高中数学 《双曲线及其标准方程》课件新人教A版选修
5
P(x,y)
三、将几何条件化为 代数条件。
5
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
根据两点的间的距离公式得：
-5
(xc) y
2
2
(xc) y
2
2
2a
四、化简
代数式化简得： (c a ) x a
5
2
2
2
2
y a (c a )
2 2 22PF1的两边之 差必小于第三边，所以 2a<2c, a<c, a2<c2, c2-a2>0 于是令：c2-a2=b2
F1(c,0)
注：设两焦点之间的距离 为2c(c>0), 即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5
5
P(x,y)
二、根据双曲线的定 义找出P点满足的几 何条件。
| PF 2 | | PF1 | 2a
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
-5
注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
又 b2=c2-a2=25-9=16
所求双曲线的方程为:
x
2
9
y
2
16
1
2、求b=3,焦点为F1（0，-5）、F2（0，5） 的双曲线标准方程。
返回
[布置作业]
一、复习所学内容；
二、完成练习册P35 甲组:一,二 1, 乙组:一,二 1； 三、预习双曲线的性质。
( A) x
2
)
9
2
y
2
2
16
1
( B) x
2
2
9
2
y
2
16
1
2 2
y (C )
9
x
16
1
y x ( D)
9
16
y 1或 x
9
16
1
[课堂练习] 求双曲线的方程
1、求a=3,焦点为F1（-5，0）、F2（5，0） 的双曲线标准方程。
解:根据题意可得a=3,c=5, 且焦点在x轴上
x a
2 2
y b
2
2
1
y a
2 2
x b
2
2
1
图像1 图像2
C2=a2+b2
[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点 所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
x (1)
2
25
2
y
2
16
2
1
y x ( 2)
25
2 2
2
2
16
1
(3)4 x 9 y 36
(4)4 x 9 y 36
立体几何课件
2.2.1 双曲线的 定义及标准方程
1、求曲线方程的步骤
一、建立坐标系，设动点的坐标；
二、找出动点满足的几何条件； 三、将几何条件化为代数条件；
四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF
1
PF
2
2a
3、椭圆的标准方程有几类？
x
2
9
y
2
4
1
y ( 4) x
4
2
2
9
1
[练习二]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的 标准方程为 x y 1 。
2 2
9
16
2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的 标准方程为 y x 1 。
2 2
9
16
3、已知a=3,b=4,双曲线的标准方程为(
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即: x a
2 2
-5
y b
2
2
1
C2=a2+b2
思考
5
如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的 方程是怎样？
P(x,y)
F1(0,c)
y a
5
2 2
x b
2
2
1
-5
F2(0,-c)
C2=a2+b2
-5
双曲线的标准方程
[两类]
x a
2 2
y b
2
2
1(焦点在x轴上)
x y b a
2 2
2
2
1(焦点在y轴上)
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
看图
双曲线标准方程的推导
5
P(x,y)
一、建立坐标系；设动 点为P(x,y)
5
-5
F2(-c,0)
合集下载
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
高中数学人教A版选修课件：双曲线及其标准方程
练习巩固: 高中数学人教（A版）选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共28张PPT)
下列方程各表示什么曲线?
(1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2
4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线的一支
(3) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 6
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)yF1源自OMF2 xy
O
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
问题1：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上（谁正对 应谁），焦点位置与分母大小无关。)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x2 y2 1
16 9
方程标准化
高中数学人教（A版）选修2-1课件：2 .3.1双 曲线及 其标准 方程( 共28张P PT)
如何建立适当的直角坐标系？ 高中数学人教（A版）选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共28张PPT)
探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y
M
y FO1 O O F2x xx
y
O
x
O 方案一x
方案二
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
高中数学人教（A版）选修2-1课件：2 .3.1双 曲线及 其标准 方程( 共28张P PT)
高中数学人教（A版）选修2-1课件：2 .3.1双 曲线及 其标准 方程( 共28张P PT)
2.怎样建立双曲线的方程呢? 求曲线的方程一般步骤: 建系 设点 列式 化简 得方程
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
人教A版选修11第二章2.3双曲线的定义与其标准方程(共15张PPT)
由题设其标准方程为
y2 a2
x2 b2
1 (a
0,b
0)
又 c 5，故 b2 c2 a2，即有方程为
y2 a2
x2 25 a2
1
代入点
P( 4 7 ,4) ，有 3
16 a2
112 9(25 a2
)
1
解出 a 2 9，则其标准方程为 y2 x2 1 9 16
双曲线的定义与其标准方程
1 情境引入、复习回顾
北师大版教材选修1-1 第2章 第3节 3.1
2 合作探究、形成概念
回顾
椭圆—— MF1 与 MF2 的和为常数（>|F1F2|）
椭圆定义 及其相关知识点
双曲线的定义与其标准方程
2 合作探究、形成概念
北师大版教材选修1-1 第2章 第3节 3.1
拉链与双曲线的演示
2 合作探究、形成概念
x2 y2 1 a2 c2 a2
令 b2 c2 a2
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
北师大版教材选修1-1 第2章 第3节 3.1
3 严谨推导、得出方程
焦点在x轴上
y
(c,0) M
F1
O
x
F2
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
焦点在y轴上呢？ (0， c)
y
F2
M
x
O
2
b
c2
a2
537600
所以点P在的曲线是双曲线，它的方程是
x2
y2
1 (x 0)
4、巩固认识
北师大版教材选修1-1 第3章 第3节 3.1
5 回顾反思，归纳提炼
双曲线及其标准方程ppt课件
所以 2 mm 1 0 ，解得 m 2 或 m 1， 即实数 m 的取值范围是,2 1, .
