麦克斯韦方程组和电磁波
麦克斯韦方程组与电磁波理论
麦克斯韦方程组与电磁波理论麦克斯韦方程组是电磁学中最为重要的方程组之一，它由麦克斯韦根据实验事实和数学推理总结而来。
这个方程组的重要性在于它描述了电场和磁场的相互作用，并且揭示了电磁波的存在和传播。
麦克斯韦方程组包含了四个方程，分别是：高斯定律、高斯磁场定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这些方程描述了电场和磁场随时间和空间的变化规律，从而揭示了电磁现象的本质。
高斯定律是麦克斯韦方程组中的第一个方程，它描述了电场随电荷分布的变化规律。
简单来说，高斯定律告诉我们，电场线从正电荷发出，朝着负电荷收束。
这个定律的重要性在于它给出了电场的起源和分布规律，从而使我们能够更好地理解电场的本质和作用。
高斯磁场定律是麦克斯韦方程组中的第二个方程，它描述了磁场随电流分布的变化规律。
它告诉我们，磁场线既没有起点也没有终点，而是以闭合曲线的形式存在。
这个定律是磁场研究的基础，它揭示了磁场的起源和分布规律，为我们理解磁场的行为和相互作用提供了重要的线索。
法拉第电磁感应定律是麦克斯韦方程组中的第三个方程，它描述了磁场通过变化的磁通量引起的感应电场。
这个定律是电磁感应现象的基础，它告诉我们，磁场的变化可以产生电场，并且电场的方向与磁场变化的速率成正比。
通过这个定律，我们可以更好地理解电磁感应的本质和应用。
安培环路定律是麦克斯韦方程组中的第四个方程，它描述了磁场随电流的变化规律。
简单来说，安培环路定律告诉我们，磁场线围绕着电流的路径闭合。
这个定律是电磁场研究的基础，它揭示了电流和磁场相互作用的规律，为我们理解电磁感应和电磁波的产生提供了重要的线索。
通过麦克斯韦方程组，我们可以更加深入地理解电场和磁场的本质和相互作用。
利用这些方程，我们可以解释众多电磁现象，如静电、磁场、电磁感应等，从而推动了电磁学理论的发展和应用。
麦克斯韦方程组的另一个重要贡献是揭示了电磁波的存在和传播。
根据麦克斯韦方程组的推导和分析，我们可以得出电磁波存在的结论。
大学物理第16章麦克斯韦方程组和电磁辐射
位移电流 全电流安培环路定理
稳恒磁场中，安培环路定理 H dl I j ds
l s
S1
L
-
S2
+ + + +
（以 L 为边做任意曲面 S ） H dl j ds I
L S1
I
H dl j ds 0
第16章 麦克斯韦方程组和电 磁辐射
本章主要内容
§16.1 Maxwell电磁场方程组
§16.2 电磁波和电磁辐射 §16.4 电磁波的性质 §16.5 电磁波的能量 §16.6 电磁波的动量 光压
第16章 麦克斯韦方程组和电磁辐射
电现象/磁现象
电场/磁场（稳恒态）
我国：周朝(BC8世)/战国(BC4-3世) 西方：BC6世/ AD15世末
B
2
计算得
r dQ H 2 2 π R dt
Q
0 r dQ
2 π R dt
2
代入数据计算得
Q
I d 1.1 A
B 1.1110 T
5
Ic
R
P *r
Ic
例2. 一平行板电容器的两极板都是圆形板，面积为S，其上 的电荷随时间变化，变化率为 q q sint
m
求： 1）电容器中位移电流密度的大小。
麦克斯韦18311879英国物理学家1865年麦克斯韦在总结前人工作的基础上提出完整的电磁场理论他的主要贡献是提出了有旋电场和位移电流两个假设从而预言了电磁波的存在并计算出电磁波的速度即光1888年赫兹的实验证实了他的预言麦克斯韦理论奠定了经典电动力学的基础为无线电技术和现代电子通讯技术发展开辟了广阔前景
麦克斯韦方程组与电磁波
麦克斯韦方程组与电磁波电磁波是一种既有电场又有磁场的波动现象，它是电磁场波动的一种表现形式。
而描述电磁场的物理定律就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组是电磁学的基石，一方面它揭示了电磁波的存在和传播规律，另一方面也为我们理解和应用电磁场提供了基本的理论工具。
麦克斯韦方程组一共由四个方程组成：高斯定律、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应衍生的安培环路定律和法拉第定律。
这四个方程综合描述了电场和磁场之间的相互关系以及它们如何随时间和空间变化。
首先是高斯定律，也就是高斯定理的电学形式。
它指出了电场的产生与电荷的分布有关。
电场的发散度正比于电场的电荷密度，这一定理表明了电荷的存在对电场的影响。
而磁场并没有单电荷的发散性源，因为电荷的分布不会直接影响磁场的性质。
在高斯定律的基础上，我们引入法拉第电磁感应定律。
