热物理过程的数值模拟-计算传热学3.(DOC)
数值传热学(课件)
02 数值传热学的基本原理
控制方程
控制方程
数值传热学的核心是求解控制方 程，这些方程描述了热量传递过 程中的物理规律。
偏微分方程
控制方程通常以偏微分方程的形 式给出，包含了温度、时间、空 间等变量的变化关系。
初始条件和边界条
件
为了求解控制方程，需要给出初 始条件和边界条件，这些条件限 定了问题的解的范围。
详细描述
传热过程模拟是数值传热学的另一重要应用，通过建立传热过程的数学模型，可以模拟物体内部的温 度分布和热量传递过程。这对于能源、化工、电子等领域中的热工设备设计和优化具有重要意义。
04 数值传热学面临的挑战与 解决方案
计算精度与稳定性问题
总结词
计算精度和稳定性是数值传热学中的核心问题，直接关系到模拟结果的准确性和可靠性。
详细描述
多尺度问题要求数值方法能够捕捉到不同尺度的物理现象，并准确地将它们联系起来。 这需要发展具有多尺度分辨率的数值方法，如多重网格法、谱方法和自适应网格法等。
非线性问题
总结词
非线性问题在传热过程中广泛存在，如 流动、相变和化学反应等，给数值模拟 带来很大难度。
VS
详细描述
非线性问题需要数值方法能够处理高度非 线性的物理方程，并能够准确地捕捉到非 线性现象。这需要发展高效的数值算法， 如有限元法和有限体积法等，同时还需要 考虑非线性问题的特殊性质，如初始条件 和边界条件等。
02
它涉及传热学的基本原理、数学 建模、数值计算和计算机技术等 多个领域，是计算流体动力学和 计算传热学的重要组成部分。
数值传热学的重要性
随着科技的发展，传热问题在能源、 环境、航空航天、化工等领域越来越 突出，数值传热学的应用也越来越广 泛。
热处理数值模拟
热处理数值模拟热处理数值模拟是一种通过数值计算方法模拟材料在热处理过程中的温度分布、相变行为和应力变化等物理现象的过程。
下面是一个详细精确的热处理数值模拟的步骤：1. 确定模拟的材料和几何形状：首先需要确定要进行热处理数值模拟的材料和其几何形状。
这包括材料的热物性参数（如热导率、比热容等）和几何形状的尺寸。
2. 建立数值模型：根据材料和几何形状的信息，建立数值模型。
数值模型可以是二维或三维的，可以采用有限元方法或有限差分方法等数值计算方法。
3. 确定边界条件：根据实际热处理过程中的边界条件，如加热温度、冷却速率等，确定数值模型的边界条件。
边界条件可以是恒定的，也可以是随时间变化的。
4. 确定材料的热物性参数：根据实验数据或已有的文献资料，确定材料的热物性参数。
这些参数包括热导率、比热容、相变温度等。
5. 设置数值计算参数：确定数值计算的时间步长、网格尺寸等参数。
这些参数的选择需要保证数值模拟的精度和计算效率之间的平衡。
6. 进行数值计算：根据数值模型、边界条件和材料的热物性参数，进行数值计算。
数值计算可采用显式或隐式的数值方法，如前向差分法、后向差分法等。
7. 分析计算结果：根据数值计算的结果，分析材料在热处理过程中的温度分布、相变行为和应力变化等物理现象。
可以通过可视化技术将计算结果以图形或动画的形式展示出来，以便更直观地理解和分析。
8. 验证和优化模型：根据实验数据或已有的文献资料，对数值模型进行验证和优化。
可以通过与实验结果的对比来评估数值模拟的准确性，并对模型进行调整和改进。
以上是热处理数值模拟的详细精确步骤，通过这些步骤可以对材料在热处理过程中的物理现象进行准确的数值模拟和分析。
热传导问题的数值模拟
热传导问题的数值模拟热传导是自然界中一种普遍存在的物理现象，其在许多领域都有着广泛的应用。
在工程领域，对于许多工程问题的求解过程中，需要对热传导问题进行数值模拟。
本文将从热传导问题的基本理论出发，介绍一些热传导问题的数值模拟方法及其应用。
一、热传导基本理论热传导是指热量从高温区传递到低温区的现象。
在热传导过程中，热流量的方向和大小受到热传导物质的性质及其温度差等因素的影响。
热传导物质分为导热性能好的导体和导热性能差的绝缘体两种类型。
