2005年高考数学试题综述
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2005年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题精析详解(河北、河南、安徽、山西)
2005 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页。
第Ⅱ卷3到 10 页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件 A 、 B 互斥，那么球是表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2如果事件 A 、 B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P( A B)P( A) P( B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P，那么V4R33n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径P n (k) C n k P k (1 P) n k一．选择题（1）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且 S1S2 S3I ，则下面论断正确的是（）（A）C I S1（S2S3）（B）S1（C I S2C I S3）（C）C I S1C I S2C I S3（D）S1（C I S2C I S3）【解析】∵ C I S2C I S3C I (S2S3 ) 所表示的部分是图中蓝色的部分，C I S I所表示的部分是图中除去S1的部分，∴C I S1C I S2C I S3C I S I C I (S2S3 )，故选 C．【点拨】利用韦恩图求解．（2）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（A）8 2（B）8（C）4 2（D）4解：∵截面圆面积为πr1，O 1，∴截面圆半径∴球的半径为 ROO 12r 22 ，O∴球的表面积为 8π，故选Ｂ．（3）函数 f (x)x 3 ax 2 3 x 9，已知 f ( x) 在 x3 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ） 4 （D ）5解： f( x) 3x 22ax 3 ,令 f (x) |x 3 (3x 22ax 3) |x 3 =0,解得 a=5,选 (D)（4）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为1 的正方形，且ADE 、 BCF 均为正三角形， EF ∥ AB ， EF=2 ，则该多面体的体积为（ A ）2（ B ）333（C ）4（ D ） 332解：如图 ,过 A 、 B 两点分别作 AM 、BN 垂直于 EF ，垂足分别为 M 、N ，连结 DM 、 CN ，可证得 DM ⊥EF 、CN ⊥EF ，多面体 ABCDEF 分为三部分，多面体的体积 V 为VABCDEFV AMD BNCV EAMDV F BNC ，∵NF 1 ， BF 1 ，∴ BN 3 ，2 2作 NH 垂直于点 H ，则 H 为 BC 的中点，则 NH2 ，∴ S BNC 1BCNH2，∴22412 ，EMNFV F BNCS BNC NF324CDHABV E AMDV F BNC2 ， V AMD BNC S BNC MN2，∴ V ABCDEF2 ，故选 A ．2443（5）已知双曲线 xa2 y 2 1 (a 0) 的一条准线为 x32，则该双曲线的离心率为2（ A ） 336 （ D ）2 32（ B ）（C ）322解：由 x2y 2 1 (a0) 得 b1，∴ a 2 1 c 2 ，抛物线 y 26x 的准线为 x3 ，因a 22x 2 y 21 (a0) 的一条准线与抛物线 y 2a 2 3 ，解为双曲线26x 的准线重合， 所以2ac得 c 2，所以a 3 ，所以离心率为c223e3，故选 D．a3（6）当0x时，函数 f ( x)1cos2 x8sin 2x的最小值为2sin 2x （A）2 （B）2 3（C）4 （D）4 3解： f ( x)1cos 2x 8sin 2 x 2 cos2 x8sin 2 x cos x 4 sin xsin 2x 2 sin x cos x sin x cos x2 c o sx 4 s i nx 4 ，当且仅当cosx4sin x，即 ant x1时，取“ ”，s i nx c o sx sin x cos x2∵ 0 x π14 ，故选(C)．，∴存在 x 使tan x，这时 f ( x)max22（7）y2x x 2(1 x2) 反函数是（A ）（C）y11x 2(1x1)y11x 2(1x1)（B ）（D ）y11x 2(0x1)y11x2(0x1)解：由y2x x2 (1 x2) ,得x 1 1 y 2 (0 y 1) ,故y2x x 2(1x2) 的反函数为f1 (x)1 1 x2 (0x1) ,选(D)（8）设0a1，函数 f (x)log a ( a2 x2a x2) ，则使 f ( x)0的x的取值范围是（A）(,0)（B）(0, )（C）(, log a3)（ D）(log a3,)解：∵ 0a1， f (x) 0 ，∴ a 2x2a x2 1 ，解得 a x3或 a x1（舍去），∴ a log a 3，故选 C．（9）在坐标平面上，不等式组y x1所表示的平面区域的面积为y 3 x1（A）2332（D）2（B）（ C）22y解：原不等式化为y x 1或y x1，O1y3x1, (x0)y3x 1,( x0)1 B1x， B(1,1) ，所表示的平面区域如右图所示，A(1,2)A22∴ S3，故选 B2A B（10）在 ABC 中，已知 tanC ，给出以下四个论断：2 sin① tan A cot B 1② 0 sin A sin B 2③ sin 2 Acos 2 B 1④ cos 2 A cos 2 Bsin 2 C其中正确的是（A ）①③（ B ）②④（C ）①④（ D ）②③解：∵ tanABtan πCcotCcosC2 sin C cos C，2， sin C222 C2 2sin2∴ sinC2，∴C90 ，22∵ tan A cot Btan2A ，∴①不一定成立，∵ sin Asin Bsin A cos A2 sin( A) ，∴ 0 sin Asin B2 ，∴②成立，∵ sin 2 A cos 2 B sin 2 A sin 2 A 2sin 2 A ，∴③不一定成立，∵ cos 2 Acos 2 B cos 2 A sin 2 A 1 sin 2 C ，∴④成立，故选 B ．（11）点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点 O是 ABC 的（ A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（ C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点解： OA OB OB OC OC OA ,即得OA OBOC OA ,OB(OBBA) (OB BC)(OB BA即 BC(OB BA) 0 ,故BC OA 0 , BC OA ,同理可证 AC OB ,∴ O 是ABC 的三条高的交点 ,选 (D)（12）设直线 l 过点 ( 2,0) ，且与圆22相切，则l 的斜率是x y 1（A ） 1（B ）1（ C ）3323（ D ）解：设过点( 2,0) ，且与圆 x 2y 2 1相切的直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为：y-kx+2k=0,k 满足： 1=| 2k | 得 k= 3 ,选(D).1 k 23第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2005年高考数学试卷
(三)举例
本小题满分14分 第22题:(本小题满分 分,第一小问 题:(本小题满分 满分4分 第二小问满分10分 满分 分,第二小问满分 分)已 2 知 a ∈ R ,函数 f ( x) = x x a . (1)当 a = 2 时,求使 f ( x) = x 成立的 的 成立的x的 ) 集合; 集合; (2)求函数 y = f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最 ) 小值. 小值.
