向量知识点总结表格
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图〕。
运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律:(a + h) + ^=a + (b+^)⑶数乘分配律：A(a+b) = >M + Ab3.共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合, 那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，N平行于5,记作allb o 当我们说向量办5共线(或ab)时，表示办5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
(2)共线向量定理：空间任意两个向量旅b ^^6), ab 存在实数A,使a= Ah o4.共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果两个向量讣不共线，p与向量恥共面的条件是存在实数x, y使”=灯+ yb o5.空间向量根本定理：如果三个向量乳氏0不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组，使p = xci + yb + z,c。
假设三向量打f不共面，我们把｛a^c｝叫做空间的一个基底, 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O.A.B.C是不共面的四点，那么对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数兀,中，使OP = xOA^yOB + zOC o6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-小屮，对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组（“⑵，使5X岚+昴+齐，有序实数组g⑵叫作向量A在空间直角坐标系O-W中的坐标，记作*,y,z）, x叫横坐标，y叫纵坐标，乙叫竖坐标。
空间向量知识点归纳总结
适用标准文案空间向量知识点概括总结知识重点。
1.空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。
注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算以下（如图）。
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a(R)运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：⑶数乘分派律：3.共线向量。
(a b ) c a (b c) (a b )a b（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。
当我们说向量 a 、b共线（或 a //b）时，表示 a 、b的有向线段所在的直线可能是同向来线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间随意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间随意的两向量都是共面的。
（ 2）共面向量定理：假如两个向量a, b 不共线，p与向量 a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。
5. 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一直量p，存在一个独一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc。
若三向量 ab,,c不共面，我们把 { a, b, c} 叫做空间的一个基底，a,b , c 叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。
推论：设 O , A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在独一的三个有序实数x, y, z ，使OP xOA yOB zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系：（ 1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点 A ，存在独一的有序实数组( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 A(x, y,z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。
空间向量知识点归纳总结（经典）
空间向量知识点归纳总结（经典）空间向量与⽴体⼏何知识点归纳总结⼀．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。
注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三⾓形法则、平⾏四边形法则、平⾏六⾯体法则 3. 共线向量。
（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平⾏向量，a平⾏于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为±4. 共⾯向量（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。
说明：空间任意的两向量都是共⾯的。
（2）共⾯向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共⾯的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共⾯：若A 、B 、C 、P 四点共⾯<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共⾯，那么对空间任⼀向量p ，存在⼀个唯⼀的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共⾯，我们把{,,}a b c叫做空间的⼀个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共⾯的向量都可以构成空间的⼀个基底。
高中数学向量知识点归纳
高中数学向量知识点归纳
1. 向量的定义和表示
- 向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
- 向量的表示方法有坐标表示法和向量符号表示法。
2. 向量的加法和减法
- 向量的加法：将两个向量的对应方向上的分量相加，得到新的向量。
- 向量的减法：将被减向量取反，然后进行加法操作。
3. 向量的数量积和向量积
- 向量的数量积（又称点积或内积）：用数值表示两个向量的乘积，结果是一个标量。
- 向量的数量积公式：a·b = |a| |b| cosθ。
- 向量的向量积（又称叉积或外积）：用一个新的向量表示两个向量的乘积，结果是一个向量。
- 向量的向量积公式：c = a×b，其中 c 的模长等于|a| |b| sinθ。
4. 直线和平面向量的应用
- 在平面上，可以根据向量的性质求解直线的方程、判断点与直线的位置关系等。
- 在空间中，可以根据向量的性质求解平面的方程、判断点与平面的位置关系等。
5. 向量的线性运算
- 向量的线性运算包括数乘和线性组合。
- 数乘：将向量的每个分量都乘以一个实数。
- 线性组合：将多个向量以一定比例加和。
6. 向量的模和单位向量
- 向量的模是指向量的长度，可以用勾股定理求解。
- 单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模长求得。
以上是高中数学中向量知识点的归纳。
希望对你有所帮助！。
向量必修二知识点总结
向量必修二知识点总结一、向量的基本概念1. 定义向量是具有大小和方向的量，通常用带箭头的线段表示。
在平面直角坐标系中，一个向量可以用一个有序数对表示。
如表示向量$\overrightarrow{AB}$，可以写成$\overrightarrow{AB}=(x,y)$，其中$x$和$y$分别是向量的横坐标和纵坐标。
2. 向量的模向量的模表示向量的大小，可以用两点间距离的数值来表示。
在平面直角坐标系中，向量$\overrightarrow{AB}=(x,y)$的模记为$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}$。
3. 向量的方向角在平面直角坐标系中，向量$\overrightarrow{AB}=(x,y)$的方向角记为$\alpha$，其计算公式为$\tan \alpha=\frac{y}{x}$，其中$\alpha$是向量与$x$轴的夹角的正切值。
4. 平行向量若两向量的方向相同或相反，则这两向量是平行向量。
若向量$\overrightarrow{A}=(x_,y_)$和$\overrightarrow{B}=(x_2,y_2)$是平行向量，则有$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$。
5. 单位向量模为1的向量称为单位向量。
单位向量可以由任意非零向量除以其模得到。
如$\overrightarrow{A}=(x,y)$的单位向量记为$\vec{u}=\frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|}$。
6. 零向量模为0的向量称为零向量，记作$\overrightarrow{0}$。
零向量的方向是任意的。
二、向量的运算规则1. 向量的加法设有向量$\overrightarrow{A}=(x_,y_)$和$\overrightarrow{B}=(x_2,y_2)$，则它们的和记作$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
向量复习知识归纳
