2019年甘肃省中考数学试卷(中考真题)
2019年数学中考试卷(含答案)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
24．某公司销售两种椅子，普通椅子价格是每把 180 元，实木椅子的价格是每把 400 元． (1)该公司在 2019 年第一月销售了两种椅子共 900 把，销售总金额达到了 272000 元，求两 种椅了各销售了多少把？ (2)第二月正好赶上市里开展家俱展销活动，公司决定将普通椅子每把降 30 元后销售，实 木椅子每把降价 2a%(a＞0)后销售，在展销活动的第一周，该公司的普通椅子销售量比上
22．4 月 18 日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行 ，如图，广场上有一风筝 A，小 江抓着风筝线的一端站在 D 处，他从牵引端 E 测得风筝 A 的仰角为 67°，同一时刻小芸在 附近一座距地面 30 米高(BC＝30 米)的居民楼顶 B 处测得风筝 A 的仰角是 45°，已知小江 与居民楼的距离 CD＝40 米，牵引端距地面高度 DE＝1.5 米，根据以上条件计算风筝距地
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
解：A 选项中，根据对顶角相等，得 1与 2 一定相等； B、C 项中无法确定 1与 2 是否相等；
D 选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1． 故选：D
8．A
解析：A 【解析】
【分析】
【详解】
该班男生有
x
人，女生有
y
人．根据题意得：
x y 30 3x 2y 78
甘肃省定西市、武威市中考数学真题试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
2020年某某省某某市、某某市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列实数是无理数的是（）A．﹣2 B．C．D．【解答】解：＝3，则由无理数的定义可知，实数是无理数的是．故选：D．2．（3分）若α＝70°，则α的补角的度数是（）A．130°B．110°C．30°D．20°【解答】解：α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：B．3．（3分）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A．2B．3 C．3D．4【解答】解：∵正方形的面积是12，∴它的边长是＝2．故选：A．4．（3分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．5．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．x12÷x2【解答】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同理选项B不符合题意；x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；故选：C．6．（3分）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（）【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴＝0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．7．（3分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．8．（3分）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°【解答】解：连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ACD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．9．（3分）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（）A．2B．C．2D．【解答】解：∵点D在⊙O上且平分，∴，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝2，Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．10．（3分）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E 出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4B．4 C．3D．2【解答】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作﹣50 元．【解答】解：∵盈利100元记作+100元，∴亏损50元记作﹣50元，故答案为：﹣50．12．（3分）分解因式：a2+a＝a（a+1）．【解答】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．13．（3分）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价：元暑假八折优惠，现价：160元【解答】解：设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x＝160，解得：x＝200．故答案为：200．14．（3分）要使分式有意义，x需满足的条件是x≠1．【解答】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．15．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有17 个．【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，∵假设有x个红球，∴＝0.85，解得：x＝17，经检验x＝17是分式方程的解，∴口袋中有红球约有17个．故答案为：17．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为（7，0）．【解答】解：∵A（3，），D（6，），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．17．（3分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为cm（结果保留π）．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得；＝，解得：R＝1，∵扇形的面积＝lR＝，解得：l＝π．故答案为：．18．（3分）已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是2032 ．【解答】解：当x＜4时，原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，当x＝1时，原式＝7；当x＝2时，原式＝5；当x＝3时，原式＝3；当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．故答案为：2032．三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19．（4分）计算：（2﹣）（2+）+tan60°﹣（π﹣2）0．【解答】解：原式＝4﹣3+﹣1＝．20．（4分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．（6分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【解答】解：（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，位置关系为：EF∥AC．22．（6分）图①是某某省博物馆的镇馆之宝﹣﹣铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于某某市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B到地面的高度为BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上．测量数据α的度数β的度数CE的长度仪器CD（EF）的高度31°42°5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【解答】解：如图，设BG＝x米，在Rt△BFG中，FG＝＝，在Rt△BDG中，DG＝＝，由DG﹣FG＝DF得，﹣＝5，解得，x＝9，∴AB＝AG+BG＝1.5+9＝10.5（米），答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5米．23．（6分）2019年某某在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，某某省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：某某崆峒山风景名胜区；C：某某麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：某某七彩丹霞景区．X帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．（1）X帆一家选择E：某某七彩丹霞景区的概率是多少？（2）若X帆一家选择了E：某某七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．【解答】解：（1）共有5种可能选择的结果，因此X帆一家选择“E：某某七彩丹霞景区”的概率是；（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，∴P（选择A、D）＝＝．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（7分）总书记于2019年8月在某某考察时说“黄河之滨也很美”．某某是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”．近年来，在市政府的积极治理下，某某的空气质量得到极大改善，“某某蓝”成为某某市民引以为豪的城市名片．如图是根据某某市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26 天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254 天；（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）《某某市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保某某市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年（共366天）某某市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．【解答】解：（1）∵296﹣270＝26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；（2）∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；（3）∵＝（213+233+250+254+270+296+313）≈261（天），则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；（4）∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%＝292.8≈293（天），则某某市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．25．（7分）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x 与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x …0 1 2 3 4 5 …y … 6 3 2 1 …（1）当x＝ 3 时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：函数y随x的增大而减小．【解答】解：（1）当x＝3时，y＝1.5；故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）观察画出的图象，这个函数的一条性质：函数y随x的增大而减小．故答案为：函数y随x的增大而减小．26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE ＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°；（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．27．（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN 绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．【解答】（1）证明：∵△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．。
