等腰三角形与勾股定理
-等腰三角形与勾股定理
2010年中考数学复习试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形【答案】解：（1）证明：AE DA DAE BAF BAC ⊥⇒︒=∠⇒︒=︒⨯=∠+∠∠+∠⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠+∠∠∠⇒∠∠∠⇒∠909018021)(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21BAE BAF AE BAC 21BAD BAC AD ＝＝平分＝平分（2）AB ＝DE ，理由是：DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC AB =⇒⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠︒=∠⇒⊥︒=∠⇒⊥⇒⎭⎬⎫∠=是矩形四边形平分B 90 90 9012．（山东省临沂市）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．A B CD E解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=，BO = ∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB ==km ） ∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，北东BACDlBA CDlN MOPAO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?解：在Rt ΔAOB 中，OA ＝100,∠BAO ＝60° 所以OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝Rt ΔAOC 中,∠CAO ＝45° 所以OC ＝OA ＝100,所以（100，0） （2）BC ＝BO+CO ＝18≈18>503, 所以这辆车超速了。
等腰三角形直角三角形勾股定理
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。
一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。
等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。
2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。
3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。
二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。
也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。
2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。
如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。
3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。
如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。
三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。
如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。
2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。
如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。
3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。
如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。
四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。
五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。
2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。
3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。
总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。
通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。
初中数学几何专题-勾股定理与等腰三角形夹半角模型
勾股定理与等腰三角形夹半角模型（适合八下+九年级）【模型入门】（1）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明．（2）将问中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明．【简单应用】1、如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 、E 是BC 上的两点，且∠DAE ＝45°，若BD ＝6，EC ＝8，则DE ＝___________．2、（2017武汉中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为__________．3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝150°，点D 、E 在BC 边上，且∠DAE ＝75°，BD ＝DE ，若△ADE 的面积为274，则线段DE 的长为__________．FE CBAABCE FC BAEDE D CB AED C B A【变式训练】1、如图，B ，C 为△ADE 的边DE 上两点，∠DAE ＝135°，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，若BD ＝2，CE ＝3，则AB 的长 为 ．2、若∠BAC ＝150°，D 、E 为线段BC 上的两点，∠DAE ＝60°，且AD ＝AE ．若DE ＝3，CE ＝5，则BD 的长为___________.【模型隐藏】 1、如图，在长方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝∠CEF ＝45°，若BE ＝3，DF ＝1，则EF 的长为__________．2、在□ABCD 中，∠A ＝60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE ＝DF ，且∠EBF ＝60°，若AE ＝2，FC ＝3， 则EF 的长度为（ ）AB ．C ．D ．5【模型隐藏】1、如图，△AEF 中∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于G ，且GF ＝2，GE ＝3，求S △AEF .ABCDEABCDEAB CD E FFE D CB AG FE A2、如图，∠AOB ＝45°，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，连OP ，C 是CP 上一点，OC ＝PC ，连BC 交OA 于D 点，若OD ＝4， AD ＝6，则PB 的值为__________．3、如图，点D 在△ABC 的BC 边上，∠ABC ＝15°，∠ACB ＝37.5°，∠DAC ＝75°，CD ＝2，则线段BD 的长为__________．【备选】CP BODADCBA。
