七年级数学上册有理数专题复习讲义(含答案)
总结：①正整数、0 统称为______（也叫自然数） ②负整数、0 统称为______ ③正有理数、0 统称为______ ④负有理数、0 统称为______
数轴 3、数轴的概念 规定了______，______，______的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的______； ⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要______； ⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 4、数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理 数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是 说，有理数与数轴上的点不是______关系。（如，数轴上的点 π 不是有理数） 5、利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数______；
答案：4、-5℃ 5、向西走 120 米 6、295g 305g 7、甲 、丙 35 米
【例 3】已知数 的绝对值大于 ，则在数轴上表示数 的点应在原点的哪侧？
分析 ：确定表示 的点在原点的哪侧，其关键是确定 是正数还是负数．由于负
数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定 是负数．
解： 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为 0 和
B、“快”和“慢”表示具有相反意义的量；
C、“向南 100 米”和“向北 1000 米”表示具有相反意义的量；
注：①表中记录的数据为每天 12 时的水位与前一天 12 时水位的变化量。
②上周日 12 时的水位高度为 2 米。 请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了？ 分析 ：计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上 升了；若是负；说明水位下降了． 解 ：（1） ∴本周末水位下降了 练 12、股民小张星期五买某公司股票 1000 股,每股 14.80 元,下表为第二周星期一至星 期五每日该股票涨跌情况(单位:元):
D、6 个
答案：1.D 2. D 3.C
2、有理数的性质
【例 2】用有理数表示下面各量。
（1）如果收入 200 元记作＋200 元，则如何表示支出 100 元？
（2）如果海平面以下 100 米记作－100 米，则如何表示海平面以上 1000 米？
（3）如果向南行 100 米记作＋100 米，则向北行 200 米如何表示？
C、零既可以是正整数也可以是负整数；
D、一个有理数不是正数就是负数
2、下列说法错误线叫数轴；
B、所有有理数都可以用数轴上的点表示；
C、0 是最小的自然数；
D、-1 是最大的负整数；
3、下列说法中不正确的是（
）
A、最小的自然数是 1
B、最大的负整数是−1
C、没有最大的正整数
周二：9.5＋0.2＝9.9； 周三：9.7＋（－0.5）＝9.2； 周四：9.2＋0.3＝9.5； 周五：9.5＋0.2＝9.7； 周六：9.7＋（－0.7）＝9； 周日：9＋（－0.1）＝8.9。 由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是 9.7 环，本周日训练的平均成绩最 低，是 8.9 环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了（8.9－8.5＝ 0.4）0.4 环。 说明： 本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的 平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。 练 11、为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公 路上免费接送老师。如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：
考：小数是分数吗？）。
正数集合{
}；
负数集合{
}；
整数集合{
}；
正分数集合{ }；
负分数集合{
}；
分析：根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别．注意零既不是正数，也不是
负数，但是整数．
解：正数集合{26 ，0.1008，……}；
整数集合{ -16，26，-12，0，…… }；
负数集合{-16，-12，-0.92，-4.95，，……}；
分析 ： 该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不
同符号的数来表示．
解 ： （1）支出 100 元表示为－100 元；（2）海平面以上 1000 米应表示为＋
1000 米；（3）向北行 200 米表示为－200 米；（4）比标准重量少 5 克表示为－5 克．
注意 ： （1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应
⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数； ⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。 6、数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是______，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是______，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是______，无最小的负整数 7、a 可以表示什么数 ⑴a>0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a>0； ⑵a<0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a<0 ⑶a=0 表示 a 是 0；反之，a 是 0,，则 a=0 8、数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从 而得到所需的点的位置。
A．7
B．6
C．5
D4 ．
考 数轴． 点： 分 根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案． 析： 解 解：AB 的长度为 2﹣（﹣5）=2+5=7， 答： 故选：A． 点 本题考查了数轴，数轴上两点间的距离是大数减小数． 评：
练 14、数轴上与表示﹣2 的点距离 1 个单位长度的点所表示的数 ．
正数的绝对值都是它本身，所以 是负数，故表示数 的点应在原点的左侧．
说明：只有负数小于其本身的绝对值，而 0 和正数都等于自己的绝对值．
练 8、如果点 A 表示的数是 2.2，将点 A 向左边移动 2 个单位长度，那么这时点 A 表
示的数是_______,如果再向左移动 1.2 个单位长度，那么这时点 A 表示的数是_______
考 数轴． 点： 分 利用数轴上表示的数求解即可． 析： 解 解：数轴上与表示﹣2 的点距离 1 个单位长度的点所表示的数﹣1 或﹣3． 答： 故答案为：﹣1 或﹣3． 点 本题主要考查了数轴，解题的关键是不要漏解． 评：
1、下列说法正确的是（
）
A、正整数和负整数统称整数；
B、正分数、负分数统称分数；
练 9、 数轴上到原点的距离等于 4 个单位长度的点所表示的数是_____.
练 10、数轴上与距离原点 3 个单位长度的点所表示的负数是______________
答案：8、0.2 -1
9、+4、-4
10 、-3
【例 4】小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是 8.5 环，而这一周训练
的平均成绩变化如下表：
C、正整数和负整数统称整数
D、整数和分数统称为有理数
练 2、零不属于（ ）
A、有理数集合
B、整数集合
C、非正有理数集合
D、正数集合
练 3、 8 ，2005， 2 ，0， 4 ，+11， 3 ， 1 ， 7 、2， 2 中，正整数和
3
4
负分数共有（
）
A、3 个
B、4 个
C、5 个
___________________ 练 6、味精袋上标有“300±5 克”字样，还说明这袋味精的质量范围应该是____～____
练 7、地图上标有甲地海拔高度 30 米，乙地海拔高度为 20 米，丙地海报高度为 5
米 ， 其 中 最 高 处 为 ___________地 ， 最 低 处 为 ___________地 ， 最 高 处 与 最 低 处 相 差 _________________
3、数轴
【例 6】下列数轴画正确的是（ ）
A
B
C
D
．
．
．
．
考 数轴． 点：
分 根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向，可得答案． 析： 解 解：A 没有单位长度，故 A 错误； 答： B、没有正方向，故 B 错误；
C、原点、单位长度、正方向都符合条件，故 C 正确； D、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故 D 错误； 故选：C． 点 本题考查了数轴，注意数轴的三要素：原点、单位长度、正方向． 评： 练 13、如图，是点 A、B 在数轴上的位置，则线段 AB 的长度为（ ）
正分数集合{ 0.1008，……}；
负分数集合{-0.92，-4.95，……}．
说明：用大括号表示集合时，要注意省略号的使用．如“正数集合”指的是包含所有正
数的一个“集体”，因为是“所有的”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号．
练 1、下列说法正确的是（
）
A、非负有理数就是正有理数
B、零表示没有，不是自然数
D、没有最小的负整数
4、下列说法正确的是（
）
A、有 0 个苹果即一个苹果也没有，故 0 的意义就是表示没有
B、0 没有带“ ”号，所以 0 是正数；
C、字母 a 没有带“ ”号，所以 a 是正数；
D、0 既不是正数，也不是负数
5、下列说法正确的是（ ）
A、“黑色”和“白色”表示具有相反意义的量；
＋15，－4，＋13， 10， 12，＋3, 13, 17
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ （2）若汽车耗油量为 0.4 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 答案：（1）25 千米 （2）34.8 【例 5】下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录,其中，水位上 升用正数表示,水位下降用负数表示。
部编数学七年级上册必刷基础练【1.11.2正数和负数及有理数】(解析版)考点必刷精编讲义含答案
2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第一章《有理数》1.1-1.2 正数和负数及有理数知识点1：正数和负数【典例分析01】（2021秋•望城区期末）若盈余60万元记作+60万元，则﹣60万元表示（ ）A ．盈余60万元B ．亏损60万元C ．亏损﹣60万元D ．不盈余也不亏损解：若盈余60万元记作+60万元，则﹣60万元表示亏损60万元，故选：B ．【变式训练1-1】（2022•青县二模）热爱运动的琪琪坚持每天晚上健步走半小时并记录步数，他每天以3000步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数．下表是本周内琪琪健步走步数情况的记录：星期一二三四五六日步数/半小时+221+260﹣50﹣105﹣115+104（1）本周内琪琪健步走步数最多的一天比最少的一天多走了 375 步；（2）本周内琪琪平均每天健步走的速度约为 102 步/分钟（结果保留整数）．解：（1）∵﹣115＜﹣105＜﹣50＜0＜104＜221＜260，∴260﹣（﹣115）＝375（步），故答案为：375；（2）×（3000+）＝×（3000+45）＝×3045≈102（步/分钟），故答案为：102．【变式训练1-2】（2021秋•义乌市期末）小明原有生活费50元，现靠勤工俭学的收入支付生活费，下面是小明一周内每天生活费的增减情况表（增加为正，减少为负，单位：元）：星期一二三四五六日增减+7﹣2+12﹣60﹣1+6（1）求星期二结束时，小明有生活费多少元？（2）在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多多少元？解：（1）50+7﹣2＝55（元）；答：星期二结束时，小明有生活费55元；（2）∵50+7＝57（元），57﹣2＝55（元），55+12＝67（元），67﹣6＝61（元），61+0＝61（元），61﹣1＝60（元），60+6＝66（元），且55＜57＜60＜61＜66＜67，∴67﹣55＝12（元），答：在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多12元．【变式训练1-3】（2021秋•和平县期末）某出租车沿南北方向行驶，从A地出发，晚上到达B地．规定向北为正方向．行驶记录如下（单位：km）：+18、﹣9、+7、﹣14、﹣6、+13、﹣6，①B地在A地的什么位置？②若出租车每行驶1km耗油1升，求该天共耗油多少升？③若出租车起步价为7元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米1.2元，则该天车费多少元？解：（1）（+18）+（﹣9）+（+7）+（﹣14）+（﹣6）+（+13）+（﹣6）＝18﹣9+7﹣14﹣6+13﹣6＝3（千米），∵规定向北为正方向，∴B地在A地的北边3km处，答：B地在A地的北边3km处；（2）|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|+6|+|+13|+|﹣6|＝18+9+7+14+6+13+6＝73（千米），∵出租车每行驶1km耗油1升，∴该天共耗油73×1＝73（升），答：该天共耗油73升；（3）∵这七次每次的行驶路程都大于3km，∴每次的计费方式都是起步价+超过3km的费用，∴则该天车费＝7×7+（73﹣3×7）×1.2＝111.4（元），答：该天车费为111.4元．知识点2：有理数【典型分析02】（2021秋•新田县期末）下列各数中属于负整数的是（ ）A．0B．3C．﹣5D．﹣1.2解：A、0为整数，故选项不符合题意；B、3为负正整数，故选项不符合题意；C、﹣5为负整数，故选项符合题意；D、﹣1.2为负分数，故选项不符合题意．故选：C．【变式训练2-1】（2021秋•鼓楼区校级月考）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤﹣不仅是有理数，而且是分数；⑥是无限不循环小数，所以不是有理数．其中错误的说法的个数为（ ）A．6个B．5个C．4个D．3个解：①根据有理数的大小关系，﹣1＜0，故0不是最小的整数，那么①错误．②0是有理数，但0既不是正数，也不是负数，那么②错误．③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，那么③错误．④非负数包括0和正数，那么④错误．⑤根据无理数的定义，是无理数，那么⑤错误．⑥根据有理数的定义，是有理数，那么⑥错误．综上：错误的有①②③④⑤⑥，共6个．故选：A．【变式训练2-2】（2021秋•怀宁县期中）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a，也可以表示为0，，b，则b＝ 1 ．解：（1）∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，∴这两个数组的数分别对应相等．∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若a＝0，会使无意义，∴a≠0，只能a+b＝0，即a＝﹣b，于是＝﹣1．只能是b＝1，于是a＝﹣1，故答案为：1．【变式训练2-3】（2021秋•洛江区期中）把下列各数填在相应的大括号内：﹣5，﹣，﹣12，0，0.3，﹣3.14，+1.99，+6，．（1）正数集合：{ 0.3，+1.99，+6， …}；（2）分数集合：{ ﹣，0.3，﹣3.14，+1.99， …}．解（1）正数集合：{ 0.3，+1.99，+6，…}；（2）分数集合：{﹣，0.3，﹣3.14，+1.99，…}．故答案为：0.3，+1.99，+6，；﹣，﹣3.14，+1.99，．【变式训练2-4】（2020秋•宁波期末）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.化为分数形式，由于0.＝0.7777…，设x＝0.7777…①则10x＝7.777…②②﹣①得9x＝7，解得x＝，于是得0.＝．同理可得0.＝＝，7.＝7+0.＝7+＝．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）基础训练（1）0.＝ ，8.＝ ；（2）将0.化为分数形式，写出推导过程．迁移应用（3）0.5＝ ；（注：0.5＝0.153153…）探索发现（4）若已知0.1428＝，则2.8571＝ ．解：（1）0.＝＝，8.＝8+0.＝8+＝，故答案为：，；（2）将0.化为分数形式，由于0.＝0.646464…，设x＝0.646464…①，则100x＝64.6464…②，②﹣①得99x＝64，解得x＝，于是得0.＝；（3）类比（1）（2）的方法可得，0.＝＝，故答案为：；（4）∵0.1428＝，∴714.8571＝×1000，∴0.8571＝×1000﹣714＝，∴2.8571＝+2＝，故答案为：．知识点3：数轴【典型分析03】（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点 A 离原点的距离较近（填“A”或“B”）．解：∵|﹣2|＝2，|3|＝3，∴点A离原点的距离较近，故答案为：A．【变式训练3-1】（2022•东明县二模）数轴上的点B到原点的距离是6，则点B表示的数为（ ）A．12或﹣12B．6C．﹣6D．6或﹣6解：∵点B到原点的距离是6，∴点B表示的是±6，故选：D．【变式训练3-2】（2021秋•绵阳期末）如图，数轴上从左至右依次排列的三个点A，B，C，其中A、C两点到原点的距离相等，且AC＝8，BC＝2AB，则点B表示的数为（ ）A．﹣1B．1C．D．解：∵A、C两点到原点的距离相等，且AC＝8，∴A表示﹣4，C表示4，∵AC＝8，BC＝2AB，∴AB＝，∴点B表示的数为﹣4+．故选：D．【变式训练3-3】（2021秋•镇江期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是﹣7，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是 ﹣1 ．解：设点C表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣7）＝x+7，BC＝3﹣x．∵以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，∴AC﹣BC＝2．即：x+7﹣（3﹣x）＝2．解得：x＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式训练3-4】（2021秋•望城区期末）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西走向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下：（单位：千米）+3，﹣8，+13，+15，﹣10，﹣12，﹣13，﹣17（1）当最后一名老师到达目的地时，小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是多少？（2）若出租车的耗油量为0.4升/千米，这天上午出租车共耗油多少升？解：（1）∵+3﹣8+13+15﹣10﹣12﹣13﹣17＝﹣29，∴当最后一名老师到达目的地时，小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是29千米；（2）出租车司机小王这天上午行驶的路程是：|+3|+|﹣8|+|+13|+|+15|+|﹣10|+|﹣12|+|﹣13|+|﹣17|＝91，∴耗油为91×0.4＝36.4（升），答：这天上午出租车共耗油36.4升．【变式训练3-5】（2021秋•长汀县校级月考）解决问题：一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走2.5千米到达小颖家，然后向西走了10千米到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家，小彬家，小颖家的位置．（2）小明家距小彬家 7.5 千米？（3）货车每千米耗油0.08升，这次共耗油多少升？解：（1）如图：（2）从数轴上可看出，小明家距小彬家有7.5个单位，所以是7.5千米；（3）一共行驶的路程为：|+3|+|+2.5|+|﹣10|+|4.5|＝20（千米），所以共耗油20×0.08＝1.6（升）．知识点4：相反数【典型分析04】（2021秋•临江市期末）若a+2的相反数是﹣5，则a＝ 3 ．解：由题意得：a+2＝5，a＝3，故答案为：3．【变式训练4-1】（2021秋•毕节市期末）下列各对数中，互为相反数的是（ ）A．﹣（+1）和+（﹣1）B．﹣（﹣1）和+（﹣1）C．﹣（+1）和﹣1D．+（﹣1）和﹣1解：A、﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；B、﹣（﹣1）＝1，+（﹣1）＝﹣1，是相反数，故此选项符合题意；C、﹣（+1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；D、+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；故选：B．【变式训练4-2】（2021秋•渌口区期末）下列两个数互为相反数的是（ ）A．（﹣）和﹣（﹣）B．﹣0.5和C．π和﹣3.14D．+20和﹣（﹣20）解：A、﹣（﹣）＝，因为﹣+≠0，所以﹣与﹣（﹣）不是互为相反数，故此选项不符合题意；B、因为﹣0.5+＝0，所以﹣0.5与是互为相反数，故此选项符合题意；C、因为π+（﹣3.14）＝0.0015926……，故此选项不符合题意；D、﹣（﹣20）＝20，因为+20+20＝40，因此+20和﹣（﹣20）不是互为相反数，故此选项不符合题意；故选：B．【变式训练4-3】（2021秋•播州区期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n，则m＝ ﹣3 ，n＝ 3 ．解：∵m与n互为相反数，∴n＝﹣m，∵m＜n，且m与n之间的距离为6，∴n﹣m＝6，∴﹣m﹣m＝6，∴﹣2m＝6，解得m＝﹣3，∴n＝3．故答案为：﹣3，3．知识点5：绝对值【典型分析05】（2022•广东）|﹣2|＝（ ）A．﹣2B．2C．D．解：根据绝对值的意义：|﹣2|＝2，故选：B．【变式训练5-1】（2022•二道区模拟）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．|+1|与|﹣1|B．﹣（﹣1）与1C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|D．