综观今年数学试卷, 综观今年数学试卷,在保持稳定的基 础上,处处体现出"新意" 础上,处处体现出"新意",新的题型设 新的结构模式,新课改的指导思想. 计,新的结构模式,新课改的指导思想. 这对今后的数学教学提出了新的要求, 这对今后的数学教学提出了新的要求,教 师不仅要象以前那样强调基础知识与解题 思路, 思路,更关键的是还要加倍重视培养学生 灵活运用所学知识与方法去分析, 灵活运用所学知识与方法去分析,解决问 题的能力.绝不能再以"题海战术" 题的能力.绝不能再以"题海战术"的形 或以教师示范, 式,或以教师示范,学生模仿为主的教学 风格去应对高考,而应是让学生更自主, 风格去应对高考,而应是让学生更自主, 更开放地去锻炼和培养自己分析问题和解 决问题的能力. 决问题的能力.
05年高考数学试卷 05年高考数学试卷 的分析与思考
一,基本情况
1.有关数据 有关数据
2004年 2004年题号 均分难源自系数一 49.6 0.83
二 12.7 0.79
三 33.26 0.45
容易题:中档题:难题=4.3:3.1: 容易题:中档题:难题=4.3:3.1:2.6
2005年 2005年
题的立体几何题,22题的函数题,23题的数列不 题的立体几何题,22题的函数题,23题的数列不 题的函数题 等式题) 等式题)
2005年高考.北京卷.理科数学试题精析详解
【名师指津】
对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用 分类
讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
第 4页 （共 19页）
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.
【答案】15 【详解】
. （用数字作答）
对于 Tr1
C6r
x
6r
(1)(x
1 2
)r
C6r
(1)4
x
(6
3 2
r
)
当r
4 时第
5
项为常数项,即
T5 C64 (1)4 15 .
【名师指津】
二项式定理第 r 1 项的通项公式 Tr1 Cn4a nrbr 的运用在往年高考中经常遇到.
12．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为
9．若 z1
a 2i, z2
3 4i,且
z1 z2
为纯虚数，则实数 a 的值为
.
【答案】 8 3
【详解】 z1 a 2i (a 2i)(3 4i) (3a 8) (4a 6)i 为纯虚数
z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
25
3a 8 0 且 4a 6 0 a 8.
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
YCY 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题 共 40 分）
2005年全国高考数学(山东卷)
2005年全国高考数学（山东卷）试卷分析田明泉一．试卷的整体评价2005年山东省高考数学自主命题继承了2004年全国高考数学试卷的命题思路和框架，遵循《考试说明》的要求，力求平稳过渡．试卷结构和长度保持不变；重点考查中学数学通性通法；试卷难度设计基本恰当；注意了文理科对应试题难度的搭配；加强了对运算能力的考查；应用性题目仍然占有适当的比例；继续坚持对新增数学内容的倾斜．整张试卷以常规题为主，中规中矩，具有一定的效度、区分度和信度．有利于稳定中学数学教学，同时也有利于为高校选拔优秀学生．1．试卷结构和长度保持不变，注重“双基”的考查1．1试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试说明》的规定一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分；填空题4个，共16分；解答题6个，共74分，全卷合计150分．1．2重点考查中学数学主干知识(见表1) ，题目不偏不怪．侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于初等数学和高等数学衔接内容和方法的考查．表1：考查知识点分布表命题坚持以中学数学的主体内容为考查的重点，以测试考生基本数学素质为目的．如有关函数、三角、立体几何、解析几何、数列、向量、导数、概率等内容在卷面上占有相当大的比例，数形结合、函数与方程、分类讨论以及递推、猜想、转化与化归的思想方法等均蕴含在各试题中，可以看出我省高考数学命题仍然坚持对中学数学主流知识和方法的考查．2．继续加强新增课程内容的考查从表1不难发现，新增数学内容：导数、概率统计、平面向量等在试卷中约占46分，约占整个卷面分数的三分之一，远远高出其在教学大纲中的课时分配所占比例（见表2，还未考虑空间向量在立体几何中的应用所占有的分值）．同时对新增数学内容的考查具有一定的广度和深度，在一些常见的数学问题中取代传统的数学方法．如用导数求函数的单调区间和极值点；利用概率考查学生应用数学的意识；用向量的方法表示长度、角度和距离等问题．借此让学生体会这部分内容在解决传统数学问题过程中的优越性，同时体现“高考支持课程改革”的命题思路．命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．与04年全国题相比，在相同题占有比例基本不变的情况下（见表3），增加了姊妹题、减少了不同题的个数和分数．如文理第（16）题都是关于判断空间线面位置关系的问题，但文科较理科要求有所降低；再如文理（22）题都是解析几何题，但是文科是以具体的数字给出的条件，而理科相应地是以字母为条件，两者化简和运算的难度拉开了档次；又如文理姊妹题（21），理科多了比较大小一问；再如文科(18)题是古典概型的应用题，对应理科的姊妹题(18)题增加了有关离散型随机变量分布列的问题，体现了文理科学生的不同要求；还有文理第（19）题，理科增加了第3问“求解有关一元二次不等式在某个区间上恒成立的问题”，提高了对理科学生数学能力的考查．由此可以看出命题者有意识的降低文科试题难度，这样处理符合当前中学数学教学以及学生的实际状况．4．适当地增加了应用题的比例今年高考题文理科各出现三小一大4个应用题和两小一大3个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年相比有所增加，难度变化不大．应该说这和当前课改的教学要求、中学应用题教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的．通过设置应用题来考查学生应用数学的意识，创设实际问题情景使考生在新的情景中实现知识迁移，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的数学素质和能力，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出考生的学习潜力．今年试卷中理（9）和文（10）各是一个概率应用问题．文理（18）分别是用概率统计的方法分析袋中取球的问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，难度适中．由此可以让学生去关心周围的社会和生活的世界．同时可以更好的实现 “新课标”中倡导的学生创新意识和实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．5．对思维能力考查的同时，对运算能力提出较高的要求 本次数学试卷的运算量明显增大．在文理科客观试题中，虽然只有少数题目运算量较大．但是，主观题的运算量却明显地加大，运算能力稍差的考生很难顺利完成试题的解答．如：理（5）文（6）、文理（12）（14）（15）（17）（18）（19）题均侧重于基本计算；文理（21）题侧重于代数式整理化简、变形的能力和技巧等．多数试题的难点大多在运算上，而不在解法上．因此，对考生的运算能力提出了较高地要求．在当前现代信息技术与中学数学整合的趋势下，特别作为数学学科，保持考查基本的运算能力还是有必要的．二．试题分析1加强“双基”落实，侧重考查通性通法今年数学试卷的一个突出特点就是大多数题目学生感到面熟，特别是选择题和填空题整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．