中考梳理_第五章_第3讲_解直角三角形
九年级数学复习解直角三角形山东教育版知识精讲
九年级数学复习解直角三角形某某教育版【本讲教育信息】一、教学内容复习解直角三角形二、学习目标：1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用锐角三角函数来表示直角三角形中两边的比。
2. 熟记30、45、60角的各个三角函数值，会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊角的三角函数值计算角。
3. 理解并掌握直角三角形中边、角之间的关系，会用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数解直角三角形。
4. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单实际问题，进一步理解数形结合的思想。
三、重点、难点重点理解锐角三角函数，应用其解直角三角形；难点是解决一些生活实际问题。
（一）熟练掌握直角三角形的边角关系如图，ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：=A sin ba A tan ,cb A cos ,c a ==，所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。
解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： 类型已知条件 解法两边两直角边a ，bA90B ,b aA tan ,b a c 22-︒==+= 一直角边a ，斜边cA90B ,c aA sin ,a c b 22-︒==-=一边、一锐角一直角边a ，锐角A斜边c ，锐角AA cos c b ,A sin c a ,A 90B ⋅=⋅=-︒=（二）弄清解直角三角形的涵义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1. 隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件。
2. 已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形。
因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形的大小，更无法求其边长，所以不能解三角形。
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
初三数学知识点讲解解直角三角形
初三数学知识点讲解解直角三角形
下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的初三数学知识点讲解解直角三角形，希望可以帮助到同学们!
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
【一】三角函数
1.定义：在Rt△ABC中，C=Rt，那么sinA= ;cosA= ;tgA=
;ctgA= .
2. 特殊角的三角函数值：
0 30 45 60 90
sin
cos
tg /
ctg /
3. 互余两角的三角函数关系：sin(90-)=cos
4. 三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
【二】解直角三角形
1. 定义：边和角(两个，其中必有一边)所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
【三】对实际问题的处理
1. 俯、仰角：
2.方位角、象限角：
3.坡度：
4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
【四】应用举例(略)
由精品小编整理的初三数学知识点讲解解直角三角形就到这里了，希望同学们喜欢!。
2017中考数学整理复习第五章 解直角三角形PPT课件
1 2
3 2
3 3
1 2
1
3
3．巧记特殊角的三角函数：正弦、余弦分母为2， 分子是“ 1， 2 ， 3 ，3 ，2 ，1”；正切 1 、 3 1、 3 ．
4．同角公式： sina = cos （90 － a ） ，cosa = sin （90 －a）；
sin a tana = ； cos a
考点2：特殊角的三角函数值 2 例 2．式子 2cos30°－tan45°－ (1 tan 60） 的 值是（ B ） A． B． 0 2 3 －2
C． 2 3 D． 2
【举一反三】2．（2013· 邵阳）在△ABC中，若
1 1 sinA cosB 0 ，则∠C的度数是（ D ） 2 2
【举一反三】1．如右下图，小明家在A处，门前有 一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的 小路． 现新修一条路AC到公路l．小明测量出 ∠ACD = 30°，∠ABD=45°，BC =50m．请你 帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度．（精 确到0.1 m．参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）
cos2a+ sin2a =1．
课堂精讲
考点1：锐角三角函数的意义 例1．如右图，已知在Rt△ACB中，∠C =90°，
AB=13，AC = 12，则cosB的值为
5/13 ．
【举一反三】 1．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD是BC边上 的中线，BD=4，AD = 2 5 ，则tan ∠CAD的值是 （ A ） A． 2 B． 2 C． 3 D． 5
解：过C作CD丄AB于D， 在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30° ∴DC=ACsin30°=5，AD=AC cos30°= ， 5 3 在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC= ， 5 2 5 2 则用AC+BC－（AD+BD）=10+ －（ +5 5） 3
初三数学解直角三角形知识点总结
2019年初三数学解直角三角形知识点总结
鉴于数学知识点的重要性，小编为您提供了这篇2019
年初三数学解直角三角形知识点总结，希望对同学们的数学有所帮助。
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1.定义：在Rt△ABC中，C=Rt，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2. 特殊角的三角函数值：
0 30 45 60 90
sin
cos
tg /
ctg /
3. 互余两角的三角函数关系：sin(90-)=cos
4. 三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1. 俯、仰角：
