2021版新高考数学(B)人教A版一轮复习单元质检卷二函数

合集下载

2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象如图所示．易知点A (2，1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)．【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7，所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立，故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。

2021届高考数学一轮复习：第09章平面解析几何检测B卷单元检测(人教版A)(解析版)

平面解析几何章节验收测试卷B 卷姓名班级准考证号1．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线【答案】B 【解析】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=，当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线，当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则22BC CD h =+，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则22()CA x a y =++，22()CD x a y =-+，222()CB x a y h =-++，∴22222()2()x a y h x a y -++=++，化简可得2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆．故选：B ．2．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（）A ．24-B ．14-C ．36-D ．33-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =u u u u r u u u u r ，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k=-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④．由③④可得2112k =，∵k 0<．∴3k =. 故选：C ．3．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（） A ．5π B ．4π C ．6π D ．3π 【答案】D 【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（，可得1222PF PF a -==，可得a=1，22213b =-可得渐近线方程为：3y x =，可得双曲线的渐近线的夹角为3π，故选D.4．已知,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-,且满足MA MB ^,则MA BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（） A ．[]3,4 B ．9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,9D ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-为其左焦点.MA MB ^，则有0MA MB ⋅=u u u r u u u r.2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设(,)M x y ，则223(1)4x y =-.222222211(1)(1)3(1)24(4)444x MA x y x x x x =++=++-=++=+u u u r .由[2,2]x ∈-，得221(4)[1,9]4MA x =+∈u u u r .故选C.5．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 12BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（）A ．2B ．3C ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，13AD =，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，3BE =，所以11PC =. 故选C .6．下列命题中：①若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；②将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件； ④已知()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R +=与该圆相交.其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】对于①，若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；故①正确；对于②，将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故②错误；对于③，“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件，故③正确；对于④，因为()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则20022x y R +<，所以圆心()0,0到直线200x x y y R +=的距离d R =>，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:4C x y b +-=与l 交于第一象限A 、B 两点，若3ACB π∠=，且3OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A．3 B．3 C．5D．3【答案】D 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为：b y x a =圆()22:4C x y b +-=的圆心坐标为()0,b ，半径为23ACB π∠=Q ABC ∆∴是边长为2的等边三角形∴2AB =，圆心到直线by x a=又2AB OB OA OA =-= 1OA ∴=，3OB = 在OBC ∆，OAC ∆中，由余弦定理得：2223414cos cos 62b b BOC AOC b b+-+-∠=∠==，解得：b =圆心到直线b y x a =c ab ==3c e a ∴===本题正确选项：D8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若MN =，则双曲线C 的离心率为（） A ．35 B ．53C ．3D ．13【答案】C 【解析】双曲线的渐近线的方程为b y x a=±， ∵直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-，∴直线l 的方程为2a c y x b b=-，即20ax by c --=，∵双曲线的右焦点为(),0c ，其到l的距离d c a ==-，又∵半径为c 的圆Ω与直线l 交于,M N两点且MN =， ∴()22259c a c c -+=，化简得2251890c ac a -+=，即()()3530c a c a --=，得3c a =或35c a =，即3ce a==或35（舍去），故选C.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y xa =±b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±. 10．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+，由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…，所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.11．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 是直线：3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 3220x y +-=上任一点，可得31y x =，可得312x y x x +=+-，当0x ≤时，[]31112OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]31123OP x ⎛⎛=+-∈ ⎝⎝⎭；当3x ≥[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确．则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．12．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 为12PF F V 的内心，若121212MPF MPF MF F S S S =+V V V 成立，则双曲线的离心率为( )A ．4B ．52C ．2D ．53【答案】C 【解析】如图，设圆M 与12PF F V 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ，则12ME F F ⊥，1MF PF ⊥，2MG PF ⊥，它们分别是12MF F V ，1MPF V ，2MPF V 的高， 111122MPF rS PF MF PF ∴=⨯⨯=V ，222122MPF rS PF MG PF V =⨯⨯=121212122MF F rS F F ME F F =⨯⨯=V ，其中r 是12PF F V 的内切圆的半径．121212MPF MPF MF F S S S =+V V V Q1212224r r rPF PF F F ∴=+ 两边约去2r得：121212PF PF F F =+121212PF PF F F ∴-=根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =2a c ∴=⇒离心率为2ce a== 故选：C ．13．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.【答案】3 【解析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=，即222b a a +-=，所以b =，而c =所以c ，因此ce a==即双曲线的离心率为.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e =本题正确结果：1315．已知椭圆2243x y +=1的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点M ，设M 的坐标为()00,x y ，若12l l ⊥，则下列结论序号正确的有______．①204x +203y ＜1②204x +203y ＞1③04x +03y ＜1 ④2200431x y +>【答案】①③④ 【解析】()()121,0,1,0F F -，因为12l l ⊥，120MF MF =u u u u r u u u u rg ，所以()()()()0000110x x y y --⨯-+-⨯-=即22001x y +=，M 在圆221x y +=上，它在椭圆的内部，故2200143x y +<，故①正确，②错误； O 到直线143x y +=的距离为3412155⨯=>，O 在直线143x y+=的下方，故圆221x y +=在其下方即00143x y +<，故③正确；22220000431x y x y +≥+=，但222200004,3x x y y ==不同时成立，故22220000431x y x y +>+=，故④成立，综上，填①③④．16．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB-=__________．【答案】17【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭,由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ，由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得=--A B A B y y y y ，则17FA FB AB-=，17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+，以k-替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，2222124||1313k k PQ k k --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r 221602301396k k =≤++，当2219k k =时，即33k =±时取等号， max 230||PQ =u u u r ，又||10AB =u u u r，max23023310λ==，∴λ取得最大值时的PQ 的长为230． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=.（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值；（2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；103λ=（2）37⎢⎣⎦【解析】（1）因为2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为()2,3，所以2224a b c -==，22491a b +=，解得216a =，212b =，所以椭圆的方程为2211612x y +=.所以()12,0F -，直线1PF 的方程为()324y x =+，将()324y x =+代入椭圆C 的方程，解得267Q x =-，所以126210726327P Q F Q x x PQ FQ x x λ+-====--+. （2）因为2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，()0,P c y ，00y >.设()11,Q x y ，因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （方法一）因为()1,0F c -，由1PQ FQ λ=得，()11c x c x λ-=--，211by y aλ-=-，解得111x c λλ+=--，()211b y a λ=--，所以()21,11b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 因为点Q 在椭圆上，所以()222221111b e aλλλ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭-，即()()()2222111e e λλ++-=-，所以2(2)2e λλ+=-，从而222e λλ-=+. 因为45λ≤≤，所以21337e ≤≤.7e ≤≤，所以椭圆C的离心率的取值范围⎣⎦.19．已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =，得椭圆过点⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又2c e a ===，得224a b =，所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>，得2214m k <+. 由122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-， ∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--. 即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点．【答案】（1）2；（2）见解析【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=-+，所以1222ty y 3k 1+=+，由于E 为线段AB 的中点，因此E E223kt tx y 3k 13k 1，=-=++，此时E OE E y 1k x 3k ==-，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=-，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1，所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2．（2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k=-，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得22G 3k 13k 1⎛⎫ ++⎝，，又221E D 3k 3k 13k 1，，，⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭++⎝，由距离公式及t ＞0得22222229k 1|OG |((3k 13k 13k 1+=+=+++，()22219k 1OD 3k +⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，2222223kt t 9k 1OE 3k 13k 13k 1⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．21．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ，B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ，求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=（2）见证明【解析】（1）设(),P x y ，由动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F=2212x y +=.（2）设AB 的直线方程为1x my =+，则NF 的直线方程为()1y m x =--，联立()12y m x x ⎧=--⎨=⎩，解得()2,N m -，∴直线ON 的方程为2m y x =-，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222my y m +=-+，设AB 的中点为()00,M x y ，则120222y y my m +==-+， ∴002212x my m =+=+，∴222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++， ∴点M 在直线ON 上，∴ON 平分线段AB .22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>P的坐标为2⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1624 【解析】（1）由已知2c e a ==，又222a b c =+，则2a b =. 椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线AB 的方程x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由11(2,)CA x y =-u u u r ，22(2,)CB x y =-u u u r得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍），则直线l 恒过点6(,0)5.∴1211||22ABCS DC y y ∆=-== 设211(0)44t t k =<≤+，则ABC S ∆=在1(0,]4t ∈上单调递增，当14t =时，ABC S ∆取得最大值1624.。

