初中数学《反证法》课后练习
反证法小练习含答案
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°答案 B3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案 D5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案 D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．。
反证法含答案.doc
3 a,b,c中至少有一个大于一。
6、已知a,b,c E R,a + b-^c = 0, abc = 1,求证:27、若函数/'(x)在区间[a.b]±.是增函数，那么方程/(.x) = 0在区间[a.b]±.至多只有一个实数根。
8、已知a.b,c 6(0,1),求证：(1 -a)/>,(1 -Z?)c,(1 -c)a 不能同时大于9、已知函数/(%) = «' +^^(a>l)x + 1⑴、证明：函数f(x)在(-1,+8)上为增函数；(2)、用反证法证明方程/(.r) = 0没有负数根。
10、组装甲、乙、丙三种产品，需要A、B、。
三种零件，每件甲产品用零件A、。
各2个，每件乙产品用零件A 2个，零件8 1个，每件丙产品用零件8、C各1个，如组装10件甲，5件乙，8件丙，则剩下2个A零件，1个C零件，B零件恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不能将零件A、B、C用完。
反证法1、已知下列三个方程：x2 + 4ax - 4a + 3 = 0, x2 + (a - l)x + tz2 = 0, x2 + 2ax-2a = 0 f 至少有一个方程有实数根，求实数。
的取值范围。
2、已知函数/*(/)是(-oo,+oo)上的增函数，a,b G R ,对命题"若。
+ Z?20,贝ljf(o)+f0)2f(-。
)+/(2尸，写出其逆命题，判断其真假并证明你的结论。
3、已知Q,b,c,d e R ,且Q +Z? = c + d =1,。
+ /?』〉1 ；求证：a,b,c,d中至少有一个是负数。
4、已知面肱内有两条相交直线。
，力(交点为p)和面N平行；求证：面M 〃面N。
5、若a,b,c均为实数，Ka = x2 -2y — = y2 -2z + — ,c = z2 -2x-^- —；求证:2 3 6Q,b,c中至少有一个大于0.:.a-^-b + c >0 ,这与tz+Z? + c <0相矛盾；?.假设不成立；a,b,c中至少有一个大于0.36、假设Q,b,C都小于等于一2abc = 1;.\ a,b,c三者同为正或一正两负；a +b +c = 0;:. a,b f c中只能是一正两负；不妨设a > Q,b <Q,c <0 ,则b + c = -a,be =—,即b,c 为方程x1 + ax+ — = 0 的两个a a负根；A = a2-->0;.-.fl>V4>3 —=-,这假设相矛盾；a V 8 23Q,b,c中至少有一个大于二o27、假设方程/(.x) = 0在区间［，麟］上至少有两个根。
浙教版八年级数学下册《4.6反证法》同步练习(含答案)
4.6反证法A练就好基础基础达标1．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是(B) A．5B．2C．4D．82．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设(D) A．a不垂直于c B．b不垂直于cC．c不平行于b D．a不平行于b3．用反证法证明命题“若a>b，b>c，则a>c”时应先假设(D)A．a≠c B．a＜cC．a＝c D．a≤c4．下列命题宜用反证法证明的是(C)A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等5. 在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中(C)A. 没有锐角B. 都是直角C. 最多有一个锐角D. 有三个锐角6．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设：__李子为甜李__．7．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A＋∠B，证明：假设∠1≠∠A＋∠B.∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2≠180°这与三角形内角和为180°相矛盾，∴假设∠1≠∠A＋∠B不成立，∴∠1＝∠A＋∠B.8. 阅读下列文字，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.解：有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.∵又∠C＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，∴AC＝BC不成立，∴AC≠BC.B更上一层楼能力提升9．用反证法证明(填空)：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.求证：l1__∥__l2.证明：假设l1__不平行于__l2，即l1与l2相交于一点P.则∠1＋∠2＋∠P__＝__180°(__三角形内角和定理__)，所以∠1＋∠2__<__180°，这与__∠1＋∠2＝180°__矛盾，故__假设__不成立．所以结论成立，l1∥l2．10．已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设__∠C＝90°__，根据__勾股定理__，一定有__AC2＋BC2＝AB2__，但这与已知__AC2＋BC2≠AB2__相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题．11．用反证法证明下列问题．如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互相平分.证明：连结DE，假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形．∴BE∥CD.∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾．故假设不成立，原命题正确，即BD和CE不可能互相平分.12．反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°，则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立．原命题成立．13图1将此命题改写成符号语言．已知：如图1，在△ABC中，D是AB边上的中点，DE∥BC交AC于点E．求证：AE＝CE.【分析】“反证法”是一种间接证明的方法．其实还有一种间接证明的方法叫“同一法”，具体做法是：先作出一个符合结论特性的图形，然后证明图2所作的图形与已知条件其实是同一个图形，从而间接地证明出已知条件的图形具有这种性质．请你从完成下列不完整的证明过程中，体会这种证明方法的妙处．证明：如图2，取AC边的中点F，连结DF.∴DF是△ABC的__中位线__，∴__DF∥BC__(三角形的中位线定理)．∵DE∥BC，由基本事实“过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线”得：DF 与DE 重合，即点__F __与点__E __重合，∴__AE ＝CE __．C 开拓新思路 拓展创新14．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个 14题图14题答图解：不能填．理由如下：设所填的互不相同的4个数为a ，b ，c ，d ；则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋c 2＝b 2＋d 2，①a 2＋d 2＝c 2＋b 2，②a 2＋b 2＝c 2＋d 2，③①－②得c 2－d 2＝d 2－c 2，∴c 2＝d 2.因为c ≠d ，只能是c ＝－d ，④同理可得c 2＝b 2，因为c ≠b ，只能c ＝－b ，⑤比较④，⑤得b ＝d ，与已知b ≠d 矛盾，所以题设要求的填数法不存在．。
新思维系列华师大版九下数学2反证法课后拓展训练
反证法1．用反证法证明命题“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是2．已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题，可用反证法，其步骤为：假设根据，一定有，但这与已知相矛盾，因此假设是错误的，于是可知原命题是真命题．3．已知命题“四边形中至少有一个角不小于90°”，先写出已知，求证，可采用法证明，先假设．4．在证明三角形三个内角中至少有一个内角小于或等于60°，用反证法证明时应假设．5．求证：垂直于同一条直线的两条直线平行．6．已知直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l1与l3相交，求证l3与l2相交．7．求证：直线与圆最多只有两个交点．8．如图29－147所示，已知△ABC为不等边三角形(任意两边都不相等)，AD⊥BC于点D，求证点D到AB，AC边的距离必不相等．9．已知一个数小于它的绝对值，证明这个数必是负数．10．求证：形如4n＋3的整数P(n为整数)不能化为两个整数的平方和．参考答案1．假设∠B为直角或钝角 2．∠C＝90°勾股定理AC2＋BC2＝AB2AC2＋BC2≠AB2 3．略 4．三个内角都大于60°5．已知：直线a，b，c，a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．证明：假设垂直于同一条直线‘的两条直线a与b不平行，则a与b相交，设交点为P，则过P有两条直线a，b与已知直线c 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．∴假设不成立．∴a∥b． 6．证明：假设l3与l2不相交，则l3∥l2．∵l1∥l2，∴l3∥l1，这与已知相矛盾．∴假设不成立，∴l3与l2相交．7．已知：直线l和⊙O．求证：直线l和⊙O最多只有两个交点．证明：假设直线l与⊙O至少有三个不同的交点A，B，C，M，N分别是弦AB，BC的中点．∵OA＝OB＝OC，∴在等腰三角形AOB和等腰三角形OBC中，OM⊥AB，ON⊥BC，从而过点O有两条直线都垂直于l，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，∴假设不成立．∴直线与圆最多只有两个交点．8．证明：如图29－148所示，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F假设DE＝DF，则∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠B＝∠C．∴AB＝AC，这与△ABC为不等边三角形矛盾．∴假设不成立，∴点D 到AB,AC边的距离必不相等．9．证明：假设这个数是a，且a≥0．①当a＞0时，|a|＝a，与已知矛盾．②当a＝0时， |a|＝0，与已知矛盾．故假设不成立，所以a一定是负数．10．证明：假设P＝4n＋3可以表示为两个整数a和b的平方和，则P＝4n＋3＝a2＋b2，则a与b必一个为奇数，一个为偶数，不妨设a＝2s＋1，b＝2t(s，t为整数)，则P＝4n＋3＝a2＋b2＝(2s＋1)2＋(2t)2＝4(s2＋s＋t2)＋1，即P即是4n＋3形式的数，又是4m＋1形式的数，出现矛盾，所以4n＋3形式的数化不成两个整数的平方和．。
《反证法》练习题
A 9．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( ) A．一个三角形中至少有两个钝角 B．一个三角形中至多有两个钝角 C．一个三角形中至少有一个钝角 D．一个三角形中没有钝角
10．试证明命题“两直线相交有且只有一个交点”．并将下列过程补充完 整：
已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P. 证明：假设a，b相交时___不__止__一__个__交__点__P___， 不妨设其他交点中有一个为P′，则点P和点P′既在直线a上又在直线b上，那 么经过P和P′的直线__________，这与___________________相矛盾，因此假 设不成立，所以两条直线相就交有只两有条一个交点．两点确定一条直线
7．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那 么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.
