空间立体几何点线面判断与证明
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，证明几何是一个重要的部分，特别是涉及到线面垂直、线面平行、点面面面的证明。
这些知识点是我们理解几何学的基础，掌握了这些知识点，可以更好地应用几何学的相关定理解决问题。
下面我们来总结一下关于这些知识点的证明方法。
首先是线面垂直的证明，线面垂直是指一条直线与一个平面相交成直角。
在证明线面垂直的过程中，常常使用垂直于平面的直线与这条直线的夹角为90度，并结合相关的几何定理来进行证明。
在证明直线与平面的垂直时，可以利用平行线的性质来证明。
其次是线面平行的证明，线面平行是指一条直线与一个平面平行。
在证明线面平行的过程中，常常使用有平行性质的几何图形，比如平行线、平行四边形等。
通过利用这些性质，可以简单明了地证明线面平行的关系。
在证明这些知识点的时候，我们需要注意一些技巧和方法。
首先要善于利用已知条件，根据题目中给出的条件来进行推理。
其次要善于利用几何图形的性质，结合相关定理来进行推理。
最后要善于应用代数方法，通过代数运算来证明一些几何关系。
证明几何是高中数学中非常重要的内容，能够帮助我们更好地理解几何学的相关定理和性质。
通过掌握线面垂直、线面平行、点面面面的证明方法，我们可以更好地解决各种几何问题，并提高数学解题能力。
希望以上总结对大家有所帮助，让我们共同努力，提高数学水平！第二篇示例：在高中数学中，证明几何是一个非常重要的部分，它不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，还培养了学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
线面垂直、线面平行、点面、面面等几何关系的证明是学习数学证明的一个重要内容。
下面我们就来看一下关于这些几何关系的证明的知识点总结。
我们来介绍线面垂直的证明。
在线面垂直的证明中，一般需要用到的有以下几个重要的定理：1. 垂直平分线定理：在一个平面内，若一条线段垂直于一条线段的中点，那么这条线段垂直于这条线段。
考点22 点线面的判断与证明(解析版)
考点22 点线面的判断与证明1. 了解空间线面平行、面面平行的有关概念,能正确地判断空间线线、线面、面面的位置关系;理解关于空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理;并能用图形语言和符号语言表述这些定理 .2 能运用公理及其推论和相关定理证明一些空间位置关系的简单命题 .江苏高考对立体几何的考查主要有两个方面,一是对体积(或点到平面的距离)、表面积的一类计算问题的考查,二是对直线与平面的位置关系的考查 . 以一大一小两题的形式进行考查,其中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的位置关系的考查是高考中必考的问题,尤其是直线与平面平行、垂直关系的证明尤为重要 . 在证明的过程中,一定要注意推理的严密性,条件不要遗漏 . 另外,要关注与位置关系有关的一类探究性问题,它体现了新课程中考查学生的探究能力的要求,值得注意。
对于江苏之外地区的高考在大题的考查中，除了考查线面、面面以及线线的位置关系的证明外，第2问设置了空间向量求角与距离的求解题。
复习中,一要重视对本部分概念的内涵与外延的理解、定理的应用,做到弄清搞透;二要重视对典型问题求解基本思想方法的掌握,做到应用自如,特别是化归、转化等思想方法的掌握与应用;三要重视解题过程的规范训练,尽量避免因解题不规范而丢分 . 对于本部分的内容,高考的重点还是线线平行、线面平行、面面平行的判定以及它们的性质的应用1、【2020年全国2卷】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④ 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.2、【2020年浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,72MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．5、【2018年高考浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.6、【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.7、【2020年江苏卷】.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB . 由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .8、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．（2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .9、【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．题型一 性质定理与判定定理的综合考查1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】//m α，则存在l α⊂有//m l .而由//m n 可得//n l ，从而有//n α.反之则不一定成立，,m n 可能相交，平行或异面.所以//m n 是//n α的充分不必要条件，故选A2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行与同一个平面C ．α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D ．α，β垂直与同一个平面【答案】C 【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行； 对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β； 对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行． 故选：C ．3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知l ，m 是两条不同的直线，α是平面，且//m α，则（ ） A ．若//l m ，则//l α B ．若//l α，则//l m C ．若l m ⊥，则l α⊥ D ．若l α⊥，则l m ⊥【答案】D 【解析】A 选项 有可能线在面内的情形，错误；B 选项中l 与m 还可以相交或异面，错误；C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：DA ．β内一定能找到与l 平行的直线B ．β内一定能找到与l 垂直的直线C ．若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行D ．若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直 【答案】B 【解析】由α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，知：在A 中，当l 与α，β的交线相交时，β内不能找到与l 平行的直线，故A 错误； 在B 中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l 垂直的直线，故B 正确； 在C 中，β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C 错误； 在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）如果用,m n 表示不同直线，,,αβγ表示不同平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若//m α，//m n ，则//n αB ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【答案】D 【解析】选项A 中还有直线n 在平面α内的情况，故A 不正确，选项B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B 不正确， 选项C 中还有,αβ相交，故C 不正确， 故选：D ．6、(2019苏北模拟） 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号．．．．．．．．．．．)． 答案： ①④ 【解析】：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β，又因为m ⊂β，所以l ⊥m ；②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交；③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β； ④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α.7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．