【2019中考数学】甘肃天水数学中考真题(含解析)【2019中考真题+数学】
2019年甘肃省天水市中考数学试卷注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. B. C. 或 D. 1或2.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含 °、 °角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED= °，那么∠BFA的大小为（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.6.已知a+b=，则代数式2a+2b-3的值是（）A. 2B.C.D.7.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. B. C. D.8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A.B.C.D.9.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D= °，则∠EAC的度数为（）A.B.C.D.10.已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A. B. C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.函数y=中，自变量x的取值范围是______．12.分式方程-=0的解是______．13.一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-b．则M、N的大小关系为M______N．（填“＞”、“=”或“＜”）16.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA= °，则圆中阴影部分的面积为______．17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为______．18.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.（1）计算：（-2）3+- sin °+（2019-π）0+|-4|（2）先化简，再求值：（-1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．20.天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b-＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：=1.414，=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC= °，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤ ）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为 . × -5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× -n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a× -n，其中 ≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=9 °+ °= °，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE= °．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED= °，然后根据平行线的性质得到∠BFA 的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得： ×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D= °，∴∠ACB=∠DCB=（ °-∠D）= °，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D= °，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE= °，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（ °-∠D）= °，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D= °，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM 的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥【解析】解：依题意，得x- ≥ ，解得：x≥ ，故答案为：x≥ ．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2【解析】解：连接AB，∵∠AOB=9 °，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C= °，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan °= ×=2，AB=AO÷sin °= ，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-× × =2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=9 °可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C= °，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF 的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为： + × = ，第2个图象中〇的个数为： + × = ，第3个图象中〇的个数为： + × = ，第4个图象中〇的个数为： + × = ，……∴第2019个图形中共有： + × 9= + = 个〇，故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4- ×+1+4-=-8+4-1+1+4-=-；（2）原式=•=-•=，解不等式组得- ≤x＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x≠± ，x≠ ，∴x=2，则原式==-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1） ÷ %= ，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为 °×= . °；故答案为50；115.2；（4） ×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A在反比例函数y=上，∴=4，解得m=1，∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y=上，∴=n，解得n=2，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A、B在y=kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=-2x+6．（2）根据图象得：kx+b-＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；（3）∵直线y=-2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为（3，0），S△AOB=S△AON-S△BON=× × -× × = ．【解析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，∴tanα=，∴α= °；（2）该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD=6米，∵新坡面的坡度为1：，∴tan∠CAD=解得，AD=6米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，∴BD=6米，∴AB=AD-BD=（-6）米，又∵PB=8米，∴PA=PB-AB=8-（-6）=14-6≈ - × . ≈ . 米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（ ≤x≤ ）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵ ≤x≤ ，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=9 °．∴∠OCP=9 °，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC= °，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB= °，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=9 °，∴CF=OC tan∠COB=5．【解析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=9 °，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB= °，再由（1）中所证切线可得∠OCF=9 °，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=9 °，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=9 °，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，∠ ∠ ，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=9 °，∴∠ABG+∠AME=9 °，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4=-27a，∴a=-，x+4，∴抛物线的解析式为：y=-（x+3）（x-9）=-x2+9∵CD垂直于y轴，C（0，4），x+4=4，令-x2+9解得，x=0或x=6，∴点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，x+4的顶点，∵点F是抛物线y=-x2+9∴F（3，），∴FH=-4=，∵GH∥A1O1，∴△FGH∽△FA1O1，∴，∴，解得，GH=1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，∴S重叠部分=-S△FGH=A1O1•O1F-GH•FH==；（3）①当0＜t≤ 时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，∵C2O2∥DE，∴△OO2M∽△OED，∴，∴，∴O2M=t，∴S==OO2×O2M=t×t=t2；②当3＜t≤ 时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入y=kx，得，k=，∴y OD=x，将点（t-3，0），（t，4）代入y=kx+b，得，，解得，k=，b=-t+4，∴直线A2C2的解析式为：y=x-t+4，联立y OD=x与y=x-t+4，得，x=x-t+4，解得，x=-6+2t，∴两直线交点M坐标为（-6+2t，-4+t），故点M到O2C2的距离为6-t，∵C2N∥OC，∴△DC2N∽△DCO，∴，∴，∴C2N=（6-t），∴S=四边形=-=OA•OC-C2N（6-t）=× × -×（6-t）（6-t）=-t2+4t-6；∴S与t的函数关系式为：S= ＜＜．【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH 的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤ 时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤ 时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S==-可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析