向量 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．1、实数与向量的积的运算律 ： 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) ： a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．性质：①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时， a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤ ．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的关系为：A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（ ）A 、090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．22B ．23C ．42D ．438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 （ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A ．322 B ．3152 C ．322-D ．3152-11、已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________.21、设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________22、P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________23、如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．24、已知向量a ＝（cos23x ，sin 23x ），b ＝（cos 2x ，—sin 2x ），且x ∈［2π，23π］.(1) 求b a ⋅及|a +b |；（II ）求函数f(x)＝b a ⋅-b a +的最小值。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结必修4 平⾯向量知识点⼩结⼀、向量的基本概念1.向量的概念：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，注意向量和数量的区别.向量常⽤有向线段来表⽰.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提⽰：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的⽅向是任意的；3.单位向量：长度为⼀个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且⽅向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平⾏向量（也叫共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量a r、b r 叫做平⾏向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平⾏.注：①相等向量⼀定是共线向量，但共线向量不⼀定相等；②两个向量平⾏与与两条直线平⾏是不同的两个概念：两个向量平⾏包含两个向量共线，但两条直线平⾏不包含两条直线重合；③平⾏向量⽆传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等⽅向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平⾏四边形.（4）若ABCD 是平⾏四边形，则AB DC =u u u r u u u u rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5）⼆、向量的表⽰⽅法1.⼏何表⽰：⽤带箭头的有向线段表⽰，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；2.符号表⽰：⽤⼀个⼩写的英⽂字母来表⽰，如a r ，b r，c r等； 3.坐标表⽰：在平⾯内建⽴直⾓坐标系，以与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平⾯内的任⼀向量a r可表⽰为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表⽰.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平⾯向量的基本定理定理设12,e e r r 同⼀平⾯内的⼀组基底向量，a r是该平⾯内任⼀向量，则存在唯⼀实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核⼼：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯⼀；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平⾯内所有向量基底的是 B(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ??=-r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC u u u r可⽤向量,a b r r 表⽰为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是⼀个向量，记作a λr，它的长度和⽅向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=?r r；（2）⽅向：当0λ>时，a λr 的⽅向与a r 的⽅向相同，当0λ<时，a λr的⽅向与a r的⽅向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平⾯向量的数量积1.两个向量的夹⾓：对于⾮零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹⾓.当0θ=时，a r ，b r 同向；当θπ=时，a r ，b r 反向；当2πθ=时，a r，b r垂直.2.平⾯向量的数量积：如果两个⾮零向量a r ，b r，它们的夹⾓为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?r r ，即||||cos ab a b θ?=?r r r r. 规定：零向量与任⼀向量的数量积是0.注：数量积是⼀个实数，不再是⼀个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ?=u u u r u u u r _________. 结果：9-.（2）已知11,2a ??=r ，10,2b ??=- r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹⾓为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ?=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个⾮零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹⾓为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是⼀个实数，但不⼀定⼤于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ?=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ?r r 的⼏何意义：数量积a b ?r r 等于a r 的模||a r 与b r 在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个⾮零向量a r，b r ，其夹⾓为θ，则：（1）0a b a b ⊥??=r r r r；（2）当a r、b r 同向时，||||ab a b ?=?r r r r ，特别地，22||||a a a a a =?=?=r r r r r ||||a b a b ?=?r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||a b a b ?=-?r r r r ，||||a b a b ?=-?r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐⾓时，0a b ?>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ?>r r 是θ为锐⾓的必要不充分条件；当θ为钝⾓时，0a b ?、b r 不反向；0a b ?（3）⾮零向量a r，b r 夹⾓θ的计算公式：cos ||||a b a b θ?=r r r r ；④||||a b a b ?≤r r r r .举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹⾓为锐⾓，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；取值范围是_________. 结果：,43ππ??；（3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满⾜|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①⽤k 表⽰a b ?r r ；②求a b ?rr 的最⼩值，并求此时a r 与b r 的夹⾓θ的⼤⼩.结果：①21(0)4k a b k k +?=>r r ；②最⼩值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.⼏何运算（1）向量加法运算法则：①平⾏四边形法则；②三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平⾏四边形法则只适⽤于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正⽅形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r . 结果：（3）若O 是ABC △所在平⾯内⼀点，且满⾜2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC △的形状为. 结果：直⾓三⾓形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平⾯内有⼀点P ，满⾜0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外⼼，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC △的内⾓C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)ab x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--rr . