初中数学二元二次方程组解法
初中二元二次方程的解法
初中二元二次方程的解法求解初中二元二次方程的一般解法如下：设二元二次方程为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0，其中 a、b、c、d、e 为已知常数。
为了求解这个方程，可以使用配方法，具体步骤如下：1. 将方程写成增量全平方形式，即将 ax^2 + cx 与 by^2 + dy 分别写成 (sqrt(a)*x + sqrt(c))^2和(sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 的形式。
可以做以下变换：ax^2 + cx = (sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 - c/aby^2 + dy = (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 - d/b2. 将方程化简为一个变量的一次方程。
将上述变换得到的结果，带入原方程，则有(sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 - c/a + (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 -d/b + e = 0化简得到(sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 + (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 = (c/a + d/b - e)3. 左侧是两个完全平方数的和，所以可以将其化简。
将 (sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 和 (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 分别提取出来，得到一个形如 p^2 + q^2 = r 的方程，其中 p = sqrt(a)*x + sqrt(c)，q = sqrt(b)*y + sqrt(d)，r = (c/a + d/b - e)。
4. 求解 p^2 + q^2 = r 的一般解。
根据平方和公式，可以将 p^2 + q^2 = r 化为 (p/r)^2 + (q/r)^2 = 1 的标准方程。
通过选取合适的参数，可以得到一般解。
综上所述，这是解决初中二元二次方程的一般解法。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是数学中的一种常见形式，其解法也是初中数学中的重要内容。
下面将介绍二元二次方程的解法及其相关概念。
一、二元二次方程的定义及形式二元二次方程是指含有两个变量的二次方程，一般形式为：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x和y为变量。
二、解二元二次方程的方法有多种，下面将介绍常用的两种解法：代入法和消元法。
代入法的步骤如下：步骤一：将一个方程中的一个变量用另一个方程中的另一个变量表示出来，然后带入另一个方程。
步骤二：将带入后得到的一元二次方程进行求解，得到变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
消元法的步骤如下：步骤一：通过适当的乘法或除法，使得两个方程中的某个系数相等或互为相反数。
步骤二：将消去得到的新方程进行求解，得到一个变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
三、二元二次方程解的情况分类在解二元二次方程时，根据不同情况，解的形式也会有所不同。
根据方程的判别式Δ的值，可将解分为三种情况：情况一：当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解，即方程有两个交点。
情况二：当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，即方程有一个切点。
情况三：当Δ < 0时，方程没有实数解，即方程没有交点。
四、实例解析现举例说明二元二次方程的解法：例题：解方程组x^2 + 3xy - 4y^2 - 2x + 4y - 1 = 02x^2 + 7xy - 6y^2 - 5x - 5y + 2 = 0解答：通过代入法解题，我们将第一个方程中的变量x用第二个方程中的变量y表示出来，得到：x = (6y^2 + 5y - 2) / (2y + 5)将x的表达式带入第一个方程中，得到关于y的一元二次方程： (6y^2 + 25y + 20) / (2y + 5) - 3y + (4y - 1) - 1 = 0化简为：4y^2 + 5y - 4 = 0解这个方程可得y的两个解为：y1 = 1/2，y2 = -2将y1和y2分别带入x的表达式中，可得x的两个对应解为：x1 = 41/14，x2 = 29/6因此，原方程的解为{(41/14, 1/2), (29/6, -2)}。
初中数学 二元二次方程组的解的表示方式有哪些
初中数学二元二次方程组的解的表示方式有哪些当我们使用各种方法求解二元二次方程组之后，我们需要将解的结果表示出来。
在不同的情况下，解的表示方式也不同。
下面将介绍二元二次方程组的解的常见表示方式。
1. 唯一解：如果二元二次方程组有唯一解，那么解可以表示为一个有序数对(x, y)。
这个有序数对是两个方程的交点，它同时满足两个方程。
例如，方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 0x - y = 3的唯一解可以表示为(4, 1)。
2. 无解：如果二元二次方程组无解，那么解的表示方式可以是“无解”。
这种情况下，两个方程的图像不相交，不存在交点。
例如，方程组：x^2 + y^2 = 5x^2 + y^2 = -1没有解。
3. 无穷多解：如果二元二次方程组有无穷多解，那么解的表示方式可以是参数化形式。
找到一个特殊解，然后引入参数表示其他解。
这个参数可以是任意实数。
例如，方程组：x^2 + y^2 = 1x - y = 0的通解可以表示为(cosθ, sinθ)，其中θ是任意实数。
4. 部分参数化形式：有些二元二次方程组的解可以用部分参数化形式表示。
这种情况下，一个未知数可以表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中。
例如，方程组：x^2 - y^2 = 4xy = -3的解可以表示为(2, -1) 和(-2, 1)。
5. 用矩阵和向量表示：另一种表示二元二次方程组解的方法是用矩阵和向量表示。
将方程组的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
例如，方程组：x^2 - 3xy + 2y^2 = 0x - 2y = 1可以写成矩阵形式为：[1 -2; 2 -3][x; y] = [1; 0]其中，左侧的矩阵为系数矩阵，右侧的向量为常数向量。
使用矩阵运算可以求解这个方程组的解。
以上是关于二元二次方程组解的常见表示方式的介绍。
理解和掌握这些内容可以帮助我们更好地理解和应用二元二次方程组的知识。
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。
2. 解二元二次方程的方法解二元二次方程组的方法有以下几种：（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
2. 消元法（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。
（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。
（4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。
（5）最后，验证所得的解是否满足原方程组。
3. 配方法（1）选取一个方程，将其中一个未知数配方后代入到另一个方程中。
二元二次方程组的解法