求证：假设l1__不__平__行___l2，即l1与l2相交于一点P，
则∠1＋∠2＋∠P＝____，所以∠1＋∠2____180°， 这与______________1_8_0_°____矛盾，故假设＜不成立，所以____．
11．试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 举例：如果ab＜0，那么a＋b＜0. 反例：设a＝4，b＝－3，ab＝4×(－3)＝－12＜0，而a＋b＝4＋(－3)＝1＞0. 所以，这个命题是假命题． (1)如果a＋b＞0，那么ab＞0； (2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数； (3)两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．
第四章 平行四边形
4.6 反证法希伯索斯 发现了无理数 2，导致了第一次数学危机， 2是无理数的证明如下：
假设 2是有理数，那么它可以表示成qp(p 与 q 是互质的两个正整数)．
反证法练习题
反证法练习题证明题1．求证：两组对边的和相等的四边形外切于一圆．2．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B＋A′C＞AB＋AC．求证点A′在△ABC 的外部．3．求证：相交两圆的两个交点不能同在连心线的同侧．4．用反证法证明：直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等．5．已知△ABC中，AB＞AC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点．求证：AO与BC不垂直．6．在同圆中，如果两条弦的弦心距不等，那么这两条弦也不等．7．求证：两条直线相交，只有一个交点．8．求证：一直线的垂线和非垂线一定相交．9．在四边形ABCD中，已知AB≠CD，求证AC，BD必不能互相平分．10．已知直线l1∥直线l2，直线m1∥直线 m2，且l1，m1相交于点P．求证l2与m2必相交．11．求证：若四边形的一组对边的中点连线等于另一组对边的和的一半，则另一组对边必互相平行．12．已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O．求证C点必在⊙O上．13．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC．求证点A′在△ABC的外部．14．求证：梯形必不是中心对称图形．15．已知如图7-399，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC．求证PB≠PC．练习题提示证明题1．提示：设四边形ABCD中AB+CD=BC+DA．假设它不外切于圆，可作⊙O与AB，BC，CD 相切，则⊙O必不与DA相切．作D′A与⊙O相切并与射线CD相交于D′，则AB+CD′=BC+D′A．与已知条件左右各相减，得DD′=|DA-D′A|，但在△ADD′中这不可能；所以四边形ABCD外切于圆．2．提示：假设A′在△ABC内部，由练习题（已知：P为△ABC内任意一点，连接PB，PC．求证：BC＜PB+PC＜AB+AC）可知A′B+A′C＜AB+AC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC 内部．设A′在边AB或AC上，显然有A′B+A′C＜AB+AC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．3．提示：设⊙O与⊙O′相交于点A，B．假设A，B在连心线OO′同侧．由于∠OO′B=∠OO′A，∠O′OB=∠O′OA，显然B与A重合，即⊙O与⊙O′相交于一点，这与已知矛盾；所以A，B不能同在连心线的同侧．4．提示：设直角△ABC的斜边AB的中点为D．假设AD=BD＜CD，设法证出∠C为锐角，这与已知矛盾．假设AD=BD＞CD，设法证出∠C为钝角，这也与已知矛盾．所以只有AD=BD=CD．5．提示：假设AO⊥BC．由于O是∠B、∠C的平分线的交点，所以AO是∠A的平分线．这样就有AB=AC，这与已知矛盾；所以AO与BC不垂直．6．提示：设AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，且OE≠OF．假设AB=CD，则OE=OF，这与已知OE≠OF矛盾．所以假设不成立．所以AB≠CD．7．提示：设直线AB，CD相交于M．假设直线AB，CD另有一个交点N，这说明经过M，N两点有两条直线AB和CD，这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾．故假设不成立．所以AB，CD只有一个交点．8．提示：设直线a⊥直线l，直线b不垂直于l．假设a和b不相交，则a∥b，从而b⊥l，但这与已知矛盾；所以a和b相交．9．提示：假设AC和BD互相平分，则可推出AB=CD，但这与已知矛盾；所以AC和BD 不能互相平分．10．提示：假设l2与m2不相交，则l2∥m2．因为l1∥l2．所以l1∥m2．因为m1∥m2，所以l1∥m1．这与已知l1与m1相交于点P矛盾．所以假设不成立．所以l2与m2必相交．11．提示：设M和N分别是四边形ABCD的边AB和CD的中点，并而MP+PN=MN．但假定AD不平行于BC，P不会在MN上，所以上面这个等式不成立；从而AD∥BC．12．提示：假设点C不在⊙O的圆周上，则点C在⊙O的内部或外部．（1）若C在⊙O内部，延长AC交⊙O于D，连接BD，则∠D=90°．因为∠ACB是△CDB 的外角，所以∠ACB＞∠D．所以∠ACB＞90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．（2）若C在⊙O外部，设AC交⊙O于E，连接BE，则∠AEB=90°．因为∠AEB是△CEB 的外角，所以∠AEB＞∠ACB，就有∠ACB＜90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．综合（1），（2）可知假设不成立．所以C点必在⊙O上．13．提示：假设A′在△ABC内部，由几何一第三章§8第5题可知∠BA′C＞∠BAC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC内部．设A′在边AB或AC上，显然有∠BA′C＞∠BAC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．14．提示：设在梯形ABCD中，AD∥BC，AB不平行于CD．假设它是中心对称图形，O为对称中心．作A和B关于O的对称点A′和B′．则线段A′B′是边AB的对称图形．A′B′或位于BC上，或CD上，或AD上．但A′B′平行于AB，所以或BC或CD或AD平行于AB，这与已知矛盾；所以梯形ABCD不是中心对称图形．15．提示：假设PB=PC，则∠PBC=∠PCB．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．因为AB=AC，PB=PC，AP=AP，所以△ABP≌△ACP．所以∠APB=∠APC．这与已知∠APB≠APC矛盾．所以假设不成立，就有PB≠PC．。
华东师大版数学 八年级上册 3. 反证法 课后练习题
