数学建模之下料问题
公选课数学建模论文钢管下料问题
公选课-数学建模论文-钢管下料问题钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x ⨯1.1+2x ⨯1.2+3x ⨯1.3+4x ⨯1.4）⨯a (1)为简化问题先不带入a约束条件 为满足客户需求应有11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15 (2) 21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4) 41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850 （6） 1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850 （7） 1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850 （8） 1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850 （9）由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000。
数学建模 。下料问题
计算各种模式下的余料损失
上、下底直径d=5cm， 罐身高h=10cm。
模式1 余料损失 242-10d2/4 - dh=222.6 cm2
罐身个数 模式1 模式2 模式3 模式4 1 2 0 4 底、盖 个数 10 4 16 5 余料损失 （cm2） 222.6 183.3 261.8 169.5 冲压时间 （秒） 1.5 2 1 3
目标
Max 0.1 y1 0.001(222 .6 x1 183 .3x2 261 .8 x3 169 .5 x4 157 .1 y2 19 .6 y3 )
时间约束 1.5x1 2 x2 x3 3x4 144000 (40小时) 原料约束
x1 x2 x3 50000 ,
26 x1 x2 x3 31
模式排列顺序可任定
x1 x2 x3
LINGO求解整数非线性规划模型
Local optimal solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。
首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。
接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。
最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。
关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。
通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。
因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。
2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。
因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。
2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。
这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。
3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。
我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。
4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。
实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。
5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。
6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。
此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。
数学建模y04下料问题B题
aij ：第 j 种下料方式中第 i 种零件的切割数量， i = 1, , m, j = 1, , p 。 x j ：第 j 种下料方式使用的次数， j = 1, , p 。
∑ q ：所需原材料的数量， q = p x j 。 j =1
五．问题分析
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经 济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。 因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零件有 各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在 生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务，同时下料方式数 也尽量得少。
802～850 之间，且已找到 q = 850 的可行解。
表 2 不同废料长度下的下料方案
下料方案
T p
0 20" 40882
x = ( x1 , , x p )T ， x j ：第 j 种下料方式使用的次数，且 j = 1, , p 。
可行的下料方案应满足零件个数的约束，设下料方式集为 Am× p ，则有：
Am×p x ≥ n
其中 n = ( n1 ,…,nm )，且 x j 为整数，满足 x j ≥ 0, j = 1, , p 。
上取整值，由 A 、 x 中各分量的非负性，可以证明 A ⎡⎢ x⎤⎥ ≥ n 。
因此，若 x 为线性规划范畴下的可行解， ⎡⎢ x⎤⎥ 即为可行的下料方案，同理，若 x 为线性
规划范畴下的最优解， ⎡⎢ x⎤⎥ 即为较优的下料方案，对比同一下料方式集下最优的下料方案，
其原材料使用数量之差不大于 x 中非零分量的个数，例如在下料方式集 A0 下，线性规划结
数学建模下料问题
表5-3 钢管下料的合理切割模式
4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料（米） 4 0 0 3 3 1 0 1 2 0 1 3
模式1 模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 模式7
1 1 0 0
2 1 3 0
0 1 0 2
3 1 1 3
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合 理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而 所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的 总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。 下面将对这两个目标分别讨论。
(38) (39) (40) (41)
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的 成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3 米），于是
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19 16 4r12 5r22 6r32 8r42 19 16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
Min x1 x2 x3
（37）
约束条件 为满足客户的需求，应有
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10 r31 x1 r32 x2 r33 x3 20 r41 x1 r42 x2 r43 x3 15
即按照模式2切割15根原料钢管，按模式5切割5根，按模 式7切割5根，共27根，可算出总余料量为35米。与上面 得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料 钢管的总根数减少了2根。在余料没有什么用途的情况下， 通常选择总根数最少为目标。
问题2）的求解
问题分析 按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确 定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4 种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规 划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍 性的方法。 同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于 客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中 只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所 以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅 选择总根数最少为目标进行求解。