例1：（理（1））=-+++-22)1(1)1(1i ii i （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-解析：此题主要考查学生复数的基本概念和运算．实际答题时只需解出这个复数的实部或虚部即可．原式=iii i 2121-++-，观察可知，这个复数的实部为1-．故答案为（D ）．例2：（文（1））{a n }是首项a 1=1，公差d =3的等差数列，如果a n =2005，则序号n 等于（A ）667 （B ） 668 （C ）669 （D ）670解析：此题主要考查等差数列的通项公式．由11-=-n da a n ，得669=n ．例3：（文（2））下列大小关系正确的是（A ）3.0log 34.044.03<< （B ）4.04333.0log 4.0<< （C ）4.03434.03.0log << （D ）34.044.033.0log <<解析：此题主要考查指数与对数的基本性质．4.034314.003.0log <<<<．故答案为（C ）．例4：（理（2）、文（3））函数)0(1≠-=x xxy 的反函数的图象大致是 （A ） （B ） （C ） （D ）解析：此题主要考查函数与其反函数图象的基本性质．实际解题时取几个特殊点坐标带入即可．特殊值法：利用函数与其反函数的对应关系并注意到)0,1()1,0(-↔-以及)1,0()0,1(↔即可．故答案为（B ）．例5：（理（3）、文（4））已知函数)12cos()12sin(ππ--=x x y ，则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π解析：此题主要考查三角函数的倍角公式、三角函数的图象与性质．因为，)62sin(21π-=x y ，所以其周期为π；又当12π=x 时，0=y ，所以函数的图象的一个对称中心是)0,12(π．故答案为（B ）．例6：（理（4）文（5））下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（A ）x x f sin )(= （B ）1)(+-=x x f（C ）)(21)(x x a a x f -+=（D ）xx x f +-=22ln )( 解析：此题主要考查函数的奇偶性与单调性．先由奇函数，可排除（B ）、（C ），再由函数是区间[-1，1]上的减函数，可排除（A ），故答案为（D ）．例7：（理（5）文（6））如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-解析：此题主要考查二项展开式的通项公式和基本的运算能力，考查赋值法的应用．令1=x ，得1282=n ，所以，7=n ．由r r r r rr r r xC x x C T 35777327713)1()()3(----+-=-=，令3357-=-r ，得6=r ．故第7项的系数为213)(677==C T ．例8：（理（6）文（7））函数⎩⎨⎧≥<<-=-,0,,01),sin()(12x e x x x f x π若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为(A)1 (B) 22-(C) 1，22- (D) 1，22解析：此题考查分段函数的概念．实际解题时，取选择支中的几个特殊值代入验证即可．显然，1=a 是一个解，观察选择支可知，22-是另一个解． 例9：（理（7）、文（8））已知向量,，且,65,2+-=+=27-=，则一定共线的三点是（A ）D B A 、、 (B )C B A 、、 (C )D C B 、、 (D ) D C A 、、 解析：此题主要考查向量的加法和向量共线的概念．由42+=+=2=．故答案为（A ）． 例10：（理（8）、文（9））设地球半径为R ，若甲地位于北纬︒45东经︒120，乙地位于南纬︒75东经︒120，则甲、乙两地的球面距离为（A ）R 3 (B)R 6π(C)R 65π (D) R 32π解析：此题主要考查经纬度和球面距离的概念．甲、乙两地在同一经度线上，且所对的球心角是︒120，所以甲、乙两地的球面距离为R 32π．故答案为（D ）． 例11：（理（9）文（10））10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有一人中奖的概率是（A ）103 （B ）121 （C ）21 （D ） 1211解析：此题主要考查简单的古典概型．间接法：都没有中奖的概率是12151057=C C ，故答案为（D ）． 例12：（理（13））=++-∞→222)1(2l i m n C C n nn n ． 解析：此题主要考查组合数公式及基本性质和数列极限的四则运算．原式23122)1(3lim 2=++-=∞→n n n n n ．例13：（文（13））某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 ．解析：此题主要考查分层抽样的方法，应抽取的人数=5049035070=⨯． 例14：（文理（14））设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e = ．解析：此题主要考查双曲线的准线、渐近线、焦点以及直角三角形的有关概念和性质，设l 交x 轴于点R ，则c ab c a a b PR =⨯=2，又FR PR =，则ca c c ab 2-=，解得b a =，故e =2．2渗透数学思想方法，体现选拔功能为了保证试卷具有一定的区分度，试卷中设置了部分综合性、灵活性较强、具有适当难度的试题，侧重于考查学生运用数学思想方法，分析问题和解决问题的数学能力．2．1数形结合的思想方法 例15：（理（10），文（11））设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则B A ⊂是U B A C U =⋃)(的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件解析：此题主要考查真子集和补集、全集的概念．实际解题中充分性可以利用文氏图直接进行验证；必要性的验证，只要取B A =，可知答案为（A ）．例16：（文理（12））设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l ’，若l ’与椭圆1422=+y x 的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为21的点P 的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解析：此题主要考查中心对称的概念和基本的运算能力．如果此题直接用代数的方法来解，运算较繁且容易出错．实际解题中可以通过画简图，采用数形结合的方法．不难知l ’的方程为022=-+y x ，可知在l ’的下方肯定有两个满足题设的点，设在l ’上方且与椭圆相切于P 点的直线l 1的方程为02=-+c y x ，与椭圆方程联立消去y 得044822=-+-c cx x ，令0)4(84)4(22=-⨯-=∆c c ，得82=c ，取2=c 2．计算 l 1与l ’的距离为5222-=d ，则21125)12(252121<-=-==∆d AB S PAB ．故答案为（B ）． 例17：（理（15）文（15））设x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.40,30,1223,5y x y x y x 则使得目标函数y x z 56+=的值最大的点),(y x 是 ．解析：此题是典型的线性规划问题，结合图形不难解出答案是)3,2(． 2．2方程的思想例18：（文理（17））已知向量)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=，)2,(ππθ∈528=+，求)82cos(πθ+的值．解析：∵ )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+∴22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-=+ =)sin (cos 224θθ-+=)4cos(12πθ++由已知528=+，得257)4cos(=+πθ．又 1)82(cos 2)4cos(2-+=+πθπθ，所以2516)82(cos 2=+πθ． ∵ πθπ2<<，∴ 898285ππθπ<+<． ∴ 54)82cos(-=+πθ．