零极点对系统性能的影响分析
零极点对系统性能的影响分析
1任务步骤
1）分析原开环传递函数G0（s）的性能，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
2）在G0（s）上增加零点，使开环传递函数为G1（s），绘制系统的根轨迹,分析系统的稳定性。绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
3）在G0（s）上增加极点，使开环传递函数为G2（s），绘制系统的根轨迹，分析系统的稳定性；绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
4）同时在G0（s）上增加零极点，使开环传递函数为G3（s），绘制系统的根轨迹，分析系统的稳定性；绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
5）综合数据，分析零极点对系统性能的影响。
2开环传递函数G0（s ）的性能分析
2.1 原G0（s ）性能分析
取原开环传函数为：)
52.0)(25.0(1
)(0++=
s s s G
2,1.1分析系统稳定性
在M 指令中输入:
g0=zpk([],[-0.25,-0.52],[1]) g=feedback(g0,1); [z,p,k]=zpkdata(g,'v') 按Enter 回车得： Zero/pole/gain: 1 ----------------- (s+0.25) (s+0.52) z =
Empty matrix: 0-by-1 p = -0.2500 -0.5200 k = 1
即闭环系统两个极点均具有负实部，系统稳定 2.1.2系统的根轨迹
Matlab 指令：
G0=zpk([],[-0.25,-0.52],[1]) g=feedback(g0,1);
rlocus(g) 得到图形：
根据原函数的根轨迹可得：
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)
-5
-4-3-2-10123
45
图1 原函数G0(s)的根轨迹
系统的两个极点分别是-0.52和-0.25，零点在无限远处。
2.1.3G0（s ）的阶跃响应
Matlab 指令：
g0=zpk([],[-0.25,-0.52],[1]) g=feedback(g0,1); step(g) 得到图形：
Step Response
Time (seconds)
图2 原函数的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 曲线最大峰值为1.15，稳态值为0.887， 上升时间tr=1.97s 超调时间tp=3.18s 调节时间ts=11.3s ，2=?
超调量%
p σ=29.505%
2.2 增加零点后的开环传递函数G1（s ）的性能分析
传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a 值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环的开环传递函数为：
)
52.0s )(25.0(a
s )s (+++=
s G
2.2.1 当a 分别为0.01,0.1,1,10,100时，G1（s ）的根轨与阶跃响应如下excel
结论：
1.增加不同的零点对系统参数有不同的影响；
2.曲线峰值与超调量受到影响后的值与原值没有重合，上升时间，超调时间与调节时间与原值有重合；
3.随着a的增加（或者说随着零点渐渐远离零点），曲线峰值受到的影响（取绝对值来看）和超调量受到的影响均是先减后增；上升时间，超调时间受到的影响，上升时间和调节时间受到的影响均是先增再减；
4.对系统影响最大的点在a=1或附近的位置；
2.3增加极点后的开环传递函数G2（s ）的性能分析
为了分析开环传递函数的极点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个极点S=-p,并改变p 值大小，即离原点的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后的开环传递函数为：
)
52.0)(25.0)(p s (1
)s (+++=
s s G
2.3.1 当p 分别为0.01,0.1,1,10,100时，G2（s ）的根轨迹与阶跃响应如下excel
增加极点对系统性能的影响
结论：
1.增加不同的极点对系统参数有不同的影响；
2.比较观察增加零点时的系统参数（以上升时间tr为例）的变化，可以发现，在某些区间（x1 3同时可以预见，当零点与原点的距离趋近于无穷远时，系统性能受到的影响趋近于0。 2.4偶极子对系统性能的影响 摘要 本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。 关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件 目录 1课程设计目的 (1) 2实验原理 (1) 3实现过程 (1) 3.1MATLAB简介 (1) 3.2系统函数极点分布情况 (2) 3.2.1极点为单实根 (2) 3.2.2极点为共轭复根 (2) 3.2.3极点为重根 (2) 3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2) 3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6) 3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6) 3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19) 3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19) 3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19) 4设计体会 (23) 5参考文献 (24) 1 课程设计目的 1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。 2.学习MATLAB 软件知识及应用。 3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。 2 实验原理 拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。 设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 ?+∞ -=0)()(dt e t h s H st 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。 对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即 其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。 