2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】 如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：22．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）A.B.C. D.3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（ ）A. B. C. D.4．下列计算的结果是a 6的为（ ） A ．a 12÷a 2B ．a 7﹣aC ．a 2•a 4D ．（﹣a 2）35．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（ ）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<7．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°9．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A→C→B 运动，点Q 从点A 出发以vcm/s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sinB ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（ ） A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．612．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M ，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M 是______．14．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______.15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC=4AM ，设BD=m ，那么∠ACD 的正切值是______（用含m 的代数式表示）16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在3x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17 ______.18．如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．三、解答题19．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.22．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4(1)求这个二次函数表达式．(2)此函数图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标及△ABC的面积．(3)该函数值y能否取到﹣6？为什么？23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2； ①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．25．解不等式组1531x x x +≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________； (Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．153 14．1215．316． 17．18．20 三、解答题19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【解析】 【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出OA OCCD CB=，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：-k0 33mk m+=⎧⎨+=⎩，解得：3k434m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34． 联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（97，127）． （3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0）， ∴CD，BC，BD∴CD 2+BC 2＝BD 2， ∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3， ∴OA OC CD CB ==． 又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°， ∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ． 如图2，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ． ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC ． 又∵△AOC ∽△DCB ， ∴△ACQ ∽DCB ，∴AC AQDC DB =AQ=， ∴AQ ＝10，∴点Q 的坐标为（9，0）．综上所述：当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P 的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q 的坐标．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是2． 【解析】 【分析】（1）根据AC 为⊙O 直径，得到∠ADC ＝∠CBA ＝90°，通过全等三角形得到CD ＝AB ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到NB ＝12MF ＝NF ，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB 是⊙O 的切线；（3）根据垂径定理得到DE ＝GE ＝6，根据四边形ABCD 是矩形，得到∠BAD ＝90°，根据余角的性质得到∠FAE ＝∠ADE ，推出△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质列比例式得到AE ＝，连接OD ，设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ADC ＝∠CBA ＝90°，在Rt △ADC 与Rt △CBA 中，AC ACAD BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CBA ， ∴CD ＝AB ， ∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠CBA ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形； （2）连接OB ，∵∠MBF ＝∠ABC ＝90°， ∴NB ＝12MF ＝NF ， ∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣）2+62＝r2，∴r，∴⊙O的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．21．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；【解析】【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，第10天时销售利润最大.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x 的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．(1)y ＝x 2+4x ﹣1；(3)函数值y 不能取到﹣6；理由见解析. 【解析】 【分析】(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c ，求得a 、c 的值即可求得；(2)令y ＝0，解方程求得A 、B 点的坐标，令x ＝0，求得y ＝﹣1，得到C 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△ABC 的面积；(3)把(1)中求得的解析式化成顶点式，求得函数y 的最小值为﹣5，故函数值y 不能取到﹣6． 【详解】解：(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c 得48544a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数表达式为y ＝x 2+4x ﹣1； (2)令y ＝0，则x 2+4x ﹣1＝0，解得x∴A(﹣20)，B(﹣0)， 令x ＝0，则y ＝﹣1， ∴C(0，﹣1)，∴△ABC 的面积：12AB•OC＝12(﹣ (3)∵y ＝x 2+4x ﹣1＝(x+2)2﹣5， ∴函数y 的最小值为﹣5， ∴函数值y 不能取到﹣6． 【点睛】本题考查了抛物线和x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】 【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．． 【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ）， 在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ）， 答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ， 得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①BD ；②AC =【解析】 【分析】（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；②由AC=AE+CE 可求解． 【详解】证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）； （2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；∴BE ＝CE ，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD∴AB ＝2BE ＝，AE ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°∴60BD 1803π︒︒⨯⨯==②∵AC ＝AE+CE∴AC +【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4， 故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1，解得：x>12， 故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x<≤，故原不等式的解集为：142x<≤，故答案为：14 2x<≤【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（ ）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元 2．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 3．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ）A.2B.3C.5D.12 4．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①5．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．58o7．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×10118．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线且交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，若AB ＝8cm ，则△DBE 的周长（ ）A ．B ．cmC ．8cmD ．cm9．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④ 10．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A. B. C. D.11．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则Rt ABC ∆的中线CD 的长为（ ）A.5B.6C.8D.1012．如果方程x 2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为（ ） A.34 B.35 C.45 D.34或35二、填空题13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。
2019年甘肃中考数学试卷及解析