新高考数学一轮复习单元质检卷二函数新人教A版高三全册数学试题

单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是()A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x2.若a=1223,b=1523,c=1213,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c3.函数f(x)=x22|x|-4的图象大致为()4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(a)<f(b)C.f(c)<f(b)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)]恒成立,则a的最小值是()5.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12D.-3A.0B.-2C.-52)x-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()6.已知函数f(x)=(12A.1B.2C.3D.47.已知函数f(x)是偶函数,定义域为R,单调增区间为[0,+∞),且f(1)=0,则(x-1)f(x-1)≤0的解集为()A.[-2,0]B.[-1,1]C.(-∞,0]∪[1,2]D.(-∞,-1]∪[0,1]-λ=0有四个8.已知函数f(x)=|x|·e x(x≠0),其中e为自然对数的底数,关于x的方程f(x)+2x(x)相异实根,则实数λ的取值范围是()A.0,1eB.(2√2,+∞),+∞C.e+2e,+∞D.2e+1e二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.(山东高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数10.若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是()A.2B.12C.3 D.1311.(2019江苏南京期中)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品12.(2019山东黄岛期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x);②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有x(x2)-x(x1)x2-x1>0;③f(-1)=0.则下列选项成立的是()A.f (3)>f (-4)B.若f (m-1)<f (2),则m ∈(-∞,3)C.若x (x )x >0,则x ∈(-1,0)∪(1,+∞)D.∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,则f (f (-2))= ;若f (a )=2,则实数a= .14.若函数f (x )=log a (x+5)+1(a>0且a ≠1),图象恒过定点P (m ,n ),则m+n= ;函数g (x )=ln(x 2+m )的单调递增区间为 .15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f (x ),如果存在x 0≠0,使得f (x 0)=-f (-x 0),则称(x 0,f (x 0))与(-x 0,f (-x 0))为函数图象的一组奇对称点.若f (x )=e x-a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a 的取值范围是 .16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD ,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为9√3平方米,且高度不低于√3米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的取值范围为 .四、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=xx-2,其中a∈R.x+2(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f (x )在x=x +22处取得最小值-x 24(t ≠0),且f (1)=0.(1)求y=f (x )的表达式;]上的最小值为-5,求此时t的值.(2)若函数y=f(x)在区间[-1,12-2),其中x>0,a>0.21.(14分)已知函数f(x)=lg(x+xx(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.C A选项:当x>0时,y=(12)x,此时函数单调递减,故A错误;B选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B错误;C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x2+2x,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;D选项:y=2-x=(12)x为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D错误.2.D∵y=x23(x>0)是增函数,∴a=1223>b=1523.∵y=12x是减函数,∴a=1223<c=1213,∴b<a<c.3.D 根据题干中的表达式得|x|≠2,故f (x )为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x 从x 轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+∞,故排除C,故选D .4.D ∵0<a=log 52<log 5√5=12,1>b=ln2>ln √e =12,∴f (a )<f (b )<f (1),又f (c )=f (-20.1)=f (20.1)>f (1),∴f (a )<f (b )<f (c ),故选D .5.C x 2+ax+1≥0(0<x ≤12)⇔ax ≥-(x 2+1)⇔a ≥-(x +1x),∵函数f (x )=x+1x 在(0,1)上是减函数,∴当x ∈(0,12]时,f (x )≥f (12)=12+2=52,∴[-(x +1x )]max=-52,即a ≥-52,a 的最小值是-52.6.B 函数f (x )=(12)x-sin x 在[0,2π]上的零点个数为函数y=(12)x的图象与函数y=sin x 的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B .7.C 由题意可知,函数f (x )在(-∞,0]上单调递减,且f (-1)=0,令x-1=t ,则tf (t )≤0.∴当t ≥0时,f (t )≤0,0≤t ≤1;当t<0,f (t )≥0,t ≤-1,∴0≤x-1≤1或x-1≤-1.∴x ≤0或1≤x ≤2.故选C .8.D f (x )=|x|·e x={x ·e x ,x >0,-x ·e x ,x <0.当x>0时,由f (x )=x ·e x ,得f'(x )=e x +x ·e x =e x(x+1)>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数;当x<0时,由f (x )=-x ·e x ,得f'(x )=-e x -x ·e x =-e x(x+1).当x ∈(-∞,-1)时,f'(x )>0;当x ∈(-1,0)时,f'(x )<0,∴当x=-1时,函数f (x )取得极大值为f (-1)=1e .作出函数f (x )=|x|·e x (x ≠0)的图象的大致形状如图所示.令f (x )=t ,则方程f (x )+2x (x )-λ=0化为t+2x-λ=0,即t 2-λt+2=0, 要使关于x 的方程f (x )+2x (x )-λ=0有四个相异实根,则方程t 2-λt+2=0的两根一个在0,1e 上,一个在1e,+∞上.则1e 2−x e +2<0,解得λ>2e +1e .