本小题主要考查向量运算，三角函数基本公式和简单的变形．关键是通过向量的模构造方程解出257)4cos(=+πθ，然后再利用倍角公式求出54)82cos(-=+πθ，其中方程的思想得到充分的体现．易出错的地方是根据角的范围判断三角函数值的符号．例19：（理（22））已知动圆过定点)0,2(p ，且与直线2px -=相切，其中0>p ．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且βα+为定值)0(πθθ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．解析：（Ⅰ）设动圆圆心),(y x M ，定点)0,2(pF ，则动点M 到定点F 和定直线l ：2px -=距离相等，且定点不在定直线上．法一：由抛物线定义知，动圆圆心的轨迹C 是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．其方程为：)0(22>=p px y ．法二：由2)2(22px y p x +=+-，解得动圆圆心的轨迹C 的方程为：)0(22>=p px y ．（Ⅱ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，由题意得21x x ≠（否则)πβα=+且021≠⋅x x ，2221212,2px y px y ==．所以直线AB 的斜率存在，设其方程为b kx y +=．由⎩⎨⎧+==.,22b kx y px y 得0222=+-pb py ky ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+.2,22121k pby y k p y y …………………① （1）2πθ≠时，βαβαβαθtan tan 1tan tan )tan(tan ⋅-+=+==.4)(222122122121212122112211p y y y y p y p y p y p y p x y x y x y x y -+=-+=-+ …………………②由①②得，,22tan pkb p-=θ∴pk p b 2tan 2+=θ． 所以直线AB 的方程为θθtan 2)2(2tan 2p p x k pk p kx y ++=++=， 故直线AB 恒过定点)tan 2,2(θpp -． （2）2πθ=时，2πβα=+，∴1tan tan =⋅βα，∴12211=x y x y ，得2214p y y =， …………………③ 由①③得，pk b 2=，所以直线AB 的方程为)2(2p x k pk kx y +=+=， 故直线AB 恒过定点)0,2(p -． 由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点)0,2(p -；当2πθ≠时，直线AB 恒过定点)tan 2,2(θpp -． 法二：由⎩⎨⎧+==.,22b kx y px y 得 0)22(222=+-+b x p kb x k ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,222221221k b x x k kb p x x 及⎩⎨⎧+=+=.,2211b kx y b kx y=+=)tan(tan βαθ.22112211221122112211pk b px b kx x b kx x b kx x b kx x y x y x y x y -=+⋅+-+++=-+（2πθ≠）以下同法一．法三：设OA 的方程为：,1x k y = OB 的方程为：x k y 2=． 则 ,tan ,tan 21βα==k k由⎩⎨⎧==.2,21px y x k y 得 )2,2(121k p k p A ；同理可得 )2,2(222k pk p B ，∴直线AB 的斜率是 21212122122222k k k k k p k p k pk p k AB+=--=，（若,021=+k k 则πβα=+） ∴直线AB 的方程为 )2(22121211k px k k k k k p y -+=-，∴ ,2212121k k p x k k k k y +++= 又 =+=)tan(tan βαθ21211k k k k -+， （2πθ≠）．∴直线AB 的方程为,)1(2)2(21212121k k k k p p x k k k k y +-+++=即 ,tan 2)2(2121θpp x k k k k y +++=以下略． 法四：设直线AB 的方程为b my x +=，与抛物线方程联立消去x ，可避免分式出现，同时可不必讨论斜率不存在的情况．以下略．本小题主要考查直线和抛物线的概念和性质、三角函数公式，考查分类讨论思想、解析几何的基本方法及综合解题能力．在整个解题过程中，突出方程的思想，这就是解析几何的基本方法，用代数（方程）的方法解决几何问题．本小题为试卷的压轴题，由于第（Ⅰ）问两种解法思路清楚，学生熟悉，且计算量不大，一般学生都能得到分数；第（Ⅱ）问涉及到的字符较多且运算量较大，时间又紧，只有数学能力较高的学生才能取得高分．2．3分类讨论的思想 例20：（理（18））袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布； （Ⅲ）求甲取到白球的概率．解析：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，则71272=C C n ，解得，3=n ．即袋中原有3个白球．（Ⅱ）由题设，随机变量ξ的取值为1、2、3、4、5．73)1(==ξP ； 726734)2(=⨯⨯==ξP ； 356567334)3(=⨯⨯⨯⨯==ξP ；35345673234)4(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ξP ；3513456731234)5(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ξP ．所以，随机变量ξ的分布列为且这三个事件两两互斥，故甲取到白球的概率为)3()2()1(=+=+==ξξξP P P P =73+356+351=3522．本小题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力．本题的第（Ⅱ）、（Ⅲ）小题根据取到白球的次数不同，进行分类讨论．2．4转化的方法 例21：（理（11））10<<a ，下列不等式一定成立的是（A ）2)1(log )1(log )1()1(>++--+a a a a （B ）)1(log )1(log )1()1(a a a a +<--+（C ）)1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(a a a a a a a a ++-<++--+-+ （D ）)1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(a a a a a a a a +-->+---+-+ 解析：本题主要考查对数运算的基本性质和均值不等式的应用．注意观察题目中出现的两个对数恰好互为倒数，且不相等，故选（A ）．例22：（理（19））已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，其中R n m ∈,，0<m ．（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上的任意点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．解析：（Ⅰ）∵ 0)1(63)1('=++-=n m m f ， ∴ 63+=m n ．（Ⅱ）∵63)1(63)1(63)('22+++-=++-=m x m mx n x m mx x f =3)2)(1(---m mx x令0)('=x f ，得 mx x 21,121+==． ∵0<m ，∴12x x <．)(x f 与)('x f 的变化如下表：因此，)(x f 的单调递减区间是)1,(m+-∞和),1(+∞；)(x f 的单调递增区间是)1,21(m+． （Ⅲ）由（Ⅱ）63)1(63)1(63)('22+++-=++-=m x m mx n x m mx x f m 3>，（]1,1[-∈x ）．即02)1(22>++-x m mx ，（]1,1[-∈x ）．