2.方位角、象限角：
3.坡度：
4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例(略)
这篇2019年初三数学解直角三角形知识点总结是精品小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!。
初三数学知识点讲解解直角三角形
初三数学知识点解说—解直角三角形下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的初三数学知识点解说解直角三角形，希望可以帮助到同学们!★ 重点★解直角三角形☆ 内容纲要☆一、三角函数1.定义：在 Rt△ ABC 中，C=Rt ，则 sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .2.特别角的三角函数值：030456090sincostg /ctg /3.互余两角的三角函数关系： sin(90-)=cos4.三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1.定义：已知边和角(两个，其中必有一边)所有未知的边和角。
2.依据：①边的关系：②角的关系： A+B=90③边角关系：三角函数的定义。
第1页/共3页注意：尽量防备使用中间数据和除法。
三、对实责问题的办理照本宣科是一种传统的授课方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的睁开,照本宣科被作为一种僵化的、阻拦学生能力发展的授课方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面 ,老师们又为提高学生的语文涵养沥尽心血。
其实,只要应用适合 , “死记硬背”与提高学生素质其实不矛盾。
相反,它正是提高学生语文水平的重要前提和基础。
1. 俯、仰角： 2.方向角、象限角：3.坡度：“教书先生”生怕是街市百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人敬慕甚或敬畏的一种社会职业。
可是更早的“先生”看法其实不是源于教书，最初出现的“先生”一词也其实不是有教授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？” 等等，均指“先生”为父兄或有学问、有道德的长辈。
其实《国策》中自己就有“先生长辈，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真切的“教师”之意，倒是与此刻“先生”的称呼更凑近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，其实不是具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记录，首见于《礼记 ?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之教授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
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1
2
A.2
B. 2
3 C. 2
答案：C 4.计算：cos245°＋sin245°＝( )
1
1
A.2
B.1
C.4
答案：B
D. 3 2
D. 2
新中考系列
5.(2017
年贵州毕节)计算：－
33－2＋(π－
2)0－|
2－
3|
＋tan 60°＋(－1)2017.
解：原式＝－1332＋1＋ 2－ 3＋ 3－1 ＝3＋1＋ 2－ 3＋ 3－1＝3＋ 2.
AC＝6 cm，则 BC 的长.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
[名师点评]求解锐角三角函数通常蕴含一定的图形背景(网
格、平行线、三角形、圆等)，通过相关角、线段的转化或构建
特殊的直角三角形进行求解.
新中考系列
特殊角的三角函数值的计算 3.cos 30°的值等于( )
∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则
sin∠BAC＝BACB＝
5 5.
答案： 5 5
[易错陷阱]根据三角函数的定义求三角函数值时，一定要 在直角三角形内求解，可利用辅助线构造直角三角形，也可利
用几何图形的性质将该角转移到直角三角形中.
新中考系列
【试题精选】
1.(2018 年湖北宜昌)如图 5-3-5，要测量小河两岸相对的两
新中考系列
【试题精选】
6.(2018 年吉林长春)如图 5-3-7，某地修建高速公路，要从
A 地向 B 地修一条隧道(点 A，B 在同一水平面上).为了测量 A，
B 两地之间的距离，一架直升机从 A 地出发，
垂直上升 800 米到达 C 处，在C处观察B地的
俯角为α，则 A，B 两地之间的距离为( ) A.800sin α 米 B.800tan α 米 C.s8in00α米
点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，
测得 PC＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于( )
A.100sin 35°米
B.100sin 55°米
C.100tan 35°米
D.100tan 55°米
图 5-3-5
答案：C
新中考系列
2.(2016 年湖南怀化)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝45，
新中考系列
锐角三角函数的概念及求值 例 1：(2018 年山东德州)如图 5-3-4，在 4×4 的正方形方格 图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上， 则∠BAC 的正弦值是________.
图 5-3-4
新中考系列
解析：∵AB2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋ 22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2.
新中考系列
第3讲 解直角三角形
新中考系列
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A， cos A，tan A)知道 30°，45°，60°角的三角函数值.
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三 角函数值求它对应的锐角.
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一 些实际问题.
新中考系列
1.在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则 cos∠A＝ ________________.