∴实数λ的取值范围是2e+1e ,+∞.故选D .9.ABC ∵f (x+1)与f (x+2)都为奇函数,∴f (-x+1)=-f (x+1),①f (-x+2)=-f (x+2),②∴由①可得f [-(x+1)+1]=-f (x+1+1),即f (-x )=-f (x+2),③∴由②③得f (-x )=f (-x+2),即f (x )的周期为2,∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,当a>1时,可得y min=1x,y max=a,那么1x +a=52,解得a=2,当0<a<1时,可得y max=1x,y min=a,那么1x +a=52,解得a=12,故a的值可能是12或2.故选AB.11.BD由该车间5小时某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象,得:前三小时内,每小时的产量逐步减少,故①错误,②正确;最后两小时均没有生产,故③错误,④正确.故选BD.12.CD定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x),说明函数是偶函数;②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有x(x2)-x(x1)x2-x1>0,说明函数在(0,+∞)是增函数;③f(-1)=0.所以f(3)<f(4)=f(-4)成立,所以A不正确;若f (m-1)<f (2),可得|m-1|<2,则m ∈(-1,3),所以B 不正确;由题意y=x (x )x 是奇函数,若x (x )x>0,又f (-1)=0,可得x ∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C 正确;因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M ,正确;故选CD.13.√2 -2或4 ∵函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,∴f (-2)=|-2|=2,f (f (-2))=f (2)=√2;∵f (a )=2,∴当a ≤0时,f (a )=|a|=2,解得a=-2;当a>0时,f (a )=√x =2,解得a=4.综上,实数a 的值为-2或4.14.-3 (2,+∞) 当x+5=1时,即x=-4,不论a 为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;∴函数g (x )=ln(x 2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u (x )=x 2-4,u (x )>0,递增区间为(2,+∞),g (u )=ln u 在定义域内为增函数,复合函数g (u (x ))根据同增异减性质,函数g (x )递增区间为(2,+∞).15.(1,+∞) 依题意,知f (x )=-f (-x )有非零解,由f (x )=-f (-x )得e x -a=-(e -x-a ),即a=12e x+1e x>1(x ≠0),所以当f (x )=e x -a 存在奇对称点时,实数a 的取值范围是(1,+∞).16.[3,4] 根据题意知9√3=12(AD+BC )h ,其中AD=BC+2×x2=BC+x ,h=√32x ,所以9√3=12(2BC+x )√32x ,得BC=18x −x2,由{x =√32x ≥√3,xx =18x -x2>0,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x +3x 2(2≤x<6),由y=18x +3x 2≤10.5,解得3≤x ≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4].17.解(1)不等式f (x )≤-1即为xx -2x +2≤-1⇔(x +1)xx +2≤0.当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞);当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);当a>-1时,不等式解集为(-2,0].(2)任取0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=xx 1-2x1+2−xx 2-2x 2+2=2(x +1)(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2),∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+2>0,x 2+2>0,∴要使f (x )在(0,+∞)上单调递减,即f (x 1)-f (x 2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f (x )在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.解(1)E=f (t )={x 2+20x +16,0<x ≤3,85,3<x ≤5,335-50x ,x >5,t=6时,E (6)=35.(2)0<t ≤3时,H (t )=t+16xx+20,H (t )≥24⇒t+16xx≥4,由0<t ≤3,得a ≥-116t 2+14t=-116(t-2)2+14≥14.所以a ∈14,+∞.19.解(1)设每团人数为x ,由题意得0<x ≤75(x ∈N *),飞机票价格为y 元,则y={900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y={900,0<x ≤30,1200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S={900x -15000,0<x ≤30,1200x -10x 2-15000,30<x ≤75,即S={900x -15000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21000,30<x ≤75.因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S 取最大值12000.又S=-10(x-60)2+21000,x ∈(30,75],所以当x=60时,S 取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解(1)设f (x )=a (x -x +22)2−x 24(a>0).因为f (1)=0,所以x 24(a-1)=0.又因为t ≠0,所以a=1,所以f (x )=(x -x +22)2−x 24(t ≠0).(2)因为f (x )=(x -x +22)2−x 24(t ≠0),所以当x +22<-1,即t<-4时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (-1)=(-1-x +22)2−x 24=-5,所以t=-92;当-1≤x +22≤12,即-4≤t ≤-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (x +22)=-x 24=-5,所以t=±2√5(舍去);当x +22>12,即t>-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (12)=(12-x +22)2−x 24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92. 21.解(1)由x+xx -2>0,得x 2-2x +xx>0.因为x>0,所以x 2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-√1-x或x>1+√1-x}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+xx-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-(x-32)2+94在[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.。