2019年甘肃省白银市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项、1、（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A、B、C、D、2、（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A、0B、1C、2D、33、（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A、3B、4C、5D、64、（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米、数据0.000000007用科学记数法表示为（）A、7×10﹣7B、0.7×10﹣8C、7×10﹣8D、7×10﹣95、（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A、平移变换B、相似变换C、旋转变换D、对称变换6、（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A、180°B、360°C、540°D、720°7、（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A、x≤3B、x≤﹣3C、x≥3D、x≥﹣38、（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A、①B、②C、③D、④9、（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A、22.5°B、30°C、45°D、60°10、（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动、设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A、3B、4C、5D、6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11、（4分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱、如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点、12、（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证、下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）、13、（4分）因式分解：xy2﹣4x＝、14、（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为、15、（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为、16、（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于、17、（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”、若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝、18、（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是、三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19、（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020、（6分）小甘到文具超市去买文具、请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21、（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC、（1）求作：△ABC的外接圆、（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝、22、（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°、CD可以绕点C上下调节一定的角度、使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳、现测得点D到桌面的距离为49.6cm、请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）、23、（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行、世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A、“解密世园会”、B、“爱我家，爱园艺”、C、“园艺小清新之旅”和D、“快速车览之旅”、李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同、（1）李欣选择线路C、“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率、四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤、24、（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动、为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛、现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77、八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41、整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝、（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由、25、（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N、若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围、26、（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E、（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径、27、（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN、求证：∠AMN＝60°、点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM、易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°、问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1、求证：∠A1M1N1＝90°、28、（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC、点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m、（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q、试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形、若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N、请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项、1、（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A、B、C、D、试题分析：分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可、试题解答解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意、故选：C、点评：考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大、2、（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A、0B、1C、2D、3试题分析：直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案、试题解答解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：3、故选：D、点评：此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键、3、（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A、3B、4C、5D、6试题分析：由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案、试题解答解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3、故选：A、点评：本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题、4、（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米、数据0.000000007用科学记数法表示为（）A、7×10﹣7B、0.7×10﹣8C、7×10﹣8D、7×10﹣9试题分析：由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；试题解答解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D、点评：本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键、5、（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A、平移变换B、相似变换C、旋转变换D、对称变换试题分析：根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案、试题解答解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换、故选：B、点评：本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出、6、（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A、180°B、360°C、540°D、720°试题分析：根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果、试题解答解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C、点评：本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式、7、（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A、x≤3B、x≤﹣3C、x≥3D、x≥﹣3试题分析：先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可、试题解答解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A、点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错、解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变、8、（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A、①B、②C、③D、④试题分析：直接利用分式的加减运算法则计算得出答案、试题解答解：﹣＝﹣＝＝、故从第②步开始出现错误、故选：B、点评：此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键、9、（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A、22.5°B、30°C、45°D、60°试题分析：设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数、试题解答解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°、故选：C、点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、10、（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动、设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