机械波 波动方程
10-1波动方程
x
B = A + ω d = π + 4π 5 = 0
u 20
y B = 0.03 cos 4πt
x y ( x , t ) = 0 . 03 cos[ 4π ( t )] 20
24
(2) 以B点为原点 ，求波函数 。 点为原点O 点为原点
已知 y A = 0.03 cos(4πt π ) 5m
16
20
24
8
波的特征量: 三. 波的特征量 1. 波长（wave length）λ ： 波长（ ）
波传播方向上相邻两振动状态完全相同( 波传播方向上相邻两振动状态完全相同(相位差为 的质点间的距离（即一完整波的长度） 2π)的质点间的距离（即一完整波的长度）. 波峰 y u A
λ = uT
O A
t
x =x0
ω
u
x0 + ）
2、 t 一定 t=t0， t0时刻空间各点位移分布 、 一定, ---t0时刻的波形图 y
波形图
t = t0
0
λ
x
y( x ) = A cos(ωt0
ω
u
x + ）
17
1、 x 一定，x=x0点的振动方程 、 一定，
2、 t 一定 t=t0， t0时刻空间各点位移分布 、 一定,
yO = Acos(ωt +o )
沿波的传播方向, 相位依次落后, 比 点相位超前 沿波的传播方向 相位依次落后 O比P点相位超前
d = π +ω d o = P + ω u 2 u
点的振动方程写出波动方程。 再由 O点的振动方程写出波动方程 点的振动方程写出波动方程
y
A
u
机械波 波动方程
v u
λ
x1 x2 X
∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = ω( t2 − t1 ) =
∆t
T
2π
T是波在时间上的 是波在时间上的 周期性的标志
3.如x,t 均变化 如 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形 包含了不同时刻的波形
v t时刻的波形方程 时刻的波形方程 u t t +∆t y x y( x ) = Acos[ω( t − ) +ϕ0 ] u O t+∆t时刻的波形方程 时刻的波形方程 x x ∆x x y( x ) = Acos[ω( t + ∆t − ) +ϕ0 ] u t时刻 处的某个振动状态经过∆t ，传播了∆x的距离 时刻,x处的某个振动状态经过 时刻 的距离
大学物理学电子教案
机械波、 第十三章 机械波、波动方程 1313-1 机械波的基本概念 1313-2 平面简谐波的波动方程
作业： 作业：习题册 17-24
波动是振动的传播过程. 波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源. 振动是激发波动的波源. 波动 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播. 变电磁场在空间的传播.
B
ρ
B为介质的容变弹性模量 为介质的容变弹性模量 ρ为密度
2、波的周期和频率 、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间， 表示。 的时间，用T表示。 表示 波的频率： 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目， 表示。 的数目，用ν表示。 3、波长λ 、
ν
空气中的波长
340 m ⋅ s −1 = 1 .7 m λ1 = = ν1 200 Hz u1
机械波知识点
机械波知识点机械波是一种能够在介质中传播的波动现象。
它是由介质中的粒子进行相互传递能量而产生的。
机械波的传播特点有以下几点：1. 机械波传播需要介质：机械波只能在介质中传播，没有介质的地方无法传播，比如在真空中就不能传播机械波。
2. 机械波是横波或纵波：根据介质的振动方向不同，机械波可以分为横波和纵波两种。
在横波中，介质的振动方向垂直于波的传播方向；而在纵波中，介质的振动方向与波的传播方向相同。
3. 机械波遵循波动方程：机械波传播遵循波动方程，可以用波动方程描述波的传播规律。
波动方程包含了波速、频率、波长等参数，可以通过这些参数来描述机械波的特性和传播规律。
机械波的主要特点包括以下几个方面：1. 波速：机械波的传播速度称为波速。
波速取决于介质的性质，通常情况下，固体中的波速最快，液体次之，气体最慢。
在同一介质中，波速还会受到温度、压力等因素的影响。
2. 频率与周期：机械波的频率是指单位时间内波动周期的个数，单位是赫兹（Hz）。
频率与波速和波长有关，可以用频率和波长的乘积来表示波速。
周期是指波动中一个完整的波等发生一次所需要的时间。
3. 波长：机械波的波长是指在一个完整的波中，波的长度。
波长通常用λ表示，单位是米（m）。
波长与波速和频率有关，可以用波速除以频率来计算。
波长和频率呈反比，频率越高，波长越短。
4. 干涉与衍射：机械波在传播过程中会发生干涉与衍射现象。
干涉是指两个或多个波的叠加产生的明暗相间、波纹交替的现象。
衍射是指波通过一道狭缝或物体边缘时，波的传播方向发生弯曲或扩散的现象。
机械波在生活和科学中有着广泛的应用。