届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析

第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。

利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。

（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。

（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。

图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。

诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章函数第3节函数的奇偶性、周期性与对称性

定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义
域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×
偶=偶,奇×偶=奇.

所以函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,f( )=f( -2)=f(- )= .

故选 C.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
2x3-3x+1,则f(-3)=-(-54+9+1)=44.

是奇函数,且单调递增,

故原不等式等价于 f(x)- ≤ -f(a-2x),

即(-) ≤-(--) =(2x-a+1)

,
所以 x-1≤2x-a+1,
所以 x+2≥a 在任意的 x∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在
定义域为 R,g(-x)=ln( + -x),
而 g(-x)+g(x)=ln( + -x)+ln( + +x)=0,符合题意.故选 ABD.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数

2021-2022年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数1 第8讲函数与方程习题理

2021年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数1 第8讲函数与方程习题理新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ，又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。

2021届高考数学人教B版一轮单元质量测试2

单元质量测试(二)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·四川省一诊)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >1，x 2＋1，x ≤1，则f (2)－f (1)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >1，x 2＋1，x ≤1，∴f (2)＝2，f (1)＝1＋1＝2，∴f (2)－f (1)＝2－2＝0.2．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13答案 C解析设f (x )＝x n，则f (4)f (2)＝4n 2n ＝2n ＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝12n ＝13，故选C.3．(2020·柳州摸底)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)，若当x ∈[0,3]时，f (x )＝6－x ，则f (2021)＝( )A ．36B ．136C ．6D ．16答案 D解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.又f (x )是偶函数，且当x ∈[0,3]时，f (x )＝6－x ，∴f (2021)＝f (5＋336×6)＝f (5)＝f (－1)＝f (1)＝6－1＝16.故选D.5．(2019·湖南湘中名校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3 C.π4＋43 D ．π4＋3答案 A解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝π2×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |21＝π2＋43.6．函数f (x )＝e |x |x 2－1的图象大致为( )答案 A解析 ∵f (－x )＝e |－x |(－x )2－1＝e |x |x 2－1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；f (0)＝e 00－1＝－1＜0，排除C ；当x →＋∞时，e |x |的递增速度大于x 2－1的递增速度，即f (x )→＋∞，排除B.故选A.7．(2020·四川广元摸底)我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过1小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }答案 C解析当x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.8．(2019·长沙一模)下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是( )A ．f (x )＝sin x －xB ．f (x )＝ln(x －1)－ln(x ＋1)C ．f (x )＝e x ＋e －x 2D ．f (x )＝e x －1e x ＋1答案 D解析由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于0.A 中，f ′(x )＝cos x －1>0无解，故不满足题意；B 中，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，其图象不关于原点对称，故不满足题意；C 中，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故不满足题意；D 中，f (x )＝e x －1e x＋1＝1－2e x ＋1，所以f (x )在定义域内单调递增，又f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝－e x －1e x ＋1＝－f (x )，所以f (x )的图象关于原点对称，满足题意．故选D.9．(2019·南昌调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0恒成立，则( )A ．4f (－2)<9f (3)B ．4f (－2)>9f (3)C ．2f (3)>3f (－2)D ．3f (－3)<2f (－2)答案 A解析根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导函数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0恒成立，则当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，则有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3)．故选A.10．(2019·榆林一模)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (log 4x )＞2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22答案 A解析由题意知，不等式f (log 4x )＞2，即f (log 4x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴log 4x ＞12＝log 42或log 4x ＜－12＝log 412，∴0＜x ＜12或x ＞2，故选A.11．(2019·成都一诊)已知函数f (x )＝3x ＋2cos x .若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a答案 D解析由题意，得f ′(x )＝3－2sin x .因为－1≤sin x ≤1，所以f ′(x )>0恒成立，所以函数f (x )是增函数．因为2>1，所以32>3.又log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，所以2<log 27<32，所以f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a ，故选D.12．(2019·陕西九校质量考评)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xex ，x ≥0，－x ，x ＜0，又函数g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2＋1e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋1e ，－2 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，e 2＋1e 答案 A解析由已知有f (x )＝xe x (x ≥0)，f ′(x )＝1－x e x ，易得0≤x ＜1时，f ′(x )＞0，x ＞1时，f ′(x )＜0，即f (x )在[0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，设m ＝f (x )，则h (m )＝m 2＋tm ＋1，设h (m )＝m 2＋tm ＋1的零点为m 1，m 2，则g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，等价于m ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的交点有4个，函数m ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的位置关系如图所示，由图知，0＜m 2＜1e ＜m 1，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＜0，解得t ＜－e 2＋1e ，故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析由条件可得⎩⎨⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．14．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 0<m ≤3解析由已知得m >0，且m ×0＋m －1≤2，故0<m ≤3.15．(2019·东北三省四市联考)设函数f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x (x ≥－1)，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为________．答案 1－1e解析 ∵f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0有解，∴a ≥x 3－3x ＋3－xe x 有解．