8、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知mn 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A ．若//,//m n αβ且//,αβ则//m nB ．若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC ．若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD ．若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β 【答案】BC 【解析】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误； 故选：BC9、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)【答案】①④【解析】对于①，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AE ，又,EA AB PA AB A ⊥⋂=，所以EA ⊥平面PAB ，从而可得EA PB ⊥，故①正确．对于②，由于PA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 与平面PBC 不可能垂直，故②不正确．对于③，由于在正六边形中BC AD ∥，所以BC 与EA 必有公共点，从而BC 与平面PAE 有公共点，所以直线BC 与平面PAE 不平行，故③不正确．对于④，由条件得PAD ∆为直角三角形，且PA ⊥AD ，又2PA AB AD ==，所以∠PDA=45°．故④正确．综上①④正确．答案：①④题型二 线面平行、垂直的判定与性质1、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ；（2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF .又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD ,所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD .又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .2、（江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ；（2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF .又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD ,所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD .又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .3、(2019镇江期末）如图，在四棱锥VABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N.(1) 求证：BC ⊥平面VCD ；(2) 求证：AD ∥MN.规范解答 (1)在四棱锥VABCD 中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分)因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分)又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)(2)因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC.(8分)又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC.(11分)又平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ，AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分)4、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．(1) 求证：EF ∥平面ABC ；(2) 求证：BB 1⊥AC.规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分) 因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以BB1⊥平面ABC.(12分)因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)易错警示在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将给予扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求很高．要适度关注性质定理的使用，因为性质定理的使用往往涉及到添置辅助线或辅助平面，这无疑就增加了试题的难度．5、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)6、(2019苏锡常镇调研（一））如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分)(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD所以AC⊥平面BCD，(8分)因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)7、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.求证：(1) DE∥平面ABB1A1；(2) BC1⊥平面A1B1C.规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.(3分)又AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.(8分)又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.(12分)又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)。
空间立体几何点线面判断与证明
常州知典教育一对一教案学生: 年级: 学科:数学授课时间: 月日授课老师:赵鹏飞课题空间立体几何点线面判断与证明教学目标(通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度) 掌握空间立体几何中的点线面之间的关系,平行,相交,垂直,异面,重合等等,以及证明面面垂直,面面平行等方法与步骤,了解关于几何体中一些基本的计算与比值。
本节课考点及单元测试中所占分值比例15%学生薄弱点,需重点讲解内容证明时对判断的方法出现错误思维,导致证明失分,使用性质时没有给出应有的条件导致扣分,计算的失误使得自己失分。
课前检查上次作业完成情况: 优□良□中□差□建议:教学过程﹃讲义部分﹄考向1空间中点、线、面位置关系的判断1.平面的基本性质的应用(1)公理1:证明“点在面内”或“线在面内”.(2)公理2及三个推论:证明两个平面重合,用来确定一个平面或证明“点线共面”.(3)公理3:确定两个面的交线,尤其就是画截面图或补体时用到,证明“三点共线”“三线共点”.要证明“点共线”可将线瞧作两个平面的交线,只要证明这些点都就是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线.2.空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的就是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α(2)下列命题正确的就是()A.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解析】(1)对于选项A,m与n还可以相交或异面;对于选项C,还可以就是n⊂α;对于选项D,还可以就是n∥α或n⊂α或n与α相交.(2)对于命题A,这两条直线可以相交或为异面直线,∴A错误;对于命题B,这两个平面可以相交,∴B错误;对于命题D,这两个平面还可能相交,∴D错误;而由线面平行的性质定理可证C正确.故选C、【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断,注意空间位置关系的各种可能情况.解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象.解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题,首先要明确空间位置关系的定义,然后通过转化的方法,把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决.(2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体模型来解决问题.考向2 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角.