麦克斯韦方程组和电磁波

Ex t Ey
t Ez
x y
t
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
(I) Ex 0, x
Ex t
0
(II) H x 0,
H x 0
x
t
(III)
Ey H z ,
H z
E
y
x
t
x
t
(IV) Ez H y ,
E E0 cost x u 0 H H0 cost x u 0
据辐射强度计算公式，得
S E0H0 cos2t x u 0 取一个周期内的平均值， cos2t x的/时u间 平0 均值
为1/2，平均辐射强度
S E0H0 2 因c 1 以00 0 E及0 ， 得0 H0
S 0cE02 2
H y Ez
x
t x
t
平面电磁波的波动方程
经过一系列变换，得到
2Ey t 2
1
2Ey x2
2
H
2 z
t 2
1
2Hz x2
表明变化电磁场 Ey 和Hz 是按波动形式传播。
去掉Ey 和Hz 的下标 y 和 z，得
2E 1 2E
t 2 x2
（E沿y方向）
平面电磁波
2H t 2
1
2xH2 （H
作底面平行界面的扁圆柱面 介质1 介质2 n
介质2处底面积记作S2，介质
P1 P2
1处记作S1 。
D dS D1 dS D2 dS D1nΔS1 D2nΔS2
S
ΔS1
ΔS2
因为 0界面 0
所以 0
由
D1nS1 D2nS2 0
得 由介质 方程有
即
或
D1n D2n
过场点作扁圆柱面
由
B dS 0
S
介质1 介质2 n
P1 P2
得
由介质 方程有
B1n B2n
H2n 1 H1n 2
过场点作狭长矩形回路
由于 J0 0
D ds 0 t
有
H dl 0
L
介质1 t介质2
P1 l P2
得
H1t H2t
由介质 方程有
B2t 2
B1t
1
有了场量边界关系 可为解题带来方便
任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源， 如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都 会在其周围空间产生电磁波。
提高振荡电流辐射电磁场的方法
+ q
C
I
L
-q
电磁波的辐射
赫兹在1888年采用振荡偶极子， 实现了发送和接收电磁波。采用下 图装置，证实了振荡偶极子能够发 射电磁波。
赫兹
电磁波的辐射
xˆ yˆ zˆ
A
x y z
Ax Ay Az
2. 微分形式
积分形式
D dS 0dV
S
V
L
E
dl
S
B t
dS
B dS 0
S
L
H
dl
S
J0
dS
S
D t
dS
微分形式
D 0
E
B
t
B 0
H
J0
D t
在界面处，场不连续，微分关系不能用了，
要代之以界面关系 （也称边界条件）：
0
d
t
电磁波的性质
积分得
H
E0
u
cos t
x u
0
H0
cos t
x u
0
H0
E0
u
E0
——H的振幅
E0 H0
H 和E 有相同的频率,且两者同相位，二者满足瞬时 关系：
E H
电磁波的性质
平面简谐电磁波的传播
y u
E
z
H
x
电磁波的一般性质：
(1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。
§2 电磁波
变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近及 远以有限的速度在空间传播，形成电磁波。最初由麦 克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实。
1. 平面电磁波的波动方程
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中，=0，=0，且介 电常量 和磁导率 是常量。麦克斯韦方程简化为：
DdS
EdS 0
8边界条件推导
三、麦克斯韦的贡献
1. 完善了宏观的电磁场理论 四个微分方程
三个介质方程 （D E B H J0 E）
一个洛仑兹力
f
qE
q
B
在确定的边界条件下联合解上述方程， 原则上可解决电磁场的一般问题。
2. 爱因斯坦相对论的重要实验基础 3. 预言电磁波的存在 由微分方程出发 在各向同性介质中
D t
dS
积分形式
注意：
D D静电 D感生 E E静电 E感生 B B稳恒 B位移 H H传导 H位移
二、微分形式
1.数学上的定理
Gauss定理
AdS A dV
S
V
Stokes定理
Adl A dS
L
S
直角坐标系中
xˆ yˆ zˆ x y z
r=10km处一个小的空间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度
的振幅。
解 (1)在距电台r =10km处,辐射强度的平均值为
S
P
2r 2
2
15 103 (10 103)2
J/(m2 s)
2.39 105
J/(m2 s)
(2)由 S 0c,E02 2 S得 0cH02 2
E0 2S 0c 0.134V/m
H0 2S 0c 4.47 108 A/m 解毕。
4.电磁波的动量
电磁场是客观存在的物质，具有能量和动量。
质能关系：m W c2 , W —电磁能量
单位体积中电磁场的质量：
w c2 , w —单位体积的电磁能量
单位体积中电磁场的动量：
(w c2 )c w c
辐射强度(或能流密度): S=w c 动量流密度:在单位时间内,通过垂直于传播方向 的单位面积的电磁动量。
电磁波的动量
动量流密度：(w c)c S c
电磁波入射到一物体上,伴随着动量的传递,对物 体表面产生辐射压力。
单位面积所爱的辐射压力 p S c
（条件：垂直入射且被全部吸收）
单位面积所爱的辐射压力 p 2S c
（条件：垂直入射且被全部反射）
辐射压力测量原理图
5.电磁波的辐射
振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡,两 端出现正负交替的等量异号电荷。
且在 J0 0 0 0 情况下
EH
满足的微分 方程形式是 波动方程
对沿 x 方向传播的电磁场(波) 有
2Ey x2
2Ey t 2
2Hz x2
2Hz t 2
y Ey u
x
z
Hz
是波动方程的形式 1886年赫兹发现了电磁波，证实了麦的预言
四、电磁场的边界条件
物质分界面上 电场 磁场 (电流)
d Adt
2
电磁波的能量
利用 E H, u 1 得
S 1 ( E H H E) EH 2
辐射能的传播方向、E 的方向及H 的方向三者相互垂 直，辐射强度用矢量式表示为：
S EH