根据傅里叶定律和傅立叶热传导方程，热传导问题可以用以下的偏微分方程来描述：∂u/∂t = α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)+f(x,y,z,t)其中，u(x,y,z,t)表示温度分布，f(x,y,z,t)表示源项（可能是热源或热损失），α为导热系数，t为时间，x、y、z为空间坐标。
二、数值模拟方法热传导问题的数值模拟主要采用有限元法、有限体积法、有限差分法等方法进行计算。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用于数值分析领域的方法。
在热传导问题的数值模拟中，有限元法的基本思想是将要求解的物理问题离散化，将其分解成有限个简单的元件来进行求解。
具体而言，可以将热传导区域分解成一系列的小单元，然后根据有限元法的原理，通过计算每个单元内的热传导能量，并利用边界条件，在整个区域内拼凑成一个整体的方程组，在求解这个方程组后得到热传导问题的解。
2. 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种以连续性方程为基础，采用体积平均原理离散化控制体积的方法。
有限体积法在处理不规则域的问题时具有重要的优势。
在热传导问题的求解中，可以采用有限体积法离散分析过程。
对于一个立方体体积元，可以用守恒方程将体积元内部的能量和热流量进行刻画。
热物理过程的数值模拟-计算传热学3
四、非线笥问题迭代式解法的收敛性每一层次上满足迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数变化不太大（亦即未知量的变化不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的）。
使相邻两层次间未知量变化不太大的措施：1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛线迭法（SLUR ）：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代。
实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛。
)()()()1(n p pn n n p n p t a b bt a t t -∑+=+ω )()1()1()(n p pn n n p pt a b b t b a t a ωωω-+++∑=+∑+=+')1('b b bt a t a n n n p p)('))(1(',n p p p p t a b b a a ωωω-+==，用交替方向线迭代法求解这一方程，就实现了SLUR的迭代求解。
为一般化起见，上式中b t n 上没有标以迭代层次的符号（J ，GS 时不相同）。
2、采用拟非稳态法前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法十分相似。
对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大（↑∆∆=τρ/v c a op ），温度变化越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中加入拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的变化，即由)()1()1()()(n p o p n n n p o p p n n n n p p n t a b b bt a t a V S b a b b bt a t V S b a ++∑=+∆-∑⇒+∑=∆-∑++o pp n n po p n n n pa V Sb a t a b b bt a t+∆-∑++∑=+)()1(一直进行到b t t n p ,收敛，虚拟时间步τ∆的大小通过计算实践确定。
热物理过程数值模拟
热物理过程数值模拟热物理过程的数值模拟是一种重要的研究方法，可以通过计算机模拟的方式对热传导、热辐射、热扩散等过程进行分析和预测。
它在材料科学、能源工程、气象学等领域有着广泛的应用。