一、单选题1. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（）A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角B．假设四边形中有一个角是钝角或直角C．假设四边形中每一个角均为钝角D．假设四边形中每一个角均为直角2. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（）A．两个锐角都大于45°B．两个锐角都小于45°C．两个锐角都不大于45°D．两个锐角都等于45°3. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于B．每一个内角都小于C．有一个内角大于D．每一个内角都大于4. 利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角B．四边形的每一个内角都是钝角或直C．四边形中所有内角都是锐角D．四边形中所有内角都是直角5. 用反证法证明“若，则a为负数”应先假设（）A．a为非负数B．a为正数C．a为整数D．a为负数二、填空题6. 要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，首先应假设___．7. 用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．8. 用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时，应假设______．三、解答题9. 如图，已知直线，，E、F在线段上，且满足，平分，．(1)与是否平行？说明理由；(2)求的度数；(3)若平行移动线段，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．10. 数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以32=3．（1）对于数阵A，23的值为；若23=2x，则x的值为（2）若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a a=a；条件二：；则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）；②已知一个“有趣的”数阵满足12=2，试计算21的值；③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a b=b a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．11. 已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．。
反证法解答题专项练习30题(有答案)ok
反证法解答题专项练习30题（有答案）1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°，则∠A+∠B+∠C＞_________ ．这与_________ 相矛盾．∴_________ 不成立．∴_________ ．4．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1_________ l2证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立．所以_________ ．5．完形填空：已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设_________ ，则_________ ，（两直线平行，同位角相等）这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立，故a不平行b．6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0．9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）10．证明已知△ABC中不能有两个钝角．11．举反例说明下列命题是假命题．（1）一个角的补角大于这个角；（2）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．12．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．13．用反例证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．14．用反证法证明：在同一平面内，a，b，c互不重合，若a∥b，b∥c，则a∥c．15．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．16．用反证法证明：（1）已知：a＜|a|，求证：a必为负数．（2）求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．17．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．18．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．19．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．20．在线段AB上依次取C、D、E三点，将AB分为四段，试说明至少有一段不小于AB，同时，至少有一段不大于AB．21．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．22．已知a，b，c，d四个数满足a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．求证：这四个数中至少有一个是负数．23．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ac，z=c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．24．用反证法证明：一条线段只有一个中点．25．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证：CD、BE不可能互相平分．26．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．27．将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．28．已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．29．已知：△ABC的三个外角为∠1，∠2，∠3．求证：∠1，∠2，∠3中至多有一个锐角．30．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．参考答案：1．证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°2．解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．若b=1，c=，可以证明命题③不正确．命题②正确，证明如下由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．则c ＞＞，c ＞＞0故a2+ab+c=+（c ﹣）＞03．解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确4．证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l25．证明：假设a∥b，∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等．），与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，∴a不平行b6．证明：假设AB=AC，则，∠B=∠C，与已知矛盾，所以AB≠AC 假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角8．证明：假设如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a≠0且b≠0，∵a≠0，b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2+b2＞0，∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9．证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC10．证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°；所以∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾；所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角11．