辐射强度矢量S 也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。 E
H
S
电磁波的能量
考虑平面余弦电磁波的情形
辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传 播方向是电磁波的传播方向。
电磁波的能量
空间某点辐射强度的计算
波速
dA
P
dl
dA—P 点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积
dl—底面积为dA的小长方 体的高
小长方体中的电磁能量为w dA dl
P点处的辐射强度S ：
S wd Ad l wu S wu u (E2 H 2 )
S 0cH02 2
电磁波的能量
例题1 设有一平面电磁波在真空中传播,电磁波通过某点时，该点的E=50V/m。 试求该时刻该点的B 和H 的大小，以及电磁能量密度w 和辐射强度S 的大小。
解 由B=0H 和 0E 0H 以及c 1 得00
B
E c
50 3 108
T
1.67
10 7
T
H
B
0
1.67 107
r c
0 p02 4 sin2 16 2r2c
cos 2
t
r c
电磁波的辐射
振荡偶极子在真空中、远离偶极子的P点处、在时刻 t 的E、H 的量值可表为
E
E
2 p0 sin 4 0c 2 r
cos t
r c
H
源自文库
H
2 p0 sin 4cr
cos t
r c
电磁波的辐射
振荡偶极子的辐射强度：
S
EH
p02 4 sin 2 (4 )20r 2c3
cos2 t
S
V
D感生 dS 0
S
E静电 dl 0
L
L
E感生
dl
S
B t
dS
B dS 0
S
L
H
dl
S
J0
dS
S
D t
dS
重新整合写成电场和磁场各两个方程
D dS 0dV
S E
dl
V B
dS
L
S t
B dS 0
S
L
H
dl
S
J0
dS
S
率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质 中的色散现象。
3.电磁波的能量
电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度 或辐射强度。
电场和磁场的能量体密度分别为
we E2 2, wm H 2 2
电磁场的总能量体密度：
w we wm (E2 H 2 ) 2
E1t E2t
D1n D2n 0表面
H1t H2t J0表面 nˆ tˆ B1n B2n
nˆ
1
ˆt
2
0表面 界面处自由
电荷面密度 J 0表面 界面处传导
电流密度
7
如果 0表面 0 J0表面 0
则边界关系为
nˆ
1
ˆt
2
E1t E2t D1n D2n H1t H 2t B1n B2n
§1 麦克斯韦电磁场方程组 一、 积分形式 二、微分形式 三、麦克斯韦的贡献 四、电磁场的边界条件
一、 积分形式
E
E静电
E感生
D D静电 D感生
B
B稳恒
B位移
H H传导 H位移
通量
D静电 dS 0dV
S
V
D感生 dS 0
S
B dS 0
S
通量
环流
D静电 dS 0dV
E1t l E2tl
L
介质1
介质2
因为
B
dS
0
t
所以
0
由 E1t l E2tl 0
得
E1t E2t
由介质 方程有
即
D1t D2t
1 2 D2t 2 D1t 1
或
D2t r 2
D1t r1
介质1 t介质2
P1 l P2
2. 磁场在物质分界面上的边界条件
界面某点P两侧的磁场场量的关系
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：
(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围 的空间中
(2)提高辐射频率
振荡偶极子电矩：pe p0 cost
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电 偶极子周围的电磁场线如下图示：
4 107
A/m
0.134 A/m
电磁能量密度:
w=0E2=8.8510-12502J/m3=2.2110-8J/m3
辐射强度: S=E H=500.134J/(m2s)=6.7J/(m2s)
电磁波的能量
例题2 某广播电台的平均辐射功率
。假定P辐射出15来k的W能流均匀地分布
在以电台为中心的半个球面上,(1)求在离电台为r =10km处的辐射强度;(2)在
1E1n 2E2n
E2n 1 E1n 2
E2n r1 E1n r 2
介质1 介质2 n
P1 P2
•切线分量的关系
即 D1t D2t E1t E2t 之间的关系
在界面两侧过 P1 和 P2 点
介质1
介质2 t
作一平行界面的狭长的矩形回路
P1
l
P2
E dl
E1 dl
E2 dl
沿z方向）
的波动方程
平面电磁波的波动方程
电磁波的波速
u 1
真空中的波速
c 1 00 2.9979m/s
2.电磁波的性质
电磁波是横波。
沿 x 轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
E
E0
cos t
x u
0
据 E 计算H 出H：
x
t
H 1
E d t E0
x
u
sin
t
x u
Ex
Ey
Ez
0
x y z
BdS
HdS 0
H x
H y
H z
0
x y z
平面电磁波的波动方程
Edl
B
d
S
t
Ez
y
EEzxy
Ey
z Ez x Ex
H x t H y
t H z
x y
t
Hdl
D t
dS
H z
y
H Hz
x y
H y
z H z x H x
电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平面 内振动，这种特性称为偏振。
(3)E 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。
(4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足
E H
(5)电磁波的传播速度 u 1
通常 和 与电磁波的频率有关，在介质中不同频
1. 电场在分界面上的边界条件 介质1 介质2
分界面上一点P的情况
P1
P
P2
介质1 一侧紧邻界面P点的P1点的场量
E1 D1
B1 H1
介质2 一侧紧邻界面P点的P2点的场量
E2 D2
B2 H2
•法线分量的关系 即 D1n D2n E1n E2n 之间的关系
设界面处无自由电荷 即 0界面 0
在界面两侧 过 P1 和 P2