河北省辛集中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

河北辛集中学2020级高一上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集{}9U x N x +=∈<，(){}1,6U C A B =，(){}2,3U A C B =，(){}5,7,8U C A B =，则B =（ ） A. {}2,3,4 B. {}1,4,6C. {}4,5,7,8D. {}1,2,3,62. 不等式110x->成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 0x <或1x >B. 1x >-C. 1x <-或01x <<D. 2x >3. 已知函数()21y f x =-的定义域是50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()1y f x =+的定义域为（ ）A. []3,7-B. []2,3-C. []5,5-D. []1,4-4. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ） A. 所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数5. 若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A. 4B. 5C. 9D. 136. 函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(],1-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ） A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 若不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-，则2()0ax a b x c a +-+-<的解集为（ ）A. ((),3,-∞+∞B. ()3,1-C. ()1,3-D. ()(),31,-∞-+∞8. 函数y =定义域和值域分别为M 、N ，则M N =（ ）A. []1,3-B. []1,4-C. []0,3D. []0,29. 已知()f x 是定义在()2,1b b -+上的偶函数，且在(]2,0b -上为增函数，则()()12f x f x -≤的解集为（ ） A. 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩，则()f x 的值域是（ ）A. ()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦B. [)0,+∞C. 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. ()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 11. 下列四个命题：其中不正确命题的是（ ）A. 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递增，则()f x 在R 上是增函数B. 若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a > C. 当a b c >>时，则有ab ac >成立D. 1y x =+和y =12. 下列说法正确的是（ ）A. 若幂函数的图像经过点1,28⎛⎫⎪⎝⎭，则解析式为13y x -=B. 所有幂函数的图象均过点()0,0C. 幂函数一定具有奇偶性D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限13. 已知函数2()2f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f x g x x=在区间()1,+∞上一定（ ） A. 是奇函数B. 是增函数C. 无最值D. 有最大值14. 关于函数()f x =的描述正确的有（ ）A. ()f x 的定义域为[)(]1,00,1- B. ()f x 的值域为()1,1- C. ()f x 在定义域上是增函数D. ()f x 的图象关于原点对称三、填空题（本题共4小题，每小题5分.）15. 已知函数5()1f x ax bx x =-+-，若()22f -=，求()2f =________.16. 若集合{}1,2,3,A k =，{}424,7,,3B a a a =+，其中*a N ∈，*k N ∈，f ：31x y x →=+，x A ∈，y B ∈是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a k +=________.17. 已知函数2(12)3,1()(1),1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________. 18. 下列几个命题：①方程()230x a x a +-+=若有一个正实根，一个负实根，则0a <；②函数y =是偶函数，但不是奇函数；③函数()f x 的值域是[]2,2-，则函数()1f x +的值域为[]3,1-；④一条曲线23y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. 其中正确的有_________.四、解答题（本题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知函数()0()1f x x =-A ，2()1g x x =-+的值域为B ，{}23C x a x a =≤≤+.（1）求A B ；（2）若BC B =，求实数a 的取值范围.20. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，解析式为23()1x f x x +=+. （1）求()f x 在R 上的解析式；（2）用定义证明()f x 在()0,+∞上为减函数.21. 已知命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，命题q ：实数x 满足31x -<. （1）若1a =，且p 与q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若0a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 22. 已知函数()2()11f x ax a x =-++，a R ∈.（1）若1a =时，当1x >时，求()2111f x x y x -+=-的最小值.（2）求关于x 的不等式()0f x >的解集.23. 定义域在R 的单调增函数()f x 满足恒等式()()()(),f x f y f x y x y R =+-∈，且()()126f f +=. （1）求()0f ，()1f ；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （3）若对于任意1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有()2(1)0f kx x f x ++-<成立，求实数k 的取值范围.河北辛集中学2020级高一上学期期中考试高一数学试卷答案一、选择题 1-5：BDBDC6-10：CDDBD9.【详解】由于函数()y f x =是定义在()2,1b b -+上的偶函数，则定义域关于原点对称， ∴210b b -++=，得1b =，所以，函数()y f x =的定义域为()2,2-，由于函数()y f x =在区间(]2,0-上单调递增，则该函数在区间[)0,2上单调递减， 由于函数()y f x =为偶函数，则()()f x fx =，由()()12f x f x -≤，可得()()12f x f x -≤，则12212222x x x x ⎧-≥⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得113x -<≤.因此，不等式()()12f x f x -≤的解集为11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选B.10.【详解】当()x g x <，即22x x <-，()()210x x -+>时，2x >或1x <-，2()()424f x g x x x x =++=-++222(0.5) 1.75x x x =++=++，其最小值为()12f -=，无最大值，因此这个区间的值域为：()2,+∞； 当()x g x ≥时，12x -≤≤，22()()2(0.5) 2.25f x g x x x x x =-=--=--， 其最小值为()0.5 2.25f =-，其最大值为()20f =，因此这区间的值域为：9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，综合得函数值域为：()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦，故选D.二、多选题11. ABCD 12. AD 13. BC 14. ABD11. 解：函数,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩在()0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递增，但是()f x 在R 上不是增函数.所以A 不正确；当0a b ==时，函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，所以B 不正确； 当0a b c =>>时，推不出ab ac >，所以C 不正确；1y x =+和y =，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以不是相同的函数，所以D 不正确；故选：ABCD. 三、填空题15. 0 16. 7 17. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭18. ①④ 17.【详解】当1x ≥时，10x -≥，则()()210f x x =-≥，则函数()y f x =在区间[)1,+∞上的值域为[)0,+∞.又∵函数()y f x =的值域为R ，则函数()123y a x a =-+在(),1-∞上单调递增，当1x <时，()()1231231f x a x a a a a =-+<-+=+.所以，函数()y f x =在区间(),1-∞上的值域为(),1a -∞+，由题意可得()[),10,a R -∞++∞=，∴12010a a ->⎧⎨+≥⎩，解得112a -≤<.因此，实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.四、解答题19. 解：（1）由题可得101042x x x-≠⎧⎪+⎨≥⎪-⎩，解得12x -≤<且1x ≠，所以函数()f x 的定义域{}121A x x x =-≤<≠且，因为对任意x R ∈，20x ≥，所以211x -+≤，所以函数()g x 的值域{}1B y y =≤，∴{}11AB x x =-≤<.（2）由B C B =知C B ⊆，当23a a >+，即3a >时，C =∅，满足条件； 当23a a ≤+，即3a ≤时，31a +≤，∴2a ≤-. 综上，3a >或2a ≤-.20. 解析：（1）设0x <，则0x ->，∴23()1x f x x -+-=-+.又∵()f x 是R 上的奇函数，∴23()()1x f x f x x -+-=-=-+，∴23()1x f x x -+=-.又∵奇函数在0x =时有意义，∴()00f =，∴函数的解析式为23,01()0,023,01x x x f x x x x x -+⎧<⎪-⎪==⎨⎪+⎪>+⎩.（2）证明：设()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则()()121212232311x x f x f x x x ++-=-++()()()()()()12211223123111x x x x x x ++-++=++ ()()121211x x x x -+=++.∵()12,0,x x ∈+∞，12x x <，∴110x +>，210x +>，210x x ->，∴()()120f x f x ->， ∴()()12f x f x >，∴函数()f x 在()0,+∞上为减函数.21. 解：（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时，()1,3x ∈. 由31x -<得24x <<，即q 为真时，()2,4x ∈. 由p 与q 均为真命题，可知实数x 的取值范围是()2,3.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，∵0a >，∴3a x a <<. 由31x -<得24x <<.设{}3A x x a x a =≤≥或，{}24B x x x =≤≥或，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则A 是B 的真子集.所以0234a a <≤⎧⎨≥⎩，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.【解析】（1）若1a =时，22()211412(1)2(1)9111f x x x x x x y x x x -+-+---+===---9(1)241x x =-+-≥-，当且仅当()911x x -=-，即4x =时取得等号. 故()2111f x x y x -+=-的最小值为4.（2）①当0a =时，不等式的解为1x <.②当0a ≠时，令2(1)10ax a x -++=解得11x =，21x a=. 当0a <时，11a<，解2(1)10ax a x -++>得11x a <<.当0a >时，若11a>，即01a <<解原不等式得1x a >或1x <.若11a<，即1a >解原不等式得1x a <或1x >.若11a=，即1a =解原不等式得1x ≠. 综上：当0a =时，不等式解集为{}1x x <；当0a <时，不等式解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；1a >时，不等式解集为11x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.01a <<时，不等式解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.1a =时，不等式解集为{}1x x ≠. 23. 解：（1）令0x y ==可得()00f =，令2x =，1y =，∴()()221f f =，∴()()()12316f f f +==，∴()12f =；（2）令0x =，∴()()()00f f y f y =+-=，∴()()f y f y -=-，即()()f x f x -=-， ∴函数()f x 是奇函数.（3）∵()f x 是奇函数，且()2(1)0f kx x f x ++-<在1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时恒成立， ∴()2(1)f kx x f x +<-在1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时恒成立，又∵()f x 是R 上的增函数，∴21kx x x +<-即212kx x <-在1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时恒成立. ∴2112k x x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时恒成立.令22111()211g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴()11,2x ∈.由抛物线图象可得()10g x -<<，∴1k ≤-.则实数k 的取值范围为(],1-∞-.。