这个定律由法拉第在实验中得到，它指出磁场的引力线穿过一个闭合回路时会激发出感应电动势，并随着磁通量的变化而变化。
这表明磁场的变化会引起电场的变化，从而产生感应电流。
同时，法拉第电磁感应定律的衍生形式就是安培环路定律。
安培环路定律描述了磁场绕着一条闭合路径的环路积分等于该环路所围绕的电流之和。
这个定律揭示了电流产生磁场，电流的变化会引起磁场的变化。
这样，电场和磁场互相影响，构成了电磁波的传播媒质。
最后一个方程是法拉第定律，它描述了电场随时间的变化与磁场强度的环路积分有关。
这个定律说明了磁场的变化会导致电场的方向和大小的变化，从而导致电场的旋转和波动。
这就是电磁波的传播过程。
通过以上四个方程，我们可以解释光是如何被产生和传播的。
光的产生是由于电子从高能级跃迁到低能级时释放出的能量，这些能量以电场和磁场的形式相互传播，形成了电磁波。
根据麦克斯韦方程组，电场和磁场之间有一定的相位关系，它们的大小和方向随时间和空间的变化而变化。
这些变化构成了电磁波的波动形态。
电磁波是一种横波，它的传播是通过电场和磁场之间的相互作用进行的。
如何计算电磁波的速度和功率
如何计算电磁波的速度和功率电磁波是一种由电场和磁场相互作用而形成的波动现象，电磁波的速度和功率是我们常常需要计算和分析的重要参数。
本文将介绍如何计算电磁波的速度和功率，并提供相应的公式和计算方法。
一、电磁波速度的计算方法电磁波的速度是指电磁波在真空中传播的速度，通常表示为c。
根据麦克斯韦方程组，可以得到电磁波速度的计算公式如下：c = 1 / √(ε0 * μ0)其中，ε0为真空介电常数，μ0为真空磁导率。
它们的数值分别为：ε0 ≈ 8.854 × 10^(-12) C^2/(N·m^2)μ0 ≈ 4π × 10^(-7) T·m/A将这些数值代入公式中，即可计算得到电磁波在真空中的速度。
二、电磁波功率的计算方法电磁波传播时会带有能量，功率是衡量电磁波能量变化的指标。
电磁波功率的计算公式如下：P = (1/2) * ε0 * E^2 * c其中，P表示功率，ε0为真空介电常数，E为电场强度，c为电磁波速度(在介质中不同于真空中的速度)。
根据上述公式，电磁波功率的计算需要知道电场强度E及电磁波速度c的具体数值。
三、电磁波速度和功率计算举例以无线电波为例，假设给出了一个频率为f的无线电波，我们可以通过以下步骤计算电磁波的速度和功率：1. 电磁波速度计算：首先，根据给出的频率f，我们可以计算出无线电波的波长λ。
无线电波的波长和频率之间的关系可以由以下公式表达：λ = c / f其中c为真空中的光速，根据前述的计算公式，可以得到c的数值。
2. 电磁波功率计算：在计算电磁波功率时，我们需要知道电场强度E的具体数值。
在实际情况中，电场强度可以通过信号强度或接收器输出电压等信息进行估算。
假设我们已经得到了电场强度E的数值，代入电磁波功率计算公式即可得到功率P的数值。
四、注意事项在进行电磁波速度和功率的计算时，需要注意以下几点：1. 单位的选择：要保持公式中各个量的单位一致，以确保计算结果的准确性。
第11章 麦克斯韦方程组
1 2 we = ε0E 2
电磁场的总能量密度为： 电磁场的总能量密度为：
B2 wm = 20
2
1 B 2 2 w = we + wm = ε0E + = ε0E 2 20
B = E/ c
c= 1
ε00
2、电磁波的能流密度 S 、 电磁波的能流密度： 电磁波的能流密度： 单位时间通过垂直于传播 方向、单位截面的电磁波的能量。 方向、单位截面的电磁波的能量。 为垂直于传播方向的一个面元， 设dA 为垂直于传播方向的一个面元，在dt 时 间内通过此面元的能量，应是底面积为dA，厚度为 间内通过此面元的能量，应是底面积为 ， cdt 的柱形体积内的能量： 的柱形体积内的能量：
dE Jd = ε0 dt
dΦe E dS Id = ε0 = ε0 ∫ S t dt
2、变化的磁场产生感生电场 、
B ∫L Ei dr = ∫S t dS
将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广， 将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广，导 出了电磁场所满足的基本方程——麦克斯韦方程组， 麦克斯韦方程组， 出了电磁场所满足的基本方程 麦克斯韦方程组 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。
S=
1
0
E× B
所以坡印亭矢量 S 指向 电容器内部。 电容器内部。
由全电流定律： 由全电流定律：
