高中数学人教A版选修2-3课件:1-3-1 二项式定理

栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
1 C4 (2
1 4 ������
=
= 2· ������ 0 1 2 3 4 [C4 (2������)4 · 10+C4 · (2x)3· 11+C4 · (2x)2· 12+C4 (2������) · 13+C4 · (2x)0· 14]
1 = 2 (16������4 + 32������3 + 24������2 + 8������ + 1) ������
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重难聚焦
第一章
三角函数
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数 ������ 剖析:两者是不同的概念. C������ (������ = 0,1,2, …,n)叫做二项式系数,而 某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式 3 3 3 的第 4 项的二项式系数为C7 = 35, 而其第4 项的系数为C7 · 2 =280. 2.如何用组合的知识理解二项式定理 剖析:由于(a+b)n= (������ + ������)(������ + ������)…(������ + ������) , 将(a+b)看作是含
1.3 二项式定理
-1-
1.3.1 二项式定理
-2-
目标导航
第一章
三角函数
1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项. 2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些 特定项、二项式系数或项的系数. 3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项 式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的 变化及系数与组合数的联系.
������ 个
有红球(a)、白球(b)的盒子,则(a+b)n 的展开式的每一项可以理解为 从 n 个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系 数则是这种结果的方法数,如 an-rbr 是从这 n 个盒子中取出 r 个白球 r 0 n (b)、(n-r)个红球(a)的情况,其方法数为������n , 因此有(a+b)n= ������n ������ + 1 n r n n n ������n ������ − 1 ������ + ⋯ + ������n ������ − ������������������ + ⋯ + ������n ������ (������∈N*).
1 4 的展开式; ������
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简: 2 ������ +
0 C4 (2
������)4
3 C4 (2 ������) ·
1 0 ������ 1 3 ������
方法二: 2
1
1 1 2 2 + ������)3 · + C4 · (2 ������)2 · + ������ ������ 1 4 8 1 4 + C4 · (2 ������)0 · = 16������2 + 32������ + 24 + + 2. ������ ������ ������ 1 4 2������+1 4 1 ������ + = = 2 (2������ + 1)4 ������ ������ ������
3 5 2������- 2 的展开式; 2������
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)方法一:
2 C5 (2������)3
3 3 3 4 4 + - 2 + C5 (2������) - 2 + 2������ 2������ 5 3 180 135 405 243 5 C5 - 2 = 32������5 − 120������2 + − 4 + 7− . 2������ ������ ������ 8������ 32������10 5 3 5 (4������3-3) 1 15 12 方法二: 2������- 2 = = (1 024 x 3 840 x +5 2������ 32������10 32������10 180 135 405 243 760x9-4 320x6+1 620x3-243)=32x5-120x2+ − 4 + 7− . ������ ������ 8������ 32������10
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】 (1)求
0 1 ������ (2)化简: C������ (������ + 1)������ − C������ (������ + 1)������ − 1 + ⋯ + (−1)������C������ (������ + ������ 1)������ − ������ + ⋯ + (−1)������C������ ; 1 2 3 ������ (3)化简: C������ + 3C������ + 9C������ + ⋯ + 3������ − 1C������ .
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
二项式定理的正用与逆用
【例 1】 (1)求 2 ������ +
(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
分析:(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. (2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.
8 ������ 1 . ������2
=16x2+32x+24+ +
0 1 2 3 (2)原式 = C5 (������ − 1)5 + C5 (������ − 1)4 + C5 (������ − 1)3 + C5 (���� − 1) + C5 − 1 = [(������ − 1) + 1]5 − 1 = ������5 − 1.
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人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》

人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》
高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
1.1.1 二项式定理 第一课时
1.理解二项式定理及其推导方法,识记二项展开式 的有关特征,并能运用二项式定理计算或证明一些 简单的问题。 2、能力目标:在学生对二项式定理形成过程的参与 探讨过程中,培养学生观察、猜想、归纳的能力, 以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
(a+b)2=(a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2, ab, b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22种,则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20a2 + C21ab+ C22 b2
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C14
C24
C44
尝试二项式定理的发现:
将(a+b)n展开的结果是怎样呢?
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种,则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2种,则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk种,则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn种,则bn前的系数为Cnn
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律: (1)各项的次数均为n;即为n次齐次式 (2)a的次数由n逐次降到0, b的次数由0逐次升到n.
对定理的再认识
特别地: 1、把b用-b代替
(a-b)n= Cna0n-Cna1n-1b+ … +(-1)rCnanr-rbr