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
Fresh and simple general ppt template
谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
Fresh and simple general ppt template
谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修
梳理
(1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标 轴
标准方程
x轴
y轴
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
__________________ __________________
图形 焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) _______________a_2＋__b2_＝__c_2______________
当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义，
P点的轨迹是双曲线.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_) _.
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的 类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 x轴 上；若y2 项的系数为正，那么焦点在 y轴 上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0). (4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线 的定形条件，这里的b2＝ c2－a2 与椭圆中的b2＝ a2－c2 相区别.
答案 解析
反思与感悟
双曲线定义的两种应用 (1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个 条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为 其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大 于零，否则就不是双曲线.
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小， 同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系. ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0). ③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c. ④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.思考1
高中数学选修1(人教A版)课件3.2.1双曲线及其标准方程
即k|k－|－52>>00，， 或k|k－|－52<<00，. 解得 k>5 或－2<k<2. 答案：(1)B
(2)若方程k＋x23＋k＋y22＝1，k∈R 表示焦点在 x 轴上的双曲线，
则 k 的取值范围是( )
A．－3<k<－2
B．k<－3
C．k<－3 或 k>－2 D．k>－2
解析：(2)由题意知kk＋ ＋32><00， ， 解得－3<k<－2.故选 A. 答案：(2)A
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴 的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为ax22－by22＝1(x>a)，
∵a＝ 2，c＝2 2，∴b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x> 2)．
方法归纳
与双曲线有关的轨迹问题的解题思路和注意点 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双 曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的 坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.② 由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
(2)若方程k＋x23＋k＋y22＝1，k∈R 表示焦点在 x 轴上的双曲线，
则 k 的取值范围是( )
A．－3<k<－2
B．k<－3
C．k<－3 或 k>－2 D．k>－2
解析：(2)由题意知kk＋ ＋32><00， ， 解得－3<k<－2.故选 A. 答案：(2)A
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴 的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为ax22－by22＝1(x>a)，
∵a＝ 2，c＝2 2，∴b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x> 2)．
方法归纳
与双曲线有关的轨迹问题的解题思路和注意点 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双 曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的 坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.② 由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
新人教A版(选修2-1)2.3.1《双曲线及其标准方程》ppt课件
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
3
分类讨论
(4)焦点在x轴上，且过P(-
2,-
3)，Q(
15 3
,
2).
由题可设双曲线的方程为：mx2 ny2 1(m 0, n 0)
(4)变式：过P(-
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
课件高中数学人教A版选修课件-双曲线及其标准方程PPT课件_优秀版1
确位置.
例5 已知点A(－5，0),B(5，0),直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
(2)若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？
靠近点F2的一支单曲线.
当AB＜0时，表示双曲线.
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
2,3)的双曲
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
线的标准方程. 这是双曲线的一个重要应用.
以F1，F2为端点的两条射线 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 当A＞0，B＞0，A≠B时，表示椭圆； 中，参数a，b，c的几何意义如何？ 在什么条件下，方程Ax2－By2＝1表示双曲线？ 在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
双曲线
的焦点坐标是什么？
当A、B变化时，方程Ax2＋By2＝1可以表示哪些类型的曲线？
中，参数a，b，c的几何意义如何？
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准
确位置.
当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线；
因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
2
在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
双曲线及其标准方程 课件(人教A版选修)
师生互动
二、双曲线的标准方程
如何求这条优美曲线的方程呢？ y
P
(c,0)
(-c,0) F1
o
2C
F2
建系 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中垂线为 y轴 建立直角坐标系,则F1(C,0),F2(C,0)
设点 列条件
P(x，y)
PF PF2 2a 1
化简 ( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
x y 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
2
2
(a>b>0) (a>b>0)
探究新知
思考：
平面内M与两定点F1、F2的距离的差等于非零常数 2a的点的轨迹是什么图形？
一、双曲线的定义
y
双曲线定义
x
平面内与两定点F1、F2 的距离的差的绝对值是 常数2a(0<2a<| F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲 线．这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两 个焦点之间的距离叫做 焦距2c．
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b ∵ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16
2
2
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
小结：求标准方程要做到先定型，后定量。
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
2
2
定义 图象
| PF1 PF2 | 2a 0 2a 2c
P
方程
x y 2 1 2 a b
F1 (c,0) F2 (c,0)
2 2 2
2
2
高中数学 221《双曲线及其标准方程》同步课件 新人教A版选修11
[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限， 由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上 式 两 边 平 方 ， 得 |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＝ 36 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 36＋64＝100， 由余弦定理，得
[点评] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双 曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合 |PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的 联系，请同学们多加注意．
3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系， 推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导 中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中， 是令b2＝c2－a2.
1．当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可 直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出 推导过程．
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
中，由正弦定理，得
S△F1PF2
＝
1 2
|PF1|·|PF2|·sinθ＝1－sincoθsθ·b2＝b2·cotθ2.
[例4] 设声速是am/s.在相距10am的A、B两个哨所， 听到一炮弹爆炸声的时间相差6s，且B处的声强是A处声强 的4倍，试确定炮弹爆炸点P的位置，即确定P点到AB中点 M的距离及∠PMB的大小．(注：声强与距离的平方成反比)