3 实现过程 3.1 MATLAB 简介 MALAB 译于矩阵实验室（MATrix LABoratory ），是用来提供通往 LINPACK 和EISPACK 矩阵软件包接口的。后来，它渐渐发展成了通用科技计算、图视交互系统和程序语言。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵。它的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式十分相似。比如，矩阵方程Ax=b ，在MATLAB 中被写成A*x=b 。而若要通过A ，b 求x ，那么只要写x =A \b 即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。因此，用MATLAB 解算问题要比用C 、Fortran 等语言简捷得多。 MATLAB 发展到现在，已经成为一个系列产品：MATLAB “主包”和各种可选的toolbox “工具包”。主包中有数百个核心内部函数。迄今所有的三十几个工具包又可分为两类：功能性工具包和学科性工具包。功能性工具包主要用来扩充MATLAB 的符号计 ∏∏1 1) -()-() () ()(N i i M j j p s q s C s A s B s H ==== 零极点对系统性能的影响分析 1任务步骤 1.分析原开环传递函数G0（s）的性能，绘制系统的阶跃响应曲线得到系 统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 2.在G0（s）上增加零点，使开环传递函数为G1（s），绘制系统的根轨迹, 分析系统的稳定性； 3.取不同的开环传递函数G1（s）零点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得 到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 4.综合数据，分析零点对系统性能的影响 5.在G0（s）上增加极点，使开环传递函数为G2（s），绘制系统的根轨迹， 分析系统的稳定性； 6.取不同的开环传递函数G2（s）极点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得 到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 7.综合数据，分析极点对系统性能的影响。 8.增加一对离原点近的偶极子和一对距离原点远的偶极子来验证偶极子 对消的规律。 2原开环传递函数G0（s）的性能分析 2.1 G0（s）的根轨迹 取原开环传递函数为： Matlab指令： num=[1]; den=[1,0.8,0.15]; rlocus(num,den); 得到图形： 图1 原函数G0(s)的根轨迹 根据原函数的根轨迹可得：系统的两个极点分别是-0.5和-0.3，分离点为-0.4，零点在无限远处，系统是稳定的。 2.2 G0（s）的阶跃响应 Matlab指令： G=zpk([],[-0.3,-0.5],[1]) sys=feedback(G,1) step(sys) 得到图形： 图2 原函数的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 曲线最大峰值为1.12，稳态值为0.87， 上升时间tr=1.97s 超调时间tp=3.15s 调节时间ts=9.95s ，2=? 超调量% p σ=28.3% 绘制离散系统零极点图：zplane() 滤波器 绘制离散系统零极点图：zplane() zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜 色来表示。 zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root 函数以求出它们的零极点。 [H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。如果有重零极点，它还包括显示在其右上方 的文本句柄。 例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是 wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减 为60dB 程序设计如下： wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=100 00Hz; rp=0.5; rs=60; wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2]; [n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs); [num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop'); [H, W]=freqz(num, den); figure; plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); figure; impz(num, den); figure; grpdelay(num, den); figure; zplane(num, den); FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数 备注：(1)、按照要求独立完成实验内容。 (2)、实验结束后，把电子版实验报告按 要求格式改名(例：09 号_张三 _实验七.doc)后，实验室统一刻 盘留档。 实验三零极点分布对系统频 率响应的影响 一、实验目的 1. 掌握系统差分方程得到系统函数的方法； 2. 掌握系统单位脉冲响应获取系统函数的方法； 3. 掌握用系统函数零级点分布的几何方法分析研究系统的频率响应 二、实验原理 在MA TLAB 中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp ( num ，den)求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane( z，p)绘出 零、极点分布图；也可以用函数 zplane( num，den)直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MA TLAB 中，可以用函数[r，p，k]=residuez(num，den)完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos( z，p，K )完成三、实验内容(包括代码与产生的图形) 1. 假设系统用下面差分方程描述： y(n)=x(n)+ay(n-1) 假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。 