B =-，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos B C A B =-，得sin 2sin()2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为a =，2c b =，所以222227423b b b b =+-=，所以3b =±，因为0b >，所以3b =，6c =，所以ABC 的面积为11393sin 362222bc A =⨯⨯⨯=.19.已知函数lo ()g a f x x =（0a >且1a ≠）在[]1,8上的最大值为3.（1）求a 的值；（2）当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）238t ≥.【解析】【分析】（1）分1a >和01a <<两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出a 的值；（2）将2()log f x x =代入不等式，参变分离化简，并求出()21log x xg x =-的最大值，可得实数t 的取值范围.【小问1详解】当1a >时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递增，则()()max 8log 83a f x f ===，解得2a =；当01a <<时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递减，则()()max 1log 103a f x f ===≠，舍去；综上可知，2a =；【小问2详解】由（1）得，2()log f x x =，当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，即2log 22log 0xx t --+≥，化简得2max 1log t x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，[]1,8x ∈构造()21log x x g x =-，[]1,8x ∈ 2log y x =和1y x=-分别在[]1,8上单调递增，()g x ∴在[]1,8上单调递增，()()2max1238log 888g x g ==-=，故实数t 的取值范围是238t ≥.20.某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40)50，，[50)60，，[60)70，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[40)50，内的产品至多1件”，事件B =“这3件产品中技术参数位于区间[50)60，内的产品至少1件”，求事件A B ⋂的概率.【答案】（1）37.5，46.7（2）12【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可；（2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件A B ⋂包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数0.01010150.02510250.03010350.0151045⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010550.00510650.005107537.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为前三组的频率之和为0.010100.025100.030100.65⨯+⨯+⨯=，第四组的频率为0.015100.15⨯=，0.650.150.80.75+=>，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x ，则0.65(40)0.0150.75x +-⨯=，解得46.7x ≈，所以第75百分数约为46.7.【小问2详解】采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间[)40,50，[)50,60，[)60,70三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间[)40,50的产品应抽取0.010620.0150.0100.005⨯=++件，记为123,,a a a ，从技术参数位于区间[)50,60的产品应抽取0.015630.0150.0100.005⨯=++件，记为12,b b ，从技术参数位于区间[)60,70的产品应抽取0.005610.0150.0100.005⨯=++件，记为c ，从这6件产品中任选3件产品，样本空间12312112212Ω{(,,),(,,),(,,),(,,),a a a a ab a a b a ac =13113213231232231121112(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a c a a b a a b a a c a b b a b c a b c 2122122312313212(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a b b a b c a b c a b b a b c a b c b b c ，则()20n Ω=，事件A B ⋂包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.则11122122313212{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B a b c a b c a b c a b c a b c a b c b b c ⋂=112212312(,,),(,,),(,,)}a b b a b b a b b ，()10n A B ⋂=，所以()101()(Ω)202n A B P A B n ⋂⋂===.21.如图，三棱锥-P ABC 的三个顶点A B C ，，在圆O 上，AB 为圆O 的直径，且6AB =，PA PC ==BC =，平面PAC ⊥平面PCB ，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点F 是圆O 上的一点，且点F 与点C 位于直径AB 的两侧.当//EF 平面PAC 时，画出二面角E BF A --的平面角，并求出它的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析，4.【解析】【分析】（1）要证明平面PAC ⊥平面ABC ，只需利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC 即可；（2）解法一：建立空间坐标系，运用空间向量求解.解法二：作出二面角E BF A --的平面角，利用正切值的定义即可求得二面角的正切值.【小问1详解】因为点C 在圆O 上，AC CB ⊥,因此4AC ==，又222PA PC AC +=，即AP PC ⊥，所以PAC △是等腰直角三角形，由平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，所以AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以可得BCPA ⊥，又BC AC ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，,PA AC A BC =∴⊥ 平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；【小问2详解】解法一：取AC 的中点M ，连接PM ，则PM AC ⊥，由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PM ∴⊥平面ABC ，连接OM ，OE ，OF ，则OM 是ABC 中BC 边的中位线，OM AC ∴⊥，OM ⊂平面ABC ，PM OM ∴⊥，即PM ，AC ，OM 两两垂直，以M 为原点，AC ，OM ，PM 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O ，E 分别是AB ，PB 的中点，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ，则有//EN