等腰三角形的内接圆半径
等腰三角形的内接圆半径等腰三角形的内接圆半径是指一个圆能够刚好与等腰三角形的三条边相切，而且圆心位于三角形的内部。
在计算等腰三角形的内接圆半径时，可以使用不同的方法，包括应用勾股定理、正弦定理、余弦定理和海龙公式等。
一、勾股定理法勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和高，则可以使用勾股定理来求出斜边长（即两腰之一），然后再根据斜边长和底边长计算出内接圆半径。
二、正弦定理法正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，有以下公式：a/sinA =b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别表示三角形ABC中对应的边长，A、B、C分别表示对应的内角度数。
因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和顶点处的夹角，则可以使用正弦定理来求出两腰之一的长度，然后再根据斜边长和底边长计算出内接圆半径。
三、余弦定理法余弦定理是指在一个任意三角形ABC中，有以下公式：a² = b² + c² - 2bc cosA。
其中a、b、c分别表示三角形ABC中对应的边长，A表示对应的内角度数。
因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和顶点处的夹角，则可以使用余弦定理来求出两腰之一的长度，然后再根据斜边长和底边长计算出内接圆半径。
四、海龙公式法海龙公式是指在一个任意三角形ABC中，有以下公式：s =(a+b+c)/2；其中s表示半周长。
则该三角形的面积S可以用以下公式计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和两腰之一的长度，则可以使用海龙公式来计算该等腰三角形的面积，然后再根据面积和底边长计算出内接圆半径。
总结以上四种方法都可以用来计算等腰三角形的内接圆半径。
不同方法适用于不同情况下的计算，因此需要根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，可以结合多种方法进行计算，以提高计算精度和准确性。
等腰三角形三边的关系。
等腰三角形三边的关系。
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
对于一个等腰三角形，三边之间存在特定的关系。
设等腰三角形的底边长度为b，两腰的长度为a，则有以下关系： 1. 等腰三角形的底角等于两个顶角的平均值，即底角等于顶角的一半，可表示为：∠A = ∠B = 1/2∠C。
2. 根据正弦定理，有a/2sinA = b/2sinC，化简得a/b =
sinC/sinA，即两腰的比值等于底角的正弦比。
3. 根据余弦定理，有a^2 = b^2 + (a/2)^2 - 2b(a/2)cosC，化简得b = 2a√(cosC-1/4)，即底边长度等于两腰长度的平方和减去二倍两腰长度的乘积再开方。
4. 根据勾股定理，有a^2 = b^2 + (a/2)^2，化简得b = 2a/
√3，即底边长度等于两腰长度的二分之一乘以根号三。
以上是等腰三角形三边的关系，这些关系可以帮助我们在解决等腰三角形相关问题时进行计算和推导。
- 1 -。
五年级数学认识简单的等腰三角形及其性质
五年级数学认识简单的等腰三角形及其性质等腰三角形是学习数学中常见的一种三角形，它的特点是两边的长度相等，两底角也相等。
在数学中，学生们需要掌握等腰三角形的定义、性质以及相关的计算方法。
本文将详细介绍关于等腰三角形的相关知识，帮助五年级的学生更好地理解和应用等腰三角形。
一、什么是等腰三角形？等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两边的长度相等的边称为腰，而与腰不等长的边称为底边。
此外，等腰三角形的两个底角也是相等的。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角相等在等腰三角形中，两底角是相等的。
这是由于等腰三角形的两条边相等所决定的。
可以通过使用角的度量方法或者观察图形来验证两底角是否相等。
2. 等腰三角形的高线等腰三角形的高线是指从顶点向底边所引的垂线。
在等腰三角形中，高线同时也是三角形的中位线和角平分线。
这意味着高线可以把等腰三角形划分为两个等腰三角形，并且高线上的点与底边中点相重合。
3. 等腰三角形的面积计算等腰三角形的面积可以使用以下公式：面积 = 底边长度 ×高线长度的一半。
由于等腰三角形的高线与底边中点重合，因此可以简化计算，即面积 = 底边长度 ×高线长度 ÷ 2。
4. 等腰三角形的周长计算等腰三角形的周长需要考虑三条边的长度。
由于等腰三角形的两边相等，因此可以使用以下公式：周长 = 2 ×边长 + 底边长度。
5. 等腰三角形的对称性等腰三角形具有一定的对称性。
如果将等腰三角形绕着高线进行翻转，那么它的形状将保持不变。
这说明等腰三角形具有对称中心，即高线上的点为对称中心。
三、等腰三角形的例子1. 锐角等腰三角形在锐角等腰三角形中，两个底角都是锐角。
这种类型的等腰三角形的两边和底边长度都是正数。
2. 直角等腰三角形在直角等腰三角形中，底角是直角。
这种类型的等腰三角形一般会用到勾股定理，根据两条直角边的长度计算斜边的长度。
3. 钝角等腰三角形在钝角等腰三角形中，两个底角都是钝角。
等腰三角形高的计算公式
等腰三角形高的计算公式在咱们的数学世界里，等腰三角形可是个常见的“小伙伴”。
今天咱们就来好好聊聊等腰三角形高的计算公式。
先给大家讲个我曾经遇到的事儿。
有一次我在课堂上给学生们讲等腰三角形的知识，其中一个小家伙一直皱着眉头，一脸困惑。
我就走过去问他怎么啦，他嘟囔着说：“老师，这等腰三角形的高怎么算呀，感觉好复杂。
”我笑着告诉他：“别着急，咱们一步步来。
”咱们先来说说等腰三角形哈。
等腰三角形就是有两条边长度相等的三角形。
它的高呢，就是从顶点到底边的垂线段的长度。
那怎么计算这个高的长度呢？如果我们知道等腰三角形的腰长 a 和底边长 b ，那就可以用勾股定理来算出高 h 。
勾股定理大家都知道吧，就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在等腰三角形里，我们把底边一分为二，那一半的长度就是 b÷2 。
然后从顶点到底边中点的线段就和高以及半个底边构成了一个直角三角形。
这时候，高 h 就可以通过这个式子算出来：h = √(a² - (b÷2)²) 。
比如说，有一个等腰三角形，腰长是 5 ，底边长是 6 。
那咱们就先算出底边的一半，6÷2 = 3 。
然后代入公式，高h = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 。
再举个例子，一个等腰三角形的腰长是 8 ，底边长是 10 。
底边的一半就是 10÷2 = 5 ，高h = √(8² - 5²) = √(64 - 25) = √39 。
大家可别觉得这公式难记，多做几道题，多画几个图，自然就熟练啦。
就像我之前提到的那个小家伙，后来经过反复练习，终于搞明白了，还主动跟我说：“老师，原来也没那么难嘛！”所以呀，咱们学习等腰三角形高的计算公式，不能光死记硬背，得理解着来，多动手画画图，多做做练习题，这样才能真正掌握。