B=1; A=[1,-0.7]; subplot(3,3,1);zplane(B,A); xlabel(' 实部Re'); ylabel(' 虚部Im'); title('y(n)=x(n)+0.7y(n-1) 传输函数零、极点分布'); grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,3,4); 将高阶系统分解为 2 阶系统的串联。plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2); 备注：（1）、按照要求独立完成实验内容。 （2）、实验结束后，把电子版实验报告 按要求格式改名（例：09号_张 三_实验七.doc）后，实验室统一 刻盘留档。 实验三零极点分布对系统频 率响应的影响 一、实验目的 1.掌握系统差分方程得到系统函数的方法； 2.掌握系统单位脉冲响应获取系统函数的方法； 3.掌握用系统函数零级点分布的几何方法分析研究系统的频率响应 二、实验原理 在MA TLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp （num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MA TLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。三、实验内容（包括代码与产生的图形） 1. 假设系统用下面差分方程描述： y(n)=x(n)+ay(n-1) 假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。 B=1; A=[1,-0.7]; subplot(3,3,1);zplane(B,A); xlabel('实部Re'); ylabel('虚部Im'); title('y(n)=x(n)+0.7y(n-1)传输函数零、极点分布'); grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,3,4); plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2); 实验四连续时间系统复频域分析和离散时间系统z域分析 一.实验目的： 1.掌握连续信号拉氏变换和拉氏反变换的基本实现方法。 2.熟悉laplace函数求拉普拉斯变换，ilaplace函数求拉氏反变换 的使用。 3.掌握用ztrans函数，iztrans函数求离散时间信号z变换和逆z 变换的基本实现方法。 4.掌握用freqs函数，freqz函数由连续时间系统和离散时间系统 系统函数求频率响应。 5.掌握zplane零极点绘图函数的使用并了解使用零极点图判断系 统稳定性的原理。 二、实验原理： 1.拉氏变换和逆变换 原函数()() ?象函数 f t F s 记作：[()]() =→拉氏变换 L f t F s 1[()]() -=→拉氏反变换 L F s f t 涉及函数：laplace,ilapace. 例如： syms t;laplace(cos(2*t)) 结果为：ans =s/(s^2+4) syms s;ilaplace(1./(s+1)) 结果为：ans = exp(-t) 2. 系统传递函数H(s)或H(z)。 12121212...()()()...m m m n n n b s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 112112...()()()...m m m n n n b z b z b B z H z A z a z a z a --+--++++==+++ 其中，B 为分子多项式系数，A 为分母多项式系数。 涉及函数：freqz,freqs. 3. 系统零极点分布与稳定性的判定。 对于连续时间系统，系统极点位于s 域左半平面，系统稳定。 对于离散时间系统，系统极点位于z 域单位圆内部，系统稳定。 涉及函数：zplane. 三、 实验内容 1． 验证性实验 a) 系统零极点的求解和作图 实验七、系统极零点及其稳定性 三、已知下列传递函数H(s)或H(z)，求其极零点，并画出极零图。 1. b=[3 -9 6]; a=[1 3 2]; zplane(b,a) 2. b=[1]; a=[1 0]; zplane(b,a) 3. b=[1 0 1]; a=[1 2 5]; zplane(b,a) 4. b=[1.8 1.2 1.2 3]; a=[1 3 2 1]; zplane(b,a) 五、求出系统的极零点，判断系统的稳定性。 5、先求出分子分母多项式系数 >> syms s >> zs=100*s*(s+2)^2*(s^2+3*s+2)^2; >> expand(zs) ans = 100*s^7+1000*s^6+4100*s^5+8800*s^4+10400*s^3+6400*s^2+1600*s >> syms s >> ps=(s+1)*(s-1)*(s^3+3*s^2+5*s+2)*((s^2+1)^2+3)^2; >> expand(ps) ans = -32-80*s-48*s^2+8*s^4-16*s^3+28*s^6+20*s^5+44*s^7+30*s^8+s^13+8*s^11+23*s^9+3*s^12 +11*s^10 再求出极零点 b=[100 1000 4100 8800 10400 6400 1600 0]; a=[1 3 8 11 23 30 44 28 20 8 -16 -48 -80 -32]; [z,p]=tf2zp(b,a) 求解结果： z = -2.0005 + 0.0005i -2.0005 - 0.0005i -1.9995 + 0.0005i -1.9995 - 0.0005i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p = 1.0000 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i -1.2267 + 1.4677i -1.2267 - 1.4677i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -1.0000 -0.5466 极点不是都在左半平面，因此系统不稳定。 6、clear all; clc; num=conv([1 -1.414 1],[1 1]); den=conv([1 0.9 0.81],[1 -0.3]); [z,p]=tf2zp(num,den) zplane(z,p); z = -1.0000 0.7070 + 0.7072i 0.7070 - 0.7072i 实验三 Z 变换、离散系统零极点分布和频率分析 一、 实验目的 ● 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ● 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ● 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。 