A、3B、4C、5D、6试题分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解、试题解答解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3、∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12、当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7、则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4、故选：B、点评：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值、二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11、（4分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱、如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）、试题分析：直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标、试题解答解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）、故答案为：（﹣1，1）、点评：本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置、12、（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证、下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）、试题分析：由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率、试题解答解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5、故答案为0.5、点评：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率、用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确、13、（4分）因式分解：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）、试题分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解、试题解答解：xy2﹣4x，＝x（y2﹣4），＝x（y+2）（y﹣2）、点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解、14、（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4、试题分析：要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数、试题解答解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4点评：此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根、上述结论反过来也成立、15、（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1、试题分析：利用配方法整理即可得解、试题解答解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1、故答案为：y＝（x﹣2）2+1、点评：本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）、16、（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π、试题分析：恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可、试题解答解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π、故答案为4﹣π、点评：本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积、17、（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”、若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或、试题分析：可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数、从而可求解试题解答解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或点评：本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏、18、（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是13a+21b、试题分析：由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案、试题解答解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b、点评：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律、三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19、（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0试题分析：先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可、试题解答解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3、点评：本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键、20、（6分）小甘到文具超市去买文具、请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？试题分析：根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案、试题解答解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元、点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键、21、（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC、（1）求作：△ABC的外接圆、（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π、试题分析：（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求、（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题、试题解答解：（1）如图⊙O即为所求、（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E、由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π、故答案为25π、点评：本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型、22、（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°、CD可以绕点C上下调节一定的角度、使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳、现测得点D到桌面的距离为49.6cm、请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）、试题分析：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F、解直角三角形求出∠DCF即可判断、试题解答解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F、∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳、点评：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型、23、（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行、世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A、“解密世园会”、B、“爱我家，爱园艺”、C、“园艺小清新之旅”和D、“快速车览之旅”、李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同、（1）李欣选择线路C、“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率、试题分析：（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果、试题解答解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C、“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝、点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件、用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比、四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤、24、（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动、为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛、现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77、八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41、整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝11，b＝10，c＝78，d＝81、（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由、试题分析：（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可、试题解答解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）、点评：本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键、25、（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N、若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围、试题分析：（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解、试题解答解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN、点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键、26、（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E、（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径、试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论、试题解答（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2、点评：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键、27、（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN、求证：∠AMN＝60°、点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM、易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°、问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1、求证：∠A1M1N1＝90°、试题分析：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论、试题解答解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°、点评：此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键、28、（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC、点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m、（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q、试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形、若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N、请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？试题分析：（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解、试题解答解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，。
甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类(含答案)
甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．平方差公式（共1小题）1．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．二．分式的混合运算（共1小题）2．（2022•兰州）计算：（1+）÷．三．分式的化简求值（共2小题）3．（2021•兰州）先化简，再求值：，其中m＝2．4．（2021•兰州）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝4．四．二次根式的混合运算（共3小题）5．（2023•兰州）计算：．6．（2021•兰州）计算：．7．（2021•兰州）计算：（+）×．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）8．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．六．解一元一次不等式（共1小题）9．（2022•兰州）解不等式：2（x﹣3）＜8．七．一次函数的应用（共1小题）10．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发 分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）11．（2022•兰州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B （3，0），过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3．（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝x+b的表达式；（2）求DE的长．九．二次函数的应用（共1小题）12．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．一十．全等三角形的判定与性质（共2小题）13．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．14．（2021•兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC ＝DF．一十一．矩形的性质（共1小题）15．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE 是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．一十二．解直角三角形的应用（共1小题）16．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）一十三．条形统计图（共1小题）17．（2021•兰州）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率年份、统计量名称20132014201520162017201820192020平均数贫困地区农村居民年人均可支配收入/元607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%16.512.711.710.410.910.611.58.811.6全国农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.6 6.99.3请根据以上信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 元．（3）下列结论正确的是 （只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．一十四．折线统计图（共1小题）18．（2022•兰州）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 百万人．（2）下列结论正确的是 ．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．一十五．中位数（共1小题）19．（2023•兰州）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：分组y＜6.0 6.0≤y＜6.8 6.8≤y＜7.67.6≤y＜8.48.4≤y＜9.29.2≤y 人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7.87.8▲8.89.2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ ；（2）下列结论正确的是 ；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．平方差公式（共1小题）1．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．【答案】x2﹣3y．【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）＝x2﹣4y2﹣3y+4y2＝x2﹣3y．二．分式的混合运算（共1小题）2．（2022•兰州）计算：（1+）÷．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝．三．分式的化简求值（共2小题）3．（2021•兰州）先化简，再求值：，其中m＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝+＝＝，当m＝2时，原式＝＝2．4．（2021•兰州）先化简，再求值：÷﹣，其中m ＝4．【答案】，．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，当m ＝4时，原式＝．四．二次根式的混合运算（共3小题）5．（2023•兰州）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝3﹣2＝．6．（2021•兰州）计算：．【答案】4．【解答】解：＝+＝+＝＝3＝4．7．（2021•兰州）计算：（+）×．【答案】5．【解答】解：原式＝+＝2+3＝5．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）8．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0∴x2+4x＝1∴x2+4x+4＝1+4∴（x+2）2＝5∴x＝﹣2±∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．六．解一元一次不等式（共1小题）9．（2022•兰州）解不等式：2（x﹣3）＜8．【答案】x＜7．【解答】解：去括号，得：2x﹣6＜8，移项，得：2x＜8+6，合并同类项，得：2x＜14，两边同乘以，得：x＜7．故原不等式的解集是x＜7．七．一次函数的应用（共1小题）10．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发 6 分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．【答案】（1）6；（2）y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；（3）8分钟，理由见解答．【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；故答案为：6；（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，15+3000÷300＝25（min），∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；（3）33﹣25＝8（min），故观光车比小军早8分钟到达观景点．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）11．（2022•兰州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B （3，0），过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3．（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝x+b的表达式；（2）求DE的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为y＝x﹣；（2）DE＝．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，∴S△AOB＝|k|＝3，∴k＝6，∴反比例函数为y＝，∵一次函数y＝x+b的图象过点B（3，0），∴×3+b＝0，解得b＝﹣，∴一次函数为y＝x﹣；（2）∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，∴当x＝5时y＝＝；y＝x﹣＝3，∴E（5，），D（5，3），∴DE＝3﹣＝．九．二次函数的应用（共1小题）12．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+10；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．一十．全等三角形的判定与性质（共2小题）13．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【答案】∠D＝50°．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．14．（2021•兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC ＝DF．【答案】见解析．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．一十一．矩形的性质（共1小题）15．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE 是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．【答案】（1）答案见解答过程；（2）．【解答】解：（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE，∵CE是线段OD的垂直平分线，∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，在△FDC和△FOE中，，∴△FDC≌△FOE（ASA），∴CD＝OE，又ED＝OE，CD＝CO，∴ED＝OE＝CD＝CO，∴四边形OCDE是菱形．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，∵CE是线段OD的垂直平分线，∴CD＝CO，∴CD＝CO＝DO，∴△ODC为等边三角形，∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，∴，在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，由勾股定理得：，由（1）可知：四边形OCDE是菱形，∴，∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，∴，∴，∴．一十二．解直角三角形的应用（共1小题）16．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】约为5.4米．