令2)1(2)(2++-=x m mx x g ，)0(<m ，]1,1[-∈x ，∵]1,1[,02)1(2)(2-∈>++-=x x m mx x g 且0<m ，∴⎩⎨⎧>-=>++=-.02)1(,042)1(m m g m m g ⇒.034<<-m即m 的取值范围是.034<<-m 本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想．第2小题要根据)(x f '的符号，分类讨论)(x f 的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题．用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想．2．5空间想象能力例23：（1）（文（16））已知m 、n 是不同的直线，βα,是不重合的平面，给出下列命题：①若α//m ，则m 平行于平面α内的任意一条直线；②若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //； ③若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//； ④若αβα⊂m ,//，则β//m ．上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． （2）（理（16））已知m 、n 是不同的直线，βα,是不重合的平面，给出下列命题：①若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //； ②若,//,//,,ββαn m n m ⊂则βα//； ③若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//；④m 、n 是两条异面直线，若βαβα//,//,//,//n n m m ，则βα//． 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． 解析：以上2个小题主要通过判断空间线面平行与垂直的位置关系，考查学生的空间想象能力．答案是③④．例24：（文理（20））如图，已知长方体1111D C B A ABCD -，,1,21==AA AB 直线BD 与平面B B AA 11所成的角为︒30，BD AE ⊥于E ，F 为11B A 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角； （Ⅱ）求平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离． 解析：（Ⅰ）法一：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，由于AB =2，AA 1=1，所以B 1 AA 1BCDE F D 1C 1)1,0,1(),0,0,2(),0,0,0(F B A ，又⊥AD 面B B AA 11，所以DBA ∠就是直线BD 与平面B B AA 11所成的角，即DBA ∠=︒30．由此可得，AD 332=.故)0,332,0(),0,23,21(D E ． ∵)1,0,1(),0,23,21(-==，∴,42,cos -=>=< 即异面直线AE 与BF 所成的角为42arccos． 法二：21)(11-=+⋅=⋅B BB ，以下略．法三：设AE 与BF 所成的角为θ，则BAE ABF ∠⋅∠=cos cos cos θ42=，以下略．（Ⅱ）法一：平面AA 1B 的一个法向量)0,1,0(=m ，设),,(z y x n =是平面BDF 的一个法向量，由⊥⊥,，且)0,332,2(-=，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.03322,0y x z x ⎩⎨⎧==⇒.3,y x z x 取1=x ，得)1,3,1(=，∴515,cos =>=<． 即平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角（锐角）为515arccos． 法二：射影法．设平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角（锐角）为θ，则DFBAFBS S ∆∆=θcos ．以下略． 法三：连接AF ，可证AFD ∠就是平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角的平面角．以下略．（Ⅲ）法一：点A 到平面BDF 的距离d 等于AB 在平面BDF 的法向量)1,3,1(=上投影的绝对值．∴d552cos ===><⋅AB ， 所以点A 到平面BDF 的距离为552． 法二：等积法．设点A 到平面BDF 的距离为d ，则根据ABF D BDF A V V --=，得ABF BD F S AD S d ∆∆⋅=⋅．以下略．法三：由（Ⅱ）的法三知，面AFD ⊥面BFD ，所以，作DF AH ⊥于H ，则AH 的长就是点A 到平面BDF 的距离．以下略．本小题主要考查棱柱、空间角、距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．由于题目给出的几何载体是长方体，故本题用建系和传统的方法都比较容易解出．其中“射影法”和“等积法”避免了大量的几何论证，把逻辑推理的问题转化为代数计算问题．2．6运算能力例25：（理（21））已知数列}{n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，)(52*1N n n S S n n ∈++=+．（Ⅰ）证明数列}1{+n a 是等比数列；（Ⅱ）令n n x a x a x a x f +++= 221)(，求函数)(x f 在1=x 处的导数)1('f ，并比较)1('2f 与n n 13232-的大小．解析：（Ⅰ）法一：由题设521++=+n S S n n ，得 )1(,421>++=-n n S S n n ，两式相减，得121+=+n n a a ，即)1(211+=++n n a a ， 当n =1时，51212++=S S ，又51=a ，得112=a ， ∴)1(2112+=+a a ．因此，)(),1(21*1N n a a n n ∈+=++，即数列}1{+n a 是以6为首项，2为公比的等比数列．法二：经计算可得:12351-⨯==a ；1231122-⨯==a ；1232333-⨯==a ； 猜想：123-⨯=n n a ．数学归纳法证明，略．法三：由题设 )6(26)1(1++=++++n S n S n n ，则{6++n S n }成等比数列，以下略．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，123-⋅=n n a ． ∵n n x a x a x a x f +++= 221)(，∴)1('f =n na a a +++ 212=)123()123(2)123(2-⨯++-⨯+-⨯n n =)21()2222(32n n n +++-⨯++⨯+ =32)1()222(11+-+-⨯++n n n n n =362)1(2)1(1++-⋅-+n n n n ． 因此，)1('f =362)1(2)1(1++-⋅-+n n n n ． ∵)1('2f )1323(2n n --=)]12(2)[1(12+--n n n ，∴当1=n 时，)1('2f 0)1323(2=--n n ，即)1('2f =n n 13232-； 当2=n 时，)1('2f 0)1323(2<--n n ，即)1('2f <n n 13232-；当3≥n 时，1222)11(2110+>+≥++++=+=-n n C C C C nn n n n n n n ，故，)1('2f 0)1323(2>--n n ，即)1('2f >n n 13232-．本小题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识，考查多项式求导、数列的错项求和以及比较两个代数式大小的方法，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力．三．抽样分析为了了解山东省考生的答卷情况，我们从全省367351名普通理科考生和174085名普通文科考生的试卷中，分别各抽取了卷一普理60000份、普文69806份，卷二普理72822份、普文44296份，进行了抽样分析．