比如，声波是一种机械波，人们通过声波进行交流和音乐欣赏；地震波是一种机械波，通过地震波可以得到地球的内部结构和地震的震级等信息。
另外，在工程和医疗领域，机械波也有着重要的应用，比如超声波可以用于医学诊断和制造业中的无损检测。
总之，机械波是一种能在介质中传播的波动现象，具有波速、频率、波长等特性。
波源的振动方程范文
波源的振动方程范文波源是指能够产生波动的物体或者现象。
波源的振动方程是描述波源振动状态的数学公式。
波源振动方程的形式可以根据具体情况而有所不同，下面将介绍几种常见的波源振动方程。
1.机械波的振动方程机械波是由物质粒子的振动传递而产生的波动，可以通过波源的振动方程来描述。
机械波的振动方程一般为：y(x, t) = A * sin(kx - ωt + φ)其中，y(x,t)表示波在x位置、t时间的位移，A是振幅，k是波数，ω是角频率，φ是相位差。
2.声波的振动方程声波是由介质中分子振动引起的机械波，声波的振动方程可以根据声源的特性来确定。
如果是简谐波源，声波的振动方程为：p(x, t) = P * cos(kx - ωt)其中，p(x,t)表示声音压强的变化，P是声压的振幅，k是声波的波数，ω是声波的角频率。
3.光波的振动方程光波是由电磁波产生的波动，在真空中传播的光波具有简单的振动方程。
光波的振动方程为：E(x, t) = E0 * cos(kx - ωt + φ)其中，E(x,t)表示光的电场强度的变化，E0是光场的振幅，k是光波的波数，ω是光波的角频率，φ是相位差。
对于一些特殊的波源，振动方程可能会有一些修正。
例如，对于渐变折射率或介质散射的波源，振动方程可以通过复杂的数学方程来描述。
在量子力学中，波动方程描述了微观物体的波粒二象性，波源的振动方程则是以波函数的形式给出。
总之，波源的振动方程是描述波源振动状态的数学公式。
具体的振动方程形式取决于波源的性质和所研究的波动类型。
以上所介绍的只是一些常见的波源振动方程形式，实际情况还需要根据具体的问题来确定振动方程。
《机械波波动方程》课件
04 机械波的应用
机械波在声学中的应用
声波传播
机械波在声学中用于描述声波的传播规律，包括声音的传播速度 、衰减和反射等。
声音合成与处理
通过控制机械波的波形和频率，可以实现声音的合成与处理，如音 频信号的调制、滤波和混响等。
声呐技术
利用机械波在介质中的传播特性，声呐技术可用于探测水下目标、 测量水深和流速等。
和计算效率。
开展跨学科的研究合作，将机 械波波动方程与流体力学、电 磁学等领域进行交叉融合，以 拓展其应用领域和研究范围。
加强机械波波动方程在各领域 的应用研究，探索其在新能源 、新材料、生物医学等领域的
应用前景。
注重人才培养和学术交流，加 强国内外学术合作与交流，推 动机械波波动方程领域的不断 发展。
通过研究机械波波动方程，可以深入理解波动现象的内在规律和机制，为 工程技术和科学研究提供重要的理论支撑。
机械波波动方程在声学、地震学、波动成像等领域有着广泛的应用，对于 这些领域的发展起着至关重要的作用。
机械波波动方程未来的研究方向和展望
深入研究机械波波动方程的求 解方法和数值模拟技术，以提 高对复杂波动现象的模拟精度
程
波动方程是通过将牛顿第二定律 应用于波的传播过程而建立的。 它描述了波在传播过程中，各点 的位移如何随时间变化。
波的传播过程
波在传播过程中，各点的振动状 态会以波的形式传播出去。这种 传播过程可以用波动方程来描述 。
波的叠加过程
当两个或多个波相遇时，它们会 相互叠加，产生干涉、衍射等现 象。这些现象也可以通过波动方 程来描述。
THANKS
波动方程的物理量
波动方程中的物理量
在波动方程中，通常包含位移、速度、加 速度、时间等物理量。这些物理量描述了 波在空间和时间中的传播和变化。
大学物理学教程第二(马文蔚)练习册答案6第六章 机械波
解：
6-8 图示为平面简谐波在t=0时刻的波形图，此简谐波 的频率为250Hz，且此图中P点的运动方向向上，求： 第 （1）此波的波动方程；（2）距原点7.5m处质点的运 六 动方程与t=0时该点的振动速度。 y/m 章 解： P点的运动方向向上
习 题 分 析
6-8
波向负方向传播
0.10 0.05 O
6-9
六 章 习 题 分 析
解：
xP 0.2 m
O 0.04
P
0.2 0.4 0.6
x/m
2 0.2 y P 0.04cos[ (t ) ]m 5 0.08 2 2 3 0.04cos[ t ] m 5 2 2 x y 0.04cos[ (t ) ]m 5 0.08 2
第 六 章 习 题 分 析
6-7
y15 A cos 100 t 15 cm 2
y5 A cos 100 t 5 cm 2
解：
15 15.5
5 5.5
2 2 波源振动方程： y0 A cos t cm 2 T 2 x 波动方程：
6-11
6-11 平面简谐波的波动方程为：
第 六 章 习 题 分 析
求:(1)t=2.1s时波源及距波源0.10m两处的相位；(2)离 波源0.80m及0.30m两处的相位差。 解：（1）
y 0.08cos 4 t 2 x (SI 制)
t 2.1s, x 0处， 4 2.1 8.4