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴1.60≈，∴BD≈32（米），在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，∴1.33≈，∴BC≈26.6（米），∴CD＝BD﹣BC≈5.4（米）．答：避雷针DC的长度约为5.4米．一十三．条形统计图（共1小题）17．（2021•兰州）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率20132014201520162017201820192020平均数年份、统计量名称607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入/元16.512.711.710.410.910.611.58.811.6贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.6 6.99.3全国农村居民年人均可支配收入增长率/%请根据以上信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 551 万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 6509 元．（3）下列结论正确的是 ①②③ （只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．【答案】（1）551；（2）6509；（3）①②③．【解答】解：（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；故答案为：551；（2）12588﹣6079＝6509，故答案为：6509；（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；②∵（16.5+12.7+11.7+10.4+10.9+10.6+11.5+8.8+11.6）÷9≈11.6，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；③2016年：1700﹣665＝1035＞1000，2017年：2220﹣865＝1355＞1000，2018年：2780﹣1065＝1715＞1000，2019年：3160﹣1265＝1895＞1000，2020年：3520﹣1465＝2055＞1000，2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确，故答案为：①②③．一十四．折线统计图（共1小题）18．（2022•兰州）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 40 百万人．（2）下列结论正确的是 ①② ．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．【答案】（1）40；（2）①②；（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，故答案为：40；（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，故原结论错误，不符合题意．所以结论正确的是①②．故答案为：①②；（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．一十五．中位数（共1小题）19．（2023•兰州）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：分组y＜6.0 6.0≤y＜6.8 6.8≤y＜7.67.6≤y＜8.48.4≤y＜9.29.2≤y人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7.87.8▲8.89.2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ 11 ；（2）下列结论正确的是 ②③ ；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11；（2）②③；（3）75人．【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣9﹣6﹣2＝11，故答案为：11；（2）由条形统计图可得，排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比：≥65%，①错误．掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6，②正确．若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．理由：如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，③正确．故答案为：②③；（2）∵排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，∴全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：300×＝75，答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是有75人．。
2019年全国各地中考数学真题试卷二次函数解答题
2019年全国各地中考数学真题试卷二次函数解答题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.（2019▪ 湖北黄石▪ 10 分）如图，已知抛物线 y ＝x 2+bx +c 经过点 A （﹣1，0）、B（5，0）．（1） 求抛物线的解析式，并写出顶点 M 的坐标；（2） 若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；（3） 定点 D （0，m ）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2个单位，再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线，点 P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d （用含 m 的代数式表示）2.（2019▪ 贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本 10 元．试销阶段每袋的销售价 x （元）与该士特产的日销售量 y （袋）之间的关系如表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求：（1） 日销售量 y （袋）与销售价 x （元）的函数关系式；（2） 假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大， 每袋的销售价应定为多少元每日销售的最大利润是多少元3 （2019•山东省滨州市 •14 分）如图①，抛物线 y ＝﹣x 2+ x +4 与 y 轴交于点 A ，与x轴交于点B，C，将直线AB 绕点A 逆时针旋转 90°，所得直线与x 轴交于点D．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线A D 的距离为时，求s in∠PAD 的值．4.(2019，四川成都，12 分）如图，抛物线y＝ax+bx +c经过点A（-2，5），与x 轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△ BCD 沿沿直线BD 翻折得到△ B C'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△ CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式。
2019年数学中考试卷(及答案)
2019年数学中考试卷(及答案)一、选择题1．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =a x 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是（）A ．783230x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．782330x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．302378x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．303278x y x y +=⎧⎨+=⎩4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ）A ．14cmB ．4cmC ．15cmD ．3cm5．方程21(2)304m x mx ---+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ） A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠6．如图,某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m 2，设小路的宽为xm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．2x 2-25x+16=0B ．x 2-25x+32=0C ．x 2-17x+16=0D ．x 2-17x-16=07．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°8．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）A ．15.5，15.5B ．15.5，15C ．15，15.5D ．15，159．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（ ）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°10．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根11．cos45°的值等于( ) A ．2 B ．1C ．32D ．2212．8×200=x+40 解得：x=120答：商品进价为120元． 故选：B ． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．二、填空题13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为_____．14．如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=70°，则∠2= ．15．中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 16．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．在第n 个图形中有______个三角形（用含n 的式子表示）17．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y （米）表示甲、乙两人之间的距离，x （秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与x 函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．18．如图，把三角形纸片折叠，使点B ，点C 都与点A 重合，折痕分别为,DE FG ，若15,2C AE EG ︒∠===厘米，ABC △则的边BC 的长为__________厘米。
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2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）分式方程＝的解为．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B 为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级7575八年级77.580得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解，得到结果xy（x+2）（x﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为6cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，三棱柱的高为3，所以，其左视图的面积为3×2＝6（cm2），故答案为6cm2．【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B 为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣，＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级76.87575八年级77.58081得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。