令g (x )＝x 3－3x ＋3－x e x ，则g ′(x )＝3x 2－3＋x －1e x ＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3＋1e x ，故当x ∈[－1,1)时，g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )在[－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )min ＝g (1)＝1－3＋3－1e ＝1－1e ，∴a ≥1－1e ，∴实数a 的最小值为1－1e .16．(2019·东北三校高三一模)已知f (x )＝axx 2＋c ＋b ，g (x )＝f 2(x )－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①f (x )关于点(0，b )成中心对称； ②f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③存在M >0，使|f (x )|≤M ； ④若g (x )有零点，则b ＝0；⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}．答案 ①③⑤ 解析 h (x )＝ax x 2＋c 为奇函数，f (x )＝axx 2＋c＋b 为h (x )上下平移得到，故①正确．f (x )＝ax x 2＋c＋b ＝a x ＋c x＋b ，c >0，因为x ＋cx 在(0，c )上单调递减，在(c ，＋∞)上单调递增，故②错误．x ＋c x ∈[2c ，＋∞)∪(－∞，－2c ]，所以a x ＋c x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，|a |2c ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－|a |2c ，0.故存在M >0，使|f (x )|≤M ，故③正确．当b ＝1时，g (0)＝f 2(0)－1＝[f (0)－1][f (0)＋1]＝(b －1)(b ＋1)＝0，g (x )有零点，故④错误；取a ＝3，b ＝0，c ＝2，则g (x )＝0的解集为{1，－1,2，－2}，⑤正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－214，又x ∈[－2,3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意；③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)，令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13.18．(2019·贵阳模拟)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(2－x )－log 2(x ＋2)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并加以证明；(3)若f (x )<log 2(ax )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，求实数a 的范围．解 (1)由⎩⎨⎧2－x >0，x ＋2>0，得－2<x <2.所以函数f (x )的定义域为(－2,2)．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)的结论可知f (x )的定义域关于原点对称，又因为f (－x )＝log 2(2＋x )－log 2(－x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)由f (x )＝log 2(2－x )－log 2(x ＋2)<log 2(ax )，得log 22－x x ＋2<log 2(ax )，因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以2－x x ＋2<ax ，则ax 2＋(2a ＋1)x －2>0，令h (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x －2，则h (x )>0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，又因为a >0，对称轴为直线x ＝－2a －12a <0，由图象可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5a 4－32>0，得a >65. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式； (2)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2022)的值．解 (1)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x －1，x ∈[1,2]． (2)已知函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，且f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2022)＝505×(0＋1＋0－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝1. 20．(2019·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480，m >30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解 (1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y＝p (x )x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．所以若使每台机器人的平均成本最低，应买300台． (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480，m >30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m ·(60－m )＝－160m 2＋9600m ，所以当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144000件．当m >30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)．所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200＝120(人)．所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.21．(2019·成都一诊)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x －e xx ＋ax ，a ∈R .(1)当a <0时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，若关于x 的不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．解 (1)由题意，知f ′(x )＝－a x －x e x－exx 2＋a ＝(ax －e x)(x －1)x 2.∵当a <0，x >0时，有ax －e x <0，∴当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x－bx ≥1恒成立，即x e x －ln x ＋(1－b )x ≥1恒成立，即b －1≤e x －ln x x －1x 恒成立．设g (x )＝e x －ln x x －1x ，则g ′(x )＝e x－1－ln x x 2＋1x 2＝x 2e x ＋ln x x 2. 设h (x )＝x 2e x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1x .∵当x ＞0时，有h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (1)＝e>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 4－ln 2<0， ∴函数h (x )有唯一的零点x 0，且12＜x 0＜1.∴当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．即g (x 0)为g (x )在定义域内的最小值．∴b －1≤e x 0－ln x 0x 0－1x 0. ∵h (x 0)＝0，∴x 0e x 0＝－ln x 0x 0，12＜x 0＜1.(*) 令k (x )＝x e x ，12＜x ＜1，∴方程(*)等价于k (x 0)＝k (－ln x 0)，12＜x 0＜1.而k ′(x )＝(x ＋1)e x 在(0，＋∞)上恒大于零，∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增．故k (x 0)＝k (－ln x 0)，12＜x 0＜1等价于x 0＝－ln x 0，12＜x 0＜1，∴e x 0＝1x 0. 故g (x )的最小值g (x 0)＝e x 0－ln x 0x 0－1x 0＝1x 0－(－x 0)x 0－1x 0＝1. ∴b －1≤1，即b ≤2.故实数b 的取值范围为(－∞，2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－12x2－ax有两个极值点x1，x2(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：f(x1)＋f(x2)>2.解(1)∵f(x)＝e x－12x2－ax，∴f′(x)＝e x－x－a.设g(x)＝e x－x－a，则g′(x)＝e x－1.令g′(x)＝e x－1＝0，解得x＝0.∴当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．∴g(x)min＝g(0)＝1－a.当a≤1时，f′(x)＝g(x)≥0，函数f(x)单调递增，无极值点；当a>1时，g(0)＝1－a<0，且当x→＋∞时，g(x)→＋∞；当x→－∞时，g(x)→＋∞.∴当a>1时，f′(x)＝g(x)＝e x－x－a有两个零点x1，x2.不妨设x1<x2，则x1<0<x2.∴函数f(x)有两个极值点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)＝0的两个实数根，x1<0<x2，且g(x)在(－∞，0)上单调递减．下面先证x1<－x2<0，只需证g(－x2)<0.∵g(x2)＝e x2－x2－a＝0，∴a＝e x2－x2，∴g(－x2)＝e－x2＋x2－a＝e－x2－e x2＋2x2.设h(x)＝e－x－e x＋2x(x>0)，则h′(x)＝－1e x－e x＋2<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴h(x)<h(0)＝0，∴g(－x2)<0，即x1<－x2<0.∵函数f(x)在(x1,0)上单调递减，∴f(x1)>f(－x2)，下面先证f(－x2)＋f(x2)>2，即证e x2＋e－x2－x22－2>0.设函数k(x)＝e x＋e－x－x2－2(x>0)，则k′(x)＝e x－e－x－2x.设φ(x)＝k′(x)＝e x－e－x－2x，φ′(x)＝e x＋e－x－2>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝0，即k′(x)>0，∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，k(x)>k(0)＝0，∴当x∈(0，＋∞)时，e x＋e－x－x2－2>0，则e x2＋e－x2－x22－2>0，∴f(－x2)＋f(x2)>2，∴f(x1)＋f(x2)>2.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试10对数与对数函数含解析人教B版