1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3

1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3

2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享

1.二项式定理



a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *


2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk,k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ,(a+b)3的展开式的特
征及方法,你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗?
第 二
( ( a a+ b ) b4 ) = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab ( b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析:
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式: a 3 a 2b ab2 b3

(a b)3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3

人教A版高中数学选修2-3配套课件:1.3.1 二项式定理

人教A版高中数学选修2-3配套课件:1.3.1 二项式定理

课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
例 4 试判断 7777-1 能否被 19 整除.
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
问题 2:根据问题 1 猜想(a+b)n 的展开式,并简要说明每一项的形成
过程.
提示:(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-kbk+…+C bn(n∈N*).
因为(a+b)n 由 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)中的 a 或 b 都选定后,才能
5,则 a=(
A.-4
).
B.-3
C.-2
D.-1
答案:D
解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为C5 xr(0≤r≤5,r∈Z),则含 x2
的项为C52 x2+ax·C51 x=(10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.
第十六页,编辑于星期日:六点 十五分。
1.3.1
问题导学
二项式定理
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
(2)(x+1)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于(
A.9
B.10
C.11
).
D.12
提示:B
(3)
1 7
2的展开式中第

的系数为
提示:21
3 项的二项式系数为
,x 的次数为 5 的项为
-84
,第 6 项
.
-448x5

人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1二项式定理

人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1二项式定理

C53 (2 x)3 C54 (2 x)4 C55 (2 x)5
1 10 x 40 x2 80 x3 80 x4 32 x5
(2)若展开(1 2x)5呢?
(1
2 x )5

C50 (2 x)0

C51(-2 x)1

C
2 5
(
2
x
)2
C53 (2 x)3 C54 (2 x)4 C55 (2 x)5
3.将 ( x y z)10 展开后,则展开式 x5 y3z 2 的项的
B 系数为( )
A . C150C130C120
B.
C150C
53C
2 2
C. C52C130
D. C150C42
小结
1. 二项式定理的内容; 2. 二项展开式的通项是解决问题的关 键; 3. 正确区分二项式系数和系数; 4. 掌握二项展开式的通项是解决问题 的关键所在;
一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性.
一般地
分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)
因为(a+b)n=?
展开时,每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来相 乘得项,所以展开后其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下: 因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,所以an的系数为Cn0; 因为恰有1个取b的情况有Cn1种,所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取b的情况有Cn2种,所以 an-2b2的系数为Cn2;
………… … 因为恰有n个取b的情况有Cnn种,所以b4的系数为Cnn (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnranrbr Cnnbn

推荐-高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理

推荐-高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理

又 a∈Z,且 0≤a<13,则 a=1.
探究一
探究二
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探究三
思维辨析
X新知导 I学NZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
(2)∵230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3 =C100 ×710+ C110 ×79+…+C190 ×7+C1100 -3 =7×(C100 79+ C110 78+…+C190 )-2. 又余数不能为负数(需转化为正数), ∴230-3 除以 7 的余数为 5.
所以 x3 的系数为(-1)3C93=-84.
x3 是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93=84.
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X新知导 I学NZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三利用二项式定理解决整除和余数问题
【例3】 试判断7777-1能否被19整除.
思维脉络
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X新知导 I学NZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
1.二项式定理 (a+b)n=C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-kbk+…+C������������ bn(n∈N*).
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【例2】 导学号78430025已知在
3√x-
2
1 3√������
������
的展开式中,第6项为

人教A版高中数学选修2-3课件1.3二项式定理

人教A版高中数学选修2-3课件1.3二项式定理
解:先将原式化简,再展开.
(2
x
1 x
)6


2x
1 6 x

1 x3
(2x
1)
=
1 x3
[(2x)6
C61(2x)5

C62 (2 x)4
C63(2x)3

C62 (2 x)2
C61 (2x)
C66]
=64x3 192x2 240x 160 60 12 1 x x2 x3

节 二项展开式、二项式定理及相关概念

我 使用了什么数学思想方法? 们
学 到
从特殊到一般,归纳猜想的数学思想
了 类比 哪

(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
(a b)6
杨辉三角
11 121 1331 14641 15101051 1615201561
• 课本36页习题A组1、2、3
T 用式表 中示 的, 叫C即做kn a通二nk项bk为式展通开项式,的第项。
k 1
k 1
通项公式
Tk 1