希望大家通过今天的讲解，都能轻松算出等腰三角形的高，在数学的海洋里畅游无阻！。
等腰三角形与勾股定理试题及答案1
北
东 A
D
C
l
B
解：（1）方法一：设 AB 与 CD 的交点为 O ，根据题意可得 A B 45°． △ACO和 △BDO 都是等腰直角三角形． AO 2 ， BO 2 2 ．
A．AB 垂直平分 CD
B．CD 垂直平分 AB
A
B
C．AB 与 CD 互相垂直平分 D．CD 平分∠ACB
【答案】A
D
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形
拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三
角形的两条直角边的长分别是 2 和 4．中间小正方形与大正方
形面积的比是
A，B 两村的距离为 AB AO BO 2 2 2 3 2 （km）．
A
N
O
D
C
P
l
M
B
（2）作图正确，痕迹清晰． 作法：①分别以点 A，B 为圆心，以大于 1 AB 的长为
2
半径作弧，两弧交于两点 M，N ， 作直线 MN ；
②直线 MN 交 l 于点 P ，点 P 即为所求． （7 分） 5．（2009 白银市）如图 13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ ECD＝90°，D 为 AB 边上一点，求证： （1） △ACE ≌△BCD ；（2） AD2 DB2 DE2 ．
7．（2009 年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段 AB 为一边的等边
△ABC ．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法 和结论）
等腰三角形和勾股定理
等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见，底角只能是锐角。
（2）性质①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
②等边对等角。
③三线合一（顶角）。
（3）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2、等边三角形（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
（2）性质①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
➢ 典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．AFBCDE练习1、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.举一反三：练习1、如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ． （1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数； （3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．练习2、等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．练习3、等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．B ABO EFCBDAB F 练习1、如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ， 则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
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第12
题图
A
C D B
1．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_________
2．如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
3.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
4．如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，44BOC ∠=°，则A ∠的度数为 ．
5．如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．
6．如图，过原点的直线l 与反比例函数1
y x
=-
的图象交于M ，N 两点，根据图象猜想线段MN 的长的最小值是___________．
7．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________．
8． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ．
9．如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、计，则乙楼的高度是 米．
10、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．
C
A
B
S 1
S 2
B A
6cm 3cm
1cm
11、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．
12．如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为
______（结果保留π）。
13．如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边
上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若
2BC =，则D E
D +=_____________．
三、解答题
1．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD//BC ，AB ＝DC,AD ＝2,BC ＝4，
延长BC 到E ，使CE ＝AD ．
（1）证明：ΔBAD ≌ΔDCE ；
（2）如果AC ⊥BD ，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．
2.如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．
（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．
2．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，
，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，
D
A
B
E C
F
此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ，当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使
1
2
BP BQ =
？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
） （图3）
（图2）
x
（备用图）。