二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验原理及实例分析 （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例3-1】 利用MATLAB 计算3 21431818 ) (-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 )()(F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例3-2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()() 2 a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布 离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即 ) () ()(z X z Y z H = （3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为： 增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应 和频率响应会造成很大影响。以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函 数。 零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。 在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。 在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90o。非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。 在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。 在s右半平面增加极点会导致系统不稳定。 最小相位系统 从传递函数角度看,如果说一个环节的传递函数的极点和零点的实部全都小于或等于零,则称这个环节是最小相位环节.如果传递函数中具有正实部的零点或极点,或有延迟环节,这个环节就是非最小相位环节. 对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统.因为若把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时(泰勒级数展开),会发现它具有正实部零点. 最小相位系统具有如下性质: 1,最小相位系统传递函数可由其对应的开环对数频率特性唯一确定;反之亦然. 2,最小相位系统的相频特性可由其对应的开环频率特性唯返航一确定;反之亦然. 3,在具有相同幅频特性的系统中,最小相位系统的相角范围最小. 离散系统的频率响应分析和零极点分布 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 实验2 离散系统的频率响应分析和零、极点分布一、实验目的 通过MATLAB仿真简单的离散时间系统，研究其时域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零、极点分布的概念的理解。 二、基本原理 离散系统的时域方程为 其变换域分析方法如下： 频域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ω ω ωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y= ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的频率响应为 ω ω ω ω ω ω ω jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 Z域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [z H z X z Y m n h m x n h n x n y m = ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的转移函数为 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 分解因式 ∏- ∏- = ∑ ∑ = = - = - = - = - N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 1 1 1 1 ) 1( ) 1( ) ( λ ξ ，其中i ξ 和i λ 称为零、极点。 在MATLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MATLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 摘要 本次课程设计主要是分析零极点对系统性能的影响。首先从根轨迹、奈奎斯特 曲线、伯德图和阶跃响应四方面分析原开环传递函数时的系统性能，然后在原开环 传递函数基础上增加一个零点，并且让零点的位置不断变化，分析增加零点之后系 统的性能，同时与原系统进行分析比较，发现增加的零点与虚轴的距离决定了对系 统影响的大小；再在原开环传递函数基础上增加一个极点，并且令极点位置不断变 化，分析增加极点后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，同样发现增加的极 点与虚轴的距离决定了对系统的影响大小。 关键词：零极点开环传递函数系统性能 MATLAB 谐振带宽 The curriculum design is mainly the analysis of effect of zero pole on the performance of the system. First from the root locus, Nyquist curve, Bode diagram and step response analysis of four aspects of the original open-loop transfer function of the system performance, and then in the original open-loop transfer function is added on the basis of a zero, and let the zero point position changes continuously, increase system performance analysis of zero, at the same time and the original system analysis that increase, the zeros and the imaginary axis distance determines the impact on the system size; adding a pole in the original