﹣|+2|与+（﹣2）解：A选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；B选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；C选项，3与﹣3是相反数，故该选项符合题意；D选项，﹣2与﹣2不是相反数，故该选项不符合题意；故选：C．【变式训练5-2】（2022•泰州）若x＝﹣3，则|x|的值为 3 ．解：∵x＝﹣3，∴|x|＝|﹣3|＝3．故答案为：3．【变式训练5-3】（2019秋•海淀区校级期中）观察下面的等式：3﹣1＝﹣|﹣1+2|+31﹣1＝﹣|1+2|+3（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3回答下列问题：（1）填空： ﹣4 ﹣1＝﹣|6+2|+3；（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是 0或﹣4 ；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，则y的最大值是 4 ，此时的等式为 4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3 ．解：（1）∵﹣|6+2|+3＝﹣5，﹣4﹣1＝﹣5，故答案为﹣4；（2）由所给式子可知，|x+2|＝2，∴x＝0或﹣4，故答案为0或﹣4；（3）∵y﹣1＝﹣|2﹣y+2|+3，∴y＝﹣|y﹣4|+4，当y≥4时，y＝﹣y+8，∴y＝4；当y＜4时，式子恒成立，∴y＝4时最大，此时4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3，故答案为4，4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3．【变式训练5-4】（2019秋•新抚区校级期中）已知m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，求m+n的值．解：分两种情况：①当|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1，∴m＝2，n＝1或n＝3，∴m+n＝3或5．②当|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0，∴m＝3或m＝1，n＝m，∴m+n＝6或2．综上，m+n的值为2或3或5或6．知识点6：非负数的性质：绝对值【典型分析06】（2021秋•黔南州月考）若|x﹣1|+|y+3|＝0，则y﹣x+的值是（ ）A．B．C．D．解：∵|x﹣1|≥0，|y+3|≥0，∴x﹣1＝0，y+3＝0，∴x＝1，y＝﹣3，∴y﹣x+＝﹣3﹣1+＝﹣3，故选：A．【变式训练6-1】（2021秋•长汀县校级月考）若|x﹣3|+|y+3|＝0，则x﹣y＝ 6 ．解：∵|x﹣3|+|y+3|＝0，而|x﹣3|≥0，|y+3|≥0，∴x﹣3＝0，y+3＝0，则x＝3，y＝﹣3，x﹣y＝3+3＝6．故答案为：6．【变式训练6-2】（2019秋•崇川区校级月考）已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．解：由题意得，3x﹣2＝0，y﹣4＝0，解得x＝，y＝4，所以，|6x﹣y|＝|6×﹣4|＝|4﹣4|＝0，即|6x﹣y|的值是0．【变式训练6-3】（2018秋•石鼓区校级月考）已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．解：（1）∵|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数，∴|a﹣3|+|2b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，2b﹣4＝0，解得a＝3，b＝2；（2）∵a＝3，b＝2，∴|x|＝2a+4b＝2×3+4×2＝14，∴x＝±14，∴x的相反数为﹣14或14．知识点7：有理数大小比较【典型分析07】（2021秋•翠屏区校级期中）将下列各数在数轴上表示出来，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接．4，﹣1.5，0，3，﹣2，解：如图所示：故．【变式训练7-1】（2022•仁怀市校级模拟）在2，0，﹣1，﹣2四个数中最大的数是（ ）A．2B．0C．﹣1D．﹣2解：∵﹣2＜﹣1＜0＜2，∴在2，0，﹣1，﹣2四个数中最大的数是2．故选：A．【变式训练7-2】（2021秋•闽侯县期末）在﹣1，0，3，﹣5这四个数中，最大的数是（ ）A．﹣1B．0C．3D．﹣5解：∵﹣5＜﹣1＜0＜3，∴在﹣1，0，3，﹣5这四个数中，最大的数是3．故选：C．【变式训练7-3】（2021秋•阳东区期末）下列四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1．最小的数是 ④ ．（填序号）解：∵﹣1＜﹣＜0＜5，∴所给的四个数中：①0；②﹣；③5；④﹣1，最小的数是④．故答案为：④．【变式训练7-4】（2021秋•六盘水期中）画出数轴，并解决下列问题：（1）把4，﹣3.5，，，0，2.5表示在数轴上．（2）请将上面的数用“＜”连接起来；（3）观察数轴，写出绝对值不大于4的所有整数．解：（1）如图所示：（2）由（1）可得：；（3）由（1）可得，绝对值不大于4的整数有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4。
七年级数学上册第一单元《有理数》-选择题专项知识点(含答案解析)
一、选择题1．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A．1，2 B．1，3C．4，2 D．4，3A解析：A【解析】试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．2．下列计算结果正确的是()A．－3－7＝－3＋7＝4B．4.5－6.8＝6.8－4.5＝2.3C．－2－13⎛⎫-⎪⎝⎭＝－2＋13＝－213D．－3－12⎛⎫-⎪⎝⎭＝－3＋12＝－212D解析：D【分析】本题利用有理数的加减运算法则求解各选项，即可判断正误．【详解】A选项：3710--=-，故错误；B选项：4.5 6.8 4.5( 6.8) 2.3-=+-=-，故错误；C选项：1122()21333---=-+=-，故错误；D选项运算正确．故选：D．【点睛】本题考查有理数的加减运算，按照对应法则仔细计算即可．3．在数3，﹣13，0，﹣3中，与﹣3的差为0的数是（）A．3 B．﹣13C．0 D．﹣3D解析：D【分析】与-3的差为0的数就是0+（-3），据此即可求解．【详解】解：根据题意得：0+（﹣3）＝﹣3，则与﹣3的差为0的数是﹣3，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的运算．熟练掌握有理数减法法则是解本题的关键．4．把实数36.1210-⨯用小数表示为（）A．0.0612 B．6120 C．0.00612 D．612000C解析：C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】6.12×10−3＝0.00612，故选C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．某市11月4日至7日天气预报的最高气温与最低气温如表：其中温差最大的一天是（）A．11月4日B．11月5日C．11月6日D．11月7日C解析：C【分析】运用减法算出每一天的温差，再进行比较即可．【详解】11月4日的温差为19415-=（℃）； 11月5日的温差为12(3)15--=（℃）； 11月6日的温差为20416-=（℃）； 11月7日的温差为19514-=（℃）． 所以温差最大的一天是11月6日． 故选C ． 【点睛】考核知识点：有理数减法运用．根据题意列出减法算式是关键．6．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ） A ．1℃~3℃ B ．3℃~5℃C ．5℃~8℃D ．1℃~8℃B解析：B 【解析】 【分析】根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：设温度为x ℃，根据题意可知1538x x x x ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≤⎩解得35x ≤≤． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 7．按键顺序是的算式是( ) A ．(0.8＋3.2)÷45＝ B ．0.8＋3.2÷45＝ C ．(0.8＋3.2)÷45＝ D ．0.8＋3.2÷45＝B 解析：B 【分析】根据计算器的使用方法，结合各项进行判断即可． 【详解】解：按下列按键顺序输入：则它表达的算式是0.8＋3.2÷45＝，故选：B．【点睛】此题主要考查了计算器的应用，根据有理数的输入方法正确输入数据是解题关键．8．计算－3－1的结果是（）A．2 B．－2 C．4 D．－4D解析：D【解析】试题-3-1=-3+（-1）=-（3+1）=-4．故选D.9．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a＋b的值为（）A．3±B．3-C．3 D．5± A解析：A【分析】通过ab＜0可得a、b异号，再由|a|=1，|b|=4，可得a=1,b=﹣4或者a=﹣1,b=4；就可以得到a＋b的值【详解】解：∵|a|=1，|b|=4，∴a=±1，b=±4，∵ab＜0，∴a+b=1-4=-3或a+b=-1+4=3，故选A.【点睛】本题主要考查了绝对值的运算，先根据题意确定绝对值符号中数的正负再计算结果，比较简单．10．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可分裂为（）A．8个B．16个C．32个D．64个D解析：D【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是21个．分裂第二次时，2个就变为了22个．那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得．【详解】26=2×2×2×2×2×2=64．故选D．【点睛】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律．11．如果a ，b ，c 为非零有理数且a + b + c = 0，那么a b c abc a b c abc+++的所有可能的值为（ A ．0 B ．1或- 1C ．2或- 2D ．0或- 2A解析：A 【分析】根据题意确定出a ，b ，c 中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵a 、b 、c 为非零有理数，且a+b+c=0 ∴a 、b 、c 只能为两正一负或一正两负．①当a 、b 、c 为两正一负时，设a 、b 为正，c 为负， 原式=1+1+（-1）+（-1）=0，②当a 、b 、c 为一正两负时，设a 为正，b 、c 为负 原式1+（-1）+（-1）+1=0，综上，a b c abca b c abc+++的值为0，故答案为：0． 【点睛】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ） A ．3 B ．3- C ．3或者3- D ．13C 解析：C 【解析】 试题∵一个数的绝对值是3，可设这个数位a ， ∴|a|=3， ∴a=±3 故选C ．13．下列运算正确的是（ ） A ．()22-2-21÷= B ．311-2-8327⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1352535-÷⨯=- D ．133( 3.25)6 3.2532.544⨯--⨯=- D解析：D 【分析】根据有理数的乘方运算可判断A 、B ，根据有理数的乘除运算可判断C ，利用乘法的运算律进行计算即可判断D ． 【详解】A 、()22-2-2441÷=-÷=-，该选项错误；B 、33343191217-2-332727⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该选项错误； C 、1335539355-÷⨯=-⨯⨯=-，该选项错误； D 、13132713273( 3.25)6 3.25 3.25 3.25 3.25()32.5444444⨯--⨯=-⨯-⨯=-⨯+=，该选正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．注意：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 14．若2020M M +-＝+，则M 一定是（ ） A ．任意一个有理数 B ．任意一个非负数C ．任意一个非正数D ．任意一个负数B解析：B 【分析】直接利用绝对值的性质即可解答． 【详解】解：∵M ＋｜-20｜＝｜M ｜＋｜20｜， ∴Ｍ≥0，为非负数． 故答案为B ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，灵活应用绝对值的性质是正确解答本题的关键． 15．用计算器求243，第三个键应按（ ） A ．4 B ．3C ．y xD ．=C解析：C 【解析】用计算器求243，按键顺序为2、4、y x 、3、=. 故选C.点睛：本题考查了熟练应用计算器的能力，解题关键是熟悉不同的按键功能. 16．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）A．x=－4，y=－2 B．x=3， y=3 C．x=2，y=4 D．x=4，y=0C解析：C【分析】根据y的正负然后代入两个式子内分别求解，看清条件逐一排除即可．【详解】当x=－4，y=－2时，－2＜0，故代入x2－2y，结果得20，故不选A；当x=3，y=3时，3＞0，故代入x2+2y，结果得15，故不选B；当x=2，y=4时，4＞0，故代入x2+2y，结果得12，C正确；，故代入x2+2y，结果得16，故不选D；当x=4，y=0时，00故选C．【点睛】此题考查了整式的运算，重点是看清楚程序图中的条件，分别代入两个条件式中进行求解．17．绝对值大于1小于4的整数的和是（）A．0 B．5 C．﹣5 D．10A解析：A【解析】试题绝对值大于1小于4的整数有：±2；±3．-2+2+3+（3）=0．故选A．18．下列各组数中，不相等的一组是（）A．-（+7），-|-7| B．-（+7），-|+7|C．+（-7），-（+7）D．+（+7），-|-7|D解析：D【详解】A.-（+7）=-7，-|-7|=-7，故不符合题意；B.-（+7）=-7，-|+7|=-7，故不符合题意；C.+（-7）=-7，-（+7）=-7，故不符合题意；D.+(+7)=7,−(−7)=−7，故符合题意，故选D.19．如果|a|＝－a，下列成立的是()A ．－a 一定是非负数B ．－a 一定是负数C ．|a |一定是正数D ．|a |不能是0A解析：A 【分析】根据绝对值的性质确定出a 的取值范围，再对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 ∵|a|=-a ， ∴a≤0，A 、正确，∵|a|=-a ，∴-a≥0；B 、错误，-a 是非负数；C 、错误，a=0时不成立；D 、错误，a=0时|a|是0． 故选A ． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．20．下列说法中，正确的是（ ） A ．正数和负数统称有理数B ．既没有绝对值最大的数，也没有绝对值最小的数C ．绝对值相等的两数之和为零D ．既没有最大的数，也没有最小的数D 解析：D 【分析】分别根据有理数的定义，绝对值的定义，有理数的大小比较逐一判断即可． 【详解】整数和分数统称为有理数，故原说法错误，故选项A 不合题意；没有绝对值最大的数，绝对值最小的数是0，故原说法错误，故选项B 不合题意； 绝对值相等的两数之和等于零或大于0，故原说法错误，故选项C 不合题意； 既没有最大的数，也没有最小的数，正确，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查有理数的定义、绝对值的定义，熟知有理数和绝对值的定义是解题的关键． 21．下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A ．11910⎛⎫-->- ⎪⎝⎭B ．010>-C ．33-<+D ．10.01->- A解析：A 【分析】先化简各式，然后根据有理数大小比较的方法判断即可． 【详解】 ∵1199⎛⎫--= ⎪⎝⎭，111010--=-，11910>-， ∴11910⎛⎫-->--⎪⎝⎭，故选项A 正确； ∵1010-=，010<， ∴010<-，故选项B 不正确； ∵33-=，33+=，∴33-=+，故选项C 不正确； ∵11-=，0.010.01-=，10.01>， ∴10.01-<-，故选项D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．22．下列算式中，计算结果是负数的是( ) A ．3(2)⨯- B ．|1|-C ．(2)7-+D ．2(1)- A解析：A 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】 解：3(2)6，故选项A 符合题意，|1|1-=，故选项B 不符合题意， (2)75-+=，故选项C 不符合题意，2(1)1-=，故选项D 不符合题意， 故选：A ． 【点睛】题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 23．若21(3)0a b -++=，则b a -=（ ） A ．-412B ．-212C ．-4D ．1C解析：C 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得a-1=0，b+3=0，求出a 、b 后代入式子进行计算即可得. 【详解】由题意得：a-1=0，b+3=0， 解得：a=1，b=-3， 所以b-a=-3-1=-4, 故选C. 【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.24．下列各数中，互为相反数的是（ ）A ．+(-2)与-2B ．+(+2)与-(-2)C ．-(-2)与2D ．-|-2|与+(+2)D 解析：D 【解析】 【分析】先将各选项中的数字化简，然后根据相反数的定义进行判断即可. 【详解】A. +(-2)=-2，-2=-2，故A 选项中的两个数不互为相反数；B. +(+2)=2， -(-2)=2，故B 选项中的两个数不互为相反数；C. -(-2)=2，2=2，故C 选项中的两个数不互为相反数；D. -|-2|=-2，+(+2)=2，-2与2互为相反数，故D 选项中的两个数互为相反数， 故选D. 【点睛】本题考查了相反数的概念，涉及了绝对值化简等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 25．已知n 为正整数，则()()2200111n-+-=（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．2C解析：C 【解析】 【分析】根据-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1，即可求得答案. 【详解】 ∵n 为正整数， ∴2n 为偶数.∴（-1）2n +(-1)2001=1+(-1)=0 故选C. 【点睛】此题考查了有理数的乘方，关键点是正确的判定-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1. 26．下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的说法有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个B解析：B【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．【详解】①减去一个数等于加上这个数的相反数，故本小题正确；②互为两个相反数的两数相加得零，故本小题正确；③减数是负数时，差大于被减数，故本小题错误；④如果两个数的绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，故本小题正确；综上所述，正确的有①②④共3个．故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．27．有理数a、b在数轴上，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．ab＞0 C．a＜b D．b＜0C解析：C【分析】根据数轴的性质，得到b＞0＞a，然后根据有理数乘法计算法则判断即可．【详解】根据数轴上点的位置，得到b＞0＞a，所以A、D错误，C正确；而a和b异号，因此乘积的符号为负号，即ab＜0所以B错误；故选C．【点睛】本题考查了数轴，以及有理数乘法，原点右侧的点表示的数大于原点左侧的点表示的数；异号两数相乘，符号为负号；本题关键是根据a和b的位置正确判断a和b的大小．28．在-1，2，-3，4，这四个数中，任意三数之积的最大值是（）A．6 B．12 C．8 D．24B解析：B【分析】三个数乘积最大时一定为正数，二2和4的积为8，因此一定要根据-1和-3相乘，积为3，然后和4相乘，此时三数积最大．【详解】∵乘积最大时一定为正数∴-1，-3，4的乘积最大为12故选B．【点睛】本题考查了有理数的乘法，两个负数相乘积为正数，先将两个负数化为正数是本题的关键．29．如果a ＝14-，b ＝－2，c ＝324-，那么︱a ︱+︱b ︱-︱c ︱等于（ ） A ．-12 B ．112 C ．12 D ．-112A 解析：A 【分析】 逐一求出三个数的绝对值，代入原式即可求解．【详解】1144a =-=，22b =-=，332244c =-= ∴原式=13122442+-=- 故答案为A ． 【点睛】 本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减法混合运算，正数的绝对值为本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数．30．计算2136⎛⎫--- ⎪⎝⎭的结果为（ ） A ．-12 B ．12 C ．56 D ．56A 解析：A【分析】根据有理数加减法法则计算即可得答案．【详解】2136⎛⎫--- ⎪⎝⎭=2136-+ =12-． 故选：A ．【点睛】本题考查有理数的加减，有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，一个数同零相加，仍得这个数，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．。
