弹性力学答案清晰修改

2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程

???????=+??+??=+??+??00y x xy y

y x y

yx

x x f f τ

στσ （a ） 0)1())((22

22=??+??+-=+??+??）（y f x f y

x y x y x μσσ （b ）

显然（a ）、（b ）是满足的

（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式

??

??

?=+=+)()()

()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形

变分量q E x )1(-=

με，q E

y )

1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得

q E

x u )

1(-=??μ，q E y v )1(-=??μ，0=??+??y u x v （e ） 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-=

μ，)()

1(2x f qy E

v +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx

x df dy y df )

()(21=-

等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有

ω-=dy y df )(1，ω=dx

x df )

(2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω 代入（f ）得位移分量

??

???++-=+--=v

x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。

从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确

的解答。

2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横

截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12

3

h I z =，根据材料力学公式，弯应力

xy h

F

I y x M z x 312)(-==

σ；该截面上的剪力为F x F s -=)(，剪应力22

223()346()()24

s xy F x y F h I y h h h τ=-=--；并取挤压应力0=y σ

（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

???

???

?=+??+??=+??+??0

0y x xy y y x y yx

x

x f f τστσ 也能满足相容方程0)1())((22

22=??+??+-=+??+??）（y f x f y

x y x y x μσσ

再考察边界条件：在2/h y ±=的主要边界上，应精确满足应力边界条件：

0)(2/==h y y σ，0)(2/==h y yx τ； 0)(2/=-=h y y σ，0)(2/=-=h y yx τ。

能满足

在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：

/20

/2/2

0/2/20

/2()0

()0()h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy F σστ=-=-=-?=??=???=-???? 满足应力边界条件。

在次要边界l x =上，列出三个积分的应力边界条件：

???

?

??

???-=-=-====??????-=--=--=-F

y h h F dy Fl ly h F ydy lydy h F dy h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h h )4(6)(12)(012)(2

232/2/02/2/232/2/2

/2/32/2/2

/2/τσσ

满足应力边界条件

因此，他们是该问题的解答。

3-6如题3-6图所示的墙，高度为h ，宽度为b ，h?b ，在两侧面上受到均布剪力q 的作用。试用应力函数y Bx Axy 2

+=Φ求解应力分量。

解（1）相容条件：

将应力函数Φ代人相容方程04

=Φ?中，其中

04

4=?Φ?x ，044=?Φ?y ，0224=??Φ

?y

x 很明显满足相容方程。 （2）应力分量表达式

022=?Φ

?=y

x σ，Bxy x y 622=?Φ?=σ，223Bx A y x xy --=??Φ?-

=τ （3）考察边界条件：在主要边界2/b x ±=上，各有两个应精确满足的边界条件，即

0)(2/=±=b x x σ，q b x xy -=±=2/)(τ。

在次要边界0=y 上，0)(0==y y σ，而0)(0==y yx τ的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替

0)(02

/2

/==-?

dx y yx b b τ

（4）把各应力分量代入边界条件，得 2q A -

=，22b

q B =。 应力分量为0=x σ，xy b

q

y 212=σ，)121(222b x q xy -=τ

3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。

解（1）相容条件：

设3

2

2

3

Dy Cxy y Bx Ax +++=Φ (a)

不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 （2）体力分量g f o f y x ρ==,由应力函数得应力分量的表达式

Dy Cx x f y x x 6222+=-?Φ

?=σ (b)

gy By Ax y f y

y y ρσ-+=-?Φ

?=2622 (c)

Cy Bx y

x xy

222--=??Φ?-=τ (d)

（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数

先考察主要边界上0=y 的边界条件：0)(0==y y σ， 0)(0==y yx τ 将应力分量式(b)和式（c ）代入，这些边界条件要求

06)(0===Ax y y σ，02)(0=-==Bx y xy τ 得A=0，B=0。

式(b)、（c ）、（d ）成为

Dy Cx x 62+=σ （e ） gy y ρσ-= （f ）

Cy xy 2-=τ （g ）

根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是αtan x y =,在斜面上没有任何面力，即

0==y x f f ,按照一般的应力边界条件，有

????

?=+=+====0

)()(0

)()(tan tan tan tan αααατστσx y xy x y y x y xy x y x l m m l 将(e)、（f ）、（g ）代入得

0)tan 2()tan 62(=-++ααCx m Dx Cx l （h ） 0)tan 2()tan (=-+-ααρCx l gx m （i ）

由图可见，

ααπ

sin

)2

cos(),cos(-=+==x n l ， αcos ),cos(==y n m

代入式（h ）、(i)求解C 和D,即得αρcot 2g C =，αρ2cot 3

g

D -=

将这些系数代入式(b)、（c ）、（d ）得应力分量的表达式

2cot 2cot cot x y xy gx gy gy

gy σραρα

σρτρα

?=-?

=-??

=-? 4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q ，如题4-12图所示.试求其应力分量。

解 （1）应力函数)2sin 2cos (2

D C B A +++=Φ???ρ，进行求解 由应力函数Φ得应力分量

?????

?