考点测试10 对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6答案 D解析由对数的运算公式和换底公式可得log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝2log 23×log 24log 23＋log 5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．－1B ．1C ．－12D ．22答案 A解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，故选A. 3．函数f (x )＝lg (x ＋1)＋lg (x －1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C解析函数f (x )的定义域为{x |x >1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C.4．若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C ．18D ．log 23答案 D解析由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0,2x＝3，x ＝log 23.故选D.5．已知a ，b ，c 分别是方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，log 2x ＝x 的实数解，则( ) A ．b <c <a B ．a 0，得a <0，由log 2b ＝－b <0，得00，得c >1，综上可知，a m ＋n >mnB ．m －n >mn >m ＋nC ．m ＋n >m －n >mnD ．mn >m －n >m ＋n答案 A解析 m ＝log 0.30.6>log 0.31＝0，n ＝12log 20.6<12log 21＝0，mn <0.1m ＋1n ＝log 0.60.3＋log 0.64＝log 0.61.2<log 0.60.6＝1，即m ＋nmn<1，故m ＋n >mn .又(m －n )－(m ＋n )＝－2n >0，所以m －n >m ＋n .故m －n >m ＋n >mn ，所以选A.7．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 4256＝( ) A.3＋ab1＋a ＋abB ．3a ＋ba ＋a 2＋bC.3＋b1＋a ＋bD ．1＋a ＋ab 3＋ab答案 A解析 log 4256＝log 256log 242＝3＋log 271＋log 23＋log 27＝3＋log 23·log 371＋log 23＋log 23·log 37＝3＋ab1＋a ＋ab.故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1,2)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1，可得1≤a ＜2；解⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，可得a ≥2.综上a ≥1.故选B.9．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则x 3，y 5，z 2中最小的是( ) A ．z 2B ．y 5C ．x 3D ．三个数相等答案 C解析因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，不妨设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t >0，x ＝2t，y ＝3t，z ＝5t，所以x 3＝23t＝8t ，y 5＝35t ＝243t ，z 2＝52t ＝25t，又y ＝x t 在(0，＋∞)上单调递增，故x 3最小．故选C.10．计算：912－log95＝________.答案 35解析 912－log 95＝912×9－log 95＝3×15＝35.11．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.12．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.答案 9解析因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19.此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.二、高考小题13．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.14．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.15．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x )答案 B解析函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于直线x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B.16．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.三、模拟小题19．(2020·湖南湘潭高三阶段测试)如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q的值为( )A.14 B ．4 C ．6 D ．4或1答案 B解析由题意知P >0，Q >0，P >2Q .由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q 可得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )，所以(P －2Q )2＝PQ ，可化为P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，又因为Q >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q 2－5P Q＋4＝0，解得P Q ＝4或P Q＝1(舍去)．故选B.20．(2019·广州市高三年级调研)已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 2，所以c <a <b .故选B.21．(2019·大庆模拟)设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，若a ＋b ≥0，则( )A ．f (a )＋f (b )≤0B ．f (a )＋f (b )≥0C ．f (a )－f (b )≤0D ．f (a )－f (b )≥0答案 B解析设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，其定义域为R ，f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )在R 上单调递增，那么a ＋b ≥0，即a ≥－b 时，f (a )≥f (－b )，得f (a )≥－f (b )，可得f (a )＋f (b )≥0.故选B.22．(2019·安庆二模)若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m <n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D ．答案 D解析函数f (x )＝log a x 的定义域与值域相同等价于方程log a x ＝x 有两个不同的实数解．因为log a x ＝x ⇔ln x ln a ＝x ⇔ln a ＝ln x x ，所以问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln x x 的图象有两个交点．作函数y ＝ln x x 的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a ＜1e 时，即1＜a ＜e 1e 时，直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx的图象有两个交点．故选D.23．(2019·陕西咸阳高三联考)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案 A解析因为f (x )＝x ·ln 1＋x1－x＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]，所以f (－x )＝(－x )[ln (1－x )－ln (1＋x )]＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π.当0<x <1时，易知f (x )为增函数．又0<14<1π<1e <1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，即c <a <b ，故选A.24．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________．答案 (16,36)解析作出函数f (x )的图象如图所示．当x ＞4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知0＜a ＜2＜b ＜4,4＜c ＜9，由f (a )＝f (b )，得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ，因为4＜c ＜9，所以16＜4c ＜36，即16＜abc ＜36，所以abc 的取值范围是(16,36)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2020·湖北黄冈摸底)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 2．