抽样结果如下（表5~表9）：内的实际人数或比例，后一个表示从高分段到本分数段的累计数．表8中13~16题样本数分为：普文1464、普理2322）0.10.20.30.40.50.60.70.80.91123456789101112卷一难度分布表数据分析：1.从表5和表6可以看出，客观题以中低档题为主，理科满分的考生约占15%；文科约占12%．2.从表8可以看出各题的区分度以及试卷的信度指标较好．3.从表9可以看出文科试卷的难度比较符合《考试大纲》的要求，各类题目的难度分布也近似符合3：5：2的要求．4.从表9可以看出理科抽样均分比04年略低0.8分，文科比04年约高11分． 由于时间上的关系，没有统计艺术文、艺术理和体育专业考生的数学成绩．四．对中学数学教学与学习的启示高考竞争愈演愈烈，今年我省高考报名约73万人，比去年净增约17万人，规模年年攀升，又创历史新高，高校扩招的规模跟不上生源增加的速度，升学压力越来越大．高考命题改革的步伐也在加快，高考命题权逐步下放．今年全国包括山东省在内15个省市自主命题．在试卷结构、科目设置、考查内容、分数计算等方面不尽相同．另外，新一轮课程改革已经开始，我省和广东、海南以及宁夏四省率先进入“新课改”试验，使用新教材，2007年高考将面临着重大改革．因此，为了适应当前快速变化和发展的教学与高考的改革要求，反思和促进我们的中学教学，有必要认真研究高考命题以及学生在高考答题中出现的问题．1．考生答卷中出现的主要错误 1．1概念性错误在阅卷中发现，由于考生基础知识、基本概念不落实，造成许多不应该有的失分．如文理（15）题线性规划问题，基本步骤和方法掌握不到位造成失分，且因为没有认真审题错答成最大值的考生也不在少数；再如：文理（17）题由于向量的加法、模的运算、三角公式记忆不熟练、不准确出现了大量错误，如)sin (cos 22θθ-=)4cos(2πθ+、2)4sin(θπ-、4)4sin(πθ-、4)4cos(πθ-等，结果是卷面上书写量很大，却几乎没有得分点．更遗憾的是空白卷也有不少，特别是文科考生．从当前课程、教材改革和近几年高考数学命题改革的趋势来看，三角函数这一部分淡化了三角的恒等变形，强化了三角函数的基本概念、基本变形和三角函数图象的性质和变换．应该注意到三角函数与许多数学分支及应用问题卷二难度分布表0.10.20.30.40.50.60.70.80.913141516171819202122普理普文有着密切关系，三角函数仍是中学数学重要内容之一．再如文理（20）题中有的考生把异面直线所成的角表示为)42arccos(-或42arccos-π；文理（19）题中有的考生直接将两个单调性相同的区间用并集符号连接起来等；文理（22）题的第1小题，许多考生没有把题设条件与抛物线定义联系起来，得到的结论五花八门．因此，平时学习要注意不能把基础知识的掌握与“死记硬背”等同起来，只有抓好“双基”，才有可能提高“能力”．这些问题也反映出当前中学数学学习中普遍存在的“重解题，轻概念；重教辅，轻教材”的倾向．1． 2方法性错误基本方法、基本技能落实不到位．如文理（17）题最后一步要由角的范围来确定三角函数值的符号，许多考生忽略了或不会进行正确的判断，就直接得出结论；又如文理（21）题对于由S n 求a n 的问题，许多考生没有验证n =1的情况，同时许多考生不会或不能正确的使用错位相减求和的方法，还有的考生求)1('f 时，先求)1(f ，再求导数；另外根据某些考生（21）题的解答可以看出，部分考生对数学归纳法掌握的不好．再如文理（20）题中涉及到立体几何的计算问题是历年高考的重点．由于今年给出的几何载体是长方体，因此既可以用传统的解法，也可以用坐标的方法求解．大量的考生选取了坐标法，但是其中点的坐标、向量和法向量的计算出错是考生丢分的主要原因．分类讨论的方法理解掌握的不到位．如文理（19）题利用导数解函数的单调性问题．许多理科考生不认真审题，没有注意其中m <0这个条件，把问题复杂化，最终导致解答失误，而许多文科考生没有或不会根据m 的符号进行分类讨论；再如理（22）题中，多数考生没有对2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；理（21）题的第2小题比较大小时，不会分类或分类混乱．这些问题的主要原因是已知条件分析的不透、解题步骤不规范以及基本的运算技能较差．1．3 能力性错误 基本的运算能力下滑．本张试卷与往年相比运算量较大，如理科6个解答题包含14个小题，其中有13个计算题；文科6个解答题包含13个小题，其中有12个计算题．前面谈到的各种基本数值和代数式的化简运算问题，已经反映出许多考生运算能力太差．再如文理选择题最后一小题（12）题，主要就是一个计算求解问题；再如文理（21）（22）题基本上就是以考查运算能力为主的压轴题，很多考生都会做，但只有基础扎实、运算能力强的考生才有希望得高分．识图和作图以及空间想象能力较差．文理（20）的立体几何题，许多考生想当然的把点E 当成了中点．转化能力不足．如理（19）题许多考生不能正确地将“一元二次不等式在一个区间上恒成立的问题”转化为“区间端点处的函数值符号问题”来解决；理（22）。
浅析2005年高考数学试题
浅析2005年高考数学试题株洲市二中邓秋和一、背景与基本情况1、2005年全国各省（市）首次全部使用新课程卷，全国实施自主命题的省份已由2004年的11个增加至14个，教育部考试中心和各单独命题省（市）共命制16套数学高考试卷。
2、2005年的高考《考试大纲》取消了数学科的题型数量分布及分值的限制，由各单独命题省（市）在保持连续．．的基础上，各自制定各题型数量及．．、稳定分值。
3、重新界定能力要求，调整了部分考查内容的要求，对“数学基础知识”、“数学思想方法”、“数学能力”、“实践能力”、“创新意识”、分别细化了命题原则。
特别对高考考查“运算能力”从理论到实践作了较为细致的说明。
4、2004年数学高考各单独命题省（市）虽不乏有背景新、构思巧且不落俗套的好题型，但整体来看，普遍认为成题或成题的影子太多。
无论是命题专家还是前沿教师都认为，高考试题编制必须创新，所以教育部考试中心在试题评价报告中明确：2005年命题必须有“好的区分度指标”的同时，重新强化“创设开放情境，强化探究能力”等较高层次的命题要求。
二、试卷总体情况1、试卷结构（下面出现的算式表示“选择题数+填空题数+解答题数）所有16套试卷都是由选择题，填空题解答题三部分组成，但某些省（市）考卷的三部分比例较往年有所变化，如重庆、天津为10+6+6；湖南为10+5+6；浙江、广东为10+4+6。
而上海为4+12+6；北京为8+6+6，由于上海、北京是高考单独命题最早省（市），所以我们有充分理由预测，在保持稳定、连续的前提下，三部分比例会沿着减少选择题即客观试题数量，而增加填空题、解答题即主观试题数量的趋势变化。
2、难度分析由于2004年的数学高考试卷总体难度较小（尤其是大多数省市单独命制的试卷），据悉有的省市难度系数达到0.65~0.7，与考试中心提出的0.55差距甚大。
因此，2005年大多数省市增加了加大“区分度指标”的试题，与考试中心提出的总体难度系数为0.55有所接近，大多数单独命制试题的省市创新意识强，出现很多背景新、构思巧的好题。
2005年高考.全国卷II.文科数学试题精析详解(黑龙江、吉林、广西、内蒙古、新疆等地区用)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国2文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是(A)4π (B) 2π(C) π (D)2π 【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】()|sin cos |)|f x x x x ϕ=+=+，f(x)的最小正周期为π. 选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如tan y x =的最小正周期为π，但是，|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.