?????--=?Φ

???-

=+++=?Φ?=--+-=?Φ

?+?Φ?=C B A D C B A D C B A ??ρρρτ???ρσ????ρρρσρ??ρ2cos 22sin 2)1()2sin 2cos (2)2sin 2cos (2112

22

22

（2）考察边界条件：根据对称性，得

0)(2/=α?σ （a ） q =2/)(αρ?τ （b ） 0)(2/=-α?σ （c ） q -=-2/)(αρ?τ （d ）

由式（a ）得2cos 2sin 20A B C D ααα+++= （e ） 由式（b ）得2sin 2cos A B C q αα--= （f ） 由式（c ）得2cos 2sin 20A B C D ααα--+= （g ） 由式（d ）得2sin 2cos A B C q αα---=- （h ） 式（e ）、（f ）、（g ）、(h)联立求解，得ααcot 2

,0,sin 2q

D C B q A -====

将以上系数代入应力分量，得

??

?

?

?

?

???

=-=+-=α?ταα?σαα?σρ?

?ρsin 2sin )cot sin 2cos (

)cot sin 2cos (q q q 4一13设有内半径为r,外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变，并求

圆筒厚度的改变。

解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求

0)(==r ρρ?τ，0)(==R ρρ?τ

q r -==ρρσ)(，0)(==R ρρσ

由表达式可见，前两个关于ρ?τ的条件是满足的，而后两个条件要求

??????

?=+-=+02222

C R

A q C r A

由上式解得)(2222r R r qR A --=，)

(22

22

r R qr C -= (a) 把A,B,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，

??ρμρμρsin cos )1()1()(2222K I R r R E qr u ++???

??

?++--= （b ） 0cos sin =+-=??ρ?K I H u (c)

式（c ）中的?ρ,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。 所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为

?????

?++--=ρμρμρ2222)1()1()(R r R E qr u ， 而圆简是属于平面应变问题，故上式中u E E -→-→

1,12

μ

μμ代替，则有

)1(1)11()11(22

2

2

2----

+-+=r

R E R q

u μρρμ

μ

μμ

ρ

此时内径改变为)1()1()1(1)11()11(2

222222

22

2μμμμμ

μ

μμ

-+-+-=----

+-+

=r

R r R E qr r R Er r R q

u r ， 外径改变为2

2222

2

2

22)1()1(1)11()11(r

R Rr

E qr r

R ER R R q

u R --=----

+-+

=μμμ

μ

μμ 圆环厚度的改变为)1()1(2μ

μ

μ-++---

=-r R r R E qr u u r R 4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为0==y x σσ ，q xy =τ，如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。

解 求出两个主应力，即

q xy y x y

x ±=+-±+=

???2

221)2

(2τσσσσσσ 原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q 而在上下两边受均布压力q ，如图所示。 应力分量q x =σ，q y -=σ，0=xy τ代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件

?σρρ2cos )(q R == （a ） ?τρρ?2sin )(q R -== (b)

在孔边，边界条件是

0)(==r ρρσ （c ） 0)(==r ρρ?τ （d ）

由边界条件式（a ）、（b ）、（c ）、（d ）可见，用办逆解法是，可假设ρσ为ρ的某一函数乘以

?2cos ，而ρ?τ为ρ的另一函数乘以?2sin 。而 2

2211ρ

ρρρσρ?Φ

?+?Φ?=，)1(ρρρτρ??Φ???-= 因此可假设 ?ρ2cos )(f =Φ。 （e ）

将式（e ）带入相容方程0)11(2

22222=Φ??+??+???ρρρρ

，得

0)(9)(9)(2)(cos 32

223344=???

???+-+ρρρρρρρρρρ

ρd df d f d d f d d f d

删去因子?2cos 以后，求解这个常微分方程，得2

3

4ρ

ρρρD

C B A f +

++=，

其中A,B,C,D 为待定常数，代入式（e ），得应力函数)(2cos 2

2

4ρρρ?D

C B A +++=Φ

由应力函数得应力分量的表达式

???

?

??

???--+=++=++-=)6226(2sin )6212(2cos )642(2cos 4234

2

42

ρρρ?τρρ?σρρ?σρ??ρD C B A D B A D

C B 将上式代入应力边界条件

由式（a ）得q R

D

R C B -=++

42642 （g ） 由式（b ）得q R

D R C B AR -=--+422

6226 （h ）

由式（c ）得064242=++r

D

r C B （i ）

由式（d ）得06226422

=--+r

D r C B Ar （j ）

联立求解式)()(j g -，并令0→R

r ,得2,,2,042

qr D qr C q B A -==-==

将各系数值代入应力分量的去达式，得

??

??

?

????+--==+-=--=)31)(1(2sin )31(2cos )

31)(1(2cos 22222

2

22

22ρρ?ττρ?σρρ?σ?ρρ??ρr r q r q r r q 沿着孔边r =ρ，环向正应力是?σ?2cos 4q -= 最大环向正应力为q 4)(max =?σ

4-17在距表面为h 的弹性地基中，挖一直径为d 的水平圆形孔道，设h 》d ，弹性地基的密度为ρ，弹性模量为E ，泊松比为μ，试求小圆孔附近的最大、最小应力。