本文将讨论热物理过程数值模拟的原理和方法，并通过实例说明其在热传导和热辐射过程中的应用。
首先，我们来介绍一下热物理过程数值模拟的基本原理。
热物理过程的数值模拟是通过建立数学模型，利用数值方法对热传导、热辐射等过程进行求解。
这些数学模型基于热物理学的基本原理和方程，通过离散化和数值逼近的方法将连续的物理过程转化为离散的数学问题。
然后，通过计算机进行数值计算，得到物理过程的数值解，从而了解其变化规律和特性。
对于热传导过程的数值模拟，我们以传热器的热传导问题为例进行说明。
传热器是一种用于将热能从一种介质传递到另一种介质的设备，其热传导过程可以通过热传导方程描述。
热传导方程是一个二阶偏微分方程，可以通过数值方法进行求解。
一种常用的数值方法是有限差分法，它将空间和时间离散化，将偏微分方程转化为代数方程。
通过迭代求解代数方程，得到热传导过程的数值解，从而得到传热器的温度分布和热传导速率。
对于热辐射过程的数值模拟，我们以太阳辐射对地球的传输问题为例进行说明。
太阳辐射是地球能量平衡中重要的组成部分，其传输过程可以通过辐射传输方程描述。
辐射传输方程是一个积分方程，可以通过数值方法进行求解。
一种常用的数值方法是辐射传输模型，它将大气层划分为多个离散层，将积分方程转化为代数方程组。
通过迭代求解代数方程组，得到太阳辐射在大气层的传输过程，从而得到地球的日辐射量和夜间辐射量。
总的来说，热物理过程的数值模拟是一种重要的研究方法，可以通过计算机模拟的方式对热传导、热辐射等过程进行分析和预测。
它在材料科学、能源工程、气象学等领域有着广泛的应用。
通过建立数学模型和使用数值方法，可以得到热物理过程的数值解，从而了解其变化规律和特性。
因此，热物理过程的数值模拟对于推动科学研究和解决实际问题有着重要的意义。
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
热物理过程的数值模拟教学大纲
热物理过程的数值模拟（计算传热学）教学大纲（热工类各专业及机械类动力机械专业研究生适用）（30学时）重庆大学热工教研室二零零零年七月热物理过程的数值模拟（计算传热学）教学大纲第一章绪论1、热物理过程的预测方法及特点：预测的实质。
理论分析、实验研究与数值计算。
预测方法的选择。
2、计算传热学的发展；国内外计算传热的有关活动、研究内容、当前的发展方向。
第二章热物理过程的数学描述1、控制微分方程：微分方程的意义。
连续性方程、化学组分议程、动量议程、能量议程、湍流流动的时间平均方程、湍流动能方程、通用微分方程。
2、边界条件和初始条件：第一、二、三、四类边界条件、初始条件、拟非稳态的概念。
3、控制方程的简化：恰当坐标系、自变量和因变量的变换、无量纲化。
第三章离散化方法1、离散化的概念：数值方法的基本思想、因变量的离散化、区域的离散化。
2、空间区域的离散化方法：空间区域离散人及几何要素、内节点法和外节点法。
3、推导离散化方程的方法：泰勒级数展开法、变分法、加权残值法、控制容积积分法、控制容积平衡法。
4、二个指导原则和四项基本法则：解的物理真实性和总量平衡、控制容积界面上的相容性、正系数法则、源项的负斜率线性化、邻点系数和法则。
第四章热传导问题的数值解灶1、一维稳态热传导：基本方程、网络间距、界面导热系数、源项的线性化、非线性的处理、边界条件的处理、线性代数方程组的求解（TDMA）。
2、一维非稳态热传导：离散化方程的一般形式、显格式、全隐格式、C-N格式。
3、离散方程的性质：相容性、收敛性、稳定性、代数方程组的求解、稳定性与解的物理真实性。
4、多维稳态热传导：离散化方程、三种坐标系中系数的通用表达式、边界条件的处理、代数方程组的求解方法（点迭代法、块迭代法）、迭代法的收敛性及其改善。
5、多维非稳态热传导：离散化方程的形式、稳定性、交替方向迭代（ADI）。
第五章对流—扩散方程的差分格式1、一维稳态对流—扩散：中心差分、上风差风、指数格式、混合格式、乘方格式、通用化格式。
数值传热学实训
数值传热学实训
数值传热学实训作为一门学科是在工程中占有重要地位的，它涉及到热系
统的多边界问题以及温度场等方面的研究。