d ∫LB dr = 0 (Ic +ε0 dt ∫SE dS)
得电容器外缘处的磁感应强度为： 得电容器外缘处的磁感应强度为：
dE B 2πR = 0ε0 (πR ) dt
2
B=
S=
0ε0R dE
2
=
麦克斯韦电磁理论和电磁波
下图是一偶极振子，假定振子中的电流作正弦变化并设：
i(t) I0 sin(t 900 )
则在两端积累的电荷q为
q(t)
i(t)dt
I0
sin t
K
q0
sin t
K
式中K为积分常数。在非稳恒情况下可以不考虑与时间
无关的常量，因此可以令K=0。这样电偶极矩为
q(t)
p ql
l
l i(t)
(q0 sin t)l
H
j0
D
t
以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯 韦方程组，大都是指它的微分形式。
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将麦克斯韦方程组再加上三个物质性质的方程就
构成了一组完整的说明电磁场性质的方程组，对于各 向同性介质来说这三个方程：
D B
r0E r 0 H
(ⅱ)
j0 E
(ⅰ)和(ⅱ)式是宏观电动力学的基本方程组，应用以上 方程，加上 场量应满足的边界条件以及它们的起始条
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
上由式上中式v可是以电看磁出波，传在播辐的射速区度，，场强的v位称相为滞相后位于常激数励。源
的电源位相，这是由于电磁波以有限的速度传播所表现 出来的推迟效应。在辐射区中磁场强度 H 位于与赤道 面平行的平面内而电场强度 E 位于子午面内，二者相 互垂直，且都垂直于半径r（如下图）。
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上图中描绘了某一瞬间 H 线在空间的分布。不管
麦克斯韦方程组与电磁波
麦克斯韦方程组与电磁波在我们周围的世界中，电磁波无处不在，它们是光、无线电和微波等形式的能量传输媒介。
电磁波的行为和性质是由麦克斯韦方程组所描述的。
麦克斯韦方程组是电磁学的基础，它将电场和磁场的相互作用和演变规律用数学描述了出来。
麦克斯韦方程组由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这四个方程共同描述了电场和磁场的生成和传播过程。
它们是麦克斯韦方程组的基石，也是电磁学理论的核心。
首先是高斯定律，它描述了电场与电荷之间的关系。
根据高斯定律，电荷的周围会产生一个电场，这个电场的强度与电荷的大小和距离有关。
高斯定律可以帮助我们理解为什么带电体之间会有吸引和排斥的作用。
接下来是高斯磁定律，它描述了磁场与电流之间的关系。
与高斯定律类似，高斯磁定律告诉我们，电流会产生一个磁场，这个磁场的强度与电流的大小和距离有关。
高斯磁定律的推导需要引入磁单极子的概念，但实际上并没有观测到磁单极子的存在。
法拉第电磁感应定律是另一个重要的方程，它描述了磁场变化时电场的产生。
根据法拉第电磁感应定律，当磁场发生变化时，通过一个闭合电路的导线中会产生电流。
这个定律是电磁感应和发电原理的基础，也是变压器、发电机和电磁感应器等设备的工作原理。
最后是安培环路定律，它描述了电场和磁场的相互作用。
根据安培环路定律，通过一个闭合回路的电流会产生磁场，并且磁场的强度与电流的大小成正比。
安培环路定律帮助我们理解了电磁铁、麦克斯韦环和感应电动势等现象。
有了这四个方程，我们就可以描述电场和磁场的行为规律了。
通过对这些方程的求解，我们可以计算出电场和磁场在空间和时间上的分布。
这些分布规律不仅帮助我们理解电磁波的传播过程，还可以应用于解决各种电磁问题。
麦克斯韦方程组的发现和发展是电磁学的重要里程碑。
詹姆斯·麦克斯韦在19世纪通过实验和理论研究，总结和归纳出这些方程，为电磁学奠定了坚实的基础。
他的工作不仅推动了电磁学的发展，还对现代物理学和工程学的发展产生了深远的影响。
电磁感应 4-4 麦克斯韦方程组、电磁波
D dS
S
dV
V
q0
电场的高斯定理
静电场有源，感生电场无源
E dl
B
dS
L
S t
电场的环路定理
感生电场有旋，静电场无旋
B dS 0
S
磁场的高斯定理
磁感应线总为闭合曲线，无磁单极
D
磁场的环路定理（全电流）
H dl L
Ic
S
t
dS
变化的电场 (位移电流) 激发磁场
电磁波 动画
在介质中，E 与 B 处处成比例 E B
介质中电磁波传播速度 v 1 c n
n r r 为介质的折射率
电磁波的能流密度（单位时 间内通过与波传播方向垂直 的单位面积的电磁波能量）