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π ( ) ] u T
) 14-3 已知一波动方程为 y 0.05sin(10 t 2 x)(SI ， （1）求波长、频率、波速和周期； （2）说明 x 0 第 六 时方程的意义，并作图表示。
大学物理学5.2 机械波的波动方程
2、波动方程的物理意义
T
（1）、如果给定x，即x=x0 则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
t T
x0处质点的振动初相为
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差
（2）、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y
O点振动状态传到p点需用
t 时刻p处质点的ຫໍສະໝຸດ 动状态重复tx u时刻O处质点的振动状态
p点的振动方程：
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动
为p点的振动落后与原点振动的时间
沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 或
波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的
在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段 距离x—行波
例 一平面简谐波t=0时的波形图所示，波速为u=0.05ms-1，
求：（1）波源的振动方程；（2）波动方程；（3）P点的振
动方程．
y/m
u
解 （1）设波源的振动方程为 0.02
y A cos(t )
o 0.5 P
0.8
x/m
由图知，波长为 0.8m
T 0.8 80 m s1
u 0.05 5
2
T8
t 0 y0
2
v0 0
y
0.02
cos(
t
)(m)
82
（2）波动方程为
y
0.02 cos[(
(t
x
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程振动方程和波动方程是物理学中两个重要的方程，它们描述了振动和波动现象的规律和特性。
本文将分别介绍振动方程和波动方程的定义、推导以及应用。
一、振动方程振动是物体在某一平衡位置附近往复运动的现象。
振动方程描述了物体振动的规律。
一般来说，振动方程可以分为简谐振动方程和非简谐振动方程。
简谐振动方程是指物体在平衡位置附近以固定频率和振幅往复振动的情况。
对于简谐振动，振动方程可以表示为x=A*sin(ωt+φ)，其中x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
非简谐振动方程是指物体在振动过程中受到了非线性的力或阻尼的影响，使得振动不再是简谐的情况。
非简谐振动方程的形式较为复杂，可以根据具体情况进行推导。
非简谐振动方程的求解需要借助数值模拟或近似方法。
振动方程在物理学、工程学、生物学等领域有着广泛的应用。
例如，在机械振动中，振动方程可以用于描述机械系统的振动特性，从而进行振动控制和优化设计；在生物学中，振动方程可以用于研究人体内部的生物振动，从而帮助诊断疾病和设计医疗设备。
二、波动方程波动是指能量在空间中传播的过程。
波动方程描述了波动现象的规律。
一般来说，波动方程可以分为机械波动方程和电磁波动方程。
机械波动方程是指介质中的能量以波的形式传播的情况。
对于机械波，波动方程可以表示为∂²u/∂t²=c²∇²u，其中u表示介质的位移，t表示时间，c表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
电磁波动方程是指电磁场的能量以电磁波的形式传播的情况。
对于电磁波，波动方程可以表示为∇²E=με∂²E/∂t²，其中E表示电场强度，∇²表示拉普拉斯算子，μ表示磁导率，ε表示介电常数。
波动方程在物理学、电子学、光学等领域有着广泛的应用。
例如，在声学中，波动方程可以用于研究声波的传播和衍射现象，从而进行声学设计和噪声控制；在光学中，波动方程可以用于研究光的传播和干涉现象，从而进行光学设计和光学仪器的优化。
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注:生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂
三、波线和波面
波场--波传播到的空间。 波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。 波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。 波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态
传到的波面。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.