(2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么，正方体的过P 、Q 、R 截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P 、Q 在面内作直线，根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线PQ 交CB 的延长线于E ，交CD 的延长F ，作直线ER 交1CC 的延长线于G ，交1BB 于S ，作直线GF 交1DD 于H ，交11C D H ，连结PS,RT,HQ ，则过P 、Q 、R 的截面图形为六边形PQHTRS ， 故选D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义，但不必深入研究.. （3）函数y=x 2-1(x ≤0)的反函数是(A)y=1+x (x ≥-1) (B) y=-1+x (x ≥-1) (C) y=1+x (x ≥0) (D) y=-1+x (x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.CC 1【正确解答】解法1：21y x x =-⇒=0x ≤得x =1y ≥-）所以反函数为1)y x =≥- 解法2：分析定义域和值域，用排除法.【解后反思】遇到反函数的选择题考查时，可根据互为反函数的性质，验证定义域和值域即可.（4）已知函数y=tan ωx 在(-2π,2π)内是减函数，则 （A ）0<ω≤1 (B)-1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤-1 【思路点拨】本题考查参数ω对于函数tan y x ω=性质的影响. 【正确解答】由正切函数的性质，正切函数tan y x =在（－2π，2π）上是增函数，而tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，所以ππω-≥，即10ω-≤<.选B【解法2】可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数,∴排除(A)，(C),又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π,∴tan y x ω=在(,)22ππ-内不连续,在这个区间内不是减函数,这样排除(D),故选(B)。
2005年高考数学试题(湖北等)的分析及评价
2005年高考数学试题(湖北等 )的分析及评价武汉市教育科学研究院 孔峰一、总体评价：2005年高考数学试题（湖北卷）严格依据教育部《数学科考试大纲》的各项要求，在遵循“有利于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于高校扩大办学自主权”原则的基础上，融入了新课程新大纲的理念，试题立意新颖，选材不拘一格。
与2004年全国其他独立命题省市试卷相比，试卷的结构、采用的题型和配备的题量，题型的分值比例等方面保持相对稳定。
与2004年全国新课程卷及2004年湖北卷的结构及考查内容更吻合一些，且比2004年湖北卷对新课程新大纲的整体把握与理解更加成熟，整份试卷从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层次多角度地考查了学生的数学素养和学习潜能，对考生能力、知识灵活运用及综合运用提出了比较高的要求，尤其值得注意的是，对新增加内容的知识的考查、知识的灵活运用考查，以及在运用新增加内容知识去处理实际问题的实践能力的考查均提出了较高的要求，因此我们考生在高考复习中需引起足够重视和研究，订做到与时俱进。
二、2005年高考数学试题的特点今年，我省高考数学命题在2004年平稳过渡的基础上，站在新课程评价理念的高度，稳中求新、稳中求活。
在继续深化能力立意、倡导通性通法、坚持数学应用、加大新增知识的考查力度等各个方面又作了进一步的实践、探索、深化与创新。
审视试卷，笔者感悟到白纸黑字间的灵性的跳动，令人回味，试题命题呈现出诸多亮点，对我们高考复习有很多有益的启示。
１、立足基础，突出能力，考查思维的灵活性无论在选择题、填空题，还是解答题中均有许多试题突出对基础知识的考查。
但其中一些基础试题在强调基础知识的同时，试题对能力的考查也十分突出，可以从多方面去思考，体现了思维的灵活性。
不同能力的学生处理方式不同，体现了不同的思维水平和数学思维品质。
例1 （高考理科第7题文科第10题）若sin α+cos α=tan α (0<α<2π),则α∈A.⎪⎭⎫⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫⎝⎛4,6ππ C. ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ 本题以方程的形式出现，似乎应该求出角α，但这只是一种表象，透过现象看本质，选择支是角α的范围，于是只需角α的一个三角不等式，由此联想大家熟知的基本结论：当α是锐角时，sin α+cos α>1.于是tan α>1,答案选C 。
2005年高考数学试题综述
12 4 6 22
60 16 74
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江西 北京 山东 上海 题 型 个数 分值 个数 分值 个数 分值 个数 分值 选择题 填空题 解答题 总题数
12 4 6 22
60 16 74
12 4 （ 习题4.1 课本 第一册（ 下 ） 习题 第一册 第5题： 题 α/2 已知 α 是钝角 ， 那么 α/2 是 （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第一与第二象限角 （D）不小于直角的正角
17
2005年高考题 2005年高考题
全国Ⅱ 理科第 题文科 （ 全国 Ⅱ卷 ） 理科第 13题文科 第14题： 题 圆心为（ ， ） 且与直线5x 圆心为 （ 1， 2） 且与直线 － 12y－ 7=0相切的圆的方程 － 相切的圆的方程 为 .
课本例习题
课本第二册（ 课本第二册 （ 上 ） 第 82页 页 第2(1)题： 题 求下 2. 求 下 列 条 件 所 确 定 的 圆 的方程： 的方程： （ 1） 圆心为 （ 3， -5） ， ） 圆心为（ ， ） 与直线x相切； 与直线 -7y+2=0相切； 相切
2005高考数学选择题典型题目分析
2005高考数学选择题典型题目分析一、题目分析1. 题目一：三角函数题目：已知α为第一象限角，sinα = 3/5，cosα = 4/5，求cos2α的值。
分析：这是一道关于三角函数的题目，要求求解cos2α的值。
首先，根据三角函数的定义，可以得到sinα = 3/5，cosα = 4/5。
然后，利用倍角公式cos2α = 2cos^2α - 1，带入已知的cosα的值，即可求得cos2α的值。
2. 题目二：解三角形题目：已知三角形ABC中，∠ABC = 90°，CD ⊥ AB，AD = 3，BC = 4，求CD的长度。
分析：这是一道解三角形的题目，要求求解CD的长度。
根据题目中的已知条件，可以得到∠ABC = 90°，AD = 3，BC = 4。
由此可知，三角形ABC是一个直角三角形。
然后，利用勾股定理，可以得到CD的长度。
3. 题目三：平面几何题目：已知四边形ABCD为矩形，AB = 6，BC = 8，E是边AD上的动点，连接CE交AB于F，若EF = 2，求BE的长度。
分析：这是一道关于平面几何的题目，要求求解BE的长度。
首先，根据题目中的已知条件，可以得到四边形ABCD是一个矩形，AB = 6，BC = 8。
然后，利用相似三角形的性质，可以得到BE的长度。
二、解题思路1. 对于题目一，我们可以利用sinα和cosα的值，带入cos2α的倍角公式，即cos2α = 2cos^2α - 1，计算得到cos2α的值。
2. 对于题目二，我们可以利用勾股定理，根据已知条件求解CD的长度。
根据直角三角形的性质，可以利用勾股定理得到CD的长度。
3. 对于题目三，我们可以利用四边形的性质，以及相似三角形的性质，求解BE的长度。
根据四边形ABCD为矩形的特点，可以利用相似三角形的性质得到BE的长度。
三、解题步骤1. 题目一的解题步骤：Step 1: 利用sinα和cosα的值，带入cos2α的倍角公式cos2α =2cos^2α - 1。
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【例1】（全国Ⅰ卷理科）第6题：
若 a ln 2 ,b ln,则3 ,c ln 5
2
3
5
(A)a<b<c
(B)c<b<a
(C)c<a<b
(D)b<a<c
解法一： a = ln 2,b = ln 3 3,c = ln 5 5.