部编数学七年级上册专题1.7有理数的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题1.7 有理数的应用【典例1】2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．星期一二三四五六日超减产量/个+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.25元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.25元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元？（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量；（3）根据每周计件工资制，列出算式可以解答本题；（4）根据日计件工资制，列出算式可以解答本题．解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.8+11×（0.8+0.2）＝1680+11×1＝1680+11＝1691（元），答：小王这一周的工资总额是1691元；（4）第一天：300×0.8+5×（0.8+0.2）＝245（元）；第二天：（300﹣2）×0.8﹣2×0.25＝237.9（元）；第三天：（300﹣4）×0.8﹣4×0.25＝235.8（元）；第四天：300×0.8+13×（0.8+0.2）＝253（元）；第五天：（300﹣9）×0.8﹣9×0.25＝230.55（元）；第六天：300×0.8+16×（0.8+0.2）＝256（元）；第七天：（300﹣8）×0.8﹣8×0.25＝231.6（元）；共245+237.9+235.8+253+230.55+256+231.6＝1689.85（元）．答：小王这一周的工资总额是1689.85元．1．（2021秋•台州期末）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山时，每登高1000米气温的变化量为﹣6℃．今年元旦、七（2）班几位同学约好去登山，同一时间，得知山顶气温为﹣1℃，山脚的气温为2.5℃．问这座山的高度有多少米？（结果精确到1米）【思路点拨】根据题意列出算式[2.5﹣（﹣1）]÷6×1000，依此计算即可求出值．【解题过程】解：根据题意得：[2.5﹣（﹣1）]÷6×1000＝3.5÷6×1000＝3500÷6＝583（米）．故这座山的高度大约有583米．2．（2021秋•晋江市校级期末）某七年级（1）班抽查了10名同学的体重，以40kg为标准，超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，记录情况如下（单位：kg）：+5、﹣3、+10、﹣4、﹣5、﹣3、﹣8、+1、+5、+15．（1）这10名同学中，最重体重是 55 kg，比体重最轻的重了 23 kg．（2）这10名同学的平均体重是多少？【思路点拨】（1）根据正负数的意义记录最大的正数为最重，最小的负数为最轻；（2）把记录相加除以10，再加上以40kg基准计算即可得解．【解题过程】解：（1）这10名同学中，最重体重是：40+15＝55（kg），最重体重比体重最轻的重了：15﹣（﹣8）＝15+8＝23（kg），故答案为：55；23；（2）110×（5﹣3+10﹣4﹣5﹣3﹣8+1+5+15）+40=110×13+40＝1.3+40＝41.3（kg），答：这10名同学的平均体重是41.3kg．3．（2021秋•仁怀市期末）某散酒销售商有10桶散酒准备销售，称得质量如下（单位：千克）：199，198，198.5，201，199.5，202，197，200.5，203，201.5．（1）每桶散酒超过200千克的千克数记正数，不足的千克数记为负数．请用正、负数表示这10桶散酒的质量；（2）计算这10桶散酒的总质量；（3）若这种散酒的售价为每千克80元，则这10桶散酒能卖多少元？【思路点拨】（1）以200千克为基准数，把相应数分别减去200即可；（2）求出（1）中的数的和，再加上2000×10即可；（3）10桶散酒的总金额＝10桶散酒的质量×单价．【解题过程】解：（1）以200千克为基准数，用正、负数表示这10桶散酒的质量分别为：﹣1，﹣2，﹣1.5，+1，﹣0.5，+2，﹣3，+0.5，+3，+1.5；（2）﹣1﹣2﹣1.5+1﹣0.5+2﹣3+0.5+3+1.5＝0，0+200×10＝2000（千克），答：这10桶散酒的总质量为2000千克；（3）2000×80＝160000（元），答：这10桶散酒能卖160000元．4．（2022春•泾阳县月考）登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米）+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．（1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？（2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？【思路点拨】（1）直接根据有理数的加减运算法则进行计算即可得出答案．（2）先计算出上升和下降的距离，再根据有理数乘法可得答案．【解题过程】解：（1）260﹣50+90﹣20+80﹣25+105＝440（米）．500﹣440＝60（米）．∴这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终矩顶峰还有60米．（2）|+260|+|﹣50|+|+90|+|﹣20|+|+80|+|﹣25|+|+105|＝630（米），630×8＝5040（千卡）．所以王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量．5．（2021秋•建昌县期末）目前白菜货源不足，市场价格高于往年同期，白菜销售紧俏．现有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下（单位：千克）：与标准质量的差值﹣3﹣2﹣1012筐数142328（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多 5 千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价3.4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？【思路点拨】（1）根据最大数减最小数，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得标准的重量，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得总重量，根据单价乘以数量，可得答案．【解题过程】解：（1）最重的一筐比最轻的一筐多重2﹣（﹣3）＝2+3＝5（千克），故答案为：5；（2）根据题意，得：（﹣3）×1+（﹣2）×4+（﹣1）×2+0×3+1×2+2×8＝5（千克），答：与标准重量比较，20筐白菜总计超过5千克；（3）根据题意，得：（20×25+5）×3.4＝1717（元），答：出售这20筐白菜可卖出1717元．6．（2021秋•义乌市期末）小明原有生活费50元，现靠勤工俭学的收入支付生活费，下面是小明一周内每天生活费的增减情况表（增加为正，减少为负，单位：元）：星期一二三四五六日增减+7﹣2+12﹣60﹣1+6（1）求星期二结束时，小明有生活费多少元？（2）在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多多少元？【思路点拨】（1）用原有生活费50元，加星期一、二的生活费收支数字之和；（2）求出每天的生活费并进行大小比较后，再计算最大值与最小值的差即可．【解题过程】解：（1）50+7﹣2＝55（元）；答：星期二结束时，小明有生活费55元；（2）∵50+7＝57（元），57﹣2＝55（元），55+12＝67（元），67﹣6＝61（元），61+0＝61（元），61﹣1＝60（元），60+6＝66（元），且55＜57＜60＜61＜66＜67，∴67﹣55＝12（元），答：在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多12元．7．（2021秋•淇县期末）在今年720特大洪水自然灾害中，一辆物资配送车从仓库O出发，向东走了4千米到达学校A，又继续走了1千米到达学校B．然后向西走了9千米到达学校C，最后回到仓库O．解决下列问题：（1）以仓库O为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴．并在数轴上表示A、B、C的位置；（2）结合数轴计算：学校C在学校A的什么方向，距学校A多远？（3）若该配送车每千米耗油0.1升，在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？【思路点拨】（1）根据题意画出数轴，如图所示；（2）根据数轴上点C和点A的位置解答即可；（3）根据列算式求出行驶的总路程，再乘每千米耗油量即可得到结果．【解题过程】解：（1）如图，（2）4﹣（﹣4）＝8（千米），答：学校C在学校A的西边，距学校A8千米；（3）4+1+9+4＝18（千米），18×0.1＝1.8（升），答：共耗油1.8升．8．（2021秋•西青区期末）一粮库一周内发生粮食进出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）．+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20，+25（Ⅰ）经过这一周，库里的粮食是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？（Ⅱ）这一周后仓库管理员结算发现库里还存260吨粮食，那么一周前库里存粮多少吨？（Ⅲ）如果进出库的装卸费都是每吨8元，那么这一周要付多少装卸费？【思路点拨】（Ⅰ）根据有理数的加法，可得答案；（Ⅱ）根据剩余的量加上减少的量，可得答案；（Ⅲ）根据装卸单价乘以装卸的数量，可得答案．【解题过程】解：（Ⅰ）26+（﹣32）+（﹣15）+（+34）+（﹣38）+（﹣20）+（+25）＝﹣20（吨），答：经过这一周，粮库里的粮食是减少20吨；（Ⅱ）260﹣（﹣20）＝280（吨），答：一周前粮库里存粮是280吨；（Ⅲ）（26+32+15+34+38+20+25）×8＝190×8＝1520（元），答：这一周要付装卸费1520元．9．（2021秋•济源期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；星期一二三四五六日与计划量的差值+4﹣3﹣5+14﹣8+21﹣6（1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 29 斤；（2）本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由；（3）若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？【思路点拨】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；（2）先将各数相加求得正负即可求解；（3）将总数量乘以价格差解答即可．【解题过程】解：（1）21﹣（﹣8）＝21+8＝29（斤）．所以根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤．故答案为：29；（2）+4﹣3﹣5+14﹣8+21﹣6＝17＞0，故本周实际销量达到了计划数量；（3）（17+100×7）×（8﹣3）＝717×5＝3585（元）．答：小明本周一共收入3585元．10．（2022春•南岗区期末）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖200kg脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出人，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：kg）．星期一二三四五六日+6+3﹣2+12﹣7+19﹣11与计划量的差值（1）根据表中的数据可知前三天共卖出 607 kg脐橙；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 30 kg脐橙；（3）若电商以1.5元/kg的价格购进脐橙，又按3.5元/kg出售脐橙，且电商需为买家按0.5元/kg的价格支付脐橙的运费，则电商本周一共赚了多少元？【思路点拨】（1）前三天共卖出的脐橙为200×3+（6+3﹣2）千克，计算即可；（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售19﹣（﹣11）＝30（千克）；（3）先计算脐橙的总量，然后根据：总量×（售价﹣进价﹣运费）代入数据计算，结果就是赚的钱数．【解题过程】解：（1）前三天共卖出的脐橙为200×3+（6+3﹣2）＝600+7＝607（千克）；（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售19﹣（﹣11）＝30（千克）；（3）200×7+（6+3﹣2+12﹣7+19﹣11）＝1420（千克），1420×（3.5﹣1.5﹣0.5）＝2130（元），答：电商本周一共赚了2130元．11．（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．星期一二三四五六日与前一天的价格涨跌情况（元）+0.2﹣0.3+0.5+0.2﹣0.3+0.4﹣0.1注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？【思路点拨】（1）根据有理数的加法，可得每天的价格，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）求出本周末的价格即可．【解题过程】解：（1）星期一的价格：2.7+（+0.2）＝2.9（元）；星期二的价格：2.9+（﹣0.3）＝2.6（元）；星期三的价格：2.6+（+0.5）＝3.1（元）；星期四的价格：3.1+（+0.2）＝3.3（元）；星期五的价格：3.3+（﹣0.3）＝3（元）；星期六的价格：3+（+0.4）＝3.4（元）；星期日的价格：3.4+（﹣0.1）＝3.3（元）；故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元，3.3＞2.7，3.3﹣2.7＝0.6（元），答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．12．（2021秋•高新区校级期末）新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前五天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．文具店记录了这五天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：第1天第2天第3天第4天第5天每支价格相对标准价格（元）+3+2+1﹣1﹣2售出支数（支）712153234（1）这五天中赚钱最多的是第 4 天，这天赚钱 96 元．（2）新华文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了多少钱？【思路点拨】（1）先根据正数和负数的定义将相对标准价格转化为实际价格，再根据单支利润×售出支数来计算当天利润，再进行比较即可．（2）将这5天每天的利润相加即可得到总利润．【解题过程】解：（1）第1天到第5天的每支钢笔的相对标准价格（元）分别为+3，+2，+1，﹣1，﹣2，则每支钢笔的实际价格（元）分别为13，12，11，10，9，8，第1天的利润为：（13﹣6）×7＝49（元）；第2天的利润为：（12﹣6）×12＝72（元）；第3天的利润为：（11﹣6）×15＝75（元）；第4天的利润为：（9﹣6）×32＝96（元）；第5天的利润为：（8﹣6）×34＝68（元）；49＜68＜72＜75＜96，故这五天中赚钱最多的是第4天，这天赚钱96元．（2）49+72+75+96+68＝360（元）故新华文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了360元钱．13．（2021秋•沐川县期末）小虫在一条水平直线上从点O出发，沿直线来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，连续爬行的路程依次记为（单位：厘米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，最终停下．（1）求小虫爬行结束后停在直线上的位置？（2）在爬行过程中，小虫一共爬行了多少厘米？（3）小虫爬行过程中离开出发点O最远是多少厘米？【思路点拨】（1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答；（2）求出所有爬行记录的绝对值的和即可．（3）根据正负数的意义分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可．【解题过程】解：（1）由题意可知：+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，故小虫回到原点O；（2）小虫共爬行的路程为：5+|﹣3|+10+|﹣8|+|﹣6|+12+|10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54（厘米），答：小虫一共爬行了54厘米．（3）第一次爬行，此时离开原点5厘米，第二次爬行，此时离开原点5﹣3＝2（厘米），第三次爬行，此时离开原点5﹣3+10＝12（厘米），第四次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8＝4（厘米），第五次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6＝﹣2（厘米），第六次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6+12＝10（厘米），第七次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0（厘米），故小虫离开出发点最远是12（厘米）．14．（2021秋•秦都区期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为250毫升，现抽取8瓶样品进行检测，超过或不足标准剂量的部分分别用正、负数表示，记录结果如下（单位：毫升）：+6，﹣2，+3，+10，﹣6，+5，﹣15，﹣8．（1）这8瓶样品试剂的总剂量是多少？（2）若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费为10元/毫升，求将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量需要多少人工费？【思路点拨】（1）利用基准数求和，可根据和＝基准数×个数+浮动数，来得出8瓶样品的总重量．（2）计算8瓶样品的增加和减少总量，乘人工费10元/毫升即可．【解题过程】解：（1）250×8+（+6﹣2+3+10﹣6+5﹣15﹣8）＝2000﹣7＝1993（毫升）．答：这8瓶样品试剂的总剂量1993毫升．（2）|+6|+|﹣2|+|+3|+|+10|+|﹣6|+|+5|+|﹣15|+|﹣8|＝6+2+3+10+6+5+15+8＝55（毫升）55×10＝550（元）答：8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量需要550元人工费．15．（2021秋•漳州期末）某路公交车从起点站出发经过A，B，C，D站到达终点站，各站上下乘客的人数（单位：人）记录如表所示（上车记为正，下车记为负）．起点站A站B站C站D站终点站+30+12+5+6+200﹣2﹣8﹣9m﹣20（1）若乘坐该车的票价为每人都为2元，则这趟公交车票款总共多少元；（2）求m的值，并说明行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多．【思路点拨】（1）根据各站之间的人数，乘以票价2元，然后计算即可得解；（2）计算各站车上的乘客人数解答即可．【解题过程】解：（1）2×（30+12+5+6+2）＝2×55＝110（元），答：这趟公交车票款总共110元；（2）起点到A站，车上人数：30，A站到B站，车上人数：30+12﹣2＝40，B站到C站，车上人数，40+5﹣8＝37，C站到D点，37+6﹣9＝34，D站到终点站，34+2+m＝20，解得：m＝﹣16，∴答：表格中m的值是﹣16，A站与B站之间，车上的人数最多，最多乘客人数是40人．16．（2022春•道外区期末）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.250.30.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量：（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元．【思路点拨】（1）根据总箱数和已知箱数求出n，求出新数的和再加200千克即可；（2）根据销售额＝销售单价×总数量计算即可；（3）根据销售额＝销售单价×总数量×销售比例计算即可．【解题过程】解：（1）n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱），10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2＝203（千克）；答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克；（2）25×203﹣200×20＝1075（元）；答：全部售出可获利1075元；（3）25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20＝466（元）．答：是盈利的，盈利466元．17．（2021秋•乳山市期末）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产220辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过220辆记为正，不足220辆记为负）星期一二三四五六日增减（辆）+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知，前三天共生产了 659 辆；（2）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 26 辆；（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元．【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出前三天共生产了多少辆自行车；（2）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少辆自行车；（3）根据题意，可以列出算式，然后计算即可．【解题过程】解：（1）由表格可得，（220+5）+（220﹣2）+（220﹣4）＝225+218+216＝659（辆），即前三天共生产了659辆，故答案为：659；（2）由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了16﹣（﹣10）＝16+10＝26（辆），故答案为：26；（3）220×7×100+[5+（﹣2）+（﹣4）+13+（﹣10）+16+（﹣9）]×120＝154000+9×120＝154000+1080＝155080（元），答：工人这一周的工资总额是155080元．18．（2021秋•汝阳县期末）某批发商于上周日买进某产品10000kg，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．如表为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元）星期一二三四五与前一天相比价格的涨跌情况/元+0.3﹣0.1+0.25+0.2﹣0.5当天的交易量/kg25002000300015001000（1）星期四该产品价格为每千克多少元？（2）本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？