数学建模论文——下料问题
公选课数学建模论文钢管下料问题
公选课-数学建模论文-钢管下料问题钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x ⨯1.1+2x ⨯1.2+3x ⨯1.3+4x ⨯1.4）⨯a (1)为简化问题先不带入a约束条件 为满足客户需求应有11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15 (2) 21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4) 41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850 （6） 1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850 （7） 1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850 （8） 1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850 （9）由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000。
板材数模论文(1)
数学建模〔一〕、装箱设计问题〔二〕、板材玻璃下料问题组员：日期：板材玻璃下料问题摘要该问题属于优化问题中的排样问题。
排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。
本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。
在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少、材料利用率最高为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。
在第一题中，对每块原材料进行两个层次的切割。
首先按照零件需求量选用由大面积到小面积下料的两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用由大面积到小面积下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，而对每次切割的余料按同种方法再进行一次切割。
算出所需原材料的块数和利用率，求出最正确下料方案。
按照原材料的利用率，筛选出最正确的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所选方案是原材料的长对成品的宽，所求需要原材料的块数为579，利用率为95.03%。
第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，通过控制第一种规格原材料的基础上，来选取两种材料的最正确组合。
求得需要规格为2100cm×1650cm的原材料447块，需要规格为2000cm×1500cm的原材料146块，共计593块，利用率为%。
此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行优化问题的求解。
关键词：优化排样板材下料最优化一·问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。
在作材料预算时，需要求出原材料的张数。
已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。
由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。
切割次序和方法的不同、各种规格搭配〔即下料策略〕不同，材料的消耗将不同。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。
首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。
接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。
最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。
关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。
通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。
因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。
2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。
因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。
2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。
这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。
3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。
我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。
4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。
实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。
5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。
6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。
此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。
数学建模下料问题
表5-3 钢管下料的合理切割模式
4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料（米） 4 0 0 3 3 1 0 1 2 0 1 3
模式1 模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 模式7
1 1 0 0
2 1 3 0
0 1 0 2
3 1 1 3
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合 理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而 所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的 总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。 下面将对这两个目标分别讨论。
(38) (39) (40) (41)
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的 成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3 米），于是
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19 16 4r12 5r22 6r32 8r42 19 16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
Min x1 x2 x3
（37）
约束条件 为满足客户的需求，应有
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10 r31 x1 r32 x2 r33 x3 20 r41 x1 r42 x2 r43 x3 15
即按照模式2切割15根原料钢管，按模式5切割5根，按模 式7切割5根，共27根，可算出总余料量为35米。与上面 得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料 钢管的总根数减少了2根。在余料没有什么用途的情况下， 通常选择总根数最少为目标。
问题2）的求解
问题分析 按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确 定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4 种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规 划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍 性的方法。 同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于 客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中 只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所 以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅 选择总根数最少为目标进行求解。
关于钢材下料问题的数学建模论文
B 题 钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。
故该原料下料问题为典型的优化模型。
钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。