PM ，PM ⊥ 平面ABC ，EN ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，BF EN ∴⊥，过N 点作FB 的垂线，得垂足S ，,,BF NS EN NS N BF ⊥=∴⊥ 平面ENS ，ES ⊂平面ENS ，ES BF ∴⊥，ESN ∴∠就是二面角E BF A --的平面角；//,OE PA OE ∴⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，//OE ∴平面PAC ，又,,OE FE E OE FE =⊂ 平面EFO ，∴平面//EFO 平面PAC ，又OF ⊂平面EFO ，//FO ∴平面PAC ，又平面PAC 平面ABC AC =，FO ⊂平面ABC ，//AC FO ∴，其中12OF AB =，()()()()()2,0,0,2,,0,0,2,1,,3,A B P E F ∴--，()()4,0,1,5,FE FB =-=- ，设平面EFB 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4050x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得4y z ==，可得()4m = ；显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，设平面ABC 与平面EFB 的二面角为α，则222cos 11m n m nα⋅==⋅ ，综上，二面角E BF A --的余弦值为11，正切值为4.解法二：取BC 的中点M ，连接,,EM OM OE ，如下图所示：又点E 是PB 的中点，所以//EM PC ，EM ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以//EM 平面PAC ；又O 是AB 的中点，所以//OM AC ，OM ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OM 平面PAC ；,,EM OM M EM OM =⊂ 平面EOM ，所以可知平面//E O M 平面PAC ，又平面EOM ⋂平面ABC OM =，平面PAC 平面ABC AC =，所以//AC OM ，又//EF 平面PAC ，所以EF ⊂平面EOM ，又F 在平面ABC 内，所以,,F O M 三点共线，即//AC FM ；所以四边形ACMF 为直角梯形，易知4,5AC CM MF OF OM ===+=，作AT MF ⊥于点T ，如下图所示：则1FT =，AT =，所以AF =取AC 的中点为Q ，连接PQ ，作//QN AF 交BF 于点N ，连接PN 由（1）可知PQ ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以PQ BF ⊥，又AF BF ⊥，所以QNBF ⊥，且QN PQ Q ⋂=，,QN PQ ⊂平面PQN ，所以BF ⊥平面PQN ，PN ⊂平面PQN ，所以BF PN ⊥；所以PNQ Ð即为二面角P BF A --的平面角，也即E BF A --的平面角；在四边形ACBF 中，QN 交FM 于点S ，如下图所示：易知6QS AF ==2AQ FS ==，5sin 230MBNSMFB BF∠==，可得63NS =，所以463QN QS SN =+=；又2PQ =，所以26tan 4463PQ PNQ QN ∠==；即二面角E BF A --的正切值为64.22.已知函数21()4f x x x =-，()g x kx =，()f x 与g()x 的图象恰有三个交点.（1）求实数k 的取值范围；（2）用max{,}αβ表示,αβ中的最大值，设函数{}()max (),()x f x g x ϕ=(16)x ≤≤，用M ，m 分别表示()ϕx 的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M m -的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的性质，并得到()0,0是两函数的一个交点，考虑0k ≤时，不满足要求，再考虑0k >时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；（2）在（1）的基础上，分3k 14≤<，1324k ≤<，1412k <<和104k <≤，求出相应的M ，m ，和M m -的取值范围.【小问1详解】由题意得()2221,041,0441,44x x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()0f x ≥，且()0,0是函数()f x 与g()x 的图象的一个交点，当0k <时，()0g x <在()0,∞+上恒成立，与()f x 的图象无交点，在(),0∞-上，()g x 与()f x 的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当0k =时，()g x 与()f x 的图象有且仅有2个交点()()0,0,4,0，不合要求，舍去；当0k >时，若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则方程2211,44x x kx x x kx -+=-=均有正根，解得1244,44x k x k =-=+，由0440440k k k >⎧⎪->⎨⎪+>⎩，可得01k <<，所以实数k 的取值范围是()0,1；【小问2详解】由（1）可知，当()0,1k ∈时，()f x 与()g x 的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为1244,44x k x k =-=+，当()10,x x ∈时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当[]12,x x x ∈时，()()f x g x ≤，()(){}()max ,f x g x g x =，当()2,x x ∈+∞时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当3k 14≤<时，121,6x x <>，()()()16x g x x ϕ=≤≤，()66M k ϕ==，()1m k ϕ==，155,54M m k ⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭，当1324k ≤<时，1212,6x x <≤≥，()()()11,1,6f x x x x g x x x ϕ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，()f x 在[)11,x 上为增函数，且()g x 为增函数，故()x ϕ在[]1,6上为增函数，()66M k ϕ==，()314m f ==，39156,444M m k ⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭.当1412k <<时，1223,56x x <<<<，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===>，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()314m f ==，94M m -=；当104k <≤时，1234,45x x ≤<<≤，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===≤，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()()214444m f x f k k k ==-=-+，29443,34M m k k ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭；综上，当3k 14≤<时，6,M k m k ==；当1324k ≤<时，36,4M k m ==；当1412k <<时，33,4M m ==；当104k <≤时，23,44M m k k ==-+，M m -的取值范围为9,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。