数学建模之下料问题
数学建模第三次作业下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。
生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。
这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。
本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。
本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。
通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。
于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
关键词：切割模式 LINGO软件线性整数一、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
下料问题数学建模(钢管)
防盗窗下料问题摘要本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。
问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。
模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。
关键词：钢管下料；最优化；lingo；问题提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。
每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。
根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
基本假设和符号说明1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；2、假设余料不可焊接；3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限；4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别；5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。
为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示：问题分析与模型建立问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。
考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺，它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割，以便于后续加工和使用。
在进行钢管下料时，数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案，以最大程度地减少浪费，提高生产效率。
本文将以钢管下料数学建模为主题，探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。
二、问题描述假设有一根长度为L的钢管，需要按照给定的尺寸进行切割。
切割时需要考虑以下几个因素：1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求；2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况，即尽量减少剩余钢管的长度；3. 切割时需要考虑生产效率，即尽量减少切割次数。
三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型，通过建立数学模型，我们可以计算出最佳的下料方案。
下面将介绍两种常见的数学建模方法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法，它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。
在钢管下料问题中，贪心算法可以按照以下步骤进行：1）将钢管初始长度L赋值给一个变量remain；2）根据给定的尺寸要求，选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸，将其切割出来；3）将remain减去切割出来的钢管长度，得到剩余的钢管长度；4）重复步骤2和3，直到remain小于等于0。
2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法，它通过将原问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题。
在钢管下料问题中，动态规划可以按照以下步骤进行：1）建立一个长度为L+1的数组dp，dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数；2）初始化dp数组，将dp[0]设置为0，其余元素设置为正无穷大；3）从长度为1开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值；4）最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。
四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模，我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一根长度为9米的钢管，需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学建模第三次作业下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。
生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。
这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。
本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。
本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。
通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。
于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
关键词：切割模式LINGO软件线性整数一、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
5、假设钢管余料价值为0.6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。
7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。
三、符号说明符号意义i ）切割的原料钢管表示按照第i种切割模式（1,2,3,4的根数第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm钢管的数量第i种切割模式下每根原料钢管生产315mm钢管的数量第i种切割模式下每根原料钢管生产350mm钢管的数量第i种切割模式下每根原料钢管生产455mm钢管的数量生产钢管过程所需要增加的总费用N 所需钢管的总根数四、问题分析和模型的建立与求解4.1、问题分析和模型的建立与求解4.1.1问题的分析结合题意，首先我们要确定应该选取哪些切割模式，生产15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管，每一种切割模式都要符合客户的需求在原料钢管上安排切割的一种组合，而且必须满足一根原料刚管只能生产5根钢管。
例如，我们可以将1850mm的钢管切割成5根长350mm的钢管，余料为100mm；或者将长1850mm的钢管切割成长315mm、355mm和455mm的钢管2根、2根、1根，余料为65mm。
显然，可行的切割模式是很多的。
于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式进行切割，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。
而由于需求的钢管规格为4种，所以枚举法的工作量较大。
可以用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3，4）切割的原料钢管的根数。
又设使用第i种切割模式下每根原料钢管生产长290mm、315mm、355mm和455mm的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i。
而所谓节省，这里有两种标准，一种切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。