(2019·福建漳州模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019＝0.(2)函数f (x )存在最小值．f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1，当x ∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时，f (x )单调递减． ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .3．(2019·渭南模拟)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，∴x ＋1x －1>m x －17－x>0恒成立， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0,7)．4．(2019·大庆模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)当a >1时，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， ∴a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，又h (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a的取值范围为(2，＋∞)．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=(12)|x |B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=2-x2.若a=1223,b=1523,c=1213,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c3.函数f (x )=x 22|x |-4的图象大致为( )4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f (a ),f (b ),f (c )满足( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (a )<f (b ) C.f (c )<f (b )<f (a )D.f (a )<f (b )<f (c )5.若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x ∈(0,1]恒成立,则a 的最小值是( )A.0B.-2C.-52D.-36.已知函数f (x )=(12)x-sin x ,则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A .1B .2C .3D .47.已知函数f (x )是偶函数,定义域为R ,单调增区间为[0,+∞),且f (1)=0,则(x-1)f (x-1)≤0的解集为( ) A.[-2,0]B.[-1,1]C.(-∞,0]∪[1,2]D.(-∞,-1]∪[0,1]8.已知函数f (x )=|x|·e x (x ≠0),其中e 为自然对数的底数,关于x 的方程f (x )+2f (x )-λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是( )A.0,1eB.(2√2,+∞)C .e +2e,+∞D .2e +1e ,+∞二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.(山东高考模拟)函数f (x )的定义域为R ,且f (x+1)与f (x+2)都为奇函数,则( ) A.f (x )为奇函数 B .f (x )为周期函数 C.f (x+3)为奇函数D .f (x+4)为偶函数10.若指数函数y=a x 在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a 的值可能是( )A.2B.12C.3D.1311.(2019江苏南京期中)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位:千克)与时间x (单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品12.(2019山东黄岛期中)已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x ∈R ,f (-x )=f (x );②∀x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1≠x 2时,都有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0;③f (-1)=0.则下列选项成立的是( )A.f (3)>f (-4)B.若f (m-1)<f (2),则m ∈(-∞,3)C.若f (x )x >0,则x ∈(-1,0)∪(1,+∞) D.∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,则f (f (-2))= ;若f (a )=2,则实数a= .14.若函数f (x )=log a (x+5)+1(a>0且a ≠1),图象恒过定点P (m ,n ),则m+n= ;函数g (x )=ln(x 2+m )的单调递增区间为 .15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f(x),如果存在x0≠0,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0))与(-x0,f(-x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=e x-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是.16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为9√3平方米,且高度不低于√3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题,共70分),其中a∈R.17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=ax-2x+2(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f (x )在x=t+22处取得最小值-t 24(t ≠0),且f (1)=0.(1)求y=f (x )的表达式;(2)若函数y=f (x )在区间[-1,12]上的最小值为-5,求此时t 的值.21.(14分)已知函数f (x )=lg (x +a x-2),其中x>0,a>0.(1)求函数f (x )的定义域;(2)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.C A选项:当x>0时,y=(12)x,此时函数单调递减,故A错误;B选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B错误;C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x2+2x,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;D选项:y=2-x=(12)x为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D错误.2.D∵y=x 23(x>0)是增函数,∴a=1223>b=1523.∵y=12x 是减函数,∴a=1223<c=1213,∴b<a<c.3.D 根据题干中的表达式得|x|≠2,故f (x )为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x 从x 轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+∞,故排除C,故选D .4.D ∵0<a=log 52<log 5√5=12,1>b=ln2>ln √e =12,∴f (a )<f (b )<f (1),又f (c )=f (-20.1)=f (20.1)>f (1),∴f (a )<f (b )<f (c ),故选D .5.C x 2+ax+1≥0(0<x ≤12)⇔ax ≥-(x 2+1)⇔a ≥-(x +1x ),∵函数f (x )=x+1x 在(0,1)上是减函数,∴当x ∈(0,12]时,f (x )≥f (12)=12+2=52, ∴[-(x +1x )]max=-52,即a ≥-52,a 的最小值是-52. 6.B 函数f (x )=(1)x-sin x 在[0,2π]上的零点个数为函数y=(1)x的图象与函数y=sin x 的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B .7.C 由题意可知,函数f (x )在(-∞,0]上单调递减,且f (-1)=0,令x-1=t ,则tf (t )≤0.∴当t ≥0时,f (t )≤0,0≤t ≤1;当t<0,f (t )≥0,t ≤-1,∴0≤x-1≤1或x-1≤-1.∴x ≤0或1≤x ≤2.故选C .8.D f (x )=|x|·e x={x ·e x ,x >0,-x ·e x ,x <0.当x>0时,由f (x )=x·e x ,得f'(x )=e x +x·e x =e x (x+1)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数;当x<0时,由f(x)=-x·e x,得f'(x)=-e x-x·e x=-e x(x+1).