S EH
坡印廷矢量 Poynting Vector
S (Jc D / t) dS 0
可适用于非恒定电流的安培环路定理普遍表达式
H dl L
Ic Id
S (Jc D / t) dS
S 为以闭合回路 L 为边界的任意曲面；闭合回路 L 的绕行方向与面元 dS 的法线方向成右手螺旋关系
例 1 半径为 R 的圆形电容器，两极板间为真空，忽略
~
与电流的稳恒条件 S J dS 0 对比，且注意 D / t
具有电流密度的量纲，将其定义为位移电流密度
Jd Id
D / t
D
dS
S t
通过截面 S 的位移电流 Id S Jd dΦd 电位移通量的时间变化率
dt
dS
位移电流的本质是变化的电场，而且位移电流能以与 传导电流相同的方式激发磁场
磁场的环路定理（全电流）
变化的电场 (位移电流) 激发磁场
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电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平面 内振动，这种特性称为偏振。
(3)E 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。
(4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足
E H
(5)电磁波的传播速度 u 1
通常 和 与电磁波的频率有关，在介质中不同频
电磁波的辐射
振荡偶极子在真空中、远离偶极子的P点处、在时刻 t 的E、H 的量值可表为
E
E
2 p0 sin 4 0c 2 r
cos t
r c
H
H
2 p0 sin 4cr
cos t
r c
电磁波的辐射
振荡偶极子的辐射强度：
S
EH
p02 4 sin 2 (4 )20r 2c3
cos2 t
8边界条件推导
三、麦克斯韦的贡献
1. 完善了宏观的电磁场理论 四个微分方程
三个介质方程 （D E B H J0 E）
一个洛仑兹力
f
qE
q
B
在确定的边界条件下联合解上述方程， 原则上可解决电磁场的一般问题。
2. 爱因斯坦相对论的重要实验基础 3. 预言电磁波的存在 由微分方程出发 在各向同性介质中
H y Ez
x
t x
t
平面电磁波的波动方程
经过一系列变换，得到
2Ey t 2
1
2Ey x2
2
H
2 z
t 2
1
2Hz x2
表明变化电磁场 Ey 和Hz 是按波动形式传播。
去掉Ey 和Hz 的下标 y 和 z，得
2E 1 2E
t 2 x2
（E沿y方向）
平面电磁波
2H t 2
1
2xH2 （H
H0 2S 0c 4.47 108 A/m 毕。
4.电磁波的动量
电磁场是客观存在的物质，具有能量和动量。
质能关系：m W c2 , W —电磁能量
单位体积中电磁场的质量：
w c2 , w —单位体积的电磁能量
单位体积中电磁场的动量：
(w c2 )c w c
辐射强度(或能流密度): S=w c 动量流密度:在单位时间内,通过垂直于传播方向 的单位面积的电磁动量。
§1 麦克斯韦电磁场方程组 一、 积分形式 二、微分形式 三、麦克斯韦的贡献 四、电磁场的边界条件
一、 积分形式
E
E静电
E感生
D D静电 D感生
B
B稳恒
B位移
H H传导 H位移
通量
D静电 dS 0dV
S
V
D感生 dS 0
S
B dS 0
S
通量
环流
D静电 dS 0dV
d Adt
2
电磁波的能量
利用 E H, u 1 得
S 1 ( E H H E) EH 2
辐射能的传播方向、E 的方向及H 的方向三者相互垂 直，辐射强度用矢量式表示为：
S EH
辐射强度矢量S 也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。 E
H
S
电磁波的能量
考虑平面余弦电磁波的情形
Ex
Ey
Ez
0
x y z
BdS
HdS 0
H x
H y
H z
0
x y z
平面电磁波的波动方程
Edl
B
d
S
t
Ez
y
EEzxy
Ey
z Ez x Ex
H x t H y
t H z
x y
t
Hdl
D t
dS
H z
y
H Hz
x y
H y
z H z x H x
xˆ yˆ zˆ
A
x y z
Ax Ay Az
2. 微分形式
积分形式
D dS 0dV
S
V
L
E
dl
S
B t
dS
B dS 0
S
L
H
dl
S
J0
dS
S
D t
dS
微分形式
D 0
E
B
t
B 0
H
J0
D t
在界面处，场不连续，微分关系不能用了，