（3）该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？【思路点拨】（1）根据价格的涨跌情况即可作出判断；（2）计算出每天的价格即可作出判断；（3）根据售价﹣进价﹣摊位费用＝收益，即可进行计算．【解题过程】解：（1）2.4+0.3﹣0.1+0.25+0.2＝3.05（元）；答：星期四该产品价格为每千克3.05元；（2）星期一的价格是：2.4+0.3＝2.7（元）；星期二的价格是：2.7﹣0.1＝2.6（元）；星期三的价格是：2.6+0.25＝2.85（元）；星期四是：2.85+0.2＝3.05（元）；星期五是：3.05﹣0.5＝2.55（元）；因而本周内该农产品的最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元；（3）（2500×2.7﹣5×20）+（2000×2.6﹣4×20）+（3000×2.85﹣3×20）+（1500×3.05﹣2×20）+（1000×2.55﹣20）﹣10000×2.4＝6650+5120+8490+4535+2530﹣24000＝27325﹣24000＝3325（元）．答：他在本周的买卖中共赚了3325元钱．19．（2021秋•沙河口区期末）如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：﹣4，+3，﹣6，﹣1，+9，﹣2，﹣5，+4．（1）请通过计算说明A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？【思路点拨】（1）通过计算各数据的代数和，依据题意可得A站的站名；通过依次计算每相邻两站的代数和，找出绝对值最大的数即为距离西安路站最远的站；（2）计算各个数据的绝对值的和即可得到行走的总站数，再乘以1.8即可得出结论．【解题过程】解：（1）∵﹣4+3﹣6﹣1+9﹣2﹣5+4＝﹣2，东行驶为正，向西为负，∴A站在西安路站向西两站即辽师大站；∵﹣4+3＝﹣1，﹣1﹣6＝﹣7，﹣7﹣1＝﹣8，﹣8+9＝1，1﹣2＝﹣1，﹣1﹣5＝﹣6，﹣6+4＝﹣2，∴﹣8的绝对值最大，可知小王服务期间距离西安路站最远在西安路站西侧8站，即机场站；（2）∵|﹣4|+|3|+|﹣6|+|﹣1|+|+9|+|﹣2|+|﹣5|+|+4|＝34，∴小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进34站．∵相邻两站之间的平均距离为1.8千米，∴34×1.8＝61.2（千米）．答：小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是61.2千米．20．（2022春•香坊区期末）如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点，某天，小明参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，﹣3，+4，﹣5，+8，﹣2，+1，﹣3，﹣4，+1．（1）请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？（3）已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若小明开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？【思路点拨】（1）用原点表示起点位置，再利用有理数的和求解；（2）先用绝对值求共几个站，再求里程数；（3）列方程求解．【解题过程】解：（1）设C站为原点，则）：+5﹣3+4﹣5+8﹣2+1﹣3﹣4+1＝+2，表示原点右侧第二个站，即E站．（2））|+5|+|﹣3|+|+4|+|﹣5|+|+8|+|﹣2|+|+1|+|﹣3|+|﹣4|+|+1|＝5+3+4+5+8+2+1+3+4+1＝36，36×2.5＝90（千米）．（3）设该汽车油箱能存储油x升，依题意得：1170x﹣0.2×90＝0.1x，解得：x＝315，答：该汽车油箱能存储油315升，。
(人教版)武汉七年级数学上册第一章《有理数》知识点总结(答案解析)
1．丁丁做了4道计算题：① 2018(1)2018-=；② 0(1)1--=-；③ 1111326-+-=；④11()122÷-=-请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）道 A ．1道 B ．2道C ．3道D ．4道A解析：A 【分析】根据乘方的意义以及有理数的减法、乘法、除法法则，有理数加减混合运算法则即可判断． 【详解】①2018(1)1-=，故本小题错误； ②0(1)1--=，故本小题错误； ③1113267-+-=-，故本小题错误； ④11()122÷-=-，正确； 所以，他一共做对了1题． 故选A ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、加法以及除法法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的120，积（ ） A ．缩小到原来的12B ．扩大到原来的10倍C ．缩小到原来的110D ．扩大到原来的2倍A解析：A 【分析】根据题意列出乘法算式，计算即可． 【详解】设一个因数为a ，另一个因数为b ∴两数乘积为ab 根据题意，得1110202a b ab = 故选A ． 【点睛】本题考查了有理数乘法运算，根据有理数乘法运算法则计算即可．3．某测绘小组的技术员要测量A ，B 两处的高度差（A ，B 两处无法直接测量），他们首先选择了D ，E ，F ，G 四个中间点，并测得它们的高度差如下表：根据以上数据，可以判断A ，B 之间的高度关系为（ ） A ．B 处比A 处高 B ．A 处比B 处高 C ．A ，B 两处一样高 D ．无法确定B解析：B 【分析】根据题意列出算式，A ，B 之间的高度差A B h h -，结果大于0，则A 处比B 处高，结果小于0，则B 处比A 处高，结果等于0，则A ，B 两处一样高． 【详解】 根据题意，得：()()()()()A D E D F E G F B G h h h h h h h h h h ---------=A D E D F E G F B G h h h h h h h h h h --+-+-+-+ =A B h h -将表格中数值代入上式，得()()4.5 1.70.8 1.9 3.6 1.5A B h h -=------= ∵1.5>0 ∴A B h h > 故选B ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，去括号时注意符号变号问题是本题的关键．4．下列各式中，不相等的是（ ） A ．（﹣5）2和52 B ．（﹣5）2和﹣52 C ．（﹣5）3和﹣53 D ．|﹣5|3和|﹣53|B解析：B 【分析】本题运用有理数的乘方，相反数以及绝对值的概念进行求解． 【详解】选项A ：22(5)(5)(5)5-=--=选项B ：22(5)(5)(5)525-=--==；25(55)25-=-⨯=- ∴22(5)5-≠-选项C ：3(5)(5)(5)(5)125-=---=-；35(555)125-=-⨯⨯=- ∴33(5)5-=-选项D ：35555555125-=-⨯-⨯-=⨯⨯=；35(555)125125-=-⨯⨯=-=∴3355-=- 故选B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，相反数（只有正负号不同的两个数互称相反数），绝对值（一个有理数的绝对值是这个有理数在数轴上的对应点到原点的距离），其中正数和零的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数． 5．下列各数中，互为相反数的是（ ）A ．+(-2)与-2B ．+(+2)与-(-2)C ．-(-2)与2D ．-|-2|与+(+2)D 解析：D 【解析】 【分析】先将各选项中的数字化简，然后根据相反数的定义进行判断即可. 【详解】A. +(-2)=-2，-2=-2，故A 选项中的两个数不互为相反数；B. +(+2)=2， -(-2)=2，故B 选项中的两个数不互为相反数；C. -(-2)=2，2=2，故C 选项中的两个数不互为相反数；D. -|-2|=-2，+(+2)=2，-2与2互为相反数，故D 选项中的两个数互为相反数， 故选D. 【点睛】本题考查了相反数的概念，涉及了绝对值化简等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 6．下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A ．11910⎛⎫-->- ⎪⎝⎭B ．010>-C ．33-<+D ．10.01->- A解析：A 【分析】先化简各式，然后根据有理数大小比较的方法判断即可． 【详解】 ∵1199⎛⎫--= ⎪⎝⎭，111010--=-，11910>-， ∴11910⎛⎫-->--⎪⎝⎭，故选项A 正确； ∵1010-=，010<， ∴010<-，故选项B 不正确； ∵33-=，33+=，∴33-=+，故选项C 不正确；∵11-=，0.010.01-=，10.01>， ∴10.01-<-，故选项D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．7．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）A ．|a|＞|b|B ．|ac|=acC ．b ＜dD ．c+d ＞0B解析：B 【分析】先弄清a,b,c 在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得. 【详解】从a 、b 、c 、d 在数轴上的位置可知：a ＜b ＜0，d ＞c ＞1； A 、|a|＞|b|，故选项正确；B 、a 、c 异号，则|ac|=-ac ，故选项错误；C 、b ＜d ，故选项正确；D 、d ＞c ＞1，则c+d ＞0，故选项正确． 故选B. 【点睛】本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.8．如果|a |＝－a ，下列成立的是( ) A ．－a 一定是非负数 B ．－a 一定是负数 C ．|a |一定是正数 D ．|a |不能是0A解析：A 【分析】根据绝对值的性质确定出a 的取值范围，再对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 ∵|a|=-a ， ∴a≤0，A 、正确，∵|a|=-a ，∴-a≥0；B 、错误，-a 是非负数；C 、错误，a=0时不成立；D 、错误，a=0时|a|是0． 故选A ． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．9．绝对值大于1小于4的整数的和是（ ） A ．0 B ．5C ．﹣5D ．10A解析：A 【解析】 试题绝对值大于1小于4的整数有：±2；±3． -2+2+3+（3）=0． 故选A ．10．下列结论错误的是( ) A ．若a ，b 异号，则a ·b ＜0，ab ＜0 B ．若a ，b 同号，则a ·b ＞0，a b＞0 C ．a b -＝a b-＝－a bD ．a b--＝－ab D解析：D 【解析】根据有理数的乘法和除法法则可得选项A 、B 正确；根据有理数的除法法则可得选项C 正确；根据有理数的除法法则可得选项D 原式=ab，选项D 错误，故选D. 11．下列运算正确的是（ ） A ．()22-2-21÷= B ．311-2-8327⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1352535-÷⨯=- D ．133( 3.25)6 3.2532.544⨯--⨯=- D解析：D 【分析】根据有理数的乘方运算可判断A 、B ，根据有理数的乘除运算可判断C ，利用乘法的运算律进行计算即可判断D ． 【详解】A 、()22-2-2441÷=-÷=-，该选项错误；B 、33343191217-2-332727⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该选项错误；C、1335539355-÷⨯=-⨯⨯=-，该选项错误；D、13132713273( 3.25)6 3.25 3.25 3.25 3.25()32.5444444⨯--⨯=-⨯-⨯=-⨯+=，该选正确；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算．注意：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．12．如果用＋0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作（）.A．＋0.02克B．－0.02克C．0克D．＋0.04克B解析：B【解析】－0.02克，选A.13．一名粗心的同学在进行加法运算时，将“－5”错写成“＋5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（）A．少5 B．少10 C．多5 D．多10D解析：D【解析】根据题意得：将“-5”错写成“+5”他得到的结果比原结果多5+5＝10.故选D．14．下列说法中错误的有（）个①绝对值相等的两数相等．②若a，b互为相反数，则ab=﹣1．③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数．④任意有理数都可以用数轴上的点来表示．⑤x2﹣2x﹣33x3+25是五次四项．⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小．⑦一个数的相反数一定小于或等于这个数．⑧正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数．A．4个B．5个C．6个D．7个C解析：C【分析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断.【详解】解：①绝对值相等的两数相等或互为相反数，故本小题错误；②若a，b互为相反数，则ab=-1在a、b均为0的时候不成立，故本小题错误；③∵如果a=2，b=0，a＞b，但是b没有倒数，∴a的倒数小于b的倒数不正确，∴本小题错误；④任意有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小题正确； ⑤x 2-2x-33x 3+25是三次四项，故本小题错误；⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故本小题正确； ⑦负数的相反数是正数，大于负数，故本小题错误； ⑧负数的偶次方是正数，故本小题错误， 所以④⑥正确，其余6个均错误． 故选C. 【点睛】本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点，熟知以上知识是解答此题的关键.15．若1＜x ＜2，则|2||1|||21x x x x x x---+--的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1C ．2D ．1D解析：D 【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】解：12x <<，20x ∴-<，10x ->，0x >， ∴原式1111=-++=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．1．23(2)0x y -++=，则x y 为______．﹣8【分析】根据绝对值的非负性和偶次方的非负性求出xy 的值然后代入代数式中计算即可【详解】解：∵∴x-3=0y+2=0解得：x=3y=﹣2∴==﹣8故答案为：﹣8【点睛】本题考查代数式求值绝对值乘方解析：﹣8 【分析】根据绝对值的非负性和偶次方的非负性求出x 、y 的值，然后代入代数式中计算即可． 【详解】解：∵23(2)0x y -++=， ∴x-3=0，y+2=0， 解得：x=3，y=﹣2， ∴x y =3(2)-=﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查代数式求值、绝对值、乘方运算，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解答的关键．2．在|﹣3|、﹣32、﹣（﹣3）2、﹣（3﹣π）、﹣|0|中，负数的个数为_____．2个【分析】分别计算出题目中所给的每一个数即可作出判定【详解】∵|﹣3|=3﹣32=﹣9﹣（﹣3）2=﹣9﹣（3﹣π）=π﹣3﹣|0|=0∴﹣32﹣（﹣3）2是负数故答案为2个【点睛】此题考查的知识解析：2个【分析】分别计算出题目中所给的每一个数，即可作出判定.【详解】∵|﹣3|=3，﹣32=﹣9，﹣（﹣3）2=﹣9，﹣（3﹣π）=π﹣3，﹣|0|=0，∴﹣32、﹣（﹣3）2是负数.故答案为2个．【点睛】此题考查的知识点是正数和负数，关键是理解负数的概念，而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案．这就又要理解平方、绝对值，正负号的变化等知识点．3．已知|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，则a﹣b＝_____．5或﹣5【分析】先根据绝对值的定义求出ab的值然后根据ab＜0确定ab的值最后代入a﹣b中求值即可【详解】解：∵|a|＝3|b|＝2∴a＝±3b＝±2；∵ab＜0∴当a＝3时b＝﹣2；当a＝﹣3时b解析：5或﹣5【分析】先根据绝对值的定义，求出a、b的值，然后根据ab＜0确定a、b的值，最后代入a﹣b中求值即可．【详解】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2；∵ab＜0，∴当a＝3时b＝﹣2；当a＝﹣3时b＝2，∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5或a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5．故填5或﹣5．【点睛】本题主要考查的是有理数的乘法、绝对值、有理数的减法，熟练掌握相关法则是解题的关键．4．绝对值不大于2.1的所有整数是____，其和是____．﹣2﹣10120【分析】找出绝对值不大于21的所有整数求出之和即可【详解】绝对值不大于21的所有整数有﹣2﹣1012之和为﹣2﹣1+0+1+2=0故答案为：﹣2﹣1012；0【点评】此题考查了绝对值解析：﹣2，﹣1，0，1，2 0【分析】找出绝对值不大于2.1的所有整数，求出之和即可．【详解】绝对值不大于2.1的所有整数有﹣2、﹣1、0、1、2，之和为﹣2﹣1+0+1+2=0，故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2；0【点评】此题考查了绝对值的意义和有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．运用加法运算律填空：(1)[(－1)＋2]＋(－4)＝___＝___；(2)117＋(－44)＋(－17)＋14＝____＝____．(－1)＋(－4)＋2-3117＋(－17)＋(－44)＋1470【分析】（1）根据同号相加的特点利用加法的交换律先计算(－1)＋(－4)；（2）利用抵消的特点利用加法的交换律和结合律进行简便计算【解析：[(－1)＋(－4)]＋2 -3 [117＋(－17)]＋[(－44)＋14] 70【分析】（1）根据同号相加的特点，利用加法的交换律，先计算(－1)＋(－4)；（2）利用抵消的特点，利用加法的交换律和结合律进行简便计算．【详解】（1）同号相加较为简单，故：[(－1)＋2]＋(－4)＝[(－1)＋(－4)]＋2=-3（2）117和(－17)可通过抵消凑整，(－44)和14也可通过抵消凑整，故：117＋(－44)＋(－17)＋14＝[117＋(－17)]＋[(－44)＋14]=70．【点睛】本题考查有理数加法的简算，解题关键是灵活利用加法交换律和结合律，凑整进行简算．6．计算－32＋5－8×（－2）时，应该先算_____，再算_____，最后算_____．正确的结果为_____．乘方乘法加法12【分析】按照有理数混合运算的运算顺序进行计算解答即可【详解】解：原式=-9+5+16=12故答案为：乘方乘法加法12【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的运算顺序先算乘方再算乘除最后解析：乘方乘法加法12【分析】按照有理数混合运算的运算顺序进行计算解答即可.【详解】解：原式=-9+5+16=12.故答案为：乘方，乘法，加法，12【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.7．校运动会的拔河比赛真是紧张刺激！规定拔河时，任意一方拉过30cm就算获胜．小胖他们班在每次喊过“拉”声之后都可拉过7cm，但又会被拉回3cm．如此下去，该班在第________次喊过“拉”声后就可获得胜利．7【分析】根据题意得到当喊到第6次时一共拉过了离胜利还差所以再喊一次后拉过超过了即可取得胜利【详解】解：由题意得喊过一次拉声之后可拉过当喊到第6次时一共拉过了离胜利还差所以再喊一次后拉过超过了即可取解析：7【分析】⨯-=，离胜利还差根据题意得到当喊到第6次时，一共拉过了6(73)24(cm)-=，所以再喊一次后拉过7cm，超过了30cm，即可取得胜利.30246(cm)【详解】解：由题意得喊过一次“拉”声之后可拉过4cm.⨯-=.当喊到第6次时，一共拉过了6(73)24(cm)-=，离胜利还差30246(cm)所以再喊一次后拉过7cm，超过了30cm，即可取得胜利.故答案为:7.【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题意，掌握有理数的各运算法则是解题的关键.8．气温由﹣20℃下降50℃后是__℃．-70【分析】先将-20-50转化为-20+(-50)再由有理数的加法运算法则进行计算【详解】解：零上的温度用正数来表示零下的温度用负数来表示再根据有理数的减法的运算法则（减去一个数等于加上这个数的解析：-70【分析】先将-20-50转化为-20+(-50)，再由有理数的加法运算法则进行计算．【详解】解：零上的温度用正数来表示，零下的温度用负数来表示，再根据有理数的减法的运算法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），将有理数的减法化为有理数的加法来进行计算．∵-20-50=-20+(-50)=-70∴答案为：-70．【点睛】本题考查了有理数的减法的运算法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），有理数的加法运算法则之一：（同号两数相加，和的正负号取任何一个加数的正负号，和的绝对值取两个加数的绝对值的和），熟记并灵活运用这两个运算法则是解本题的关键．9．下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a ﹣b，互为相反数的有__．②④【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b）不是互为相反数②a+b与-a-b是互为相反数③a+1与1-a不是相反数④-a+b与a-b是互为相反数故答案解析：②④【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数，②a+b与-a-b，是互为相反数，③a+1与1-a，不是相反数，④-a+b与a-b，是互为相反数．故答案为：②④．【点睛】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．10．截至2020年7月2日，全球新冠肺炎确诊病例已超过1051万例，其中数据1051万用科学记数法表示为_____．