在数值传热学实训中，重点在于解决热物理问题的数值计算，开发出复杂的计算方法和模型，以及利用各种计算机技术帮助我们解决实际过程中的热力学研究问题。
数值传热学实训既有理论部分，也有实验部分。
在理论部分，学生需要深
入理解传热物理学的基础知识和分析方法，包括数值分析、迭代技术、边界效应、近似理论等。
同时还要掌握数值计算技术，如断面法、边值法、有限元法、蒙特卡罗方法等。
实验部分则要求学生根据理论的基础上，通过实际实验来进行数值模拟，可以更加直观地感受热物理研究中的各种过程。
数值传热学实训是一门以理论计算及实验操作相结合的课程，它是理论与
实际工程设计的完美结合。
它为开展热物理研究、从事相关设计和分析提供了科学依据，为现代工程建设提供了可靠保障。
因此，对于高校学生来说，学习数值传热学实训非常重要。
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四、非线笥问题迭代式解法的收敛性每一层次上满足迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数变化不太大（亦即未知量的变化不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的）。
使相邻两层次间未知量变化不太大的措施： 1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛线迭法（SLUR ）：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代。
实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛。
)()()()1(n p pn n n p n p t a b bt a t t -∑+=+ω )()1()1()(n p pn n n p pt a b b t b a t a ωωω-+++∑=+∑+=+')1('b b bt a t a n n n p p)('))(1(',n p p p p t a b b a a ωωω-+==，用交替方向线迭代法求解这一方程，就实现了SLUR的迭代求解。
为一般化起见，上式中b t n 上没有标以迭代层次的符号（J ，GS 时不相同）。
2、采用拟非稳态法前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法十分相似。
对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大（↑∆∆=τρ/v c a op ），温度变化越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中加入拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的变化，即由)()1()1()()(n p o p n n n p o p p n n n n p p n t a b b bt a t a V S b a b b bt a t V S b a ++∑=+∆-∑⇒+∑=∆-∑++o pp n n po p n n n p a V S b a t a b b bt a t +∆-∑++∑=+)()1(一直进行到b t t n p ,收敛，虚拟时间步τ∆的大小通过计算实践确定。
3、采用Jacobi 点迭代法中止迭代的判据（该层次迭代）除前述变化率判据外，还可以规定迭代的轮数，例如规定进行4-6次ADI 线迭代就结束该层次上的计算。
此时，用收敛速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的作用。
五、迭代法的收敛速度 1、收敛速度对给定的代数方程组（包括是临时系数的情形），采用不同的迭代方法求解时，使一定的初始误差缩小成α倍所需要的迭代轮数K 是不相的。