open-loop transfer function based on pole position, and make the changes, analysis of increasing performance point system, at the same time and the analysis of the original system, also found that increasing pole and the imaginary axis distance determines the impact on the size of the system. Keywords: zero pole open loop transfer function of system performance of MATLAB resonant bandwidth 目录 一、引言 (1) 二、Matlab入门 (2) 2.1 Matlab7.0介绍 (2) 2.2利用Matlab7.0编程完成习题设计 (2) 三、利用Matlab7.0实现系统函数的零极点分布决定 时域特性的设计 (4) 3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (4) 3.2编程设计及实现 (5) 3.3运行结果及其分析 (6) 四、结论 (11) 五、参考文献 (12) 一、引言 《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课，该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。 我们选择Matlab语言作为辅助教学工具，借助Matlab强大的计算能力和图形表现能力，将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果，以图形的形式直观地展现给我们，大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。 Matlab是当前最优秀的科学计算软件之一，也是许多科学领域中分析、应用和开发的基本工具。Matlab全称是Matrix Laboratory,是由美国Mathworks公司于20世纪80年代推出的数学软件，最初它是一种专门用于矩阵运算的软件，经过多年的发展，Matlab 已经发展成为一种功能全面的软件，几乎可以解决科学计算中的所有问题。而且MATLAB 编写简单、代码效率高等优点使得Matlab在通信、信号处理、金融计算等领域都已经被广泛应用。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被称为第四代计算机语言。Matlab 强大的图形处理功能及符号运算功能，为我们实现信号的可视化及系统分析提供了强有力的工具。Matlab强大的工具箱函数可以分析连续信号、连续系统，同样也可以分析离散信号、离散系统，并可以对信号进行各种分析域计算，如相加、相乘、移位、反折、傅里叶变换、拉氏变换、z变换等等多种计算。 作为信号与系统的基本分析软件之一，利用Matlab进行信号与系统的分析与设计是通信以及信息工程学科的学生所要掌握的必要技能之一。通过学习并使用Matlab语言进行编程实现课题的要求，对学生能力的培养极为重要。尤其会提高综合运用所学理论知识进行分析问题、解决问题的能力，也便于将理论知识与实践相结合，并得以更好地掌握信号分析与处理的基本方法与实现。这也将为后续相关的课程学习打下一定的基础,从而在以后相关课程设计与分析的时候达到对Matlab的熟练应用与融会贯通。 二、Matlab入门 2.1 Matlab7.0介绍 （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 )()(F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布 离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即 )()()(z X z Y z H = （3-1） B4.1 已知系统的开环零极点分布如图B4.1所示，试绘制各系统的概略根轨迹。 图B4.1控制系统的开环零极点分布图 B4.2 设系统的开环传递函数如下所示： 试绘制各系统的根轨迹。 B4.3 证明题B4.2各系统在复平面上的根轨迹均为一圆或圆弧，并求出它们的圆心和半径。 B4.4 已知系统的开环传递函数如下所示，试绘制各系统的根轨迹。 B4.5 设单位反馈系统的开环传递函数为 要求： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定系统的临界开环增益； (3)当系统的暂态响应为欠阻尼、临界阻尼或过阻尼时，试分别求其开环增益的取值范围。B4.6 已知单位反馈系统的开环传递函数为 若要求系统的性能满足σp≤5%,t s≤8(s)，试求开环增益的取值范围。 B4.7 设系统的开环传递函数如下所示，其中a和b为可变参量，试绘制各系统的根轨迹： B4.8 设单位反馈系统的开环传递函数为 当微分时间常数T d可变时试绘制系统的根轨迹；并确定使复数极点的阻尼比为0.707的T d值。 B4.9 已知系统的特征方程如下所示，试绘制各系统的根轨迹： B4.10 设某复杂系统的开环传递函数为 试应用MATLAB： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定分离点的位置及对应的开环增益值； (3)确定使系统稳定时开环增益的取值范围，以及临界稳定时闭环零极点的分布。 B4.11 设某单位负反馈系统的开环传递函数为 安装时不慎将反馈的极性接反了，变成正反馈系统。试分别绘制负反馈系统和正反馈系统的根轨迹；并以系统的稳定性为例，分析说明反馈极性接反了的后果。 B4.12 图B3.32所示的某记录仪位置随动系统，其结构图重画在图B4.12上。如果在安装时出现以下差错：(1)把测速反馈的极性接反了；(2)测速反馈的极性是正确的，但把位置反馈的极性接反了，试问它们的后果如何?习题B3.22是用时域分析法来讨论的，现要求将它视为多回路系统，用根轨迹法来分析讨论。从B4.11和B4.12的求解中，您有何感想或体会? 1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算3 21431818 ) (-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 )() (F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()() 2 a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析 实验3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 实验原理：离散系统的时域方程为 ∑∑==-=-M k k N k k k n x p k n y d 00)()( 其变换域分析方法如下： 频域 )()()(][][][][][ωωωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y =?