051×107【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10nn为整数位数减1【详解】解：1051万＝10510000＝1051×107故答案为：1051×107【点睛】本题考查了科学解析：051×107【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【详解】解：1051万＝10510000＝1.051×107．故答案为：1.051×107．【点睛】本题考查了科学记数法-表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，11．(1)圆周率π＝3.141 592 6…，取近似值3.142，是精确到____位；(2)近似数2.428×105精确到___位；(3)用四舍五入法把3.141 592 6精确到百分位是____，近似数3.0×106精确到____位．(1)千分(2)百(3)314十万【分析】（1）根据精确到哪位就是对它后边的一位进行四舍五入即可解答；（2）根据一个数精确到了哪一位应当看这个数的末位数字实际在哪一位解答即可；（3）根据精确到哪位就解析：(1)千分 (2)百 (3)3.14 十万【分析】（1）根据精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入即可解答；（2）根据一个数精确到了哪一位，应当看这个数的末位数字实际在哪一位解答即可； （3）根据精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入以及科学记数法的精确方法解答即可．【详解】解：(1)圆周率π＝3.141 592 6…，取近似值3.142，是精确到千分位；(2)近似数2.428×105中，2.428的小数点前面的2表示20万，则这一位是十万位，因而2.428的最后一位8应该是在百位上，因而这个数是精确到百位；(3)用四舍五入法把3.141 592 6精确到百分位是3.14，近似数3.0×106精确到十万位． 故答案为： (1)千分； (2)百； (3)3.14、十万．【点睛】本题考查了近似数，掌握确定近似数精确的位数和科学记数法的精确方法是解答本题的关键．1．探索代数式222a ab b -+与代数式2()a b -的关系（1）当5a =，2b =-时，分别计算两个代数式的值．（2）你发现了什么规律？（3）利用你发现的规律计算：2220182201820192019-⨯⨯+解析：（1）49， 49；（2）a 2−2ab ＋b 2＝（a−b ）2；（3）1．【分析】（1）将a 、b 的值分别代入a 2−2ab ＋b 2与（a−b ）2计算可得；（2）根据（1）中的两式的计算结果即可归纳总结出关系式；（3）原式变形后，利用完全平方公式计算可得结果．【详解】解：（1）当a ＝5，b ＝−2时，a 2−2ab ＋b 2＝52−2×5×（−2）＋（−2）2＝25＋20＋4＝49，（a−b ）2＝[5−（−2）]2＝72＝49；（2）根据（1）的计算，可得规律：a 2−2ab ＋b 2＝（a−b ）2；（3）20182−2×2018×2019＋20192＝（2018−2019）2＝（−1）2＝1．【点睛】本题考查了代数式的求值及完全平方公式的应用，解题的关键是掌握代数式的求值方法以及利用完全平方公式简便运算．2．点A 、B 在数轴上所表示的数如图所示，回答下列问题：（1）将A 在数轴上向左移动1个单位长度，再向右移动9个单位长度，得到点C ，求出B 、C 两点间的距离是多少个单位长度？（2）若点B 在数轴上移动了m 个单位长度到点D ，且A 、D 两点间的距离是3，求m 的值．解析：（1）B 、C 两点间的距离是3个单位长度；（2）m 的值为2或8．【分析】（1）利用数轴上平移左移减，右移加可求点C 所表示的数为﹣3﹣1+9＝5，利用绝对值求两点距离BC ＝|2﹣5|＝3；（2）分类考虑当点D 在点A 的左侧与右侧，利用AD=3，求出点D 所表示的数，再利用BD=m 求出m 的值即可．【详解】解：（1）点C 所表示的数为﹣3﹣1+9＝5，∴BC ＝|2﹣5|＝3.（2）当点D 在点A 的右侧时，点D 所表示的数为﹣3+3＝0，所以点B 移动到点D 的距离为m ＝|2﹣0|＝2，当点D 在点A 的左侧时，点D 所表示的数为﹣3﹣3＝﹣6，所以点B 移动到点D 的距离为m ＝|2﹣（﹣6）|＝8，答：m 的值为2或8．【点睛】本题考查数轴上平移，两点距离问题，利用AD 的距离分类讨论点D 的位置是解题关键． 3．计算：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+-． 解析：33【分析】有理数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】 解：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+- =1(2)4192-÷⨯--+ =192(2)4-⨯⨯--+ =3641-+=33．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 4．计算：（1）13|38|44⎛⎫--+- ⎪⎝⎭（2）2202111(1)236⎛⎫-+⨯-÷ ⎪⎝⎭（3）221 10.51 339⎛⎫⨯-÷⎪⎝⎭（4）157 (48)2812⎡⎤⎛⎫-⨯--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解析：（1）4；（2）13；（3）14-；（4）26.【分析】（1）先把绝对值化简，再进一步计算可得答案；（2）先计算乘方、除法转化为乘法，再进一步计算即可；（4）先算括号里面的，再把除法化为乘法，进一步计算即可；（4）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可．【详解】（1）13 |38|44⎛⎫--+- ⎪⎝⎭=13 544 --=5-1 =4；（2）2202111 (1)236⎛⎫-+⨯-÷⎪⎝⎭=1 1269-+⨯⨯=-1+4 3=13；（3）221 10.51 339⎛⎫⨯-÷⎪⎝⎭=211 1()1 369⨯-÷=519() 3610⨯-⨯=14 -；（4）157 (48)2812⎡⎤⎛⎫-⨯--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=157 (48)()(48)(48)2812 -⨯---⨯+-⨯=24+30-28=26.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．。
七年级数学上册,有理数的概念 -精讲精练(附答案)
第二章 有理数第一节 正数与负数一、基础知识1、正数与负数（1）正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数．正数都大于0．（2）负数：像3-， 2.7-这样在正数前加上符号“-”（负）号的数叫做负数．负数都小于0． （3）符号：一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号．正数前面的“+” 号可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 负数前面的“-” 号不可以省略． （4）用正数和负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然． 比如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -． “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．2、“0”的特殊性（1）0既不是正数，也不是负数； （2）0是正数与负数的分界； （3）0是自然数； （4）0是偶数； （5）0是整数； （6）0是有理数； （4）0的意义：①0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔； ②0有时是一个数，比如0℃是一个确定的温度；③0有时也作为基准，比如海拔高度为0m 表示的是海平面的平均高度．3、常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；0是非正数，0是非负数；二、课前预习1．（2021•镇海区模拟）规定向右移动3个单位记作+3，那么向左移动2个单位记作（）A．+2B．﹣2C．+D．﹣【分析】一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：向右移动3个单位记作+3，那么向左移动2个单位记作﹣2．故选：B．2．（2021•大渡口区自主招生）下列四个数中，是负数的是（）A．1B．2C．3D．﹣4【分析】根据负数的特征可直接得到答案．【解答】解：1，2，3均为正数，﹣4为负数，故选：D．3．（2021春•江北区期中）我国是最早使用负数的国家，东汉初，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作（）A．﹣30元B．30元C．50元D．﹣50元【分析】利用相反意义量的定义判定即可．【解答】解：如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作”﹣30元“，故选：A．4．（2021•河南模拟）如果零上10℃记作+10℃，那么零下3℃可记为（）A．﹣3℃B．+3℃C．±3℃D．℃【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：∵零上10℃记作+10℃，∴零下3℃可记作﹣3℃．故选：A．5．（2021春•天心区月考）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（）A．8B．C．﹣0.12D．﹣2【分析】利用分数及负数的定义判断即可得到结果．【解答】解：4个选项中，既是分数又是负数的是﹣0.12．故选：C．三、典型例题例1【基础】（2020•广西模拟）如果一个物体向上移动1m，记作+1m，那么这个物体向下移动了2m记作（）A．+1m B．﹣1m C．+2m D．﹣2m【分析】根据正负数是表示两种具有相反意义的量，则一个物体向上移动1m，记作+1m，那么这个物体向下移动了2m记作记作+2m．【解答】解：∵物体向上移动1m，记作+1m，∴物体向下移动了2m记作﹣2m．故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．例2 【提高】（2019秋•石家庄期末）两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作+100，那么支出60元应记作（）A．﹣60B．﹣40C．+40D．+60【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：根据题意，收入100元记作+100，则支出60元应记作﹣60．故选：A．【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．例3【冲刺】（2020•长春模拟）检验4个工件，每个工件以标准质量为基准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的工件是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．5【解答】解：﹣2最接近标准质量，故选：A．【点评】本题考查正数和负数；理解正数和负数在实际中的应用是解题的关键．四、课堂练习1．（2020秋•长春期末）四个数﹣1，0，1，中为负数的是（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】根据负数小于0判断即可．【解答】解：，负数是﹣1．故选：A．2．（2021•双柏县模拟）如果盈利80元记作+80元，那么亏损40元记作元．【分析】根据相反意义量作答．【解答】解：盈利80元记作+80元，那么亏损40元记为﹣40元．故答案为：﹣40．3．（2021•云南模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上5℃记作+5℃，若气温零下3℃，则记作℃．【分析】意义相反的量用正、负数表示．【解答】解：∵正、负数表示相反意义的量，气温零上5℃记作+5℃，∴气温零下3℃记作﹣3℃．故答案为：﹣3．4．（2020•雅安）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为﹣．【分析】直接利用正负数的意义分析得出答案．【解答】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．故答案为：﹣2℃．五、巩固练习1．（2021•高邮市模拟）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差0.3kg．【分析】根据超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，可以求得从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差多少．【解答】解：∵某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，∴它们的质量最多相差：0.15﹣（﹣0.15）＝0.15+0.15＝0.3（kg），故答案为：0.3．2．（2021春•莲湖区期中）某公交车每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数x与每月的利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（票价是固定不变的）：x50010001500200025003000…y/元﹣4000﹣3000﹣2000﹣1000m1000…（1）请直接写出上表中m的值；（2）观察表中数据可知，每月的乘车人数达到2500人时，该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000时，请你估计每月的利润为多少元．【分析】（1）根据表格中的变化过程即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2500人以上时，该公交车才不会亏损，即可求解；（3）由表中的数据推理即可求解．【解答】解：（1）在这个变化过程中，由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元；∴m＝﹣1000+1000＝0；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2500人以上时，该公交车才不会亏损，故答案为：2500；（3）由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，当每月的乘车人数为2500人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是＝3000（元）．3．（2019秋•方城县期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：星期一二三四五六日增减产量/辆+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车190辆．（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车1409辆．（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂星期五生产自行车的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周实际生产自行车的数量；（3）根据题意和表格中的数据可以解答本题；（4）根据题意和表格中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）∵超产记为正、减产记为负，∴星期五生产自行车200﹣10＝190（辆），故答案为：190；（2）该厂本周实际生产自行车200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），故答案为：1409；（3）200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），1409×60+（5+13+16）×15+（﹣2﹣4﹣10﹣9）×20＝84550（元），答：该厂工人这一周的工资总额是84550 元；（4）实行每周计件工资制的工资为1409×60+9×15＝84675（元），答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．第二节有理数一、基础知识1、有理数（1）整数：正整数、0、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．（2）分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．（3）有理数：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：（1）()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 （2）()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数二、课前预习1．（2021•梅列区一模）下列各数属于负整数的是（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣D ．0【分析】根据负整数的定义即可判定选择项． 【解答】解：在2，﹣2，﹣，0中，属于负整数的是﹣2．故选：B ．2．（2021春•杨浦区校级期中）在0.2，﹣（﹣5），﹣，15%，0，5×（﹣1）3，﹣22，﹣（﹣2）2这八个数中，非负数有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【分析】根据大于等于0的数是非负数，可得答案．【解答】解：0.2＞0，﹣（﹣5）＞0，15%＞0，0＝0是非负数， 故选：A ．三、典型例题例1【基础】（2019秋•云冈区期末）下列各数：﹣5，1.1010010001…，3.14，，20%，，有理数的个数有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】直接利用有理数的定义进而判断得出答案．【解答】解：有理数有﹣5，3.14，，20%共4个．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键．例2【基础】（2020•阳新县校级模拟）下列各数：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.12，其中有理数的个数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.12，其中有理数有：﹣，1.010010001，，0，0.12，个数是5．故选：C．例3【提高】（2020•长春模拟）在0、﹣1.5、﹣2、这四个数中，属于负分数的是（）A．0B．C．﹣1.5D．﹣2【解答】解：﹣1.5是负分数，故选：C．例4【冲刺】（2019秋•临洮县期中）把下列各数填在相应的括号内：﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，，0，﹣，0.563，π正数集合{ …}；负数集合{ …}；负分数集合{ …}；非正整数集合{ …}．【分析】按照有理数的分类以及意义直接填空即可．【解答】解：正数集合{2.3，，0.563，π…}；负数集合{﹣19，﹣12，﹣0.92，﹣…}；负分数集合{﹣0.92，﹣…}；非正整数集合{﹣19，﹣12，0 …}．故答案为：{ 2.3，，0.563，π…}；{﹣19，﹣12，﹣0.92，﹣…}；{﹣0.92，﹣…}；{﹣19，﹣12，0 …}．【点评】此题考查有理数的分类，注意：非正包括负数和0；分数包括小数．例5【冲刺】2019秋•崇川区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14正整数集合{ …}负整数集合{ …}整数集合{ …}分数集合{ …}．【分析】按照有理数的分类填写．有理数，根据整数，正数，正分数，负有理数的定义可得出答案．【解答】解：正整数集合{15，171，…}负整数集合{﹣3，﹣4，…}整数集合{15，﹣3，﹣4，171，0，…}分数集合{﹣，0.81，，﹣3.1，3.14 …}．【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．四、课堂练习1．（2021•黄冈模拟）最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．故选：C．2．（2021春•杨浦区期中）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【分析】按照有理数的分类填写：有理数．【解答】解：A、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误；B、负整数的相反数就是正整数，故本选项错误；C、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误；D、零是自然数，但不是正整数，本选项正确；故选：D．3．（2021春•江油市月考）在﹣，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）A．3B．2C．1D．4【分析】除π外都是有理数，所以m＝8；自然数有0和2，所以n＝2；分数有﹣，，0.4，所以k＝3；代入计算就可以了．【解答】解：根据题意m＝8，n＝2，k＝3，所以m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝8﹣5＝3．故选：A．五、巩固练习1．（2021春•杨浦区校级期中）在数，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100这8个数中，有理数有个．【分析】根据有理数是整数、有限小数或无限循环小数，可得答案．【解答】解：在，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100中，有理数有﹣0.4，0.2，3.14，120%，，100等5个．故答案为：5．2．（2021春•南岗区校级月考）百分数160%化成分数是．【分析】写成分数线形式，根据分数基本性质约分即可．【解答】解：160%＝＝，故答案为：．3．（2021春•吴中区月考）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，）、（3，）都是“共生有理数对”．（1）数对（﹣2，1）、（5，）中是“共生有理数对”的是；（2）若（﹣3，m）是“共生有理数对”，求m的值．【分析】根据分别计算a﹣b和ab+1，看是否相等进行判断．【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1，∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1，数对（﹣2，1）不是共生有理数对；而5﹣＝，5×+1＝，∴5﹣＝5×+1，数对（5，）是共生有理数对．故答案为：（5，）．（2）∵（﹣3，m）是共生有理数对，∴﹣3﹣m＝﹣3m+1，解得m＝2．答：m的值是2．第三节数轴一、基础知识1、数轴（1）数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：（2）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．