2 写出沿 x 轴传播的波动方程
y Acos(t 2 x x0 ) 沿 x 轴传播
y Acos(t 2 x x0 ) 沿 x 轴传播
2
1
( t2
t1
)
t
T
2
T是波在时间上的 周期性的标志
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
t时刻的波形方程
y(
x
)
Acos[ (
t
x u
)0]
y
u t t t
t+t时刻的波形方程
O
x
y(
x
)
Acos[ (
t
t
x u
)
0]
x x
t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离
x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u
沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程
相位落后法
y A cos(t x )
A y u
u
P
x
Ox *
A
点 P 比点 O 落后的相位 p O
点
p
2π x
P 振动方程
2π x x
Tu u
yp Acos (t
x) u
若波源（原点）振动初位Байду номын сангаас不为零 y0 Acos(t 0 )
y Acos[(t
x u
)
0
]
或
y
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
y
Acos[ 2t
2x
)0
]
y
Acos[ 2
( ut
x )0
]
Acos[ k( ut
x )0
]
k 2 波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的
数目。
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
机械波、波动方程
13-1 机械波的基本概念 13-2 平面简谐波的波动方程
第十三章
机械波和电磁波
波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动
电磁波 交变电磁场在空间的传播.
13-1 机械波的基本概念
一、机械波产生的条件 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1、有做机械振动的物体，即波源；
B
u//
B为介质的容变弹性模量
为密度
2、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波
的数目，用表示。
3、波长
T 2 1
同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。
T u u
介质决定 波源决定
水中例的1声速在u室2 温为下14，50已m知/s 空，气求中频的率声为速200uH1为z和342000m0/sH，z
2 Acos[ (t
x) u
]
二、波动方程的物理意义 y
T
y
Acos[ (
t
x u
)
0]
O
1、如果给定x，即x=x0
t T
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
y( t ) A cos(t 2x0
x0处质点的振动初相为
0 )
2x0
0
2x0
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
2、有连续的介质—弹性介质.
波源
+
弹性作用
介质
机械波
注意
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
二、横波和纵波 (1)横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
如绳波(机械横波仅在固体中传播)、电磁波
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
(2) 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
解
由
u
，频率为200
Hz和2000
Hz
的声波在
空气中的波长
1
u1
1
340m s1 200Hz
1.7
m
2
u1
2
0.17
m
在水中的波长
1
u2
1
1450m s1 200Hz
7.25
m
2
u2
2
0.725
m
13-2 平面简谐波的波动方程
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系
波前
波面
*
球面波
波线
平面波
四、描述波动的几个物理量
1、波速 u 振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 ，也称之相速
在固体媒质中横波波速为
u
G
在固体媒质中纵波波速为 u//
E
G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
y
Acos[ (
t
x u
)0]
求t 的二阶导数
2y t 2
A
2
cos[ (t
x u
)
0
]
求x的二阶导数
2y x 2
2
A u2
cos[ (t
x u
)
0
]
1 u2
2y t 2
2y x 2
1 u2
2y t 2
平面波的波动 微分方程
小结
求解波动方程方法:
1 找任意一点 x0 的振动方程
y0 Acos(t )
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
一、平面简谐波的波动方程
一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线
设原点振动表达式： y0 A cost
y(
x
x , t
t
)
Acos[ ( t t Acos[ ( t x
u
x ut
u )0]
)0]
y( x x,t t ) y( x,t )
y( x x,t t ) y( x,t )
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
u t t t
O
x
x x
三、平面波的波动微分方程
y表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为p点在x轴的坐标
时间推迟方法
yu
x
O点振动状态传到p点需用
t
x u
Ox
p
t 时刻p处质点的振动状态重复
t
x u
时刻O处质点的振动状态
p点的振动方程： y A cos(t
x)
u
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动.
是波在空间上的周期性的标志
波线上各点的简谐运动图
同一波线上任意两点的振动位相差
2
1
x2
x1
2
x
2
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x)
y
Acos[ (
t0
x u
)0]
Y
u
表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布
x1 x2 X
，即给定了t0 时刻的波形
同一质点在相邻两时刻的振动位相差