对麦克斯韦方程组的理解

对麦克斯韦方程组的理解

摘要：理解麦克斯韦方程组的内在含义。并且麦克斯韦方程组有优美的对称性和协

变性，因此用洛伦兹变换及电磁场量验证麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下为不变式。

关键词：麦克斯韦方程组 对称性 协变性

1、引言：数学是研究物理的有力工具，数学描述的概括性和抽象性令人敬畏，也

令人敬佩，物理是一门定量的科学，必然大量的使用数学；物理上出现的数学公式反映自然现象的规律和本质，学习物理时，既要弄清楚数学公式的数学意义，更要弄清楚物理内涵，这样才能对数学公式由敬畏变成敬佩，并产生学习的愉悦，以下谈谈自己对麦克斯韦方程组的一点浅浅的体会。

麦克斯韦于1865年完成了他的论文“电磁场的一个动力学理论”。在这篇论文中提出了电磁场的八个基本方程，全面概括了电磁场运动的特征。并非常敏锐的引入了位移电流。指出了电磁场的存在及传播规律。这些光辉的预言，在1888年被德国的科学家赫兹在实验上证实了。

麦克斯韦方程组充分表现了电场和磁场的对称性和协变性，从而体现了自然世界优美的对称性和协变性。

麦克斯韦方程组因为其的优美，被认为是上帝书写的。

2、麦克斯韦方程组的的对称性

麦克斯韦方程组可以概括整个电磁学规律，它具有优美的对称性；

t

B

E ∂∂-

=⨯∇ （1） t

E

J u B ∂∂+=⨯∇0

00εμ （2） 0

ερ

=

⋅∇E （3） 0=⋅∇B （4） 麦克斯韦方程组反映普遍情况下电荷电流激发电磁阀以及电磁场内部矛盾运动的规

律。它的主要特点是揭示了变化电磁场可以相互激发的运动规律，从而在理论上预言了电磁场的存在，并指出光就是一种电磁波，麦克斯韦方程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外单独存在，这就更加深了我们对电磁场物质性的认识。

麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的理论基础，它的应用范围极其广泛，利用它原则上可以解决各种宏观电磁现象。因此电磁场的计算都可以归结为对这组方程的求解过程。比如，稳恒磁场就是

0=∂∂t B ，0=∂∂t

E

的特殊情况下 的麦克斯韦方程；在讨论电磁波及在真空中

的传播问题时，就是令0,0==J ρ，就可以得到关于E 和B 的完全对称的波动方程：

012222

=∂∂-∇t E c E ；012222

=∂∂=-∇t

B c B

对于电磁波的辐射问题，我们可以引入电磁失势A 及标势ϕ，并有：

A B ⨯∇= 及 t

A

E ∂∂-

-∇=ϕ 从而由麦克斯韦方程组得到ϕ,A 满足的基本方程。在洛伦兹规范（012

=∂∂+

⋅∇t

c A ϕ

）下，及其形式为： J t

A

c A 02222

1μ-=∂∂-∇ （5）

2222

1ερ

ϕϕ-=∂∂-∇t c （6）

上述方程和麦克斯韦方程完全等价，是非齐次的波动方程。我们同样注意到，这两个方

程具有优美的对称性。

3、麦克斯韦方程组的洛伦兹协变性

相对论是现代物理学的理论基础之一，它和量子力学一起构成了近代物理学的两大支柱。狭义相对论的二个基本假设是：（1）相对性原理；（2）光速不变原理。根据这两个基本假设可导出两个不同惯性系间的时空坐标变换式------洛伦兹变换。在相对论建立以前，人们认为两个惯性系间耳朵时空变换应服从“伽利略变换”，这是 一种经典的时空观，它是洛伦兹变换在低速下的近似。

相对性原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相同。一个表达物理规律的方程，当坐标经过变换而方程的形式不变时，称这方程对于这个变换是“协变”的。狭义相对论要求所有表述物理规律的方程对于洛伦兹变换是协变的，或称为具有洛伦兹协变性，这是检验一个理论或运动方程是否满足相对论要求的标准。

牛顿运动方程dt P

d F =对伽利略变换是协变的，但对于洛伦兹变换不具有协变性，因

此牛顿运动方程不满足相对论要求，是非相对论的。只有在对其进行某种修正，以使它满足洛伦兹协变性以后，才是相对论的，才能运用于在宏观高速场合。

我们知道。麦克斯韦方程组是电磁规律在低速甚至静止情况下总结和推广出来的。那么，对麦克斯韦方程组是否也要作某种修改，才能满足相对论的洛伦兹协变性要求呢？ 用四维势矢量或者四维电磁场张量来描述电磁场，可以看出麦克斯韦方程组具有洛伦兹协变性，课本上是这样讨论的。为了简单直观，可以用洛伦兹变换及电磁场量的变换直接验证麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下为不变式。

洛伦兹坐标变换为：

2

2

1'c v

vt x x --=

y y ='

z z ='

2

2

21'c

v x c v t t --

=

可得微分运算的变换

)'

'(2t c v x x ∂∂

-∂∂=∂∂γ （7）

'

y y ∂∂=∂∂ （8） 'z z ∂∂

=

∂∂ （9） )'

'(x v t t ∂∂

-∂∂=∂∂γ （10）

其中2

1

2

2

)1(-

-=c v

γ （11）

把麦克斯韦方程（1），（4）在直角坐标系写成分量式：

t B z E y E x y

z ∂∂-=∂∂-∂∂ （12） t B y E z E y z

y

∂∂-=∂∂-∂∂ （13） t

B

y E x

E z x y ∂∂-=∂∂-

∂∂ （14） 0=∂∂+∂∂+∂∂z

B y B x B z y x （15） 将（7）（9）代入（13），得：

)'

'()''(2x B v t B t E c v x E E y y z

z z x ∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂γ 整理后得：

)(')(''2z y y z x E c

v

B t vB E x z E +∂∂-=+∂∂-∂∂γγ （16）

如果麦克斯韦方程组是洛伦兹协变的，即在一切惯性参考系中数学形式 不变，则'∑中

必需有：

t

B x E z E y z

x ∂∂-=∂∂-∂∂'' （17） 方程（16）与（17）具有相同的数学形式，这就表明方程（1）的y 分量是洛伦兹 协变的。如果令：

x x E E =' （18）