答案：45 2.(2017 年湖南郴州)计算：2sin 30°＋(π－3.14)0＋|1－ 2| ＋(－1)2017＝____________. 答案： 2
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3.(2017 年湖北宜昌)△ABC 在网格中的位置如图 5-3-1(每 个小正方形边长为 1)，AD⊥BC 于点 D，下列选项中，错误的 是( )
解直角三角形 及其应用 解直角三角
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2; (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
形的理论依 据
(3)边角之间的关系：sin A＝ac，cos A＝bc， tan A＝ba
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(续表)
知识点
内容
(1)仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角.
俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角.
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1.(2016 年广东)如图 5-3-11，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为(4,3)，那么 cos α的值是( )
图 5-3-11
A.34
B.43
C.35
D.45
答案：D
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2.(2015 年广东)如图 5-3-12，已知锐角三角形 ABC. (1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D(用尺规作图 法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)条件下，若 BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝34，求 DC 的长.
到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距
离(即 PC 的长)为( )
图 5-3-8
A.40 海里 B.60 海里 C.20 3海里 D.40 3海里
答案：D
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8.(2018 年广西南宁)如图 5-3-9，从甲楼底部 A 处测得乙楼 顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的 俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120 m ，则乙楼的高 CD 是 ________m.(结果保留根号)
解：设每层楼高为 x m， 由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m). ∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1. 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝tDanC6′0°＝ 33(5x＋1).
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在 Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°， ∴C′B′＝taEnC3′0°＝ 3(4x＋1). ∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB， ∴ 3(4x＋1)－ 33(5x＋1)＝14. 解得 x≈3.17，则居民楼高为 5×3.17＋2.5＝18.4(m). 答：居民楼的高度为 18.4 m. [名师点评]本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角 问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解决本题的关键.
[名师点评]在锐角的条件下，特殊角的三角函数值可以正、 反联用.关键是要理解三角函数的概念要领和熟记特殊角(30°， 45°，60°)的三角函数值.
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解直角三角形及其应用
例 2：(2017 年山东潍坊)如图 5-3-6，某数学兴趣小组要测
量一栋五层居民楼 CD 的高度.该楼底层为车库，高 2.5 m；上
面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地 1.5 m，在 A 处测
得五楼顶部点 D 的仰角为 60°，在
B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°，
AB＝14 m.求居民楼的高度.(精确到
0.1 m，参考数据： 3≈1.73)
图 5-3-6
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[思路分析]设每层楼高为x m，由MC－CC′求出MC′的 长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中， 利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′， 由 C′B′－C′A′求出 AB 的长即可.
垂线所夹的角，叫做观测的方向角
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(续表)
知识点
内容
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图 形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它 解直角三角 们之间的关系，把实际问题转化为解直角 解直角三角形 及其应用 形实际应用 三角形问题； 的一般步骤 (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、 准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符 合实际意义，从而得到问题的解
答案：40 3
图 5-3-9
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9.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图5-3-10， 加固前拦水坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB＝12 米， 背水坡面 CD＝12 3米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为 梯形 ABED，tan E＝133 3，则 CE 的长为________米.
答案：C
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5.(2017 年广西南宁)如图 5-3-3，一艘海轮位于灯塔 P 的南 偏东 45°方向，距离灯塔 60 n mile 的 A 处，它沿正北方向航行 一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处，这 时，B 处与灯塔 P 的距离为( )
A.60 3 n mile C.30 3 n mile
A.sin α＝cos α C.sin β＝cos β 答案：C
图 5-3-1 B.tan C＝2 D.tan α＝1
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4.(2017 年山东烟台)如图 5-3-2，数学实践活动小组要测量 学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼 房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得 点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为(结果精确到 0.1 米， 2≈1.414)( )
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比
解直角三角形 及其应用
仰坡和角度方、、向俯坡角角角、叫坡表做角示坡：，度坡则面有(或与i＝者水t叫a平n做α面.坡的比夹)，角用叫字做母坡i表角示，.用α
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条
水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为
北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅
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[名师点评]在实际工程、测量等问题中，关键是将实际问 题转化为数学模型，往往把计算角度、线段的长、图形的面积 等问题转化为解直角三角形中边与角的问题，利用三角函数的 知识解决问题.而在解直角三角形的情境应用中，需要发挥条件 中的角度、平行、垂直等信息的作用，有时需要像上面这样构 造新的直角三角形才能求出问题的解.
图 5-3-10
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解析：分别过 A，D 作 AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为 F， G，如图 D83.