16个重要极限公式推导

16个重要极限公式推导
《16个重要极限公式推导》
在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上趋近于某个值的行为。

极限公式
是一种常用的工具，可以帮助我们求解各种复杂的极限问题。

以下是16个重要的极限公式以
及它们的推导过程。

1. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$
推导过程：
我们从单位圆的几何性质入手。

当$x$接近于0时，我们可以认为边长为$x$的小角度$x$是相
似三角形中的等腰三角形。

根据单位圆上的弧长公式，我们有$\lim_{x\to
0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。

2. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
推导过程：
我们将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到
$\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1-\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$。

因为
$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x}=0$，所以$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1$，即$\lim_{x\to
\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$。

3. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$
推导过程：
类似于第2个公式的推导，我们可以得到$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right)=a$。

由于指数函数和对数函数是互逆的，所以我
们有 $\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$。

4. 极限公式：$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$
推导过程：
我们可以利用指数函数的性质将根式转化为幂的形式，即$\lim_{n\to \infty}a^{\frac{1}{n}}=1$。

将指数函数的极限公式应用于这个表达式，我们可以得到$\lim_{n\to
\infty}a^{\frac{1}{n}}=e^{\ln 1}=1$。

5. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}(x^a)(e^{-x})=0$ （$a>0$）
推导过程：
我们可以将指数函数的极限公式与指数函数的极限公式相结合，即$\lim_{x\to \infty}(x^a)(e^{-x})=e^{\ln x^a-\ln e^x}=e^{a\ln x-x}=0$。

6. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x}=0$
推导过程：
我们应用洛必达法则，即求导分子和分母后再求极限。

这样，我们得到$\lim_{x\to
\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$。

7. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0$ （$a>1$）
推导过程：
类似于第5个公式的推导，我们可以使用指数函数的极限公式得到$\lim_{x\to
\infty}\frac{x^n}{a^x}=e^{\ln x^n-\ln a^x}=e^{n\ln x-x\ln a}=0$。

8. 极限公式：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
推导过程：
与第2个公式类似，我们利用自然对数的极限形式$\lim_{x\to
0}\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)$，并应用泰勒级数展开和指数函数的极限公式，得到
$\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)=1$，即$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。

9. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$
推导过程：
我们可以利用指数函数的性质，将指数函数的极限公式与自然对数的极限公式相结合，得到$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}= \lim_{x\to 0}\frac{e^{\ln a^x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a$。

10. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^x=e$
推导过程：
我们将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到
$\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right)=1-\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$. 因为
$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$，所以$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right)=1$，即$\lim_{x\to
\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^x=e$。

11. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x=e^{-1}$
推导过程：
类似于第10个公式的推导，我们可以得到$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\left(\frac{x}{x+1}\right)^x\right)=-1$。

由于指数函数和对数函数是互逆的，所以
我们有 $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x=e^{-1}$。

12. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
推导过程：
类似于第4个公式的推导，我们可以使用指数函数的极限公式得到$\lim_{x\to
\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}=e$。

13. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{x+n}\right)^x=e^{-n}$ （$n>0$）
推导过程：
与第11个公式类似，我们可以利用指数函数的性质和自然对数的极限公式得到$\lim_{x\to
\infty}\left(\frac{x}{x+n}\right)^x=e^{\ln\left(\left(\frac{x}{x+n}\right)^x\right)}=e^{-n}$。

14. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
推导过程：
我们可以利用三角函数的性质，将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to
0}\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到$\ln\left(\frac{\sin
x}{x}\right)=-\frac{1}{3}x^2+O(x^4)$. 因为$\lim_{x\to 0}-\frac{1}{3}x^2=0$，所以$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1$，即$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=1$。

15. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{x}=0$
推导过程：
我们可以利用三角函数的性质，将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to
\infty}\ln\left(\frac{\cos x}{x}\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到$\ln\left(\frac{\cos x}{x}\right)=O(x^2)$. 因为$\lim_{x\to \infty}O(x^2)=0$，所以$\lim_{x\to \infty}\ln\left(\frac{\cos x}{x}\right)=0$，即$\lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{x}=0$。

16. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$
推导过程：
这个极限公式是显而易见的，因为当$x$趋向于无穷大时，分母也是无穷大，所以极限是0。

以上是16个重要的极限公式以及它们的推导过程。

这些公式在高等数学和物理学中经常应用，可以帮助我们解决各种复杂的极限问题。