4.1.2模型的建立根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即：min P=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4总根数最少：min N=x1+x2+x3+x4假设条件x1>=x2>=x3>=x4 (4-1)满足客户需求的约束条件为:r11x1+r12x2+r13x3+r14x4 ≥15 (4-2) r21x1+r22x2+r23x3+r24x4 ≥28 (4-3) r31x1+r32x2+r33x3+r34x4 ≥21 (4-4) r41x1+r42x2+r43x3+r44x4 ≥30 (4-5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm，也不能少于1750mm（余料不能大于100mm），于是1750≤15r11+28r21+21r31+30r41 ≤1850(4-6)1750≤15r12+28r22+21r32+30r42 ≤1850(4-7)1750≤15r13+28r23+21r33+30r43 ≤1850(4-8)1750≤15r14+28r24+21r34+30r44 ≤1850(4-9)最后，加上非负整数约束：xi ，rji ∈ Z+ ， i=1,2,3,4 j=1,2,3,4 (4-10)于是，问题归结为在在约束条件（4-2）～（4-10）下，求xi 和r1i ，r2i ，r3i ，r4i （i=1,2,3）使目标（4-1）达到最小。
显然这是线性整数规划模型。
4.1.3模型的求解非线性整数规划模型（4-1）～（4-9）虽然用LINGO 软件可以直接求解，但为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。
例如，由于4种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：x1≥x2≥x3≥x4 （4-11）又如，注意到所需原料钢管的总根数有明显的上界和下界。
首先，原料钢管的根数不可能少于19185045530350213152829015=⎥⎥⎤⎢⎢⎡⨯+⨯+⨯+⨯ (4-12)（根）。
其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6根290mm钢管，为满足15根290mm钢管的需求，需要3根原料钢管；第二种切割模式下只生产315mm钢管，一根原料钢管切割成5根315mm钢管为满足28根315mm的需求，需要6根原料钢管；第三种切割模式下只生产350mm钢管，一根原料钢管切割成5根350mm钢管，为满足21根350mm钢管的需求，需要5根原料钢管；第四种切割模式下只生产455mm钢管，一根原料钢管切割成4根455mm钢管，为满足30根455mm钢管的需求，需要8根原料钢管。
于是满足要求的这种生产计划共需要3+6+5+8=22根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束：19≤x1+x2+x3+x4≤22 (4-13) 将式（4-1）～（4-13）构成的模型输入LINGO如下：model:min=0.1*x1+0.2*x2+0.3*x3+0.4*x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;@gin(x1)；@gin(x2)；@gin(x3)；@gin(x4);@gin(r11)；@gin(r12)；@gin(r13)；@gin(r14);@gin(r21)；@gin(r22)；@gin(r23)；@gin(r24);@gin(r31)；@gin(r32)；@gin(r33)；@gin(r34);@gin(r41)；@gin(r42)；@gin(r43)；@gin(r44);End当花费P最少时，得到结果为:总共需要19根原料钢管。
分别为:模式一：一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共8根。
模式二：一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，455mm钢管2根总共6根。
模式三：一根原料可以切割成290mm钢管2根，350mm钢管1根，455mm钢管2根，总共5根。
当总根数最少时，得到结果为:总共需要19根原料钢管。
分别为：模式一：一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，455mm钢管2根，总共7根。
模式二：一根原料可以切割成315mm钢管1根，350mm钢管3根，455mm钢管1根总共5根。
模式三：一根原料可以切割成290mm钢管2根，315mm钢管1根，455mm钢管2根，总共4根。
模式四：一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共3根。
综合两种情况，当两个目标函数取最小值时，所需的总根数都为19。
如果选择总根数最小为目标函数，则切割模式增加一种，那么切割费用有所增加。
为此选择切割费用最小为目标函数，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
五、评价与改进在本文中，对于如何下料是根据客户的需要建立了两个目标函数，通过求解模型发现，总根数最小为目标函数及切割费用最小为目标函数都取最小值时，所需原料都一样。
那么本文的优点就是通过结果比较，再结合客户需求选取切割费用最少为目标函数。
此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
六、参考文献【1】姜启源等，《数学模型》(第三版)，高等教育出版社，2003七、附录7.1 附录正文附录一：Lingo求解代码：min=x1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);End附录二：Local optimal solution found at iteration: 43721Objective value: 19.00000Variable Value Reduced CostX1 8.000000 0.000000X2 6.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 0.000000R11 0.000000 0.000000R12 1.000000 0.000000R13 2.000000 0.000000R14 0.000000 0.000000R21 2.000000 0.000000R22 2.000000 0.000000R23 0.000000 0.000000R24 0.000000 0.000000R31 2.000000 0.000000R32 0.000000 0.000000R33 1.000000 0.000000R34 0.000000 0.000000R41 1.000000 0.000000R42 2.000000 0.000000R43 2.000000 0.000000R44 4.000000 0.000000Row Slack or Surplus DualPrice1 19.00000 -1.0000002 1.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 65.00000 0.0000007 20.00000 0.0000008 10.00000 0.0000009 30.00000 0.00000010 35.00000 0.00000011 80.00000 0.00000012 90.00000 0.00000013 70.00000 0.00000014 0.000000 -1.00000015 3.000000 0.00000016 2.000000 0.00000017 1.000000 0.00000018 5.000000 0.000000附录三：Local optimal solution found at iteration: 12509Objective value: 19.00000Variable Value Reduced CostX1 7.000000 0.000000X2 5.000000 0.000000X3 4.000000 0.000000X4 3.000000 0.000000R11 1.000000 0.000000R12 0.000000 0.000000R13 2.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 2.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 3.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R34 2.000000 0.000000 R41 2.000000 0.000000 R42 1.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000 R44 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 19.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 1.000000 0.0000004 -0.4975089E-07 0.0000005 0.000000 0.0000006 20.00000 0.0000007 30.00000 0.0000008 45.00000 0.0000009 65.00000 0.00000010 80.00000 0.00000011 70.00000 0.00000012 55.00000 0.00000013 35.00000 0.00000014 0.000000 -1.00000015 3.000000 0.00000016 2.000000 0.00000017 1.000000 0.00000018 1.000000 0.000000。