要代之以界面关系 （也称边界条件）：
且在 J0 0 0 0 情况下
EH
满足的微分 方程形式是 波动方程
对沿 x 方向传播的电磁场(波) 有
2Ey x2
2Ey t 2
2Hz x2
2Hz t 2
y Ey u
x
z
Hz
是波动方程的形式 1886年赫兹发现了电磁波，证实了麦的预言
四、电磁场的边界条件
物质分界面上 电场 磁场 (电流)
Ex t Ey
t Ez
x y
t
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
(I) Ex 0, x
Ex t
0
(II) H x 0,
H x 0
x
t
(III)
Ey H z ,
H z
E
y
x
t
x
t
(IV) Ez H y ,
1E1n 2E2n
E2n 1 E1n 2
E2n r1 E1n r 2
介质1 介质2 n
P1 P2
•切线分量的关系
即 D1t D2t E1t E2t 之间的关系
在界面两侧过 P1 和 P2 点
介质1
介质2 t
作一平行界面的狭长的矩形回路
P1
l
P2
E dl
E1 dl
E2 dl
D t
dS
积分形式
注意：
D D静电 D感生 E E静电 E感生 B B稳恒 B位移 H H传导 H位移
二、微分形式
1.数学上的定理
Gauss定理
AdS A dV
S
V
Stokes定理
Adl A dS
L
S
直角坐标系中
xˆ yˆ zˆ x y z
E1t E2t
D1n D2n 0表面
H1t H2t J0表面 nˆ tˆ B1n B2n
nˆ
1
ˆt
2
0表面 界面处自由
电荷面密度 J 0表面 界面处传导
电流密度
7
如果 0表面 0 J0表面 0
则边界关系为
nˆ
1
ˆt
2
E1t E2t D1n D2n H1t H 2t B1n B2n
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：
(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围 的空间中
(2)提高辐射频率
振荡偶极子电矩：pe p0 cost
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电 偶极子周围的电磁场线如下图示：
沿z方向）
的波动方程
平面电磁波的波动方程
电磁波的波速
u 1
真空中的波速
c 1 00 2.9979m/s
2.电磁波的性质
电磁波是横波。
沿 x 轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
E
E0
cos t
x u
0
据 E 计算H 出H：
x
t
H 1
E d t E0
x
u
sin
t
x u
S
V
D感生 dS 0
S
E静电 dl 0
L
L
E感生
dl
S
B t
dS
B dS 0
S
L
H
dl
S
J0
dS
S
D t
dS
重新整合写成电场和磁场各两个方程
D dS 0dV
S E
dl
V B
dS
L
S t
B dS 0
S
L
H
dl
S
J0
dS
S
r c
0 p02 4 sin2 16 2r2c
cos 2
t
r c
辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传 播方向是电磁波的传播方向。
电磁波的能量
空间某点辐射强度的计算
波速
dA
P
dl
dA—P 点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积
dl—底面积为dA的小长方 体的高
小长方体中的电磁能量为w dA dl
P点处的辐射强度S ：
S wd Ad l wu S wu u (E2 H 2 )
1. 电场在分界面上的边界条件 介质1 介质2
分界面上一点P的情况
P1
P
P2
介质1 一侧紧邻界面P点的P1点的场量
E1 D1
B1 H1
介质2 一侧紧邻界面P点的P2点的场量
E2 D2
B2 H2
•法线分量的关系 即 D1n D2n E1n E2n 之间的关系
设界面处无自由电荷 即 0界面 0
在界面两侧 过 P1 和 P2
率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质 中的色散现象。
3.电磁波的能量
电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度 或辐射强度。
电场和磁场的能量体密度分别为
we E2 2, wm H 2 2
电磁场的总能量体密度：