21.6（1）二元二次方程组的解法学习单姓名练习1 解下列方程组：;2003)1(22⎪⎩⎪⎨⎧=+=-y x y x ;073252)2(22⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-y x y x y x.127)3(⎩⎨⎧==+xy y x练习2 从方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+my x y x 822中消去y ，得到关于x 的二次方程，当m=3时，这个关于x 的方程有几个实数解？当m=4时呢？当m=5时呢？变式：当m 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+m y x y x 82（1）有两个不相等的实数解（2）有两个相等的实数解 （2）没有实数解请你构造一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，并使它的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422211y x y x 。
课后精练21.6（1）二元二次方程组的解法 巩固练习姓名知 识 梳 理解二元二次方程组的基本思想是，把它转化为解的问题。
解二元二次方程组⎩⎨⎧=+-+=-012122y y x y x 一般用法较简捷。
方程组⎩⎨⎧=-+=-100222y y x y x 消去x ，可得到关于y 的整式方程是知 识 应 用1．用代入消元法解方程组⎩⎨⎧==+86xy y x 可得它的解是___________________2．已知⎩⎨⎧==21y x 是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+04222ky x y x 的解，则k 的值为 3．若0212=-++-y x x 成立，则满足等式的x 、y 的值可取__________4．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=-422y x ay x 没有实数解，那么a 的取值范围是__________5．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=-=-44122y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+-029322y x y x ）（(3)⎩⎨⎧=-+++=+032722y x y x y x （4）⎩⎨⎧=++-=+42)(82x y x y x(5)⎩⎨⎧=+-=--1122y xy x y x （6）⎩⎨⎧=-++=-4934222y y xy x y x6．当k为何值时,方程组⎩⎨⎧-==+--ky x y x y 01242 （1）有两个不相等的实数解；（2）有两个相等的实数解；（3）没有实数解。
初中数学 二元二次方程组的解如何计算
初中数学二元二次方程组的解如何计算解二元二次方程组的方法有多种，下面将详细介绍常见的解法。
1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
以下是详细步骤来解二元二次方程组：1. 将方程组中的两个方程写成标准形式，确保二次项的系数为非零值。
2. 判断方程组的解的情况。
如果两个方程的系数和常数项完全相等，则方程组有无穷多解；如果方程组的系数和常数项有所差异，则方程组有唯一解或者无解。
3. 如果方程组有唯一解或者无解，可以使用消元法或代入法来求解。
通过消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
如果方程组无解，则无法找到满足两个方程同时成立的变量值。
4. 如果方程组有无穷多解，可以使用参数化表示来求解。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案(1)一、选择题1．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩. 【答案】12123232,22x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩. 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解. 【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1＝2，y 2＝﹣2④，将④代入③，得x 1＝32，2x ＝﹣32，所以，原方程组的解是11322x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 11322x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.2．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ，将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：，把，分别代入得：， ，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可3．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.4．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．5．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.6．解方程组【答案】原方程组的解为：， 【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.【详解】 解：把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，x 2+4x =0，解得：x =-4或x =0，当x =-4时，y =-3，当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.7．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② , 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．8．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则9．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．10．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.11．解方程组：222449x xyx xy y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩【解析】【分析】由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y1=32,y2=−32；②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33xy=-=⎧⎨⎩或33xy==-⎧⎨⎩.综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩.【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.12．解方程组:223403x xy yx y⎧--=⎨-=⎩【答案】1141xy=⎧⎨=⎩或223232xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得326y -±=⨯， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.13．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩；所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．14．