若记这个角为θ,则θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0π2、 2.判定空间两条直线就是异面直线的方法(1)判定定理:平面外一点A 与平面内一点B 的连线与平面内不经过点B 的直线就是异面直线.(2)反证法:证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能,从而可得两直线异面.(1)(2014·大纲全国,4)已知正四面体ABCD 中,E 就是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A 、16B 、36 C 、13 D 、33(2)如图,已知二面角α-MN -β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD ＝60°,E 就是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O 、①证明:AB ⊥平面ODE ;②求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.【解析】 (1)如图,取AD 的中点F ,连接CF ,EF ,则EF ∥BD ,∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成的角.设正四面体的棱长为2,则CE＝CF＝3,EF＝12BD＝1、由余弦定理得cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝36、∴CE与BD所成角的余弦值为36、故选B、(2)①证明:如图,∵DO⊥α,AB⊂α,∴DO⊥AB、连接BD,由题设知,△ABD就是正三角形.又E就是AB的中点,∴DE⊥AB、而DO∩DE＝D,故AB⊥平面ODE、②因为BC∥AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即∠ADO 就是异面直线BC与OD所成的角.由①知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE、又DE⊥AB,于就是∠DEO就是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO＝60°、不妨设AB＝2,则AD＝2、易知DE＝3、在Rt△DOE中,DO＝DE·sin 60°＝3 2、连接AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO＝DOAD＝322＝34、故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34、【点拨】解题(1)的关键就是选取合适的点作出异面直线的平行线.解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里.特别为直角三角形.求异面直线所成角的方法(1)作:利用定义转化为平面角,对于异面直线所成的角,可固定一条、平移一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.(2)证:证明作出的角为所求角.(3)求:把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形求空间角.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.考向3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b直线与平面平行的判定定理与性质定理中的三个条件缺一不可;线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法.(2014·北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别就是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1;(2)取AB的中点G,构造四边形FGEC1,证明其为平行四边形,从而得证;(3)根据题中数据代入公式计算即可.【解析】(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC、所以BB1⊥AB、又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1、所以平面ABE⊥平面B1BCC1、(2)证明:如图,取AB中点G,连接EG,FG、因为G,F分别就是AB,BC的中点,所以FG∥AC,且FG＝12AC、因为AC∥A1C1,且AC＝A1C1,E为A1C1的中点, 所以FG∥EC1,且FG＝EC1、所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG、又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE、(3)因为AA1＝AC＝2,BC＝1,AB⊥BC, 所以AB＝AC2－BC2＝3、所以三棱锥E-ABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33、1、证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行;(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面;(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行;(3)证明所作平面与所证平面平行;(4)转化为线面平行.(2013·江苏,18,13分)如图①,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别就是AB,AC上的点,AD＝AE,F就是BC的中点,AF与DE交于点G、将△ABF沿AF折起,得到如图②所示的三棱锥A-BCF,其中BC＝2 2、(1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF;(3)当AD＝23时,求三棱锥F-DEG的体积.解:(1)证明:在等边三角形ABC中,AD＝AE,∴ADDB＝AEEC,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,∴DE∥BC、∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF、(2)证明:由图①,在等边三角形ABC中,F就是BC的中点, ∴AF⊥BC,在三棱锥中仍有AF⊥CF,BF＝CF＝1 2、∵在三棱锥A-BCF中,BC＝2 2,∴BC2＝BF2＋CF2,∴CF⊥BF、又∵BF∩AF＝F,∴CF⊥平面ABF、(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG、∴V FDEG＝V EDFG＝13×12·DG·FG·EG＝13×12×13×⎝⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324、考向4面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法,注意一定就是第三个平面与两平行平面相交,其交线平行.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD就是正方形,O就是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB＝AA1＝2、(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【解析】(1)证明:由题设知,BB1綊DD1,∴四边形BB1D1D就是平行四边形,∴BD∥B1D1、又BD⊄平面CD1B1,∴BD ∥平面CD 1B 1、 ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ,∴四边形A 1BCD 1就是平行四边形, ∴A 1B ∥D 1C 、 又A 1B ⊄平面CD 1B 1, ∴A 1B ∥平面CD 1B 1、 又∵BD ∩A 1B ＝B ,∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1、 (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ,∴A 1O 就是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高. 又∵AO ＝12AC ＝1,AA 1＝2,∴A 1O ＝AA 21－AO 2＝1、又∵S △ABD ＝12×2×2＝1, ∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1、【点拨】 解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行,再转化为线线平行,通过取特殊四边形来完成证明;解题(2)的关键就是选易求高的底面,利用线面垂直的判定找高.1、判定面面平行的四个方法(1)利用定义:即判断两个平面没有公共点. (2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.