1<α)0()0()(e G e G e k k k ≤=因为G 是对称的，所以)()()(22G G G G G T ρρρ===所以 2)0(2)0(22)())(e G e G e k k k ρ=≤)(,))((/2)0(2)(G kl l G e e n n k k ραρα≤≤=即 ))(/()(/G l l G l l k n n n n ραρα--=≥ )(,G ρα均<1 对于给定的α，所需迭代轮数k 与)(G l n ρ-成反比，规定用)(G l R n ρ-=表示迭代法的收敛速度，则k l R or R l k n n //αα-≥-≥即所需迭代轮数与收敛速度成反比，收敛速度又与谱半径成反比，收敛速度愈快，迭代轮数愈少。
注意：不同的迭代方法每进行一轮迭代所需的运算次数不同，最终所需的计算时间的多少取决于迭代轮数及每一轮迭代所需的时间。
2、收敛性的定性分析为什么不同的迭代方法的收敛速度不同，亦即为达到满足一定精度要求所需的迭代轮数不同？以二维常物性、无内热源、稳态导热问题来进行讨论。
0'222=∂∂+∂∂y tx t 1B 、C S S N N w w E E p p t a t a t a t a t a +++=迭代法需要假定一个初场，例如假定一个均场，从微分方程为看，均匀是其一个解，但却不是所研究问题的解，为什么？因为它虽然满足内部节点上的离散方程，却不满足与边界有关的节点的离散方程（图中红点），即不满足边界条件。
所以迭代法的实质是要通过迭代，尽快建立起与边界条件相适应的φ变量场，关键：必须使B 、C 的影响迅速传入计算区域内部，以改进节点φ变量值，尽快与B 、C 相应，B 、C 的影响传入愈快，逼近真解就愈快，收敛就越快！B 、C 的影响传入计算区域内部的快慢与哪些因素有关？ （1）与迭代方法有关J 迭代：节点温度的更新均用上轮迭代所得的“旧”值来计算，所以完成一轮迭代后，B 、CtTBt RBt BBt wBij yx的影响只能传入与边界相邻的一批节点上，即仅可传入一个网格，且扫描方向与收敛快慢无关。
要在以后各轮迭代中，B 、C 的影响才由这些节点逐步向内渗透，所以收敛慢。
GS 迭代：假设从左向右扫描，则每做完一轮迭代，左边界和下边界的影响传遍全区域，而右边界的影响只能传入一个网格，且收敛速度受迭代扫描方向的影响。
线迭代：GS 线迭代。
自左→右扫描，完成一轮迭代不仅左边界的影响逐步传入，而且在每一列的直接求解中，上、下边界的影响全部传入到该列的各节点上，即一轮迭代使左、上、下边界影响传入全区域，但右边界影响仍仅传入一个网格。
ADI ：一轮迭代包括一次逐行、一次逐列的扫描；所以在每一轮迭代后所有边界的影响均传入计算区域内部，从而加快了收敛速度。
收敛速度的比较，正方形区域，1B 、C ，Laplace 方程五点格式，均匀网格步长为h 。
迭代方法 点迭代 线迭代 Jacobi h 2/2 h 2 Gouss-Seidelh 2 2h 2 SOR2h22h（2）与边界条件的性质有关twxttwxttf tw 定向点λ/lx t1B 、C 规定了边界节点的温度，影响直接传入计算区域内部； 3B 、C 规定了环境温度及定向点位置，∞-=∂∂t t xtl λ，对边界温度的限定程度比1B 、C 时弱，所以对内部的影响也较弱；或将f t 视为外部温度，其对计算区域内部的影响被外部换热热阻削弱，而1B 、C 可视为∞→α或外部热阻0→的极限情况，故3B 、C 的影响比1B 、C 时弱。
2B 、C 仅规定了壁面的钭率，壁温完全不确定，对内部节点温度值的改进提供的信息最少，收敛最慢。
可见，为了提高代数方程迭代解法的收敛速度，应力求使边界条件的影响迅速传入计算区域内部，措施：①增加迭代解法中直接解法的成分，从点迭代→线迭代→ADI ；②适当选择扫描的始边，多以1B 、C 或3B 、C 的边界为始边，少以2B 、C （尤其是绝热边界）为扫描始边。
5-4 不规则区域的处理—网格生成技术如何对不规则区域进行有效的处理，以便于进行传热与流动过程的数值模拟，是近年来计算传热研究中的一个重要课题。
以上讨论的传热过程大都发生在规则而简单的区域中，但许多实际的热传递现象是在不规则的区域中进行的，例如：①套片管中肋片的传热 ②渐扩通道中的流动与换热③环形空间中的自然对流 ④流体外掠管束以上四种情形中的流动与换热不是直角坐标、圆柱轴对称坐标或极坐标所能方便地予以描述。
