热物理过程的数值模拟-计算传热学2

2．迁移性传递过程的两种机制：扩散传递、对流传递两种机制在物理特上的差异：对信息或扰动的传递性质上有很大的区别扩散传递：物质分子不规则热运动所致，这种分子的不规则热运动对空间不同方向的几率是一样，所以扩扩散作用可以把发生在某一位置处的扰动影响向各个方向传递。

对流传递：是流体微团的宏观定向运动，带有强烈的方向性。

对流作用只能将发生在某一位置处的扰动向其下游方向传递，而不会逆向传播。

图示ε扩散对流ε扩散与对流作用在物理本质上的这种差异，应在其各自的差分格式中反映出来。

（1）扩散项的中心差分把扰动向四周均匀传递 一堆非稳态扩散方程：)()(xx ∂∂Γ∂∂=∂∂φτρφ 对于常物性222x∂∂Γ=∂φτφρ 差分格式：时间导数向前差分，空间导数中心差分（显式），均匀网格x x δ=∆2111)(2x ni n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 为简化起见，假定初始时刻物理量场已均匀化，且0=φ，在某一时刻（例如第n 时层），节点i 处突然有一个扰动ε，而其余各节点的扰动均匀为零，如图所示，随着时间的推移，这一扰动传递的情形可由上述差分方程来确定，（n+1）时层：2111)(2x ni n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 其中011==-+ni n i φφ ∴)21())(21(221xx n i n i ∆Γ∆-=Γ∆∆-=+ρτερτφφ 在这里，网格傅里叶数)/(2x F ∆Γ∆=∆ρτ，按稳定性要求，1210,2/122≤∆Γ∆-≤∴≤∆Γ∆xx ρτρτ，对节点i+1：2121112xn i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆-+++++φφφτφφρ 其中0211==+++ni n i φφ∴)()(2211xx ni n i ∆Γ∆=∆Γ∆=++ρτερτφφ 类似地有：211)(xn i ∆Γ∆=+-ρτεφ 如果取25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ，则：εφφεφ25.0,5.011111===+-+++n i n i n ixφεxφ25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ时，在扩散作用下扰动的传递由图可见，在扩散作用下，n 时刻发生在节点i 处的扰动ε，到n+1时刻均匀地向两侧传递开去。

可见扩散项的中心差分格式具有迁移特性，与扩散过程的物理本质一致。

（2）对流项差分数表达式的物理特性如果对流项的某种差分格式使扰动仅沿着流动方向传递，则称此格多具有迁移特性。

①对流项的中心差分格式不具有迁移特性0=∂∂+∂∂xu φτφ 均匀网格，则有xu n i n i n i n i ∆--=∆--++2111φφτφφ类似地有：x u n in i n i n i ∆--=∆-++++22111φφτφφxu n i n i n i n i ∆--=∆---+-22111φφτφφn 时层，仅节点i 处有扰动ε，则：εφφ==+n i n i 1)(2)(2)(2)(21111xu x u xu x u n i n i n i n i ∆∆-=∆∆-=∆∆=∆∆=+-++τετφφτετφφi 处扰动同时向相反的两上方向传递②对流项的迎风差格式具有迁移性迎风差分：对流项中的一阶导数由该点及上游方向一个邻点的φ值确定。

,/)(/1∆-=∂∂+u x x ii i φφφ,/)(1>∆-=-u x i i φφ以u>0的情形来分析，n 时刻，仅节点i 处有扰动ε。

)1(,111xu x u xu n i n i n i n i n i n i n i n i ∆∆-=∆∆-=∆--=∆-+-+τφφτφφφφτφφ0,)()(,11121111111111==∆--=∆-∆∆=∆∆=∆--=∆--+----+-++++++ni n i n i n i n i n i n in i nin i n i n i u x u x u x u φφτφφτφφτετφφφφτφφi 扰动仅向流动方向传递对流项中心差分的截差为二阶 迎风差分 一 但就它们对流动过程的物理特性的模拟而言，迎风格式反而比中心差分更合理∴求解实际物理问题时，只注意差分格式的截差等级是不够的。

*背风格式的截差与迎风格式相同，但它只能使扰动逆流而上而不是顺流而下，这就完全违背了物理规律。

3-5 两个指导原则和四项基本法则不言而喻，对于数值解的总的要求应当是：1、物理真实性，即分布规律和变化趋势与实际过程一致，以物体冷却为例；热量分析，离散集总。

（1）数值解有偏差；（2）离散方程（或差分格式）非唯一（不同的型线选择），其所得的离散方程不相同）其数学特性和物理特性不相同，相应的数值解也不相同，随着网格节点数目↑，不同的离散方程将会给出相同的解，但节点数↑会导致内存↑，机时增加，是不希望的，希望在粗网格情形下，解也是真实的。