平行问题的转化关系(2014·十校联考,18,12分)如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,D就是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1就是B1C1的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D、证明:如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED、∵四边形A1ACC1就是平行四边形,∴E就是A1C的中点.∵A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D＝ED,∴A1B∥ED、∵E就是A1C的中点,∴D就是BC的中点.又D1就是B1C1的中点,∴D1C1綊BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴BD1∥C1D、又A1B∩BD1＝B,DE∩DC1＝D,∴平面A1BD1∥平面AC1D、考向5线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫ab⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b如图,四棱锥P-ABCD中,底面就是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝π3,M为BC上一点,且BM＝12、(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.【思路导引】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OM⊥BM,再由线面垂直的判定定理证明;(2)将底面四边形ABMO分为△ABO与△MBO来求面积,根据(1)中结果,利用勾股定理、余弦定理求出PO,代入棱锥的体积公式求解.【解析】(1)证明:如图,连接OB,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,所以AO⊥OB、因为∠BAD＝π3,故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1、 又因为BM ＝12,且∠OBM ＝π3,在△OBM 中,OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34、所以OB 2＝OM 2＋BM 2,故OM ⊥BM 、 又PO ⊥底面ABCD ,所以PO ⊥BC 、又OM ⊂平面POM ,PO ⊂平面POM ,OM ∩PO ＝O , 所以BC ⊥平面POM 、(2)由(1)可得,OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π6＝3、 设PO ＝a ,由PO ⊥底面ABCD 知,△POA 为直角三角形, 故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3、 由△POM 也就是直角三角形, 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34、如图,连接AM 、在△ABM 中,AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214、由已知MP ⊥AP ,故△APM 为直角三角形, 则P A 2＋PM 2＝AM 2,即a 2＋3＋a 2＋34＝214, 得a ＝32,a ＝－32(舍去),即PO ＝32、 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM＝12×3×1＋12×12×32＝538、 所以四棱锥P -ABMO 的体积V P ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516、1、证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作:在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直. (2)证:证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直. (3)用:利用线面垂直的判定定理,得出结论. 2.判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理.考向6 面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言图形语言符号语言判 定 定 理 一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性 质 定 理两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a⇒l ⊥α(2014·江苏,16,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5、求证:(1)直线P A∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC、【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行,再运用直线与平面平行的判定定理进行求证;(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直,要证线面垂直可考虑寻找线线垂直,利用勾股定理可证线线垂直.【证明】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥P A、又因为P A⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线P A∥平面DEF、(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,P A＝6,BC＝8,所以DE∥P A,DE＝12P A＝3,EF＝12BC＝4、又因为DF＝5,故DF2＝DE2＋EF2,所以∠DEF＝90°,即DE⊥EF、又P A⊥AC,DE∥P A,所以DE⊥AC、因为AC∩EF＝E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC、又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC、1、面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角就是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.垂直问题的转化关系考向7线面角、二面角的求法1.线面角(1)当l⊥α时,线面角为90°、(2)当l∥α或l⊂α时,线面角为0°、(3)线面角θ的范围:0°≤θ≤90°、2.二面角(1)如图,二面角α-l-β,若①O∈l,②OA⊂α,OB⊂β,③OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB就叫作二面角α-l-β的平面角.(2)二面角θ的范围:0°≤θ≤180°、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD就是平行四边形,BA＝BD＝2,AD＝2,P A＝PD＝5,E,F分别就是棱AD,PC的中点.(1)证明:EF∥平面P AB、(2)若二面角P-AD-B为60°,①证明:平面PBC⊥平面ABCD;②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【思路导引】(1)因为E,F分别就是所在棱的中点,可取PB的中点M,证明四边形AMFE就是平行四边形,然后利用线面平行的判定定理证明.(2)①连接PE,BE,由题意知∠PEB＝60°,在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB、又BE⊥AD,然后利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明;②由①知BE⊥平面PBC,则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角.【解析】(1)证明:如图,取PB中点M,连接MF,AM、因为F为PC中点.故MF∥BC且MF＝12BC、由已知有BC∥AD,BC＝AD、又由于E为AD的中点,因而MF∥AE且MF＝AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM、又AM⊂平面P AB,而EF⊄平面P AB,所以EF∥平面P AB、(2)①证明:如图,连接PE,BE、因为P A＝PD,BA＝BD,而E为AD的中点,故PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.在△P AD中,由P A＝PD＝5,AD＝2,可解得PE＝2、在△ABD中,由BA＝BD＝2,AD＝2,可解得BE＝1、在△PEB中,PE＝2,BE＝1,∠PEB＝60°,由余弦定理,可解得PB＝3,从而∠PBE＝90°,即BE⊥PB、又BC∥AD,BE⊥AD,从而BE⊥BC,因此BE⊥平面PBC、又BE⊂平面ABCD,所以平面PBC⊥平面ABCD、②如图,连接BF、由①知,BE⊥平面PBC,所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角.