（3）正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示1-，3-，…．-，2（4）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．2、数轴的画法（1）画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；（2）在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：（3）确定向右的方向为正方向，用箭头表示；（4）选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．3、有理数与数轴的关系（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．（2）数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数．（3）正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．4、利用数轴比较有理数的大小在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．二、课前预习1．（2021•长春一模）如图，数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B 对应的数是（）A．﹣1B．0C．3D．5【分析】点A向左移动3个单位，则2﹣3＝﹣1．【解答】解：∵点A表示的数为2，将点A向左移动三个单位，∴2﹣3＝﹣1，即点B表示的数为﹣1．故选：A．2．（2021•河南模拟）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）A．﹣3.2B．﹣3C．﹣2D．﹣0.5【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣3，且小于﹣1，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．3．（2021•南海区一模）数轴上表示﹣6和4的点分别是A和B，则线段AB的长度是（）A．﹣2B．2C．﹣10D．10【分析】计算数轴上两点间距离．【解答】解：AB＝4﹣（﹣6）＝10．故选：D．三、典型例题例1【基础】（2020•鼓楼区一模）数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．【解答】解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．【点评】考查数轴表示数的意义和方法，掌握中点所表示的数的计算方法是得出正确答案的前提．例2【基础】（2019秋•张店区期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列代数式值是负数的是（）A．a+b B．﹣ab C．a﹣b D．﹣a+b【分析】根据a，b在数轴的位置，即可得出﹣1＜a＜0，b＞1，然后对每一个式子进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴a+b＞0，﹣ab＞0，a﹣b＜0，﹣a+b＞0，故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴、正数和负数以及代数式求值，根据已知得出a，b取值范围是解题关键，是一道基础题．例3【提高】（2020•绥化一模）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）A．﹣1B．0C．3D．4【分析】根据数轴的单位长度为1，点B在点A的右侧距离点A5个单位长度，直接计算即可．【解答】解：点B在点A的右侧距离点A有5个单位长度，∴点B表示的数为：﹣2+5＝3，故选：C．【点评】本题主要考查数轴，解决此题时，明确数轴上右边的数总是比左边的数大是解题的关键．例4【冲刺】（2019秋•仁寿县期末）已知a+b＜0，且b＜0＜a，则数a、b在数轴上距离原点较近的是（）A．a B．bC．a、b一样远近D．无法判断【分析】根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可．【解答】解：∵a+b＜0，且b＜0＜a，∴|a|＜|b|，∴数a在数轴上距离原点较近，故选：A．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．例5【冲刺】（2019秋•思明区校级月考）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（）A．1969B．1968C．﹣1969D．﹣1968【分析】根据移动的规律，列方程求解即可．【解答】解：设P0所表示的数是a，则a﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝2019，即：a+（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣99+100）＝2019．a+50＝2019，解得：a＝1969．点P0表示的数是1969．故选：A．【点评】考查数轴表示数的意义，利用移动规律列出方程是解决问题的关键．四、课堂练习1．（2021•邢台模拟）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（）A．段①B．段②C．段③D．段④【分析】根据数轴的意义及其表示数的性质，可确定四段中各包含的整数个数，即可确定正确答案．【解答】解：段①﹣2.3～﹣1.1中有整数﹣2；段②﹣1.1～0.1中有整数﹣1和0；段③0.1～1.3中有整数1；段④1.3～2.5中有整数2；∴有两个整数的是段②．故选：B．2．（2020秋•宽城区期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足﹣a＜b＜a，则b 的值不可能是（）A．2B．0C．﹣1D．﹣3【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．【解答】解：根据数轴上的位置得：2＜a＜3，∴﹣3＜﹣a＜﹣2，∵﹣a＜b＜a，∴﹣3＜b＜3，则b的值不可能为﹣3．故选：D．3．（2020•丰台区模拟）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若OC＝OB，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO＝BO列出方程，求解即可．【解答】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为a﹣1．因为CO＝BO，所以|a﹣1|＝3，解得a＝﹣2或4∵a＜0，∴a＝﹣2．故选：B．4．（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣4点距离为3的点所表示的数为．【分析】到数轴上一点距离相等的点有两个，要分类讨论．【解答】解：距离点数﹣4为3个单位长度的点有两个，它们分别是﹣4+3＝，﹣4﹣3＝，故答案为﹣或．五、巩固练习1．（2021•海淀区校级模拟）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数x1，x2，AB的中点为P，若x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，则关于原点O的位置，下列说法正确的是（）A．点O在点A的左侧B．点O在点P的右侧C．点O与点P重合D．点O在线段AP上【分析】根据中点坐标公式可得P表示的数是（x1+x2），再根据x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，可得A表示的数是负数，可得P表示的数是负数，从而求解．【解答】解：∵AB的中点为P，∴P表示的数是（x1+x2），∵x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，∴A表示的数是负数，∴P表示的数是负数，∴点O在点P的右侧．故选：B．2．（2021•长兴县模拟）数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，若点B表示的数为1，则点A 表示的数是．【分析】首先画出数轴，然后再根据题意可得点B向右平移2个单位长度就是A，进而可得答案．【解答】解：点A表示的数：1+2＝3，故答案为：3．3．（2021春•朝阳区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．【分析】根基题干提供新定义求解．（1）根据所提供四个数字求解．（2）分类讨论点P位置求解．【解答】解：（1）1，4．（2）①设点P对应的数为x．当点P在AB之间时，∵AB＝30+10＝40，∴BP＝AB时，BP＝10，即x＝30﹣10＝20．当BP＝AB时，BP＝30，即x＝30﹣30＝0．当点P在点B右侧，AP＝3BP．即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50．当点P在点A左侧，BP＝3AP．即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30．综上，x＝20，0，50，﹣30．②由①得点P是倍分点时，P表示的数为20，0，50，﹣30．当A为倍分点，点P在AB之间时，AB＝3AP，40＝3（x+10），解得x＝．P在点A左侧时，AP＝3AB，﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130．AB＝3AP，40＝3（﹣10﹣x），解得x＝．点P在点B右侧，AP＝3AB，x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110．当点B为倍分点时，同理可求x＝110，，，﹣90．综上，P点表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，，第四节相反数一、基础知识1、相反数互为相反数，a表示任意（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．一般地，a与a一个数，可以是正数、负数，也可以是0．特别地，0的相反数是0．相反数是成对出现的．（2）相反数的几何意义：①互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．②求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．2、多重符号的化简（1）一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；（2）一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；（3）一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号（4）口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号二、课前预习1．（2021•金牛区模拟）﹣2022的相反数是（）A．2022B．﹣C．D．﹣2022【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．【解答】解：﹣2022的相反数是是2022．故选：A．2．（2021春•杨浦区校级期中）下列说法正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数﹣定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．∵3和﹣5的符号相反，但3和﹣5不是相反数，∴A选项错误；∵5的相反数是﹣5，∴B选项错误；∵﹣2的相反数是2，2＞﹣2，∴C选项错误；∵一个数的相反数是它本身，∴D选项正确；故选：D．3．（2021•虹口区二模）下列各数中，2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2的相反数是：﹣2．故选：B．三、典型例题例1【基础】（2020•郑州二模）﹣2020的相反数是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．例2【基础】（2019秋•新都区期末）﹣（﹣）的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣（﹣）＝的相反数是：﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．例3【提高】（2020•天河区模拟）如图，表示互为相反数的两个点是（）A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：2和﹣2互为相反数，此时对应字母为M与P．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．例4【提高】（2019秋•遵化市期末）若﹣（+a）＝+（﹣2），则a的值是（）A．B．C．2D．﹣2【分析】根据相反数的意义得出结果．【解答】解：因为﹣（+a）＝+（﹣2），所以﹣a＝﹣2，所以a＝2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是明确一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．例5【冲刺】（2019秋•襄汾县期末）数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A 的距离是2，则点C表示的数应该是__________．【分析】根据相反数的定义和到点A的距离是2的点的概念，求得点B表示的数为﹣1或﹣5，则点C 表示的数应该是1或5．【解答】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5，∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5．故答案为1或5．【点评】本题考查了数轴的有关概念以及相反数的定义．例6【冲刺】（2020•皇姑区二模）如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（）A．+a和﹣（﹣a）互为相反数B．+a和﹣a一定不相等C．﹣a一定是负数D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等【解答】解：A、+a和﹣（﹣a）互为相反数；错误，二者相等；B、+a和﹣a一定不相等；错误，当a＝0时二者相等；C、﹣a一定是负数；错误，当a＝0时不符合；D、﹣（+a）和+（﹣a）一定相等；正确．故选：D．四、课堂练习1．（2021•宁波模拟）与2021相加和为零的数是（）A．﹣2021B．C．0D．【分析】根据有理数加法法则：相反数相加为0可得答案．【解答】解：﹣2021+2021＝0．故选：A．2．（2021•历下区一模）5的相反数是（）A．B．±5C．25D．﹣5【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：5的相反数是：﹣5．故选：D．3．（2021•汉阳区校级模拟）实数﹣5的相反数是（）A．﹣5B．C．﹣D．5【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：实数﹣5的相反数是：5．故选：D．五、巩固练习1．（2021春•杨浦区校级期中）下列说法正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数﹣定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．∵3和﹣5的符号相反，但3和﹣5不是相反数，∴A选项错误；∵5的相反数是﹣5，∴B选项错误；∵﹣2的相反数是2，2＞﹣2，∴C选项错误；∵一个数的相反数是它本身，∴D选项正确；故选：D．2．（2021•盐城模拟）|﹣π|的相反数是（）A．﹣πB．πC．﹣D．【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案．【解答】解：∵|﹣π|＝π，。
辽宁沈阳市七年级数学上册第一章《有理数》知识点(含答案)
一、选择题1．(0分)下列计算中，错误的是（ ）A ．(2)(3)236-⨯-=⨯=B ．()144282⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭C ．363(6)3--=-++=D ．()()2399--=--= C解析：C【分析】根据有理数的运算法则逐一判断即可．【详解】 (2)(3)236-⨯-=⨯=，故A 选项正确；()144282⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 363(6)9--=-+-=-，故C 选项错误；()()2399--=--=，故D 选项正确；故选C ．【点睛】本题考查了有理数的运算，重点是去括号时要注意符号的变化．2．(0分)下列计算正确的是（ ）A ．|﹣3|＝﹣3B ．﹣2﹣2＝0C ．﹣14＝1D ．0.1252×（﹣8）2＝1D 解析：D【分析】根据绝对值的性质，有理数的减法法则，有理数的乘方法则即可求出答案．【详解】A 、原式＝3，故A 错误；B 、原式＝﹣4，故B 错误；C 、原式＝﹣1，故C 错误；D 、原式＝[0.125×（﹣8）]2＝1，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值的化简，有理数的运算法则，熟练掌握有理数运算的运算法则是本题的关键，要注意符号变号问题．3．(0分)据报通，国家计划建设港珠澳大桥，估解该项工程总报资726亿元，用科学记数法表示726亿正确的是( )A ．7.26×1010B ．7.26×1011C ．72.6x109D ．726×108A 解析：A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【详解】726亿＝7.26×1010．故选A．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n 的值是解题的关键．4．(0分)下列说法正确的是（）A．近似数5千和5000的精确度是相同的B．317500精确到千位可以表示为31.8万，也可以表示为5⨯3.1810C．2.46万精确到百分位D．近似数8.4和0.7的精确度不一样B解析：B【解析】【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【详解】A．近似数5千精确度到千位，近似数5000精确到个位，所以A选项错误；B．317500精确到千位可以表示为31.8万，也可以表示为5⨯，所以B选项正确；3.1810C．2.46万精确到百位，所以C选项错误；D．近似数8.4和0.7的精确度是一样的，所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．5．(0分)正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2016次后，数轴上数2016所对应的点是（）A．点C B．点D C．点A D．点B B解析：B【分析】由题意可知转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一次循环，由此可确定出2016所对应的点.【详解】当正方形在转动第一周的过程中，1对应的点是A，2所对应的点是B，3对应的点是C，4对应的点是D，∴四次一循环，∵2016÷4＝504，∴2016所对应的点是D，故答案选B.【点睛】本题主要考查了数轴的应用，解本题的要点在于找出问题中的规律，根据发现的规律可以推测出答案.6．(0分)下列关系一定成立的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝b，则a＝bC．若|a|＝﹣b，则a＝b D．若a＝﹣b，则|a|＝|b|D解析：D【分析】根据绝对值的定义进行分析即可得出正确结论．【详解】选项A、B、C中，a与b的关系还有可能互为相反数，故选项A、B、C不一定成立，D.若a＝﹣b，则|a|＝|b|，正确，故选D．【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值相等的两个数的关系是相等或互为相反数是解题的关键．7．(0分)2020年5月7日，世卫组织公布中国以外新冠确诊病例约为3504000例，把“3504000”用科学记数法表示正确的是（）A．3504×103B．3.504×106C．3.5×106D．3.504×107B解析：B【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．【详解】3504000＝3.504×106，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．(0分)若1＜x＜2，则|2||1|||21x x xx x x---+--的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1D 解析：D【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．【详解】解：12x <<，20x ∴-<，10x ->，0x >，∴原式1111=-++=，故选：D ．【点睛】 本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．9．(0分)按键顺序是的算式是( ) A ．(0.8＋3.2)÷45＝ B ．0.8＋3.2÷45＝ C ．(0.8＋3.2)÷45＝ D ．0.8＋3.2÷45＝B 解析：B【分析】根据计算器的使用方法，结合各项进行判断即可．【详解】解：按下列按键顺序输入：则它表达的算式是0.8＋3.2÷45＝， 故选：B ．【点睛】 此题主要考查了计算器的应用，根据有理数的输入方法正确输入数据是解题关键． 10．(0分)已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0C解析：C【解析】从数轴可知m 小于0，n 大于0，从而很容易判断四个选项的正误．解：由已知可得n 大于m ，并从数轴知m 小于0，n 大于0，所以mn 小于0，则A ，B ，D 均错误．故选C ． 二、填空题11．(0分)对于有理数a 、b ，定义一种新运算，规定a ☆2b a b =-，则3☆(2)-=__．【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可【详解】解：3☆（﹣2）＝32﹣|﹣2|＝9﹣2＝7故答案为：7【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算读懂新定义运算是解题的关键解析：【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．【详解】解：3☆（﹣2）＝32﹣|﹣2|＝9﹣2＝7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．12．(0分)绝对值小于2的整数有_______个，它们是______________.3;－101等【分析】当一个数为非负数时它的绝对值是它本身；当这个数是负数时它的绝对值是它的相反数【详解】绝对值小于2的整数包括绝对值等于0的整数和绝对值等于1的整数它们是0±1共有3个故答案为(1解析：3; －1，0，1等.