第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo 软件求出余料最少时，需要65根A 类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B 类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。
第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A 类钢管65根，采用5种切割模式，需B 类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A 类钢管75根，采用3种切割模式，需B 类钢管39根，采用4种切割模式。
第三问我们运用Lingo 软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。
为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m 赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo 解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z 和替代比例m 的关系，为4322083.31416.7279.1715.833160h a m m m m =+-+--（a 为总售出额）。
第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo 、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题： （1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少；（3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。
数学建模合理下料问题
数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？(一)模型假设：1，假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法：①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明：x1-x7，表示对应分割方法下4，6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，可以得到以下方程式：4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解：上述问题属于线性规划，它可以用单纯形法方法求解，也可以用LINDO软件求解。
用LINDO求解如下：直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后，选择菜单“solve”，并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。
即可得输出结果。
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设：一根钢管可以有以下15种分法：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明：x1-x15，表示对应分割方法下4，5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺，它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割，以便于后续加工和使用。
在进行钢管下料时，数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案，以最大程度地减少浪费，提高生产效率。
本文将以钢管下料数学建模为主题，探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。
二、问题描述假设有一根长度为L的钢管，需要按照给定的尺寸进行切割。
切割时需要考虑以下几个因素：1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求；2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况，即尽量减少剩余钢管的长度；3. 切割时需要考虑生产效率，即尽量减少切割次数。
三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型，通过建立数学模型，我们可以计算出最佳的下料方案。
下面将介绍两种常见的数学建模方法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法，它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。
在钢管下料问题中，贪心算法可以按照以下步骤进行：1）将钢管初始长度L赋值给一个变量remain；2）根据给定的尺寸要求，选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸，将其切割出来；3）将remain减去切割出来的钢管长度，得到剩余的钢管长度；4）重复步骤2和3，直到remain小于等于0。
2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法，它通过将原问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题。
在钢管下料问题中，动态规划可以按照以下步骤进行：1）建立一个长度为L+1的数组dp，dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数；2）初始化dp数组，将dp[0]设置为0，其余元素设置为正无穷大；3）从长度为1开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值；4）最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。
四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模，我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一根长度为9米的钢管，需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。
大学论文电气工程与自动化专业数学建模方法与应用课程论文基于最优理论的钢管下料问题
XX 大学本科生课程论文论文题目：基于最优理论的钢管下料问题学院：珠海学院学系：电气自动化研究所专业：电气工程及其自动化课程名称：数学建模方法及应用学生姓名：学号：指导教师：2010年6 月23 日基于最优化理论的钢管下料问题[摘要]本题求解的是钢管下料问题，是一个整数线性规划的优化模型。
问题（1）求解如何下料最为节省，对于如何为最节省，给出两个目标，一个是剩余总余料最省，另一个是切割原料钢管总根数最少。
对于总余料的定义为：每根钢管切割后不能再切割出产品的部分及生产出来而没有卖掉的产品。
两个目标虽然不同，但是最优解中所用的切割模式和切割钢管根数是一样的，因此两个模型具有等价性。
问题（2）求解的是如何下了是总费用最少。
总费用包括两个方面的费用：一是用于购买原料钢管的费用，这部分费用由购买原料钢管总根数决定；二是切割原料钢管的增加费用。
由于切割每根原料钢管的增加费用与原料钢管的价值成正比关系，可以目标函数转化为钢管根数的函数。
根据事实依据增加一些适当的约束条件，使软件快速和有效地求解。
[关键字]：钢管下料优化模型整数规划目录1．问题重述42．问题分析42.1.问题一42.2.问题二53．模型假设54．符号说明65．模型建立与求解65.1.问题一65.2.问题二96．模型检验及评价11参考文献11附录一12附录二151.问题重述某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出. 从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm. 现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.一根原料钢管最多生产5根产品. 此外, 为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.（1）应如何下料最节省？（2）为了简化生产过程, 规定所使用的切割模式的种类不能超过4种, 使用频率最高的一种切割模式按照每切割一根原料钢管价值的1/10增加费用, 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用, 依此类推。
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3.下料问题班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130摘要：本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。
主要考虑到两方面的问题。
钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。
有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。
特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。
关键词：余料、原材料、加工费、总费用。