由PB＝3及已知,得∠ABP为直角.而MB＝12PB＝32,可得AM＝112,故EF＝112、又BE＝1,故在Rt△EBF中,sin∠EFB＝BEEF＝21111、所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为211 11、1、求空间角的三个步骤(1)找:即找出相关的角;(2)证:即证明找出的角即为所求的角;(3)计算:即通过解三角形的方法求出所求角.2.空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影,关键就是作出垂线,确定垂足.(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的常见作法有:①定义法;②垂面法.其中定义法就是最常用的方法.课堂练习巩固练习:1、如图,在四棱锥PABCD中底面ABCD就是矩形,P A⊥平面ABCD,P A＝AD＝2,AB＝1,BM⊥PD于点M、(1)求证:AM⊥PD;(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.2、如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD就是菱形,SA⊥平面ABCD,M,N分别为SA,CD的中点.(1)证明:直线MN∥平面SBC;(2)证明:平面SBD⊥平面SAC、3、如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝90°,AB＝BC、把△BAC沿AC折起到△P AC的位置,使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图②所示,点E,F分别为棱PC,CD的中点.(1)求证:平面OEF∥平面APD;(2)求证:CD⊥平面POF;(3)若AD＝3,CD＝4,AB＝5,求四棱锥E-CFO的体积错题回顾1、解:(1)证明:∵P A⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴P A⊥AB、∵AB⊥AD,AD∩P A＝A,AD⊂平面P AD,P A⊂平面P AD,∴AB⊥平面P AD、∵PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD、∵BM⊥PD,AB∩BM＝B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,∴PD⊥平面ABM、∵AM⊂平面ABM,∴AM⊥PD、(2)由(1)知,AM⊥PD,又P A＝AD,则M就是PD的中点.在Rt△P AD中,AM＝2,在Rt△CDM中,MC＝MD2＋DC2＝3,∴S△ACM＝12AM·MC＝62、设点D到平面ACM的距离为h,由V DACM＝V MACD,得13S△ACM·h＝13S△ACD·12P A、解得h＝63、设直线CD与平面ACM所成的角为θ,则sin θ＝hCD＝63,∴cos θ＝33、∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33、2、证明:(1)如图所示,取SB中点E,连接ME,CE、∵M为SA的中点,故ME∥AB,且ME＝12AB、∵N为CD的中点,故CN ＝12AB ,从而ME ∥CN ,且ME ＝CN , ∴四边形MECN 就是平行四边形, ∴MN ∥EC 、又EC ⊂平面SBC ,MN ⊄平面SBC , ∴直线MN ∥平面SBC 、(2)如图,连接AC ,BD 相交于点O 、 ∵SA ⊥底面ABCD ,故SA ⊥BD 、 ∵四边形ABCD 就是菱形, ∴AC ⊥BD 、又SA ∩AC ＝A ,故BD ⊥平面SAC 、 又BD ⊂平面SBD ,∴平面SBD ⊥平面SAC 、 3、解:(1)证明:因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上, 所以PO ⊥平面ADC ,所以PO ⊥AC 、 因为AB ＝BC ,所以O 就是AC 中点.又点E 就是PC 的中点, 所以OE ∥P A ,P A ⊂平面P AD 、 所以OE ∥平面P AD 、 同理OF ∥平面P AD 、又OE ∩OF ＝O ,OE ,OF ⊂平面OEF , 所以平面OEF ∥平面P AD 、 (2)证明:因为OF ∥AD ,AD ⊥CD , 所以OF ⊥CD 、又PO ⊥平面ADC ,CD ⊂平面ADC , 所以PO ⊥CD 、又OF ∩PO ＝O ,所以CD ⊥平面POF 、 (3)因为∠ADC ＝90°,AD ＝3,CD ＝4,所以S △ACD ＝12×3×4＝6,而点O ,F 分别就是AC ,CD 的中点,所以S △CFO ＝14S △ACD ＝32,由题意可知△ACP 为边长为5的等边三角形,所以OP ＝523,即点P 到平面ACD 的距离为523,又E 为PC 的中点,所以E 到平面CFO 的距离为543,故V E CFO ＝13×32×543＝583、学生课堂评价:优□ 良□ 中□ 差□学生总结(课上完成):空间立体几何点线面判断与证明常州知典教育怀德校区教研组 - 21 -:。
2020年中学数学22 点线面的判断与证明(解析版)
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中 ，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
【解析】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
故选：
9、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：
①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
【答案】①④
【解析】
【解析】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB 平面A1B1C，A1B1 平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
A．若 则
B．若 则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】
若 ，则 且 使得 ， ，又 ，则 ， ，由线面垂直的判定定理得 ，故A对；
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。
本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。
一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。
3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。
二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。
3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。
三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。
2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。
3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。
四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。
2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。
3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。
通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。
空间几何体——点、线、面
空间几何体——点、线、面一、空间中最基本的元素：点、线、面的画法 点 A ·引申：斜二测画法1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面若A l ∉，则点A 和l 确定平面α推论2：过两条相交直线有且只有一个平面若m nA = ，则,m n 确定平面α推论3：过两条平行直线有且只有一个平面若m n ，则,m n 确定平面α 公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒公理4作用：证明两直线平行。
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠ 且与方向相同＝,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒ 且与方向相反＝ 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。
lBAαB AαClαAlm αAmnαP· αL βa b b a b 'a '方向相反则∠1+∠2＝180°方向相同则∠1＝∠22121a 'b '二、点、线、面之间的位置关系1.点与线位置关系：点在线上，点不在线上 引申：点到直线的距离点在线上的投影（垂直）2.点与面位置关系：点在面上，点不在面上 引申：点在面上的投影 点到面的距离3.线线位置关系：平行、相交、异面。