-= *=∑∞-∞= 系统的频率响应为 ωωω ωωωω jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H ----++++++==......)()()(1010 Z 域 )()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =?-= *=∑∞-∞= 系统的转移函数为 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++==......)()()(110110 分解因式 ∏-∏-=∑∑= =-=-=-=-N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 111100) 1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极 点。 在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 实验内容：求系统 12345123450.05280.7970.12950.12950.7970.0528()1 1.8107 2.4947 1.88010.95370.2336z z z z z H z z z z z z ----------+++++=-+-+- 的零、极点和幅度频率响应。 三个因果稳定系统123(),(),()H z H z H z 的零点、极点分布分别如图所示。 三个系统的极点相同，120.9,0.9p p =-=。由图可见，1()H z 为最小相位系统，2()H z 为混合相位系统，3()H z 为最大相位系统。设图中0.5,/3r ?π==。试分别写出系统函数 123(),(),()H z H z H z 的数学表达式，并绘制其幅频特性、相频特性曲线、单位脉冲响应 123(),(),()h n h n h n 的波形图以及相应的累计能量曲线。由此验证最小相位系统的性质 %program %compute freqz z1=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),0.5*exp((-pi /3)*j)]'; p1=[0.9,-0.9]; k1=1; [b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k1); [H1,w1]=freqz(b1,a1,256,1); mag1=abs(H1); phs1=angle(H1); z2=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)* j)]'; p2=[0.9,-0.9]; k2=0.5^2; [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k2); [H2,w2]=freqz(b2,a2,256,1); mag2=abs(H2); phs2=angle(H2); for n=1:255 if (phs2(n+1)-phs2(n))>=6 for m=n+1:256 phs2(m)=-2*pi+phs2(m); end end end z3=[2*exp((pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j)]' ; p3=[0.9,-0.9]; k3=0.5^4; [b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k3); [H3,w3]=freqz(b3,a3,256,1); mag3=abs(H3); phs3=angle(H3); for n=1:255 if (phs3(n+1)-phs3(n))>=6 for m=n+1:256 phs3(m)=-2*pi+phs3(m); end end end %plot h1(n),h2(n),h3(n): subplot(231); impz(b1,a1,20);ylabel('h1(n)');xlabel('n'); subplot(232); impz(b2,a2,20);ylabel('h2(n)');xlabel('n'); subplot(233); impz(b3,a3,20);ylabel('h3(n)');xlabel('n'); %plot H(ejw): subplot(234); plot(w1,mag1);hold on; plot(w2,mag2);hold on; plot(w3,mag3); ylabel('|H(ejw)|');xlabel('w/2pi'); %plot phase subplot(235); plot(w1,phs1);hold on; plot(w2,phs2);hold on; plot(w3,phs3); ylabel('phase');xlabel('w/2pi'); 实验二 Z 变换、离散系统零极点分布和频率分析 1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； 2．学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； 3. 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； 4. 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。 （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算3 21431818 ) (-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 实验目的 实验内容 )()(F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()() 2 a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布 离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即 ) () ()(z X z Y z H = （3-1）系统函数的零极点分布决定时域特性
零极点对系统的性能影响分析
绘制离散系统零极点图.
零极点分布对系统频率响应的影响
零极点分布对系统频率响应的影响
matlab实验四 系统的零极点分析
信号与系统_——零极点及稳定性响应
实验Z变换离散系统零极点分布和频率分析
零极点对系统的影响
离散系统的频率响应分析和零极点分布
零极点对系统性能的影响分析
系统的零极点分布决定时域特性
实验-Z变换、零极点分析
已知系统的开环零极点分布如图B41所示
实验z变换、零极点分析
数字信号处理实验报告——离散系统的频率响应分析和零极点分布
三个因果稳定系统的零点极点分布分别如图所示
实验 Z变换、零极点分析