一、问题背景工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。
相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。
因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。
二．问题描述及提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？在该目标下要求考虑下面两个问题：1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。
2.若钢管零售商是长时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件也留着准备下次售出），则每次应该以最少余料浪费为目标函数。
三．符号说明L：1850mm长的原料钢管。
a:长为290mm的零件。
b:长为315mm的零件。
c:长为350mm的零件。
d:长为455mm的零件。
e:余料。
p：一根原料钢管的价值。
x1:按照方案1需切割的原料钢管的个数。
x2:按照方案2需切割的原料钢管的个数。
x3:按照方案3需切割的原料钢管的个数。
x4:按照方案4需切割的原料钢管的个数。
x5:按照方案5需切割的原料钢管的个数。
x6:按照方案6需切割的原料钢管的个数。
x7:按照方案7需切割的原料钢管的个数。
x8:按照方案8需切割的原料钢管的个数。
x9:按照方案9需切割的原料钢管的个数。
x10:按照方案10需切割的原料钢管的个数。
s:原料费。
q：加工费。
Q:总费用x:频率最高的一种切割方案。
y:频率次之的切割方案。
由x,y依此类推定义n,m。
四．问题分析由上问题描述可知，每根钢管L对应有很多种分割零件方案。
分别如下：满足条件：1：规定所使用的切割模式的种类不能超过4种。
2：每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
3：为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小。
满足条件2和条件3的方案有10种。
从条件1知，现在从10个切割方案中选出不超过4种的方案使得总费用最小。
则从x1到x10中至少有6个约束变量为0。
.6．模型的建立与求解首要满足原料费最小值。
次要满足加工费最小值。
1.基于问题一：目标函数：原料费s=(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)*p加工费q=(x/10+y*2/10+n*3/10+m*4/10)*p约束函数:3*x1+2*x2+1*x1+1*x1+1*x1>=15;1*x2+2*x3+1*x4+3*x6+2*x7+1*x8>=28;2*x4+3*x5+1*x6+2*x7+3*x8+5*x9>=21;2*x1+2*x2+2*x3+1*x4+1*x5+1*x6+1*x7+1*x8+4*x10>=30xj>=0,j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10且xj为整数;(i)先不考虑整数的限制，即解相应的线性规划，的最优解为：x1=0.4190,x2=1.7087,x3=9.3878,x4=0.3278,x5=0.6114,x6=0.4138,x7=0.3306, x8=5.2868,x9=0.3156,x10=0.0000。
(ii)因为xj当前均非整数，故不满足整数要求，则需进行分支定界法。
（即每次对一个最趋近于0的点取0，在回带，使之最少有6个变量为0，依次顺序为x10=0—>x9=0—>x6=0—>x4=0—>x1=0—>x2=0具体操作见matlab程序）当回带到第6个值为0的变量时得当前最优解：x1=0,x2=0,x3=11.2,x4=0,x5=3.8,x6=0,x7=1.8,x8=2,x9=0,x10=0。
（1）当切割模式的种类为4种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=11,x4=0,x5=4,x6=0,x7=2,x8=2,x9=0,x10=0。
原料费s=19p加工费q=3.3p总费用Q=22.3p（2）当切割模式的种类为3种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=12,x4=0,x5=3,x6=0,x7=0,x8=4,x9=0,x10=0。
原料费s=19p加工费q=3p总费用Q=22p（3）当切割模式的种类为2种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=15,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=7,x9=0,x10=0。
原料费s=22p加工费q=2.9p总费用Q=24.9p（4）当切割模式的种类为1种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0,x9=0,x10=0。
原料费s=30p加工费q=3p总费用Q=33p综上所述：最优解：切割方案的种类为3种：按照方案3切割的原料钢管的个数为12根；按照方案5切割的原料钢管的个数为3根；按照方案8切割的原料钢管的个数为4根是，所的费用最少，为22p。
2.基于问题二:目标函数：余料：e=x1*70+x2*45+x3*20+x4*90+x5*55+x6*100+x7*65+x8*30+x9*100+x10*30加工费q=(x/10+y*2/10+n*3/10+m*4/10)*p约束函数:3*x1+2*x2+1*x1+1*x1+1*x1>=15;1*x2+2*x3+1*x4+3*x6+2*x7+1*x8>=28;2*x4+3*x5+1*x6+2*x7+3*x8+5*x9>=21;2*x1+2*x2+2*x3+1*x4+1*x5+1*x6+1*x7+1*x8+4*x10>=30xj>=0,j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10且xj为整数;此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=15,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=7,x9=0,x10=0。
余料e=510mm。
恰各个解都满足条件。
最优解：切割方案的种类为2种：按照方案3切割的原料钢管的个数为15根；按照方案8切割的原料钢管的个数为3根；按照方案8切割的原料钢管的个数为7根是，所的余料最少，为510mm。
七．模型评价求解结果表明，若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。
若钢管零售商是长时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件也留着准备下次售出），则每次应该以最少余料浪费为目标函数。
本模型在对问题深入分析地基础上，有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，对于实用下料问题提出简明的方案优化算法，结果接近最优解。
模型在算法的稳定性等方面缺乏理论分析，有效度的定义需要更加严密的证明。
附录：matlab代码：问题一中：（i）f=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];a=[-3 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0;0 -1 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 0;0 0 0 -2 -3 -1 -2 -3 -5 0;-2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 -4];b=[-15;-28;-21;-30];ib=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];ub=[];x=linprog(f,a,b,[],[],ib,ub)sum(x)x =0.41901.70879.38780.32630.61140.41380.33065.28680.3156ans =18.8000(ii)f=[1 1 1 1];a=[-1 -1 0 0;-2 0 -2 -1;0 -3 -2 -3;-2 -1 -1 -1];b=[-15;-28;-21;-30];ib=[0 0 0 0];ub=[];x=linprog(f,a,b,[],[],ib,ub)sum(x)Optimization terminated.x =11.20003.80001.80002.0000ans =18.8000问题二中：f=[70 45 20 90 55 100 65 30 100 30]; a=[-3 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0;0 -1 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 0;0 0 0 -2 -3 -1 -2 -3 -5 0;-2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 -4];b=[-15;-28;-21;-30];ib=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];ub=[];x=linprog(f,a,b,[],[],ib,ub)sum(x)Optimization terminated.x =0.00000.000015.00000.00000.00000.00000.00007.00000.0000 ans =22.0000。