空间点线面的位置关系及直线、平面的判定与性质
空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) (公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；) 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面平行的判定定理和性质定理∵∴∵＝∴2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？4．平面与平面平行的判定定理和性质定理∵＝ 提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 突破点 一1.点共线问题,一般转化为证明这些点的某两个平面点公共点,再根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．）证明这些点都在这两个平面的交线上.2.线共点问题 ，证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这点，把问题转化为证明点再直线上。
3.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其他元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
高中数学立体几何点线面知识点总结
立体几何点、线、面知识点总结1.直线在平面内的判定(1)利用公理1: 一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若a丄P,Ae a , AB丄B,则ABa.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若AGa, a 丄b, AG a , b 丄a, pjlj a a .(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内, 即若Pa , PG p , B〃a, PWd,a〃a,则aP.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若d〃a,AGa, AGb, b/7 a,则ba.2.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线屮〃d,b‘ 〃b，则屮和b‘所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0° V 0 W90° .(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角0 ;②解含有0的三角形，求出角0的大小.5.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)-条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0。
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常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α(2)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面；对于选项C，还可以是n⊂α；对于选项D，还可以是n∥α或n⊂α或n与α相交．(2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象．解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．考向2 异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．(1)(2014·大纲全国，4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36 C.13 D.33(2)如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.①证明：AB⊥平面ODE；②求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【解析】(1)如图，取AD的中点F，连接CF，EF，则EF∥BD，∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE＝CF＝3，EF＝12BD＝1.由余弦定理得cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝36.∴CE与BD所成角的余弦值为36.故选B.(2)①证明：如图，∵DO⊥α，AB⊂α，∴DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．又E是AB的中点，∴DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.②因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO 是异面直线BC与OD所成的角．由①知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝32.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34.【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线．解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里．特别为直角三角形．求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证：证明作出的角为所求角．(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．考向3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．(2014·北京，17，14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．【解析】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1的中点，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥E-ABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行．2．证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行．(2013·江苏，18，13分)如图①，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F-DEG的体积．解：(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴ADDB＝AEEC，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明：由图①，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，在三棱锥中仍有AF⊥CF，BF＝CF＝1 2.∵在三棱锥A-BCF中，BC＝2 2，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.又∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG＝V EDFG＝13×12·DG·FG·EG＝13×12×13×⎝⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.考向4面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．【解析】 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－AO 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.【点拨】 解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高．1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．2．平行问题的转化关系(2014·十校联考，18，12分)如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，D是BC 上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又D1是B1C1的中点，∴D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴BD1∥C1D.又A1B∩BD1＝B，DE∩DC1＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.考向5线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b 如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．【思路导引】 (1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OM ⊥BM ，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形ABMO 分为△ABO 与△MBO 来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO ，代入棱锥的体积公式求解．【解析】 (1)证明：如图，连接OB ，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π3，故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .又OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，OM ∩PO ＝O ， 所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形， 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.如图，连接AM .在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214， 得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538. 所以四棱锥P -ABMO 的体积V P ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直． (2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直． (3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论． 2．判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．考向6面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α(2014·江苏，16，14分)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直．【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系考向7 线面角、二面角的求法1．线面角(1)当l ⊥α时，线面角为90°.(2)当l ∥α或l ⊂α时，线面角为0°. (3)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. 2．二面角(1)如图，二面角α-l -β，若①O ∈l ，②OA ⊂α，OB ⊂β，③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 就叫作二面角α-l -β的平面角．(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，P A＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AB.(2)若二面角P-AD-B为60°，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【思路导引】(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明．(2)①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角．【解析】(1)证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点．故MF∥BC且MF＝12BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.又由于E为AD的中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面P AB，而EF⊄平面P AB，所以EF∥平面P AB.(2)①证明：如图，连接PE，BE.因为P A＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角．在△P AD中，由P A＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.②如图，连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角．而MB＝12PB＝32，可得AM＝112，故EF＝112.又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝BEEF＝21111.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为211 11.1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角．2．空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足．(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面法．其中定义法是最常用的方法．课堂练习巩固练习：1.如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．2.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．(1)证明：直线MN∥平面SBC；(2)证明：平面SBD⊥平面SAC.3.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△P AC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC 上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求四棱锥E-CFO的体积错题回顾1.解：(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，AD⊂平面P AD，P A⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又P A＝AD，则M是PD的中点．在Rt△P AD中，AM＝2，在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3，∴S△ACM＝12AM·MC＝62.设点D到平面ACM的距离为h，由V DACM＝V MACD，得13S△ACM·h＝13S△ACD·12P A.解得h＝63.设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sin θ＝hCD＝63，∴cos θ＝33.∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.2.证明：(1)如图所示，取SB 中点E ，连接ME ，CE .∵M 为SA 的中点，故ME ∥AB ，且ME ＝12AB .∵N 为CD 的中点，故CN ＝12AB ，从而ME ∥CN ，且ME ＝CN ， ∴四边形MECN 是平行四边形，∴MN ∥EC .又EC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，∴直线MN ∥平面SBC .(2)如图，连接AC ，BD 相交于点O . ∵SA ⊥底面ABCD ，故SA ⊥BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .又SA ∩AC ＝A ，故BD ⊥平面SAC .又BD ⊂平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC .3.解：(1)证明：因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，所以PO ⊥平面ADC ，所以PO ⊥AC .因为AB ＝BC ，所以O 是AC 中点．又点E 是PC 的中点，所以OE ∥P A ，P A ⊂平面P AD .所以OE ∥平面P AD .同理OF ∥平面P AD .又OE ∩OF ＝O ，OE ，OF ⊂平面OEF ，所以平面OEF ∥平面P AD .(2)证明：因为OF ∥AD ，AD ⊥CD ， 所以OF ⊥CD .又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，所以PO ⊥CD .又OF ∩PO ＝O ，所以CD ⊥平面POF .(3)因为∠ADC ＝90°，AD ＝3，CD ＝4， 所以S △ACD ＝12×3×4＝6，而点O ，F 分别是AC ，CD 的中点，所以S △CFO ＝14S △ACD ＝32，由题意可知△ACP 为边长为5的等边三角形，所以OP ＝523，教研组长签字：。