当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,∴当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=1.作出函数f(x)=|x|·e x(x≠0)的图象的大致形状如图所示.令f(x)=t,则方程f(x)+2f(x)-λ=0化为t+2t-λ=0,即t2-λt+2=0,要使关于x的方程f(x)+2f(x)-λ=0有四个相异实根,则方程t2-λt+2=0的两根一个在0,1e 上,一个在1e,+∞上.则1e2−λe+2<0,解得λ>2e+1e.∴实数λ的取值范围是2e+1e,+∞.故选D.9.ABC∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),①f(-x+2)=-f(x+2),②∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),③∴由②③得f(-x)=f(-x+2),即f(x)的周期为2,∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,当a>1时,可得y min =1a ,y max =a ,那么1a +a=52,解得a=2,当0<a<1时,可得y max =1a ,y min =a ,那么1+a=5,解得a=1,故a 的值可能是1或2.故选AB.11.BD 由该车间5小时某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象,得:前三小时内,每小时的产量逐步减少,故①错误,②正确;最后两小时均没有生产,故③错误,④正确.故选BD.12.CD 定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x ∈R ,f (-x )=f (x ),说明函数是偶函数; ②∀x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1≠x 2时,都有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0,说明函数在(0,+∞)是增函数; ③f (-1)=0. 所以f (3)<f (4)=f (-4)成立,所以A 不正确;若f (m-1)<f (2),可得|m-1|<2,则m ∈(-1,3),所以B 不正确;由题意y=f (x )x 是奇函数,若f (x )x >0,又f (-1)=0,可得x ∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C 正确;因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M ,正确;故选CD.13.√2 -2或4 ∵函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,∴f (-2)=|-2|=2, f (f (-2))=f (2)=√2;∵f (a )=2,∴当a ≤0时,f (a )=|a|=2,解得a=-2;当a>0时,f (a )=√a =2,解得a=4.综上,实数a 的值为-2或4.14.-3 (2,+∞) 当x+5=1时,即x=-4,不论a 为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;∴函数g (x )=ln(x 2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u (x )=x 2-4,u (x )>0,递增区间为(2,+∞),g (u )=ln u 在定义域内为增函数,复合函数g (u (x ))根据同增异减性质,函数g (x )递增区间为(2,+∞).15.(1,+∞) 依题意,知f (x )=-f (-x )有非零解,由f (x )=-f (-x )得e x -a=-(e -x -a ),即a=12e x +1e x >1(x ≠0),所以当f (x )=e x -a 存在奇对称点时,实数a 的取值范围是(1,+∞).16.[3,4] 根据题意知9√3=12(AD+BC )h ,其中AD=BC+2×x 2=BC+x ,h=√32x ,所以9√3=12(2BC+x )√32x ,得BC=18x −x 2,由{ℎ=√32x ≥√3,BC =18x -x 2>0,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x +3x 2(2≤x<6),由y=18x +3x2≤10.5,解得3≤x ≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4].17.解 (1)不等式f (x )≤-1即为ax -2x+2≤-1⇔(a+1)xx+2≤0.当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞);当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);当a>-1时,不等式解集为(-2,0].(2)任取0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1-2x 1+2−ax 2-2x 2+2=2(a+1)(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2), ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+2>0,x 2+2>0,∴要使f (x )在(0,+∞)上单调递减,即f (x 1)-f (x 2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f (x )在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.解 (1)E=f (t )={t 2+20t +16,0<t ≤3,85,3<t ≤5,335-50t ,t >5,t=6时,E (6)=35.(2)0<t ≤3时,H (t )=t+16a t +20,H (t )≥24⇒t+16a t ≥4,由0<t ≤3,得a ≥-116t 2+14t=-116(t-2)2+14≥14.所以a ∈14,+∞.19.解 (1)设每团人数为x ,由题意得0<x ≤75(x ∈N *),飞机票价格为y 元,则y={900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y={900,0<x ≤30,1200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S={900x -15000,0<x ≤30,1200x -10x 2-15000,30<x ≤75,即S={900x -15000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21000,30<x ≤75.因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S 取最大值12000. 又S=-10(x-60)2+21000,x ∈(30,75],所以当x=60时,S 取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解 (1)设f (x )=a (x -t+22)2−t 24(a>0).因为f (1)=0,所以t 24(a-1)=0.又因为t ≠0,所以a=1,所以f (x )=(x -t+22)2−t 24(t ≠0).(2)因为f (x )=(x -t+22)2−t 24(t ≠0),所以当t+22<-1,即t<-4时, f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (-1)=(-1-t+22)2−t 24=-5,所以t=-92; 当-1≤t+22≤12,即-4≤t ≤-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (t+22)=-t 24=-5, 所以t=±2√5(舍去);当t+22>12,即t>-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (12)=(12-t+22)2−t 24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92.21.解 (1)由x+a x -2>0,得x 2-2x+a x >0.因为x>0, 所以x 2-2x+a>0.当a>1时,x 2-2x+a>0恒成立,函数f (x )的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f (x )的定义域为{x|x>0,且x ≠1};当0<a<1时,函数f (x )的定义域为{x|0<x<1-√1-a 或x>1+√1-a }.(2)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,即x+a x -2>1对x ∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x 2对x ∈[2,+∞)恒成立. 令h (x )=3x-x 2,h (x )=3x-x2=-(x -32)2+94在[2,+∞)内是减函数,于是h (x )max =h (2)=2.故a>2,即a 的取值范围是{a|a>2}.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021版新高考数学(B)人教A版一轮复习单元质检卷二 函数

2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲 函数的单调性与最值

2021届高考数学一轮复习：第09章 平面解析几何 检测B卷 单元检测(人教版A)(解析版)

新高考数学一轮复习 单元质检卷二 函数 新人教A版高三全册数学试题