解：（1）如果设∠A=100°，那么∠A的补角=80°＜100°，所以命题：“一个角的补角大于这个角”是假∵a⊥b，∴∠1=90°，∵b⊥c，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴a∥c．故命题：“已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是假命题12．证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC13．解：设一个锐角为30°，一个钝角为200°；则它们的度数和为230°≠180°，因此不是平角；故原命题是假命题14．解：假设a∥c不成立，则a，c一定相交，假设交点是P；则过点P，与已知直线b平行的直线有两条：a、c；与经过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾；因而假设错误．故a∥c15．证明：假设c∥b；∵a∥b，∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；所以c与b也相交16．证明：（1）假设a≥0，则|a|=a，这与已知|a|＞a 相矛盾，因此假设不成立，所以a必为负数；（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，β，则4n+3=α2+β2，因为（n+2）2+（﹣n2﹣1）≠α2+β2，所以假设不成立，故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和17．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．已知：AB=A′B′，BC=B′C′，∠B≠∠B′，求证：AC≠A′C′．证明：假设AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠B=∠B′，∴与已知，∠B≠∠B′矛盾，则假设不成立，∴AC≠A′C′．19．证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分20．解：假设每一段都小于AB，则四段之和小于AB，这与已知四段之和等于AB相矛盾，假设错误，所以至少有一段不小于AB ，同时，至少有一段不大于AB21．解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．延长AM到N，使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；∴BN＞AB，即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上22．证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．这与ac+bd＞1矛盾．所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数23．证明：假设x，y，z都小于0，∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＜0，∴这与（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0矛盾，故假设不成立，∴x，y，z中至少有一个大于零24．已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又因为AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M25．证明：假设CD、BE可以互相平分．则连接DE．则四边形BCED是平行四边形．∴BD∥CE与△ABC相矛盾所以：CD、BE不可能互相平分26．解：不能．理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．所以，与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数27．解：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于33，则它们的和小于等于32．∴这21个数的和的最大值小于等于：32×21÷3=224，但是实际上，1+2+3+…+21=（1+21）×21÷2=231＞224，所以假设不成立，则命题得证，∴将自然数1，2，3…21这21个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于3328．证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2n）+1，不是3的倍数，矛盾；（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2+b2=（3m±1）2+（3n±1）2，=9m2±6m+1+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2m±2n）+2，不能被3整除，矛盾；同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a2+b2会得到相同的结论．由此可知，a，b都是3的倍数29．证明：因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角30．证明：能．（1）如图a，若四点A，B，C，D构成凸四边形．则必有一个内角≤90°．不妨设为∠A．这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．则∠BAC+∠CAD≤90°．则∠BAC与∠CAD 中必有一个≤×90°=45°．故结论成立．（2）如图b．若四点A，B，C，D构成四边形．则△ABC 中必有一个内角≤×180°=60°．不防设∠A≤60°．又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°＜45°．故结论成立。
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假设
．
9．用反证法证明 “若| a| ≠| b| ，则 a≠b”时，应假设
．
10．用反证法证明 “如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等
腰三角形 ”的第一步
．
三、解答题
11．用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
《反证法》课后练习
一．选择题
1．用反证法证明命题：如果 AB⊥CD， AB⊥ EF，那么 CD∥EF，证明的第一个步
骤是（ ）
A．假设 CD∥EFB．
B.假设 AB∥EF
C．假设 CD和 EF不平行 D．假设 AB 和 EF不平行
2．用反证法证明 “＞ａb”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．用反证法证明 “若 a＞b＞0，则 a2＞b2”，应假设（ ） A．a2＜ b2 B．a2=b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
4．用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 60°时”，首先应假设这
个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 60° B．每一个内角都小于 60°
C．有一个内角大于 60° D．有一个内角小于 60°
5．用反证法证明命题： “四边形中至少有一个角是钝角或直角 ”，我们应假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角 二．填空题
6．已知△ ABC中，AB=AC，求证：∠ B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假
设
．Байду номын сангаас
7．用反证法证明： “三角形中最多有一个钝角 ”时，首先应假设这个三角形
中
．
8．要用反证法证明命题 “在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°，”首先应