【分析】当一个数为非负数时，它的绝对值是它本身；当这个数是负数时，它的绝对值是它的相反数．【详解】绝对值小于2的整数包括绝对值等于0的整数和绝对值等于1的整数，它们是0，±1，共有3个．故答案为(1). 3; (2). －1，0，1等．【点睛】本题考查了绝对值，熟悉掌握绝对值的定义是解题的关键．13．(0分)在整数5-，3-，1-，6中任取三个数相乘，所得的积的最大值为______．90【解析】分析：根据有理数的乘法以及有理数的大小比较列式进行计算即可得解详解：所得乘积最大为：（-5）×（-3）×6=5×3×6=90故答案为90点睛：本题考查了有理数的乘法以及有理数的大小比较熟解析：90【解析】分析：根据有理数的乘法以及有理数的大小比较列式进行计算即可得解．详解：所得乘积最大为：（-5）×（-3）×6，=5×3×6，=90．故答案为90．点睛：本题考查了有理数的乘法以及有理数的大小比较，熟记运算法则并准确列出算式是解题的关键．14．(0分)已知|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，则a﹣b＝_____．5或﹣5【分析】先根据绝对值的定义求出ab的值然后根据ab＜0确定ab的值最后代入a﹣b中求值即可【详解】解：∵|a|＝3|b|＝2∴a＝±3b＝±2；∵ab＜0∴当a＝3时b＝﹣2；当a＝﹣3时b解析：5或﹣5【分析】先根据绝对值的定义，求出a、b的值，然后根据ab＜0确定a、b的值，最后代入a﹣b中求值即可．【详解】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2；∵ab＜0，∴当a＝3时b＝﹣2；当a＝﹣3时b＝2，∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5或a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5．故填5或﹣5．【点睛】本题主要考查的是有理数的乘法、绝对值、有理数的减法，熟练掌握相关法则是解题的关键．15．(0分)用计算器求2.733，按键顺序是________；使用计算器计算时，按键顺序为，则计算结果为________．73xy3＝－2【分析】首先确定使用的是xy键先按底数再按yx键接着按指数最后按等号即可【详解】解：（1）按照计算器的基本应用用计算机求2733按键顺序是273xy3=；（2）-8×5÷20=-40解析：73，x y，3，＝－2【分析】首先确定使用的是x y键，先按底数，再按y x键，接着按指数，最后按等号即可．【详解】解：（1）按照计算器的基本应用，用计算机求2.733，按键顺序是2.73、x y、3、=；（2）-8×5÷20=-40÷20=-2．【点睛】此题主要考查了利用计算器进行数的乘方，关键是计算器求幂的时候指数的使用方法．16．(0分)阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝__；（2）归纳、概括：a m•a n＝__；（3）如果x m＝4，x n＝9，运用以上的结论，计算：x m+n＝__．a7am+n36【分析】（1）根据题意乘方的意义7个a相乘可以写成a7即可解决；（2）根据题意总结规律可以知道是几个相同的数相乘指数相加即可解决；（3）运用以上的结论可以知道：xm+n ＝xm•xn 即解析：a 7 a m+n 36【分析】（1）根据题意，乘方的意义，7个a 相乘可以写成a 7即可解决；（2）根据题意，总结规律，可以知道是几个相同的数相乘，指数相加即可解决； （3）运用以上的结论，可以知道：x m+n ＝x m •x n ，即可解决问题．【详解】解：（1）根据材料规律可得a 3•a 4＝（a•a•a ）•（a•a•a•a ）＝a 7；（2）归纳、概括：a m •a n ＝m n a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=a m+n ； （3）如果x m ＝4，x n ＝9，运用以上的结论，计算：x m+n ＝x m •x n ＝4×9＝36．故答案为：a 7，a m+n ，36．【点睛】 本题主要考查了有理数的乘方的认识，能够读懂乘方的意义并且能够仿照例题写出答案是解决本题的关键．17．(0分)下列各组式子：①a ﹣b 与﹣a ﹣b ，②a +b 与﹣a ﹣b ，③a +1与1﹣a ，④﹣a +b 与a ﹣b ，互为相反数的有__．②④【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案【详解】解：①a -b 与-a-b=-（a+b ）不是互为相反数②a+b 与-a-b 是互为相反数③a+1与1-a 不是相反数④-a+b 与a-b 是互为相反数故答案解析：②④【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．【详解】解：①a -b 与-a-b=-（a+b ），不是互为相反数，②a+b 与-a-b ，是互为相反数，③a+1与1-a ，不是相反数，④-a+b 与a-b ，是互为相反数．故答案为：②④．【点睛】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．18．(0分)A ，B ，C 三地的海拔高度分别是50-米，70-米，20米，则最高点比最低点高______米．90【分析】先根据有理数的大小比较法则得出最高点和最低点再列出运算式子计算有理数的减法即可得【详解】因为所以最高点的海拔高度为20米最低点的海拔高度米则（米）即最高点比最低点高90米故答案为：90【 解析：90【分析】先根据有理数的大小比较法则得出最高点和最低点，再列出运算式子，计算有理数的减法即可得．【详解】>->-，因为205070-米，所以最高点的海拔高度为20米，最低点的海拔高度70--=+=（米），则20(70)207090即最高点比最低点高90米，故答案为：90．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则、有理数减法的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．19．(0分)在数轴上，与表示-2的点的距离是4个单位的点所对应的数是___________.2或-6【分析】分在-2的左边和右边两种情况讨论求解即可【详解】解：如图在-2的左边时-2-4=-6在-2右边时-2+4=2所以点对应的数是-6或2故答案为-6或2【点睛】本题考查了数轴难点在于分情解析：2或-6【分析】分在-2的左边和右边两种情况讨论求解即可．【详解】解：如图，在-2的左边时，-2-4=-6，在-2右边时，-2+4=2，所以，点对应的数是-6或2．故答案为-6或2．【点睛】本题考查了数轴，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．20．(0分)(1)用四舍五入法，对5.649取近似值，精确到0.1的结果是____；(2)用四舍五入法，把1 999.508取近似值(精确到个位)，得到的近似数是____；(3)用四舍五入法，把36.547精确到百分位的近似数是____．(1)56(2)2000(3)3655【分析】（1）精确到哪一位即对下一位的数字进行四舍五入据此解答即可；（2）把十分位上的数字5进行四舍五入即可；（3）把千分位上的数字7进行四舍五入即可【详解】解解析：(1)5.6 (2)2000 (3)36.55【分析】（1）精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入，据此解答即可；（2）把十分位上的数字5进行四舍五入即可；（3）把千分位上的数字7进行四舍五入即可．【详解】解：（1）5.649≈5.6．（2）1999.58≈2000（3）36.547≈36.55故答案为：5.6；2000；36.55【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法．三、解答题21．(0分)计算（1）21145()5 -÷⨯-（2）21(2)8(2)()2--÷-⨯-．解析：（1）4125；（2）2．【分析】第（1）和（2）小题都属于有理数的混合运算，根据混合运算的运算顺序：先算乘方，并利用有理数的除法法则将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可求出结果．【详解】解：（1）21145()5-÷⨯-11116()55=-⨯⨯-16125=+4125=；（2）21(2)8(2)()2--÷-⨯-1148()()22=-⨯-⨯-42=-2=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是确定正确的运算顺序并运用运算法则准确计算．22．(0分)定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的下3次方”，一般地，把n个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的下n 次方”．理解：（1）直接写出计算结果：32=_______．（2）关于除方，下列说法正确的有_______（把正确的序号都填上）；①21a =(0)a ≠；②对于任何正整数n ，11n =；③433=4；④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．应用：（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：241111222222()2222=÷÷÷=⨯⨯⨯=（幂的形式） 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式： 65=_______；91()2-=________； （4）计算：3341()(2)2(8)24-÷--+-⨯-．解析：（1）12；（2）①②④；（3）41()5，7(2)-；（4）26-． 【分析】（1）根据a n 表示“a 的下n 次方”的意义进行计算即可；（2）根据a n 表示“a 的下n 次方”的意义计算判断即可；（3）根据a n 表示“a 的下n 次方”的意义，表示出56，91()2-=7(2)-，进而得出答案； （4）按照有理数的运算法则进行计算即可．【详解】（1）23＝2÷2÷2＝2×12×12＝12， 故答案为：12； （2）当a≠0时，a 2＝a÷a ＝1，因此①正确；对于任何正整数n ，1n ＝1÷1÷1÷…÷1＝1，因此②正确；因为34＝3÷3÷3÷3＝19，而43＝4÷4÷4＝14，因此③不正确； 根据有理数除法的法则可得，④正确；故答案为：①②④；（3）56＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝5×15×15×15×15×15＝（15）4， 同理可得，91()2-=＝（−2）7， 故答案为：（15）4，（−2）7； （4）3341()(2)2(8)24-÷--+-⨯- ＝16×（-18）-8+（-8）×2 ＝-2-8-16＝−26．【点睛】 本题考查有理数的混合运算，理解“a n ，表示a 的下n 次方”的意义是正确计算的前提． 23．(0分)计算：（1）[]2(2)18(3)24-+--⨯÷ （2）()()243513224⎡⎤----⨯÷-⎢⎥⎣⎦ 解析：（1）10；（2）-15【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【详解】（1）解：原式=4+[18－（－6）]÷4=4+24÷4=4+6=10；（2）解：原式=-1-[9-10÷（－2）]=-1-[9-（-5）]=-1-14=-15．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 24．(0分)计算：()2213113244812⎛⎫-+--⨯-- ⎪⎝⎭． 解析：13【分析】运用乘法的分配律去括号，再按有理数混合运算的顺序计算．【详解】解：原式()19692=-+---()85=--13=【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．25．(0分)计算：（1）23(2)14⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭；（2）2331(2)592-+-⨯--÷． 解析：（1）1-；（2）47-．【分析】（1）原式先计算乘方和括号内，然后再计算乘法即可得到答案；（2）原式先计算乘方和化简绝对值，再计算乘除法，最后计算加减运算即可得到答案．【详解】解：（1）23(2)14⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭ 3414⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 144⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭1=-．（2）2331(2)592-+-⨯--÷ 21(8)593=-+-⨯-⨯ 1406=---47=-．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．(0分)计算：（1）()()674-+--；（2）()3232--⨯． 解析：（1）17-；（2）14【分析】（1）根据有理数的加减法即可求出值；（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；【详解】解：（1）原式134=-17=-（2）原式()86=--14=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．(0分)计算：（1）32(1)(2)(34)5⎡⎤--+---⨯⎣⎦（2）121123436⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：（1）10；（2）3 【分析】（1）先算乘方和小括号，再算中括号，后算加减即可；（2）把除法转化为乘法，再用乘法的分配率计算即可．【详解】解：（1）32(1)(2)(34)5⎡⎤--+---⨯⎣⎦ 1[4(1)5]=+--⨯1(45)10=++=；（2）1211121(36)23436234⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121(36)(36)(36)234=-⨯-+⨯--⨯- 182493=-+=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．28．(0分)（1）在图所示的数轴上标出以下各数：52-，-5.5，-2，+5， 132 （2）比较以上各数的大小，用“＜”号连接起来；（3) 若点A 对应 5.5-，点B 对应132，请计算点A 与点B 之间的距离．解析：（1）画图见解析；（2） 5.5-＜52-＜2-＜132＜+5；（3）9. 【分析】（1）先画数轴，根据数轴上原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上描出对应各数的点即可得到答案；（2）根据数轴上的数，右边的数大于左边的数，直接用“＜”连接即可得到答案；（3）数轴上点A 与点B 对应的数分别为,a b ，则AB a b =-或b a -，根据以上结论代入数据直接计算即可得到答案．【详解】 解：（1）如图，在数轴上表示各数如下：（2）因为数轴上的数，右边的数总大于左边的数：所以按从小到大排列各数为：5.5-＜52-＜2-＜132＜+5 （3）因为：A 表示 5.5-，B 表示132， 所以：点A 与点B 之间的距离为： ()13 5.5 3.5 5.599.2AB =--=+== 【点睛】本题考查的是利用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，掌握以上知识是解题的关键．。
苏教版七年级数学上册 第2章《有理数》考点归纳(含答案)
第2章《有理数》考点归纳知识梳理重难点分类解析考点1相反意义的量【考点解读】中考中对于相反意义的量的考查主要涉及用正负数表示相反意义的量，解此类题的关键是要深刻理解正数、负数的意义.例1一个物体做左右方向的运动，规定向右运动4m记作+4m，那么向左运动4m记作()A.－4mB.4mC.8mD.－8m分析:若向右运动4 m记作+4 m，则向左运动4 m记作－4 m.答案:A【规律·技法】解题时要抓住以下几点:①记住区分相反意义的量;②记住相反意义的量的表示方法.【反馈练习】1.某财务科为保密起见采取新的记账方式，以5万元为1个记数单位，并记100万元为0，少于100万元记为负，多于100万元记为正.例如:95万元记为－1,105万元记为1.依此类推，75万元应记为( )A. －3B. －4C. －5D. －6 点拨:每多5万元记为+1，每少5万元记为－1.2. (2017·苏州期末)一个物体做左右方向的运动，规定向右运动5m 记作+5m ，那么向左运 动5m 记作( )A. －5mB.5mC.10mD. －10 m 点拨:若向右为正，则向左为负. 考点2 数轴【考点解读】中考中对于数轴的考查主要涉及数轴的认识以及数形结合的思想.用数轴上的点来表示有理数，这是运用了数形结合的思想.利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系.例2 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为,,,M P N Q ，若点,M N 表示的有理数互 为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是( )A.点MB.点NC.点ND.点Q 分析:因为点,M N 表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段MN 的中点，所以表示绝对值最小的数的点是点P . 答案:C【规律·技法】解答与数轴有关的问题时要抓住以下几点:①记住数轴上的点与有理数的对应关系;②相反数、点与点之间的距离在数轴上的表示方法;③数轴常常与相反数、距离、绝对值结合考查. 【反馈练习】3.有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是( )A. 0a b +<B. 0a b -<C. 0ab >D. 0a b -> 点拨:先判断,a b 的正负和大小关系.4. (2017·苏州期末)有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是( )A. 0ab >B. b a <C. 0b a <<D. 0a b +>点拨:先判断,a b的正负和大小关系.考点3绝对值、相反数、倒数【考点解读】中考中对于绝对值、相反数、倒数的考查主要涉及概念的理解，因此掌握基本概念是解题关键.例3(1)(2017·盐城)－2的绝对值是( )A. 2B. －2C. 12D.12-(2)－3的相反数是，－3的绝对值是.(3) 23的倒数是.分析:根据相反数、绝对值、倒数的定义解答.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，0的相反数是0;正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0;乘积为1的两个数互为倒数.答案:(1) A (2) 3 3 (3) 3 2【规律·技法】(1)正确理解相反数的概念是关健;(2)数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正数时，a的绝对值是它本身;②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数－a;③当a是零时，a的绝对值是零;(3)应熟练掌握倒数的定义，需要注意的是负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数，0没有倒数.【反馈练习】5.23-的相反数是( )A.23- B.23C.32- D.32点拨:符号相反、绝对值相同的两个数互为相反数.6.若a与1互为相反数，则1a+等于( )A.－1B. 0C.1D.2点拨:互为相反数的两个数的和为0.考点4有理数大小的比较【考点解读】比较有理数大小的基本方法:①绝对值法:两个正数，绝对值大的正数大;两个负数，绝对值大的负数小;②数轴法:在数轴上表示的两个有理数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.例4 (1) (2017·扬州)下列各数中，比－2小的数是()A.－3B.－1C. 0D. 1(2)下列各式中，计算结果最大的是( )A. 25 X 132－152B. 16 X 172－182C. 9 X 212－132D. 4X312－122分析:(1)比－2小的数是负数，且绝对值大于2，故只有选项A符合.(2) 25X132－152=(5X13)2－152=4 000 ;16X172－182=(4X17)2－182=4 300;9X212－132=(3X21)2－132=3 800;4X312－122=(2X31)2－122=3700.因为4300>4000>3800>3700,所以计算结果最大的式子是16X172－182. 答案:(1) A (2) B【规律·技法】解答有关有理数大小的比较问题时要抓住以下几点:①比较有理数的大小时，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小;②比较两个有理数的大小有以下五种情况:正数与正数、正数与负数、0与正数、0与负数、负数与负数的比较. 【反馈练习】7. (2017·扬州期末)在－2,0,1,－4这四个数中，最小的数是()A. －4B. 0C. 1D. －2 点拨:负数小于0，正数大于0;两个负数，绝对值大的负数小.8. (2017·泰州期中)在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”号连接各数: 2112.5,1,(2),(1),222----+--.点拨:先把需要化简计算的式子计算出结果，再来画数轴. 考点5 有理数的混合运算 【考点解读】 解答有关有理数运算的问题时要抓住以下几点:(1)符号的判断;(2)运算顺序的选择;(3)运算律的使用.有理数的运算在中考中一般不单独命题，常常与以后学习的实数结合命题考查.例5 (1)计算: 42201721(3)2(1)-÷---⨯-;(2)计算: 1133()33-⨯÷⨯-; (3)若2a ba b a+*=，则(42)(1)**-= . 分析:(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减;(2)先将除法运算转化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算;(3)根据新定义计算. 4224224+⨯*==,22(1)(42)(1)2(1)02+⨯-**-=*-==. 解答:(1) 42201721(3)2(1)1682220-÷---⨯-=-÷+=-+=. (2) 111111()33()3()333339-⨯÷⨯-=-⨯⨯⨯-=. (3) 0【规律·技法】有理数混合运算:先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先算括号内的. 【反馈练习】9. (2017·徐州期末)计算: 2018142(3)-+-+⨯-.点拨:注意运算顺序和符号. 10.计算: 517()(24)8612--+⨯-.点拨:运用乘法分配律计算.考点6 科学记数法【考点解读】 解答有关科学记数法的问题时要抓住以下几点:①对于大于10的数，在科学记数法的表示形式10na ⨯中，110a ≤<,n 为正整数;②小数点移动的位数与指数的关系;③理解近似数的意义. 