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①② 由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．15．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】 解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①② ， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．16．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．17．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②．【答案】110{1x y ==-，2243{13xy =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2． 原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴CF=7， ∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．20．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是中学数学学习的重要内容之一，在初中阶段就开始接触和学习了。
本教案将从基础概念的讲解、解题方法的介绍以及练习题的提供三个方面，详细解析二元二次方程组的解法，以帮助学生更好地理解和掌握。
I. 概念讲解1. 二元二次方程组的定义二元二次方程组是由两个二次方程联立而成的方程组，通常形式为： a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 解的定义解是指使方程组中的所有方程同时成立的一组数值，也就是满足同时解方程组的变量值。
3. 二元二次方程组的解法解二元二次方程组可以通过以下两种方法进行：a) 代入法：将一方程的解代入另一方程中，消去一个变量，从而转化为一元二次方程，最后求解。
b) 消元法：利用消元法将方程组转化为较简单的形式，然后通过求解此简化方程组的方法得到解。
II. 解题方法的介绍1. 代入法的步骤a) 选择一个方程，通常选择其中一个系数较为简单的方程，用其中一变量表示，并将其代入另一方程。
b) 将代入后的方程化简为一元二次方程。
c) 求解一元二次方程得出解。
d) 将所求解代入原方程中，求出另一变量的值。
2. 消元法的步骤a) 通过消元法将其中一个变量的系数抵消，使方程组化简。
b) 将化简后的方程组转化为一元二次方程，求解得到一个变量的值。
c) 将所得的变量值代入原方程组中，求解得到另一变量的值。
III. 练习题1. 解下列二元二次方程组：a)2x² + 3xy + 2y² - 5x - 2y + 3 = 03x² + xy - 3y² - 2x - 5y + 1 = 0b)x² - xy - y² - 4x + 6y - 3 = 02x² + xy + 3y² + 16x - 2y - 1 = 0c)4x² + xy - 7y² + 3x - 2y - 7 = 0x² - 2xy - 3y² + 3x - 6y - 1 = 0IV. 解题步骤与答案1. 解题步骤a) 使用代入法解题的步骤：- 选取一个方程进行变量的代入，并将结果代入另一个方程中得到一元二次方程。
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2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程 22260x xy y x y +++++=
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2
y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组： 224310,210;
x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.
x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组
22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得
x ＝2y ＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y 2＋8y ＝0，
即 y (y ＋1)＝0．
解得 y 1＝0，y 2＝－1．
把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；
把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．
所以原方程组的解是
①②
112,0x y =⎧⎨=⎩， 220,1.
x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组
7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩ ① ②
解法一：由①，得
7.x y =- ③
把③代入②，整理，得
27120y y -+=
解这个方程，得
123,4y y ==．
把13y =代入③，得14x =；
把24y =代入③，得23x =．
所以原方程的解是
114,3x y =⎧⎨=⎩， 22
3,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二
次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元
二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来
求,x y ．
这个方程组的,x y 是一元二次方程
2
7120z z --=
的两个根，解这个方程，得
3z =，或4z =．
所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 22
3,4.x y =⎧⎨=⎩
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
2213,5
x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 的解?
（1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;
x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩
2．解下列方程组:
（1） 225,
625;y x x y =+⎧⎨+=⎩
（2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 2
2
1,54
3;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
2.3.1 二元二次方程组解法
练习
1.（1）（2）是方程的组解；（3）（4）不是方程组的解．
2．（1）1
115, 20,
x y =
⎧
⎨
=⎩
2
2
20,
15;
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
（2）1
1
5,
2,
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
2
2
2,
5;
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
（3）
5
,
3
4
.
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
（4）1
1
2,
2,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
2
2
2,
2.
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩。