数列ppt课件
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《数列概念》课件
《数列概念》PPT课件
数列是一系列按一定规律排列的数值。本课件将介绍数列的基本概念，不同 类型的数列，以及数列的应用。
什么是数列
数列是一系列按照特定规律排列的数值，可以通过公式或递推关系来表示。 数列的概念在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列的基本形式
1 等差数列
数列中的每个数与它前一个数之差相等。
等差数列的求和公式
求和公式：Sn = n/2[2A1 + (n-1)d]，其中Sn表示前n项和，A1表示第一项，d 表示公差。
等比数列
等比数列是一种数列，其中每个数与它前一个数之比相等。可使用通项公式和求和公式来计算等比数列 的任意项和总和。
等比数列的通项公式
通项公式：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。
单调有界数列的极限
根据单调有界数列的性质，可以推导出单调有界数列必定存在极限。极限可以是数列的最大值或最小值。
数列的应用
数列不仅在数学中有广泛应用，还在其他学科和实际生活中有很多应用，如 物理学、经济学、生态学等。
数列在物理学中的应用
物理学中的许多自然现象可以用数列来描述和解释，如运动轨迹、震动频率、 量子力学等。数列为解决实际问题提供了重要数学工具。
斐波那契数列的递推公式
递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
斐波那契数列的通项公式
通项公式：F(n) = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)，其中phi = (1 + sqrt(5)) / 2。
序列的极限
极限是数列中数值随着项数无限增加时的趋势或稳定值。极限理论既是数学学科中的重要内容，也有广 泛的应用。
数列数列的概念ppt课件
当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《数列的定义》课件
数列的基本性质
数列具有很多有趣的性质，包括有界性、有序性、递增性或递减性等。这些 性质对于研究数列的规律和特点非常重要。
等差数列的定义和性质
等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差都相等。它具有一些 独特的性质，例如公式推导、通项公式和求和公式等。
等比数列的定义和性质
等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比都相等。它也具有一 些独特的性质，例如公比、通项公式和求和公式等。
《数列的定义》PPT课件
通过本PPT课件，我们将深入探讨数列的各个方面，从定义到性质，从常见 题型到思维拓展，帮助您系统地理解和运用数列。
数列的定义
数列是按照一定顺序排列的一列数字或数学对象组成的序列。它是数学研究中常见的ห้องสมุดไป่ตู้本概念之一，具有广泛 的应用。
数列的符号表示
数列可以用一对花括号{}表示，括号内是数列的各项。例如：{1, 2, 3, 4, 5}表 示一个数列，其中的每一项依次是1, 2, 3, 4, 5。
斐波那契数列的定义和性质
斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。它具有一些有趣的性质和应用，例如黄金分割 比例、自然界中的现象等。
数列的求和公式
当我们需要求解数列的前n项和时，可以利用数列的求和公式来简化计算。不同类型的数列有不同的求和公式， 大大提高计算效率。
数列的通项公式
通项公式是描述数列中任意一项与项数n之间的关系的公式。掌握数列的通项 公式能够快速计算任意项的数值，便于问题的分析和解决。
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数学：21《数列》课件(苏教版必修
总结词
详细描述
总结词
详细描述
等比数列是一种常见的数列 ，其相邻两项的比是一个常 数。
等比数列的定义是每一项与 它的前一项的比等于同一个 常数的一种数列。这个常数 被称为公比，通常用字母q 表示。例如，数列1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，公比 q=2。
等比数列的性质包括无限性 、变号性和无界性。
数列在实际生活中的应用
金融领域
数列在金融领域的应用非常广泛，如计算复利、 评估投资风险、计算保险费等。
自然现象
数列在自然界中也有很多应用，如蜂房的结构、 植物生长的规律等都与数列有密和解密信息 、设计算法等。
数列的数学建模与解决实际问题
建立数学模型
通过观察和分析实际问题的规律和特征，可以建立数列的数学模 型，从而将实际问题转化为数学问题。
等差数列的定义与性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性和递减性。
详细描述
等差数列的对称性是指如果一个数列是等差的，那么它的任意一项和它对称位置 的项的和是一个常数，这个常数等于首项和末项的和。递增性是指如果公差d>0 ，那么数列是递增的；递减性是指如果公差d<0，那么数列是递减的。
等比数列的定义与性质
和应用这些公式。
数列求和与其他知识点的结合
02
如数列求和与不等式、方程等的结合，需要综合运用各种知识
点来解决问题。
数列求和在实际问题中的应用拓展
03
除了传统的等差数列和等比数列问题，还可以拓展到解决一些
新颖的实际问题，如预测股票价格等金融问题。
05
数列的综合应用
数列与其他数学知识的结合
数列与函数
在日常生活方面，等差数列和等比数列的应用包括计算存款利息、评估投资风险、编制预算等等。在科学研究方 面，等差数列和等比数列的应用包括研究物理现象（如振动、波动）、生物繁殖、化学反应等等。此外，在计算 机科学、统计学、信息论等领域中也有广泛应用。
数列复习专题精选完整版ppt课件
数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--存在性问题
注：（1）不等式恒成立与最值问题相关联：确定变量最大或最小（2）数列最值问题关联：单调数列特征，或数列取值正负变化特征，或数列二次函数特征（3）恒成立问题：推理论证（4）存在性问题：寻找，特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题：
2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）
递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用：
数 列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列：
特殊数列：等差数列
特殊数列：等差数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列：等比数列
特殊数列：等比数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用：正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结：（1）高考卷选择填空题型：等差等比比重大，一般数列通项或和，新定义与创新型问题（2）高考数列解答题：通项、前n项和，★递推问题，不等式证明（3）含参数问题：取值或范围，最值问题（4）重点问题：特殊数列、递推问题等
《数列的基本知识》课件
数列的性质
1 有界性
数列可能是有界的，即存 在上界和下界。
2 递增性/递减性
数列可以按顺序递增或递 减。
3 周期性
某些数列可以具有周期性， 其中一组数重复出现。
等差数列
等差数列是一种数列，其中每个后续项与前一项之差都相等。 • 常用于等距离时间间隔或等额递增的问题。 • 通项公式：an = a1 + (n - 1)d • 求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)
数列在实际问题中的应用
数列广泛应用于金融、人口统计、科学研究和工程领域，帮助解决实际问题。 了解数列的性质和应用，可以提升问题解决和分析能力。
《数列的基本知识》PPT 课件
欢迎来到《数列的基本知识》课件。在本课程中，我们将探讨数列的定义、 性质以及常见类型，以及它们在实际问题中的应用。
什么是数列
数列是按一定顺序排列的一组数。它们可以是等差数列、等比数列、幂次数 列、倍数数列或递推数列。
数列的定义
数列是按照一定规律排列的数字序列。它可以是有限的或无限的，每个数字 被称为数列的项。
数列的收敛与发散
数列可能会趋于某个有限值（收敛），或者无限增加或减少（发散）。 例如，格里高利级数和调和级数就是两个发散的数列。
数列的重要定理与应用
数列的重要定理包括数列极限定理、子数列收敛定理等，这些定理在数学分析和实际应用中具有重要意义。
数列的图形表示
数列可以使用直线图、折线图或散点图来显示其项和规律。 图形表示可以更直观地展示数列的性质和变化。
金融与投资
数列可以用于计算复利、投资回报率等金融问题。
人口和经济学
数列可以帮助预测人口增长、GDP增长等。
科学研究
数列_课件PPT
④各项符号特征和绝对值特征等，并对此进行 归纳，猜想．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
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a1+a6=12,a4=7求a9 a9=17
例2. 在等差数列{an}中 (1) 若a3＋a8＝m, 求a5＋a6. (2)若a3＋a4+ a5＋a6+a7=450,
求a2+a8
练习
a a a a 在等差数列﹛an﹜中,若 2+ 3+ 10+ 11=36 求a5+a8和a6+a7
1+2+3+…+98+99+100=？
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
Байду номын сангаас
所以S100= 12(1+100)×100 =5 050
？总和 1 ( 首？项 ＋ ？尾项 ） ？项数
2
这就是等差 数列前n项和
Sn
n(a1 2
an )
的公式！
1.等差数列前n项和Sn公式的推导； 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.
3. 有几种方法可以计算公差d:
d an an1
复习引入
3. 有几种方法可以计算公差d:
d an an1 d an a1
n1
3. 有几种方法可以计算公差d:
d an an1 d an a1
n1
d an am nm
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
解
析
：
法
一
：
an bn
＝
2an 2bn
＝
a1＋a2n－1 b1＋b2n－1
＝
S2n－1 T2n－1
＝
22n－1 32n－1＋1
＝
2n－1 3n－1.
法二：令 n＝1，只有 B 项符合．
答案：B
例2 已知一个等差数列an 前10项的和是310，前20项
的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项 和的公式吗？
高斯10岁时曾很快算出这一结
果，如何算的呢？
高斯
我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
探究点1：等差数列的前n项和公式
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
+ +++
+ + +加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 法
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 与d的二元一次方程，由此可以求得
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
A a b a, A, b 2
即a, A, b成等差数列.
即A a b A,
练习
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差 数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
解这个关于a1与d的方程组，得到
a1 = 4，d = 6,
所以Sn
=
4n
+
n（n - 1）×6 2
=
3n2
+
n.
技巧方法： 此例题的目的是建立等差数列前n 项和与方程组之间的联系.已知几 个量，通过解方程组，得出其余的 未知量.
让我们归 纳一下！
例3 已知数列an 的前n项和为Sn
n2
1 2
n，求这个数
说明：两个求和公式的使用——知三求一.
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
Sn
n(a1 2
an ) .
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an,
即Sn=a+n an-1+an-2+…+a3+ a2 +a1,
两式相加得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
等差数列
概念，通项公式，前n项和
概念引入
按一定的次序排成的一列数叫做数列,等 差数列相邻两项之差为。定值.
2.写出下列数列的通项公式：
1. 2 2. 8 3. 0
5 8 11 14 4 0 -4 -8 1 3 7 15
3n-1 第n个数 。。。。 规律
2
观察与思考 ：下面的几个数列相邻两项有什么共同点：
练习
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
c 数列，若an＝2005，则n＝( )
A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
1. 性质
在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别地， 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
练习
例1. 在等差数列｛an｝中，已知
(1) 5，5，5，5，5，5，… (2) 4，5，6，7，8，9，10. (3) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2
a a a a a a a a a a ... =d
21 32 43
n n1 n1 n
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首
项与公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 + …+ an-1 + an与 Sn-1 = a1 + a2 + …+ an-（1 n > 1），
可知，当n > 1时，
an = Sn - Sn-1
= n2 + 1 n -[（n - 1）2 + 1（n - 1）]= 2n - 1 .
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 推导出公式：an＝am＋(n－m)d .
探例究题点1：2：等等差数差列数{a列n}，的{前bn}n的项前和n 公项和式分的别其为他Sn形，T式n，若STnn
＝3n2＋nS1n，则（ nabnn＝a1(2 an) )
A. 23 ana1(n1)dB.23nnS－－n 11
C.23nn＋＋11
D.23nn－＋14
na1
（ n n 2
1)
d
例2. 在等差数列{an}中 (1) 若a3＋a8＝m, 求a5＋a6. (2)若a3＋a4+ a5＋a6+a7=450,
求a2+a8
练习
a a a a 在等差数列﹛an﹜中,若 2+ 3+ 10+ 11=36 求a5+a8和a6+a7
1+2+3+…+98+99+100=？
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
Байду номын сангаас
所以S100= 12(1+100)×100 =5 050
？总和 1 ( 首？项 ＋ ？尾项 ） ？项数
2
这就是等差 数列前n项和
Sn
n(a1 2
an )
的公式！
1.等差数列前n项和Sn公式的推导； 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.
3. 有几种方法可以计算公差d:
d an an1
复习引入
3. 有几种方法可以计算公差d:
d an an1 d an a1
n1
3. 有几种方法可以计算公差d:
d an an1 d an a1
n1
d an am nm
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
解
析
：
法
一
：
an bn
＝
2an 2bn
＝
a1＋a2n－1 b1＋b2n－1
＝
S2n－1 T2n－1
＝
22n－1 32n－1＋1
＝
2n－1 3n－1.
法二：令 n＝1，只有 B 项符合．
答案：B
例2 已知一个等差数列an 前10项的和是310，前20项
的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项 和的公式吗？
高斯10岁时曾很快算出这一结
果，如何算的呢？
高斯
我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
探究点1：等差数列的前n项和公式
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
+ +++
+ + +加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 法
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 与d的二元一次方程，由此可以求得
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
A a b a, A, b 2
即a, A, b成等差数列.
即A a b A,
练习
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差 数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
解这个关于a1与d的方程组，得到
a1 = 4，d = 6,
所以Sn
=
4n
+
n（n - 1）×6 2
=
3n2
+
n.
技巧方法： 此例题的目的是建立等差数列前n 项和与方程组之间的联系.已知几 个量，通过解方程组，得出其余的 未知量.
让我们归 纳一下！
例3 已知数列an 的前n项和为Sn
n2
1 2
n，求这个数
说明：两个求和公式的使用——知三求一.
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
Sn
n(a1 2
an ) .
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an,
即Sn=a+n an-1+an-2+…+a3+ a2 +a1,
两式相加得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
等差数列
概念，通项公式，前n项和
概念引入
按一定的次序排成的一列数叫做数列,等 差数列相邻两项之差为。定值.
2.写出下列数列的通项公式：
1. 2 2. 8 3. 0
5 8 11 14 4 0 -4 -8 1 3 7 15
3n-1 第n个数 。。。。 规律
2
观察与思考 ：下面的几个数列相邻两项有什么共同点：
练习
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
c 数列，若an＝2005，则n＝( )
A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
1. 性质
在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别地， 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
练习
例1. 在等差数列｛an｝中，已知
(1) 5，5，5，5，5，5，… (2) 4，5，6，7，8，9，10. (3) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2
a a a a a a a a a a ... =d
21 32 43
n n1 n1 n
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首
项与公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 + …+ an-1 + an与 Sn-1 = a1 + a2 + …+ an-（1 n > 1），
可知，当n > 1时，
an = Sn - Sn-1
= n2 + 1 n -[（n - 1）2 + 1（n - 1）]= 2n - 1 .
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 推导出公式：an＝am＋(n－m)d .
探例究题点1：2：等等差数差列数{a列n}，的{前bn}n的项前和n 公项和式分的别其为他Sn形，T式n，若STnn
＝3n2＋nS1n，则（ nabnn＝a1(2 an) )
A. 23 ana1(n1)dB.23nnS－－n 11
C.23nn＋＋11
D.23nn－＋14
na1
（ n n 2
1)
d