第二章 控制系统的传递函数

定关系时， 上述二个微分方程具有完全相同的形式。 也就是说， 在数学上 ， ～
具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型
研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验 研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进 行普遍意义的分析和研究。
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控制系统的传递函数
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2.3 传递函数模型
控制系统的传递函数
重点:传递函数的概念 传递函数的性质 传递函数的列写
பைடு நூலகம்
2.3.1 定义
传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递 函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作 量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率 特性有利于对系统研究、分析和综合。
2.3.2 几点说明（性质） （1）传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出 的模型形式。 它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。 它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。 传递函数的分母和分子分别反映系统本身与外界无关的固有特性 和系统同外界之间的联系。 (2)若输入已定，则系统的输出完全取决于其传递函数，因为， Xo(s)=G(s)Xi(s) (或C(s)=G(s)R(s)) 通过拉氏变换，可求得系统在时域的输出： Xo(t)=L-1[Xo(s)]=L-1[G(s)Xi(s)] 或c(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]
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例 4 如图表示一个汽车悬浮系统的原理图。当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移作 为一个运动激励作用在汽车的悬浮系统上。该系统的运动，由质心的平移运动和围绕质心的 旋转运动组成。建立这个系统的数学模型相当复杂。 （b）图给出了一种大为简化的悬浮系统，设 p 点的运动 为系统的输入，车体的垂直运 动 为系统的输出，只考虑车体在垂直方向的运动时，求 。
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例 2 前一节例 1，机械位移系统 直接由得到的微分方程模型 求拉氏变换有： ，在零初始条件下，对上式两端 ，整理得该系统得传递函数：
例 3 前一节例 2 RLC 网络 由得到得微分方程模型 求拉氏变换有： ？ ，在零初始条件下，对上式两端 ，整理得该系统得传递函数：
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G( s)
R( s )

= G( s) 式中：称
KG ( s z1 ) ( s zm ) ( s p1 ) ( s pn )
a0 s n a1s n 1 an 1s an
0
1
m 1
m
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称
控制系统的传递函数
-为系统的特征根
-为系统的特征多项式。 （7）由于 可以是零、实数、复数，因此在复平 面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的 关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：根轨迹法。
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例 2：RLC 电路（L-R-C 无源四端网络）如图，建立输入输出间的微分方程关
由基尔霍夫定律，回路的压降为 0，即输入电压由电感、电阻、电容上的电压 平衡。 Ur=UL+UR+UC 电流 与 有 即 的关系
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与 在数值上具有一 ～
注意：该系统也是一个二阶系统 与例 1 相比，它们具有相同的模型形式。当
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2、为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的 认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意 义就在于此） 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题 的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数 学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持 ；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有 生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位 ） 才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模 （白箱-系统的各元件及参数已知，结构已知）； 实验建模（数据建模，系统辨识） （黑箱-结构全不知道或灰箱-知 道一部分）。
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法二：列写系统中各元件（各环节）的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式 举例一些常用典型元部件的传递函数的列写
例 1：齿轮系 一般地在伺服电动机与负载之间，往往通过齿轮系进行运动传递，其目的有 二：对负载提供必要地加速力矩，减速和增大力矩；调节精度。 转速比 传递函数 （>1）
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本章重点：1 掌握控制系统建立数学模型的方法 2 应用拉普拉斯变换求解微分方程
2.0 概述 主要解决的问题： 1 2 3 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求
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2.0 概述 一、数学模型的定义 1、 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或 变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达 式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型 动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系 的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。
说明：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的 方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的 条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的电网络代替要研究的系统 来进行计算和研究，方便，易行。
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3、同一控制系统可以有不同的数学模型 同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热 变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而 建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入 量、输出量。 四、数学模型的分类 1、微分方程 时间域 t 单输入 单输出 2、传递函数 复数域 s=σ+iω --3、频率特性 频率域 ω --4、状态方程 时间域 t 多输入 多输出 用一组微分方程描 述系统的状态特性
三、系统微分方程中变量形式的选择
四、 系统元件间的负载效应 对于两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使 另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了 负载，因此这一影响称为负载效应，也称耦合。这时，如只是孤立的 分别写出两个元件的动力学方程，则经过消去中间变量而得到的整个 系统的动力学方程将是错误的。 例1 复习：1、数学模型的类型 2、建立数学模型的方法 3、建立数学模型的步骤
例1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图， 建立 ~ 间的微分方程关系式。 分析： 输入： 力 输出： m的位移
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质量-弹簧-阻尼器系统
（1）对于 m，由牛顿定律
m的受力分析
，质点所受的合力与惯性力相等。有
（2）弹簧力
－弹簧系数
与位移成正比
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阻尼器力
控制系统的传递函数
－阻尼系数 与位移的变化量成正比
由上面两式有
整理得
注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的 左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于 右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。
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系式。
分析方法：根轨迹法。
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（8）传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应
该式表明：系统的传递函数与系统的脉冲响应有单值对应的关系， 由于传递函数是系统的一种数学模型，能反映系统的静、动态性能， 故系统的脉冲响应也可以反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲响 应也可以作为系统的数学模型。 2.3.3 传递函数的列写 法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在初始条件为0的情况下，取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比
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二、建立数学模型的依据 通过系统本身的物理特性来建立。 如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等 三、数学模型的特点 1、实物→（抽象）数学表达式 2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型 即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在平衡位置附近 的自由运动 电阻、电容、电感电路中电容的放电过程 都是衰减振荡 。 相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。 应用： 模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分 析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。
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（3）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶次 n≥m）是一切物理系统 所固有的，这是因为任何物理系统均含有惯性。 （4）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。 （5）可减化对系统动态性能分析的过程 R(s)一定时 C(s)完全由G(s)决定，因此： G(s)的特征和形态→分析系统的性能 另：对系统性能的要求→ 对G(s)的要求 （ 6） 记 b s m b s m 1 b sb C ( s)
线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，
系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
三要素：1) 线性定常系统 2) 零初始条件,即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件 为 0。 3) 输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）
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形式上记为：
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(n>m)
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm C ( s) G( s) R( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
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2．1 微分方程模型（时间域模型）
一、控制系统微分方程的分类
线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。 另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数 值的大小是无关的。 非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。 非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的 运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。 一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出 的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。 非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运 动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是 非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波 振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。
线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。
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二、微分方程模型的建立 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。
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借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：
anxo ( n ) (t ) ... a1 xo (1) (t ) a0 xo(t ) bmxi ( m ) (t ) ... b1 xi (1) (t ) b0 xi (t )
i=0,1…n j=0,1,…m 可对系统进行描述。 1、线性定常系统 ai,bj 都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不 是时间的函数； 2、线性时变系统 ai,bj 是时间的函数； 3、非线性系统 ai,bj 有一个依赖xo(t)和xi(t)或它们导数，或者在 微分方程中出现时间的其他函数形式。