2 = 6 8 < 6 9 = 3 3, 2 = 10 32 > 10 25 = 5 5,
(乙卷) （22）已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex. （Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f(x)在[-1，1）（Ⅰ）设函数f(x)=xlog2x +(1-x)log2(1-x)(0<x<1)，求f(x)的最小值；
概率统计 解析几何 导数
概率数列 解析几何专用15平面向量 概率与统计 导数
课时比例
考 甲卷
试 比
乙卷
例 丙卷
3.26% 5.33% 9.33% 5.33%
7.07% 11.33%
8% 8%
4.89，注重推陈出新
2005年高考题
课本例习题
（全国Ⅰ卷）文理科第1题 已知α为第三象限角，则 α/2所在的象限是 （A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限 （C）第一或第三象限
课本第三册（选修Ⅱ）第 132页例2：
在边长为60cm的正方形铁 皮的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折 起，做成一个无盖的方底 箱子，箱底边长为多少时， 箱
课本例习题
（全国Ⅰ卷）理科第17题文科第18
题：
课本第二册（下B）第
设甲、乙、丙三台机器是否需要 135页第6题：
填空题 5 20 4 20 6 24
解答题 6 80 6 80 5 66
总题数2120专用2342005年高考数学试题（全国卷）分 析
一、强化选拔功能，注重文理差别 二、强化重点内容，注重全面考查
三、强化课本作用，注重推陈出新
四、强化数学思想，注重能力考查专用5一、强化选拔功能，注重文理差别
填空题 4 16 4 16 4 16 4 16
解答题 6 74 6 74 6 74 6 74
总题数 22
22
22
22
题
型
山东 个数 分值
江西 个数 分值
北京 个数 分值
上海 个数 分值
选择题 12 60 12 60 8 40 4 16
填空题 4 16 4 16 6 30 12 48
解答题 6 74 6 74 6 80 6 86
总题数 222220专用223天津
重庆
浙江
题型
个数 分值 个数 分值 个数 分值
选择题 10 50 10 50 10 50
填空题 6 24 6 24 4 16
解答题 6 76 6 76 6 84
总题数 22
22
20
湖南
广东
江苏
题型
个数 分值 个数 分值 个数 分值
选择题 10 50 10 50 12 60
∴5 5 < 2 < 3 3,
而函数y=lnx是增函数函数 y = ln x .
x
令f
/
(x)
=
1－ln x2
x
=
0,
得：x=e.
所以函数 y = ln x
x
在(e ,+∞)上是减函数，
又a = ln 2 = ln 4 , 且e<3<4<5，
24 所以 ln 3 < ln 4 < ln 5 ,
2005年高考数学试题综述
暨 2006 年 高 考 复 习 建分析 2006年高考命题趋势 2006年高考复习建议专用2全国福建
湖北
辽宁
题型
个数 分值 个数 分值 个数 分值 个数 分值
选择题 12 60 12 60 12 60 12 60
① 四边形BFD/E一定是平行四边形.
② 四边形BFD/E有可能是正方形.
③ 四边形BFD/E在底面ABCD内的投影一定是正 方形.
④ 平面BFD/E有可能垂直于平面BB/D.
以上结论正确的为 编号)已知函数 f x 4x2 7 .
2x (Ⅰ) 求f(x)的单调区间和值域； （(Ⅱ)设a≥1，函数g(x)=x2-3a2x-2a,x∈[0,1]，若对于任意 x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取 值范围.
位数中，不能被5整除的数共
有
个.
（1）能够组成多少个六位 奇数？
（2）能够组成多少个大
课本例习题
（全国Ⅰ卷文科）第21题： 用长为90cm、宽为48cm的 长方形铁皮做一个无盖的容 器,先在四角分别截去一个小 正方形，然后把四边翻转 90°角,再焊接而成，问该容 器的高为多少时，容器的容 积最大?最大容积是多少?
0.80, 第4台是0.81,且各 台机床否需要照顾相互 之间没有影响,计算在这 个小时内这4台机床都
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一 台需要照顾的
课本例习题
（全国Ⅱ卷）理科第9题文科第10题：
已 知 集 合 M={x|x2 － 3x － 28≤0}, 课 本 第 一 册 （ 上 ）
(甲卷)(12)计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制， 采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进 制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
o
o
x
则a的值为
（A）1 （B）-1（C） 1－ 5 （D） 1 + 5
（A）18对（B）2已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3， AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的 最大值是 .
( 乙 卷 )(16) 下 面 是 关 于 三 棱 锥 的 四 个 命 题 ： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三 棱锥是正三棱锥;
13
二、强化重点内容，注重全面考查
一二三四五六七
Ⅰ卷
9 12 27 4 5 5
Ⅱ卷 5 17 17 19 10
4
Ⅲ卷 5 26 12 18 4
10
八 九 十 十一 十二 十三 十四
Ⅰ卷 24 22 17 4 5 12 4
Ⅱ卷 17 26 4 12
12 5
Ⅲ卷 19根据使用地区考生的不同 水平，设置了不同的难度．甲、乙两卷的 选择题比较平稳，容易题占大多数，考生 可在这部分取得较高的分数；而丙卷则在 选择题中减少了容易题的数量，增加了中 档题的数量．乙卷相比较甲卷，差别还体现在各题型把关题 的难度设计上．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三 棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱 锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的三面角 都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是_____在正方形ABCD-A/B/C/D/中，过对 角线BD/的一个平面交AA/于E，交CC/于F，则
照顾相互之间没有影响．已知在 一个工人负责看管4台
某一小时内，甲、乙都需要照顾 机床，如果在1小时内
的概率为0.05，甲、丙都需要照 这些机床不需要人去照
顾的概率为0.1，乙、丙都需要照 顾 的 概 率 第 1 台 是 0.79,
顾的概率为0.125，
第 2 台 是 0.79, 第 3 台 是
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在 这个小时内需要照顾的概率分别 是多少；
分析：函数f (x) = 1 + cos 2x + 8sin2 x
y
sin 2x
A
5 - 3cos 2x 3 5 - 3cos 2x
sin 2x
3sin 2xB Ox专用29【例5】（全国Ⅲ卷理科）第8题
设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一
y
-1
1
x
y
x
-1
1
y
y
x
课本例习题
（全国Ⅲ卷）文理科第14题：
课本第二册（下）复习参 考题十A组第12题（2）：
(2x－ 1 )9的展开式中，常数项
x
为
．（用数字作答）
求(9x－ 1 )18 展开，注重能力考查
1．函数与方程的思想 2．数形结合的思想 3．分类讨论的思想 4．转化与化归的思想 5．特殊与一般的思想 6．有限与无限的思想
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内 需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小想
【例4】（全国Ⅲ卷理科）第7题：
当0 < x < π 时，函数f (x) = 1 + cos 2x + 8sin2 x 的最小值为
2
sin 2x
(A)2 (B)2 3 (C)4 (D)4 3
17
18
19
20
21
22
甲 理 概率 立体几何 三角函数 卷 文 三角函数 概率 立体几何
数列 数列
解析几何 导数 导数 解析几何
乙 理 函数 卷 文 三角函数
数列 概率
概率统计 立体几何 解析几何 导数 数列 立体几何 导数 解析几何
丙 理 三角函数 立体几何 卷 文 三角函数 立体几何
数列 函数
课本第一册（下）习题4.1 第5题： 已 知 α 是 钝 角 ， 那 么 α/2 是
（A）第一象限角
（B）第二象限角
（C）第一与第二象限角
（D）第二或第四象