例6 据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42 X 10n ，则n 的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 分析:对于大于10的数，科学记数法的表示形式为10na ⨯，其中110a ≤<,n 为正整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.确定10na ⨯(110a ≤<,n 为整数)中n 的值时，由于9 420 000是七位数，所以可以确定n =7-1=6. 答案:C【规律·技法】用科学记数法表示大于10的数时，确定a 与n 的值是关健.其中110a ≤<,n等于原数的整数位数减1. 【反馈练习】11. (2017·庐州)“五一”期间，某市共接待海内外游客约567 000人次，将567 000用科学 记数法表示为( )A. 567 X 103B. 56.7 X 104C. 5.67 X 105D. 0.567 X 106 点拨: 110a ≤<.12. (2017·宁波)2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮— “泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为( )A. 0.45 X 106吨B. 4.5 X 105吨C. 45 X 104吨D. 4.5 X 1 04吨 点拨:单位要统一，万吨化为吨. 易错题辨析例1 给出下列各数: ①0.363 663 666 3…(每两个3之间依次多一个6);②2.121 121 112;③355113;④3π-.其中为无理数的是 .(填序号) 错误解答:①③④ 错因分析:把355113化成小数后，误以为是无限不循环小数，其实是循环小数. 正确解答:①④易错辨析:识别无理数时，要抓住其“无限不循环”的定义.本题若忽视无理数是无限小数，就会误认为有限小数2.121 121 112是无理数;若在把分数355113化成小数时，除了几位后，没有继续除下去，会错误的判断它不是循环小数，错误地认为它是无理数.实质上，所有的分数都是有理数，不是无理数. 易错点2 忽视分类讨论例2 在数轴上，点A 表示的数是－3，那么与点A 相距5个单位长度的点表示的数是多少? 它与132-相比较，大小关系如何? 错误解答:与点A 相距5个单位长度的点表不的数是－3+5＝2，它与132-的大小关系为1322-<. 错因分析:考虑问题不全面.正确解答:如图，在数轴上，与点A 相距5个单位长度的点有,B C 两个.由点,B C 在数轴上的位置可知它们所表示的数分别为－8,2.在数轴上找到表示132-的点，观察点,B C 与表示132-的点在数轴上的位置，容易发现它们与132-之间的大小关系为13132,822>--<-. 易错辨析:一般地，在数轴上与某点相距一定单位长度的点有两个，分别位于该点的左、右两侧，不要遗漏.易错点3 乘法的分配律对除法不适用例3 计算：11(15)()53-÷- 错误解答:原式＝11(15)(15)75453053-÷--÷=-+=-.错因分析:除法没有分配律. 正确解答:原式＝215225(15)()(15)()1522-÷-=-⨯-=. 易错辨析:有的同学会错误地认为除法也有分配律，其实除法没有分配律.易错点4 幂的底数识别不清例4 计算:(1) 4(2)-= , 42-= ; (2) 32()3= , 323= .错误解答:(1)－16 －16 (2)827 827错因分析:负数的偶次幂的运算结果是正数，计算分数的幂时，注意分子、分母应分别乘方.在323中，注意是2的3次方，而不是23的3次方.(1) 4(2)-表示4个－2相乘，即它是底数为－2，指数为4的幂，所以4(2)-=16;42-表示42的相反数，即－2不是底数，所以42-=－16.(2)因为32()3表示3个23相乘，即它是底数为23，指数为3的幂，所以322228()333327=⨯⨯=.因为323表示3个2相乘的积与3的商，所以23不是底数，所以322228333⨯⨯==. 正确解答:(1) 16 －16 (2)827 83易错辨析:在进行幂的运算时，首先要区分底数和指数，然后根据幂的意义计算，得出正确结果.易错点5 混合运算顺序不清例5 计算: 23272(2)()83-÷⨯-. 错误解答:原式=2784()4(1)4827÷⨯-=÷-=-. 错因分析:易知328()327-=-，勿将“278”与“827-”结合运算，导致出错.实际上，本题中只有乘、除运算，故应从左往右按步计算. 正确解答:原式＝278882564()4()8272727729÷⨯-=⨯⨯-=-. 易错辨析:乘、除是同级运算，应遵循从左往右的计算顺序.【反馈练习】1. (2016·宜昌)给出下列各数:1.414,1.732 050 8…，13-，0，其中为无理数的是( ) A. 1.414 B. 1.732 050 8… C . 13- D. 0 点拨:无理数即为无限不循环小数.2.已知数轴上有,A B 两点，点A 与原点的距离为2, ,A B 两点间的距离为1，则满足条件的 点B 所表示的数为 . 点拨:注意分类讨论.3.计算:(1) 23(2)(1)4-⨯-; (2) 22439-÷;(3) 2225(3)[()](6)439-⨯-+---÷; (4) 2017231(1)[2(1)(3)]6--⨯⨯---;点拨:注意有理数混合运算的顺序. 4.阅读下面的材料，并完成下列问题.计算: 12112()()3031065-÷-+-. 解法一:原式=12111112()()()()3033010306305-÷--÷+-÷-÷-=1111203512-+-+=16.解法二:原式=12112()[()()]3036105-÷+-+=151()()3062-÷-=1330-⨯ 110-.解法三:原式的倒数=21121()()3106530-+-÷- =2112()(30)31065-+-⨯- =203512-+-+ =10-.综上所述，原式＝110-(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，解法 是错误的; (2)在正确的解法中，解法 最简便; (3)利用最简便的解法计算: 11322()()4261437-÷-+-.点拨:可以转化为先求原式的倒数. 探究与应用探究1 复杂的有理数混合运算 例1 计算:(1) 86[47(18.751)2]0.461525--÷⨯÷; (2) 32017201723(0.2)(50)(1)()35-⨯-+-⨯-. 点拨:按照有理数的运算法则进行计算即可. 解答:(1)原式=31556100[47(181)]482546--⨯⨯⨯=751556100[47()]482546--⨯⨯=13556100(47)82546-⨯⨯=4610020546⨯=(2)原式=20172017153()(50)()()12535-⨯-+-⨯-=2017253[()()]535+-⨯-=27155+=.规律·提示在有理数的混合运算过程中，要善于观察与思考，在正常运算较繁琐时，要根据算式的特点，灵活选择正确而简洁的解法(如运算律的运用等).对于复杂运算，更要保持不急不躁的态度，切不可跳步，欲速则不达. 【举一反三】 1.计算:(1) 222353()34()8()3532-⨯-÷-⨯+⨯-;(2) 321116(0.5)[2(3)]0.52338---÷⨯-----.探究2 错位相减法巧算例2 求23201712222S =++++⋅⋅⋅+的值.点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的2倍.为此，在和式两边同乘一个常数2后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便. 解答:因为23201712222S =++++⋅⋅⋅+①, 所以2342018222222S =++++⋅⋅⋅+②,所以②－①，得201821S =-.规律·提示:当一和式乘一个恰当的常数后，得到的新和式与原和式中绝大部分数相同时，应用错位相减法可以简化计算. 【举一反三】2.求23201613333++++⋅⋅⋅+的值.例3 求232017111112222S =++++⋅⋅⋅+的值. 点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的12.那么类似例2，在和式两边同乘一个常数12后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便. 解答:因为232017111112222S =++++⋅⋅⋅+①,所以2342018111111222222S =++++⋅⋅⋅+②.①－②，得201811122S =-,所以2017122S =-.规律·提示应用错位相减法时，一定要选择一个合适的常数. 【举一反三】 3.计算: 11112481024+++⋅⋅⋅+.探究3 拆项分解法巧算例4 计算: 111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+. 点拨:因为(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+=,所以11222(1)123(1)12n n n n n n n ===-++++⋅⋅⋅+++，所以 111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+可转化为 222222123341001001+-+-+⋅⋅⋅+-+.进一步通过加法的结合律计算，得22121001+-+，至此问题解决. 解答:原式＝22222229912123341001001101101+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+. 规律·提示(1)12342n n n +++++⋅⋅⋅+=. 这是初中数学计算中的一条重要公式. 再进一步拆分，得1111111,()(1)1()n n n n n n m m n n m=-=-++++.也可以类推三个及三个以上的数的积的拆项. 【举一反三】 4.求111113355720152017+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值.探究4 整体换元法巧算例5 计算: 7737121738(172711)(1385)271739172739+-÷+-. 点拨: 73472437761716,2726,1110272717173939===，通过观察可以发现，这3个数分别是第2个括号内3个数的2倍.解答:令1217381385172739A =+-. 因为77373424761727111626102271739271739A +-=+-=, 所以原式=22A A ÷=. 规律·提示把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法.换元法是常用的解题方法，它能化复杂为简单，明确题目的结构特征，丰富解题思路.【举一反三】5.已知33331231514400+++⋅⋅⋅+=，求333324630+++⋅⋅⋅+的值.探究5 配对、分组巧算例6 计算:11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++. 点拨:观察每个括号内式子的特点，依特征求解;也可用一个符号表示所求的式子，将式子进行整体变形，寻找内在关系，简化运算.解答:解法一:原式=(0.529.5)590.51 1.5229.58852+⨯++++⋅⋅⋅+==. 解法二:原式=0.51 1.5229.5++++⋅⋅⋅+=(0.51 1.5229.5)(1229)++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ (0.529.5)30(129)2988522+⨯+⨯=+= 解法三:设原式之和为S ，对每个括号内的各项都交换位置再相加，显然其和不变， 即121321432159585721()()()()23344455556060606060S =++++++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++. 将原序和倒序相加，其相应两项之和为1，则有 (159)59212345930592S +⨯=++++⋅⋅⋅+==⨯, 所以1559885S =⨯=.规律·提示计算时需要观察规律，本例三种解法分别从三个角度着眼:解法一是配成59个“对子”;解法二是分组计算; 解法三是倒序与正序的综合运用.上述三种解法在计算中的运用都十分广泛.【举一反三】6.计算:(1234)(5678)(9101112)(2013201420152016)+--++--++--+⋅⋅⋅++--.参考答知识梳理负数 分数 不循环 正方向 单位长度 距离 本身 相反数0 绝对值1 异号 相反数 正 负 不等于0 倒数 相同 幂 正整数重难点分类解析【反馈练习】1.C2.A3.B4.C5.B6.B7.A8. 2112 2.5(1)1(2)22-<--<+-<<--9.原式=―310.原式=511.C 12.B易错题辨析1.B2. 3或1或―1或―33. (1) 原式=1;(2) 原式=38-;(3) 原式=―20;(4) 原式= 356-;4.(1)一 (2) 三(3)原式＝114-探究与应用【举一反三】1.(1) 原式＝7279;(2) 原式＝―3.895.2.23201613333++++⋅⋅⋅+= 201713-12（）. 3.11112481024+++⋅⋅⋅+= 102310244.111113355720152017+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= 10082017. 5. 333324630+++⋅⋅⋅+=115200.6. 原式=―2016。
【暑假预习】人教版数学七年级上册讲义：第1讲：有理数和数轴(含答案)
第一讲 有理数与数轴入门测成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为A ．+3B ．﹣3C ．31+D ．31-B2．以下4个有理数中，最小的是A ．-1B ．1C ．0D ．-2D 3．31-的相反数是 ． 134．下列说法正确的是①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③一个有理数不是正数就是负数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ A5．若数轴上点A 表示的数是-3, 则与点A 相距4个单位长度的点B 表示的数是 ． -7或16．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 AA ．aB ．bC ．cD ．d7．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为25.0+，1-，5.0+，75.0-．小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为 千克．99教学目标1．理解并掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的意义2．会比较有理数的大小3．会求有理数的相反数和绝对值4．会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识梳理1．正数和负数大于的数叫做0 正数，等在正数前面加上负号"" 的数小于的数叫做，形如-3-0.50 负数0 既不是正数也不是负数2．有理数、和统称为正整数0 负整数整数、统称为正分数负分数分数和统称为整数分数有理数所以有理数可以分为．和正有理数 0 负有理数 3．数轴数轴：规定了 ． 和 的直线叫做数轴原点 正方向 单位长度所有的有理数都可用数轴上的点来表示4．数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）（2）在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”） （3）确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）； （4）选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，… 从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…5．相反数相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数符号就是0的相反数 0求一个数的相反数只要在 加上"-"即可，若求一个代数式的相反数就是用括号把这 个代数式括起来，再在这个 加上"-"．前面括号前性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=，1ab=-（b 0≠）两个数相加为零，则这两个数互为，他们分别位于原点的，且到原点的相反数两侧距离相等6．绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离在数轴上离开的距离就叫做这个数的原点绝对值一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是绝对值的代数意义：||() () ()aa aaa a=>=-<⎧⎨⎪⎩⎪00典型例题例题1：1．我们把向东运动5米记作“+5米”，则向西运动3米记作________米．-32．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示A．支出80元B．收入20元C．支出20元D．收入80元A练习1：1．如果零上5℃记作5+℃，那么零下5℃记作CA．-5B．-10C．-5 D．-10练习2：1．在－3，－1，2，0这四个数中，是正数的数是CA．－3 B．－1 C．2 D．0例题2：1．有8筐白菜, 以每筐25千克为标准, 超过的千克数记作正数, 不足的千克数记作负数,称后的记录如下：1．5 -3 2 -0．5 1 -2 -2 -2．5回答下列问题：（1）这8筐白菜中, 最接近25千克的那筐白菜为__________千克; 24.5（2）以每筐25千克为标准, 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？5.5（3）若白菜每千克售价2.6元, 则出售这8筐白菜可卖多少元？505.7练习1：1．某日，司机小张作为志愿者在东西向的公路上免费接送游客。
人教版初一上册数学《有理数》专题讲义(含答案)
有理数1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算模块一 正负数与有理数的分类1. 对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数。
2. 相反意义的两个量是相互的，也是相对的。
3. 掌握有理数的两种分类：按“定义”分类与按“性质符号”分类☞有理数的分类【例1】 下列说法：①0是整数；②负分数一定是负有理数；③一个数不是整数就是负数；④π-为有理数；⑤最大的负有理数是1-，正确的序号是【难度】2星【解析】考察有理数的分类 【答案】①②【巩固】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是【难度】2星【解析】考察有理数的分类 【答案】②④⑤模块二 数轴、相反数、倒数1. 数形结合思想是一种重要的数学思想。
数轴就是数形结合的工具。
2. 数轴是条直线，可以向两方无限延伸。
3. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可。
4. 所有有理数都可以用数轴上点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数5. 相反数是成对出现的，不能单独存在。
相反数和为零。
☞数轴例题精讲重难点【例2】 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试定墨迹盖住的整数共有几个【难度】1星【解析】考察数轴的有关概念【答案】如图，盖住数中的整数有4-、3-、2-、2、3、4，共有6个【巩固】 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm ，若在数轴上任意画出一条长2006cm 的线段，则线段盖住的整数点共有 个【难度】2星【解析】考察数轴的有关概念 【答案】2006或2007☞相反数与倒数【例3】 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1x =±，求2a b x cdx ++-的值 【难度】3星【解析】考察相反数与倒数的有关概念 【答案】解：由相反数、倒数的定义可得 0a b +=，1cd =则当1x =时，原式=01110+-⨯= 当1x =-时，原式=20(1)1(1)2+--⨯-=【巩固】已知a 和b 互为相反数，m 和n 互为倒数，(2)c =-+，求22mna b c++的值 【难度】3星【解析】考察相反数与倒数有关概念 【答案】解：由相反数和倒数的定义可得 0a b +=，1mn =∵(2)c =-+ ∴原式112()022mn a b c =++=+=--【巩固】已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，a 和b ()a b <并且A 、B 两点间的距离是144,求a 、b 【难度】3星【解析】考察相反数有关概念【答案】解：∵a 、b 两数互为相反数 ∴0a b += ∴a b =-∵A 、B 两点间距离有144b a -= ∴1()44b b --=∴178b =，178a =-模块三 有理数的运算1. 在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易出错。
人教版七年级上册数学期末复习有理数专题(附答案)
人教版七年级上册数学期末复习有理数专题（附答案）一、单选题（共6题；共12分）1.若，则的平方根为（）A. ±2B. 4C. 2D. ±42.近似数4.50所示的数值a的取值范围是( )A. 4.495≤a<4.505B. 4.040≤a<4.60C. 4.495≤a≤4.505D. 4.500≤a≤4.50563.在1、-2、-5.6、-0、、、π中负数有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4.当1<a<2时，式子|a-2|+|1-a|的值是( )A. -1B. 1C. 3D. -35.总投资647亿元的西成高铁已于2017年12月6日正式运营，用科学计数法表示647亿为( )A. 6.47×106B. 6.47×108C. 6.47×1010D. 6.47×10116.数轴上点A表示的运算结果完全正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（共4题；共6分）7.的相反数是________，的倒数是________，的绝对值是________．8.已知点P（2，﹣6），点P到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a﹣b＝________．9.已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a-1|=________。
10.若|x- |+(y+1)2=0，则x2+y3的值是________。
三、计算题（共3题；共25分）11.12.已知、互为倒数，为最小的正整数，是绝对值最小的数，，求式子的值.13.计算（1）；（2）；（3）.四、综合题（共2题；共20分）14.平远县居民生活用电的收费标准如下表：注：表中的数据是按照每一阶段超出的用电量进行收费．（1）小张家5月份的用电量是200度，问他家应缴电费是多少元？（2）8月份天气炎热，空调使用频繁，这个月用电量是850度，问他家应缴电费又是多少元？15.5分钟内背过10个单词为过关，超过的单词数记为正，不足的单词数记为负。