所以首先保证数值解的物理真实性，然后才是提高准确性。

t0 τ不真实的 近似而物理 真实的准确的不真实的2、总的平衡：能量、质量、动量、…的平衡总量平衡是解的物理真实性的必要条件，但不是充分条件。

如何确保所得到数值解满足物理真实性和总的平衡，离散方程应服从于一些什么样的约束条件？二、四项基本法则1、控制容积界面上的连续性…体现总的平衡分段线性分布，界面物性参数（例如界面导热系数）2、正系数法则 C P ≈常数的一维模型方程…体现物理真实性S xtx t c+∂∂∂∂=∂∂)(λτρ 差分格式，τ-∂∂x t /作显式阶梯式变化b t a a a a t a t a op w E o p o w o E E p p +--++=)(式中x S b x c a a x a x a op o pp w w w e e E ∆=∆∆====,,)(,)(τρδλδλ 注：①op w E p w E p a a a a a a a =--++=)(0…满足系数和法则②⇒≥--0w E op a a a 非均匀网格时ww e e x x xc )()(δλδλτρ+≥∆∆常物性、均匀网格：2/10≤⇒∆F如果τ-∂∂x t /取为隐式阶梯式变化，则有 b t a b t a t a t a t a nb b n op o p w w E E p p +=+++=∑x S b a a a a a x c a x a x a p nb p w E p o p w w e e E ∆=∑=++=∆∆===,,/,)/(,)/(0τρδλδλω对于稳态问题，0,→∞→∆op a τ，则b n w E p nb nb w w E E p p a a a a b t a b t a t a t a ∑=+=+∑=++=从物理过程看，由于扩散与对流作用而使φ发生变化，或者呈现一定的分布；从离散方程看，某个网格节点处的φ值只有通过扩散及对流作用才受到相邻网格节点上的φ值的影响，体现扩散（和对流）作用的是节点系数p nb a a ,，在其它条件不变的情况下，一个网格节点处φ值的增加，应导致相邻网格节点上φ值的增加而不是减少，在上述离散方程中，如果要Et↑必然导致p t ↑，则必然是E a 与p a 有相同的符号，即离散方程中中心节点系数p a 与各相邻节点系数nb a 的符号相同。

“离散方程中所有的节点系数（p a 及b a n ）必须总是正的”。

正系数法则保证了数值解的物理真实性。

相邻节点间的相互作用（制约，控制），决定了φ变量的变化趋势和分布： ①节点系数值体现影响的大小→体现在邻点系数和法则 ②节点系数的符号体现影响中心节点φ的变化趋势…真实性 3、源项的负斜率线性化…对物理真实性的补充，并影响到稳定性通常，S 是φ本身的函数，所以在建立离散方程时需要知道这种函数关系，但由于采用线性代数的方法来解离散化方程，所以只能将S （t ）在形式上表示成线性函数的关系，即将S-T “线性化”：p p c p t S S S +=S S c -的常数部分，p p t S -的系数（不代表节点P 处的S 值）控制容积积分：⎰⎰⎰⎰∆+∆++=e e p p c dx d t S S dx Sd ωωττττττττ)(t-x ：阶梯式分布；τ-t ：隐式阶梯式分布，则p p e c p p c t x S x S dx d t S S ⋅∆∆+∆∆=+⎰⎰∆+τττωτττ)(离散方程的变化：x S b x S a a a a c p op w E p ∆=∆-++=,由于S P 项的存在，即便所有的邻点系数均为正，p a 仍有可能为负，违背物理真实性所要求的正系数法则，解决方法：0≤p S“当源项线性化为p p c t S S S +=时，系数S P 必须≤0”物理意义上理解：大量实际过程中源项与φ变量之间确实具有负钭率关系。

对于正的S P ，如果没有有效的散热机构，则当p t ↑，会导致物理状态不稳定；从计算方法上讲，S P >0可能导致数值解不稳定和解在物理上的不真实。

导体的电阻,0),1(>+=ββt r r o ，则S P >0。

4、邻点系数和法则…对总的平衡的补充，对离散方程总的平衡的检验从数学上看，如果控制方程只包含φ变量的导数项而不包含非导数项，（与φ有关的源项），则φ和c +φ（c 是一个任意常数）均满足控制方程，这种性质应当反映在相应的离散方程中，即当p t 和所有的nb t 都增加同一常数值时，离散方程应仍然成立：b n p b n b n b n p p p b n b n p p a ac a t a c a t a c t a c t a ∑=⇒⋅∑+∑=+⇒+∑=+)()(当源项S 与φ（或t ）有关时，φ和c +φ不能同时满足控制方程，相应离散方程的节点系数不满足这一法则，如何理解？设想一个特殊情况S P =0来应用这一法则，以检验离散方程的正确性。

b n pb n p nb b n p p t a a t t a t a ∑=⇒∑=—中心节点温度是相邻节点温度的一个加权平均值。

如果所有邻点温度b n t 都相等，从物理上理解，p t 必=1=∑⇒pb n b n a a t ，b n p a a ∑=第四章 热传导4.1 研究对象及学习思路从本章开始，将数值方法应用于热物理过程，热物理过程由什么控制、描述？通用微分方程，它由四个部分组成，非稳态项、对流项、扩散项、源项。

向量形式S div S div w div +∇Γ=∂∂⇒+∇Γ=+∂∂)()()()()(φτρφφφρτρφ传导型 扩散型 直角张量形式 S x x S xj x u x jj j j j +∂∂Γ∂∂=∂∂⇒+∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂)()()()()(φτρφφφρτρφ 传导型 扩散型1、研究对象—传导型方程的数值解法应研究求解此通用控制方程的数值方法。