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第⼀、三象限的⾓平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作⽤在点(1,1)A 的三个⼒1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合⼒123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即⼀个向量的坐标等于表⽰这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3 -. （4）平⾯向量数量积：1212ab x x y y ?=+rr. 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹⾓；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=?r r 的最⼤值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+?=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹⾓为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平⾯斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同⽅向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆⼼，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的⽅程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λµλµ=r r，a b b a ?=?r r r r ；2.结合律：()a b c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=?=?r r r r r r ；3.分配律：()a a a λµλµ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ??=??r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ?=?r rr r 则a c =r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a=r rr r r ；⑧222()a b a b ?=?rr r r ；⑨222()2a b a a b b -=-?+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地⽅也有区别：对于⼀个向量等式，可以移项，两边平⽅、两边同乘以⼀个实数，两边同时取模，两边同乘以⼀个向量，但不能两边同除以⼀个向量，即两边不能约去⼀个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满⾜结合律，即()()a b c a b c ??≠??r r r r r r，为什么？⼋、向量平⾏(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ=?-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且⽅向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥- ? ? ? ?????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直⾓三⾓形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.⼗、线段的定⽐分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意⼀点，若存在⼀个实数λ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的⽐λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定⽐为λ的定⽐分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ?>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ?<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ?-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的⽐为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的⽐为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的⽐为34，则A 分BP u u u r所成的⽐为 . 结果：73-. 3.线段的定⽐分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，则定⽐分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+?=??+≠-?+?=?+?. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +?=+?=?? 说明：（1）在使⽤定⽐分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定⽐λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. ⼗⼀、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移⾄(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+??'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. ⼗⼆、向量中⼀些常⽤的结论1.⼀个封闭图形⾸尾连接⽽成的向量和为零向量，要注意运⽤；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r rr r r.（1）右边等号成⽴条件： a b rr 、同向或 a b rr 、中有0r||||||a b a b ?+=+rrr r ；（2）左边等号成⽴条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ?-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+r r r r r r.3.三⾓形重⼼公式在ABC △中，若A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重⼼的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重⼼的坐标为 .结果：24,33??-. 5.三⾓形“三⼼”的向量表⽰（1）1()3PG PA PB PC G =++?u u u ru u u r u u u r u u u r为△ABC 的重⼼，特别地0PA PB PC G++=?u u u r u u u r u u u rr为△ABC 的重⼼.（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂⼼.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内⼼；向量(0)||||AB AC AB AC λλ??+≠ ? ???u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内⼼. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，若M为平⾯内的任⼀点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点12MP MPMP +?=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平⾯直⾓坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满⾜12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
数学高一向量知识点导图
数学高一向量知识点导图高一数学是学生们接触向量的第一年。
向量作为一个重要的数学概念，是几何与代数相结合的产物。
熟练掌握向量的基本概念和运算法则，对于进一步学习数学和理解物理等学科知识都具有重要的意义。
下面将以向量的基本知识、向量的运算、向量的坐标表示以及向量的应用四个方面展开阐述。
一、向量的基本知识向量是有大小和方向的。
在平面上，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的大小可以用绝对值来表示，记作∥A∥；向量的方向可以用一个角度来表示，记作∠AOX。
一般情况下，我们用字母（如A、B、C 等）来表示向量，向量也可以用有向线段ij、向量符号→在上方表示。
向量的起点是A，终点是B，用AB表示。
二、向量的运算向量的运算主要包括加法和数乘两种。
1. 向量的加法：将两个向量首尾相接，得到连接起点和终点的新向量。
向量的加法满足以下性质：交换律、结合律和零向量。
2. 向量的数乘：将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。
数乘的运算规律是：k(A+B)=kA+kB和(k+m)A=kA+mA。
三、向量的坐标表示在平面直角坐标系下，我们可以用坐标表示向量。
设点A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，向量AB可以用点的坐标表示为向量a （x2-x1，y2-y1）。
四、向量的应用向量在物理学、几何学等学科中都有广泛的应用。
1. 物理学：力和速度等物理量都可以用向量来表示。
力的合成是向量的重要应用之一，通过合成力，我们可以求出物体所受合力的大小和方向，从而分析物体的运动状态。
速度是位移随时间的变化率，可以用向量来表示，通过计算速度的模和方向，可以研究物体在运动过程中的变化情况。
2. 几何学：向量在几何学中的应用非常广泛。
例如，平面向量可以用于平面图形的平移、旋转和缩放等操作中。
通过向量运算，我们可以方便地计算线段的长度、角的余弦、正弦等，进而解决几何问题。
综上所述，向量作为一个重要的数学概念，在高中数学中占有重要地位。