虽然有限元法在处理不规则边界方面显示了极大的优越性，但就流动与传热而言，在计算技巧与方法方面，有限差分法都比有限元法成熟。
用有限差分法处理这类问题的方法可以归纳为以下几种。
1、采用阶梯形边界（网格）用阶梯形边界近似代替四分之一圆弧边界。
阶梯形边界（网格）是采用有限差分法计算不规则区域的最普通的方法。
缺点：程序缺少通用性；曲面边界上网格必须划得比较细密（否则会引起较大误差）。
2、采用区域扩充法当计算区域的边界不规则程度不很严重时，可以采用区域扩充法，把计算区域扩充为直角坐标，圆柱坐标等常规正交坐标系中易于描述的形状。
条件：保证原计算区域的情况不变！’qα,t f② ①v=实际值v=1030流动：把计算区域扩充到图中虚线所示的整个圆形通道，从而可以应用圆柱轴对称坐标系中的控制方程加以描述。
如何保证原来的情况不变？孔板区视为粘性无限大的“流体”，而其余区域的流体粘性值就等于真实值，边界上流速赋为零，计算中零边值将迅速传到孔板区域内，有效地模拟了孔板的存在。
传热：对三种不同的边界条件，具体的处理方式不同（1）均匀壁温边界条件令扩充区域中的导热系数为无限大，而扩充后的区域边界温度则等于已知值。
（2）绝热的边界条件 令扩充区域中的材料导热系数为零即可实现此条件 （3）均匀热流边界条件可应用附加源项法来实现，真实边界上均匀热流可以附加源项的形式置于与真实边界相邻的控制容积中去，而扩充区域则处于绝热状态。
周期性二维渐扩、渐缩通道中的换热，倾斜的边界上作用有均匀的热流。
采用左下所示阶梯形网格，并把计算区域扩充到一个长方形，以便利用直角坐标系求解。
看一个网格单元的放大后的情形，P 控制容积的附加源项为abcd of ad V qL S ∆=/L ef —实际边界与控制容积P 的两条边界相交部分的长度；abcd V ∆—控制容积P 的体积扩充区域0=扩λ，则控容P 中的附加源项ad S 不会向扩充区域传递，从而实现了实附边界上的均匀热流加热条件。
（4）外部对流换热边界条件，f t l -根据附加源项法，此时P 控制容积的两个附加源项为VL S VL t S e ad p offad c ∆⋅+-=∆⋅+=λδαλδα//11//1,,δ—网格节点P 到实际边界的距离0=扩λ区域扩充法的优点：可以用按规则区域编制的通用程序来计算非规则区域的问题；易于实施。
缺点：浪费一些计算机内存及计算时间。
3、采用三角形网格 外节点法对于不规则区域中的导热问题，采用三角形网格可以得到比较满意的结果。
从不规则区域的三角形网格中划出围绕节点P 的多边形来分析。
确定节点P 所代表的控制容积：①三角形外心作为控容的顶点，要求：三角形为锐角三角形，以保证外心一定在三角形内；②以三角形重心作为控容的顶点，对三角形形状无限制；外心为控制容积顶点，P 控制容积如图所示，各部分平均导热系数分别为f c b a λλλλ ,,,，用控制容积能量平衡法建立离散方程。
q q实际边界 dc p bδ eaλ扩≡0 计算 边界 q4 56123 e d cb fP-1之间的热导1'11'11///p b b p a a p L L L L c λλ+=21'111'1cot 21cot 21ββp b p a L L L L ==所以)cot cot (21cot 21cot 2121211βλβλβλβλb a b a p C +=+=常物性时，)cot (cot 21211ββλ+=p C其它各节点（2-6）与P 节点之间的热导亦按上式计算，而只需把21,ββ改换成相应顶角即可，P 控制容积的热容：变物性时，图示各部阴影部分的热容量之和∑∆iii p Vc )(,ρ由控制容积P 的热平衡可得∑∑∆+-=∆-∆ip p i pi o p p iV S t t C t t V c )()()(τρ常物性时，上式变为∑∆+-=∆-∆ip p i pi o p p pV S t t C t t V c )()(τρ以上二式右端温度值的时层未标出，它取决于所采用的格式。