微积分计算公式
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
微积分公式大全
=
1
(
2
)
n 2
1
e
2
2
n
2
n 2
2
1 (n+1)
2
1 (a+b)
2
p np
npi
n k
N
λ
μ
E(χ2)=n
变异数 V(x)
1 (n2+1)
12
1 (b-a)2
12
pq npq
npi(1-pi)
N n n k
N 1 N
λ
σ2
V(χ2)=2n
动差母函 数 m(t)
q+pet (q+ pet)n
cot x = -csc2 x cot x dx = ln |sin x | + C cot-1(-x) = - cot-1 x
sec x = sec x tan x sec x dx = ln |sec x + tan x | sec-1(-x) = - sec-1 x
csc x = -csc x cot + C
cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β)
tan (α±β)= tan tan , cot (α± tan tan
β)= cot cot cot cot
ex=1+x+ x2 + x3 +…+ xn + …
2! 3!
n!
sin x = x- x3 + x5 - x7 +…+ (1)n x2n1 …
coth-1 ( x )= 1 ln ( x a ) |x| >1 a 2a x a
微积分基本公式
牛顿-莱布尼茨公式编辑公式若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则∫a b f(x)dx=F(b)-F(a)，这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。
中文名牛顿-莱布尼茨公式表达式∫abf(x)dx=F(b)-F(a)提出者牛顿，莱布尼茨公式提出时间1686年应用学科高等数学把中的积分区间的上限作为一个变量x，定义一个新的函数：这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。
为了只表示积分上限的变动，把被积函数的自变量改成别的字母如t，则：让函数获得增量，则对应的函数增量显然，而（ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得）与格林公式和高斯公式的联系当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有可见这也是导数的定义，所以最后得出。
设F(x)是f(x)的原函数。
已证得，故但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而，所以把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
莱布尼茨德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。
就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。
微积分的全部公式
微积分的全部公式微积分是数学的一个重要分支，研究函数的变化规律和各种变化量之间的关系。
微积分的公式是研究微积分的基础，下面将介绍一些微积分的重要公式。
1. 导数的定义公式：导数可以理解为函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)或者dy/dx。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f(x)是函数，h是无穷小的增量。
2. 导数的基本公式：导数具有一些基本的运算规则，包括常数因子法则、求和法则、乘积法则和商法则。
这些公式可以简化对函数的导数计算。
- 常数因子法则：如果f(x)是一个函数，k是一个常数，则有(d/dx)(k*f(x)) = k*(d/dx)f(x)- 求和法则：如果f(x)和g(x)都是函数，则有(d/dx)(f(x)+g(x)) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x)- 乘积法则：如果f(x)和g(x)都是函数，则有(d/dx)(f(x)*g(x)) = f(x)*(d/dx)g(x) + g(x)*(d/dx)f(x)- 商法则：如果f(x)和g(x)都是函数，则有(d/dx)(f(x)/g(x)) = [g(x)*(d/dx)f(x) - f(x)*(d/dx)g(x)] / [g(x)]^23. 积分的定义公式：积分可以理解为函数在区间上的累积和，用数学符号表示为∫f(x)dx。
积分的定义公式为：∫f(x)dx = F(x) + C其中，F(x)是函数f(x)的原函数，C是常数。
4. 积分的基本公式：积分也具有一些基本的运算规则，包括常数法则、线性法则、分部积分法和换元积分法。
这些公式可以简化对函数的积分计算。
- 常数法则：∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中k是一个常数- 线性法则：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx- 分部积分法：∫f(x)*g(x)dx = f(x)*∫g(x)dx - ∫[f'(x)*∫g(x)dx]dx- 换元积分法：如果u = g(x)是一个可导函数，则有∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du5. 泰勒级数公式：泰勒级数是用一组多项式逼近函数的方法，可以将复杂的函数近似表示为多项式的形式。
常用微积分公式大全
以下是常用的微积分公式大全，包括导数、积分和极限的公式：导数公式：1. 常数函数导数：(c)' = 02. 幂函数导数：(x^n)' = nx^(n-1)3. 指数函数导数：(e^x)' = e^x4. 对数函数导数：(ln(x))' = 1/x5. 三角函数导数：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)6. 反三角函数导数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2), (arccos(x))' = -1/√(1-x^2), (arctan(x))' = 1/(1+x^2)7. 链式法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)积分公式：1. 幂函数积分：∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C 是常数2. 指数函数积分：∫(e^x) dx = e^x + C3. 对数函数积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C4. 三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C, ∫cos(x) dx = sin(x) + C, ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C5. 反三角函数积分：∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C, ∫(-1/√(1-x^2)) dx = arccos(x) + C, ∫(1/(1+x^2)) dx = arctan(x) + C极限公式：1. 极限定义：lim(x→a) f(x) = L，表示当x 趋近于a 时，f(x) 趋近于L2. 基本极限：lim(x→0) (sin(x)/x) = 1, lim(x→∞) (1/x) = 0, lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1这只是一些常用的微积分公式，还有更多的公式和规则可用于不同的函数和问题。
微积分的基本公式
微积分的基本公式微积分是数学的一个分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和理论。
在微积分中，有很多基本公式被广泛应用于解决各种问题。
下面是一些微积分的基本公式及其应用：1.导数公式：-常数导数公式：对于任意常数c，其导数为0。
- 幂函数导数公式：对于任意实数n，导数公式为d(x^n) / dx = n * x^(n-1)。
- 指数函数导数公式：对于任意实数a，指数函数e^x的导数为d(e^x) / dx = e^x。
- 对数函数导数公式：对于任意实数a和b，自然对数函数ln(x)的导数为d(ln(x)) / dx = 1 / x。
2.积分公式：- 幂函数积分公式：对于任意实数n（n ≠ -1），积分公式为∫(x^n)dx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
- 指数函数积分公式：对于任意实数a，指数函数e^x的积分公式为∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。
- 对数函数积分公式：对于任意实数a和b，自然对数函数ln(x)的积分公式为∫(1 / x)dx = ln，x， + C，其中C为常数。
3.基本微积分定理：基本微积分定理是微积分的核心定理之一，它定量描述了函数与其导函数之间的关系。
根据基本微积分定理，如果F(x)是函数f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
4.链式法则：链式法则是求复合函数导数的一个重要工具。
设有函数y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是可导函数，那么复合函数关于自变量x的导数可以表示为dy / dx = dy / du * du / dx。
5.积分换元法：积分换元法是求定积分的一个常用方法。
当遇到被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入一个合适的变量代换，将原函数转化为较简单的形式来进行积分计算。
上述只是微积分中的几个基本公式，实际上微积分涉及到更多的公式和方法。
微积分在物理、工程、经济学等领域中具有广泛的应用，可以用于描述和分析各种变化过程，计算曲线的斜率、面积、体积等。
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第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
130
§3-6 常用积分公式表·例题和点评
⑴
d k x kx c =+⎰ (k 为常数)
⑵1
1
d (1)1
x x x c μ
μμμ+≠-=++⎰ 特别，2
11
d x c x x =-+⎰,
32
23x x c =+⎰,
x c = ⑶
1d ln ||x x c x =+⎰
⑷d ln x
x
a
a x c a
=
+⎰, 特别，e d e x x
x c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰
⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺
2
2
1d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰
⑻
2
2
1d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰
⑼arcsin (0)x x c a a
=+>⎰,
特别，arcsin x x c =+ ⑽
2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，2
1
d arctan 1x x c
x =++⎰
⑾
22
11d ln (0)2a x
x c a a a x a x +=+>--⎰
或
22
11d ln (0)2x a
x c a a x a x a -=+>+-⎰
⑿
tan d ln cos x x x c =-+⎰ ⒀cot d ln sin x x x c =+⎰
⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c
x x x x
c x ⎧-+⎪=
=⎨+⎪⎩
⎰⎰
⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c
x x x x c x ⎧++⎪
=
=⎛⎫
⎨++ ⎪⎪
⎝⎭⎩
⎰⎰
§3-6 常用积分公式·例题和点评
131
⒃(0)
a x >==
⎰ln x c ++
⒄2(0)
arcsin 2a a x x c a >==+⎰
⒅
x
⎰2(ln 2
a a x c >==++
⒆22
22sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax
ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩
⎰
⎰
⒇
12222212
123d ()2(1)()2(1)n
n n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰
（递推公式） 跟我做练习
(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24
⑴
2)x x =
-[套用公式⒅]
1
ln (2)2
x =
-+
⑵[
1
(24)42
x x x =
-+⎰⎰
2145)2
2
x x x =
-++
=(请你写出答案)
⑶
2)x x =
-
ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]
⑷
1
2x x =
2122x =
+
=(请你写出答案)
⑸
2)x x =
-
232arcsin
23x -=[套用公式⒄]
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
132
⑹[
1(42)42
x x x =
---⎰
⎰
214)2
2
x x x =-
+-+
=(请你写出答案)
⑺
=
=[套用公式⑼]2
arcsin
3x -=
⑻
(42)4d 12
x x
--=
-
212
2
=+-
=(请你写出答案)
例25 求原函数4
1
d 1x x +⎰
. 解 因为
)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+
所以令
411x ++为待定常数）D C B A ,,,(
=
从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B
解这个方程组(在草纸上做)，得21,2
21,21,221
=-==
=
D C B A . 因此， 4
1
d 1x x +
⎰
x x =+
右端的第一个积分为
§3-6 常用积分公式·例题和点评133
1
4
x x x
=+
2
22
11
d
4
x
x
+
⎛
++
⎝⎭
⎰(套用积分公式
)
21)1)
x++
类似地，右端的第二个积分为
21)1)
x x
=-+-
⎰
所以
4
1
d
1
x
x
+
⎰1)1)
+-
2
2
1x
=
-
（见下注）
【注】根据
tan tan
tan()
1tan tan
αβ
αβ
αβ
+
+=
-⋅
,则
22 tan1)1)
2(1)1
x x ⎡⎤
++-===⎣⎦--
因此
,
2
1)1)arctan
1x
++-=
-
例26 求
d
(01)
1cos
x
x
ε
ε
<<
-
⎰. [关于d(01)
1cos
x
x
ε
ε
<<
+
⎰，见例17]
解令tan
2
x
t=(半角替换)，则
222
22
22
cos cos sin2cos111
222sec1tan
22
x x x
x
x x
=-=-=-=-
+
2
2
1
1
t
t
-
=
+
2
2
d d(2arctan)d
1
x t t
t
==
+
于是，
222
2
d12d
d2
1
1cos1(1)(1)
1
1
x t
t
t
x t t
t
εεε
ε
==
-
-+-++
-
+
⎰⎰⎰2
2d
1
1
1
t
t
ε
ε
ε
=
-
++
+
⎰
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
134
【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
()()
()lim
h y x h y x y x h
→+-'= 或d ()d y y x x '=
确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如
2
1
e sin e
d ,
d ,d ,d ln x
x x
x x x x x
x
x
-⎰
⎰
⎰
⎰
等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。