C
k n
a
n
k
b
k
(a

b)n

Cn0a n

Cn1a n1b



C
k n
a
n
k
bk

Cnnbn
(n N *)
1.系数规律:
C
n0、Cn1、C
n2、
、C
(1 x)n

C
0 n

C
1 n
x

《二项式定理》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.1课时)


解析: T31 C130 x7 (a)3 C130 a3 (1)3 x7 ,
C130
a3
15,a
1 2
.
课堂练习
1.填空 (1)(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为__1_._1_7_9___. (2)在(x-1)11的展开式中,x的偶次幂的所有项的系数的和为_-_2_1_0__ .
(1)项数:共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 :a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列;b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列.
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
A.14
B.-14
C.42
D. -42
பைடு நூலகம்T 解析:
k1 Ck7 (2x3 )7k (
1 x
)k
Ck7 (1)k
27k
21 7k
x 2 ,
令 21 7 k 0, 2
则k=6,故展开式中的常数项是
C67 (1)6 2 14 ,选答案A.
课堂练习
2.在(x-a)10的展开式中,x7的系数是15,则实数a的值为__-_1_/_2__.
-
C56
(2x)
+
C66
=
1 x3
(64x6
-
6*
32x5
+
15
*16x4
-
20*
8x3
+ 15 *
4x2
-
6*
2x
+

【原创】人教A版选修2-3:第一章 1.3 1.3.1 二项式定理


答案:C
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题点二:由二项展开式某项的系数求参数问题
结束
3.若(x2-a)x+1x10 的展开式中 x6 的系数为 30,则 a 等于(
)
A.13
B.12
C.1
D.2
解析:依题意,注意到x+1x10 的展开式的通项公式是
Tr+1=Cr10·x10-r·1xr=C1r 0·x10-2r,
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结束
[活学活用]
1.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为( )
A.x4
B.(x-1)4
C.(x+1)4
D.x4-1
解析: (x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=C04(x+1)4 +C14(x+1)3(-1)1+C24(x+1)2(-1)2+C34(x+1)(-1)3+C44(x+ 1)0(-1)4=[(x+1)-1]4=x4.
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[小试身手]
结束
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)(a+b)n展开式中共有n项.
(× )
(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同. ( × )
(3)Cknan-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.
(× )
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结束
与展开式中的特定项有关的问题
题点一:求展开式中的特定项
1.x2-21x6 的展开式中,常数项是(
)
A.-54

人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理(一)》(新)


2、展开 (2
x x
1 )6
x
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系 数。 (2)求(x- 1 )9的展开式中x3的系数。
x
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项; 3x
(2)求 ( x 3的)9展开式的中间两项.
新疆 王新敞
奎屯
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20a2 + C21ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?
问题:
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4

C
r n
a
nr
br


C
n n
bn
二项式定理: n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +
+ Crnan-rbr + +Байду номын сангаасCnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式的项数为 n+1 项;
(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
项的系数为 二项式系数与数字系数的积

人教A版高中数学选修2-3课件1.3二项式定理.pptx


C ak nkbk n
C nbn n
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn (n N * )
右边的多项式叫做的(a展开b)式n ,其中的系数叫做二
项式Cn系k 数k。 0,1,2,, n
n n
2.指数规律:
(1)各项的次数均为n;
(2)a的次数由n降到0,
b的次数由0升到n.
3.项数规律: 展开式共有n+1个项
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnkankbk Cnnbn (n N * )
如果设a=1b=x,则得到公式:
(1 x)n

C
0 n


C
1 n
x

C
2 n
x2

C
k n
xk



C
n n
x
n
如果用–b替换公式中的b,则得到公式:
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2

(
1)k
C
k n
a
nk
b
k

(1)n
C
n n
b
n
例、求(2 x 1 )6的展开式. x
T 用式表 中示 的, 叫C即做kn a通二nk项bk为式展通开项式,的第项。
k 1
k 1
通项公式
Tk 1

C
k n
a
n
k
b
k
(a

b)n

Cn0a n

Cn1a n1b
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