数学建模 生产计划问题
数学建模规划问题的经典案例
s.t.
x13 x34 x36 0; x12 x24 x25 0; x24 x34 x45 x47 0; x25 x45 x56 x57 0; x47 x57 x67 Q x36 x56 x67 0; xij 0， i , j 1,2,,7.
§2.4 案例
建立优化模型的一般步骤
1.确定决策变量 2.确定目标函数的表达式 3.寻找约束条件 例1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要 逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每 台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。第一条装配线每 天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和 手机每台的利润分别为100元和80元。问怎样制定生产计划？
问题1
不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不
同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数
量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、 占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，
A
T1
B
T
t
允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
( rT Q )(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 ( rT Q )2 c3 一个周期的总费用 2r
T
Q ( rT Q ) C c1 c2 c3 2r 2r
数学建模生产计划有关问题解析
201数学建模生产计划摘要本文主要研究足球生产计划的规划问题。
对于问题一足球总成本包括生产成本与储存成本，又由于足球各月的生产成本、储存成本率及需求量已知，故各月足球的生产量对总成本起决定因素。
在此建立总成本与足球生产量之间的关系，运用Matlab求出了总成本的最优解。
对于问题二储存成本率的大小影响了储存成本的高低，要使总成本最低，在储存成本率变化的情况下必须不断调整足球各月生产量，我们在Matlab中运用散点法，取了501个点，进而对图形进行线性拟合，得出储存成本率减小时各月足球生产量的变化情况。
对于问题三考虑到储存容量不能用储存成本率直接由函数表达，因此在Matlab 采用散点法结合表格分析法对501个点进行分析可得到储存成本率为0.39%时，储存容量达到最大。
关键词：最优解散点法线性拟合表格分析法问题的重述皮革公司在6个月的规划中根据市场调查预计足球需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000，在满足需求量的情况下使总成本最低，其包括生产成本及库存成本。
根据预测，今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95，而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。
目前公司的存货是5,000，每个月足球最大产量为30,000，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存10,000个足球。
问题一、建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
问题二、如若储存成本率降低，生产计划会怎样变化？问题三、储存成本率是多少时？储存容量达到极限。
问题的分析问题一要求在足球的需求量一定的情况下，使生产总成本和储存成本最小。
又足球的生产成本和储存成本率已知，故只需要建立生产总成本和储存成本与各月足球的生产量之间的优化模型，运用Matlab即可求出足球生产总成本和储存成本的最优化组合。
生产计划问题2
《数学建模与计算》问题生产计划问题一、问题的提出已知某工厂计划生产I 、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C设备上加工，有关数据如下：I II III 设备有效台数（每月）A 8 2 10 300B 10 5 8 400C 2 13 10 420单位产品利润（千元） 3 2 2.9试回答：(1) 如何发挥生产能力，使生产盈利最大？(2) 若为了增加产量，可租用别的工厂设备B，每月可租用60台时，租金1.8万元，租用B设备是否划算？(3) 若另有二种新产品IV、V，其中新产品IV需要设备A为12台时、B为5台时、C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V需要A为4台时、B为4台时、C为12台时，单位产品盈利1.87千元，如果A、B、C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？(4) 对产品工艺重新进行设计，改进结构。
改进后生产每件产品I需要设备A 为9台时、设备B为12台时、设备C为4台时，单位盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？二、问题的分析对问题进行分析，该问题属于线性规划问题中的整数规划问题，需要根据线性规划的思想，根据题意建立线性规划问题。
根据线性规划的思想，建立线性规划模型，要根据已知条件建立出目标函数，意义对目标函数所影响的约束条件。
对于该问题，首先要确定决策变量，要求如何生产三种产品使得利润最大。
其次，根据约束条件，利用工具求解。
最后，确定问题的目标函数，由题意知安排最好的生产方式使得总的盈利最大。
三、基本假设(1) 在已知条件下该问题存在可行解。
(2) 生产产品是设备部损坏。
四、定义符号的说明1x 每月生产产品I 的台数 2x 每月生产产品II 的台数3x 每月生产产品III 的台数 4x 每月生产产品IV 的台数5x 每月生产产品V 的台数 z 每月最大的总盈利五、模型的分析、建立以及结果分析 5.1模型的分析对问题进行分析，该问题属于规划问题中的整数规划问题！建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式； 第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。
数学建模题目c (2)
关于炼油厂生产计划的分析讨论问题引出炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。
一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。
原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。
问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？一般来说，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可以使这种汽油日销量增加10桶。
问如何安排生产计划和广告计划使利润最大？基本假设假设A、B、C每种原油生产甲、乙、丙每种汽油的产量以及广告投入如下表所示：建立模型及求解一、不考虑广告投入时的模型求解：由以上述条件可知：PA=PB=PC=0;总利润为：70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+ X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)针对买入量与总产量得条件①：X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3≤14000;X1+X2+X3≤5000;Y1+Y2+Y3≤5000;Z1+Z2+Z3≤5000;针对需求量得条件②：X1+Y1+Z1≥3000;X2+Y2+Z2≥2000;X3+Y3+Z3≥1000;针对辛烷值得条件③：12%*X1+6%*Y1+8%*Z1≥10%*(X1+Y1+Z1);12%*X2+6%*Y2+8%*Z2≥2%*(X2+Y2+Z2);12%*X3+6%*Y3+8%*Z3≥6%*(X3+Y3+Z3);针对硫含量得条件④：0.5%*X1+2.0%*Y1+3.0%*Z1≤1.0%*(X1+Y1+Z1);0.5%*X2+2.0%*Y2+3.0%*Z2≤0.8%*(X2+Y2+Z2);0.5%*X3+2.0%*Y3+3.0%*Z3≤1.0%*(X3+Y3+Z3);X1,X2,X3，Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3均为非负整数；结果分析与检验利用LING0 9.0求解在上述四条件下利润的最大值得（LINGO程序见附录一）：当X1=2400,X2=1600, X3=800,Z1=600,Z2=400,Z3=200,其余变量值为0；即用A类原油生产2400桶甲类汽油，生产1600桶乙类石油，生产800桶丙类石油，用C类原油生产600桶甲类汽油，用C类原油生产400桶乙类汽油，用C类原油生产200桶丙类汽油时，总利润达到最大值为110000元。
数学建模-生产计划问题
- - . 数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号- - 考试资料.WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。
针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。
模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。
WORD 格式整理关键词：Lingo、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。
学习参考资料分享WORD 格式 整理学习 参考 资料 分享该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I 、II 、III 产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。
因更换工艺装备，产品I 在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I 、II 每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III 赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
二、问题分析 该问题的目标是使一年内总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。
三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。
数学建模与应用案例练习题
数学建模与应用案例练习题数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法和计算机技术求解的过程。
它在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决现实中的复杂问题。
下面我们将通过一些具体的案例练习题来深入了解数学建模的方法和应用。
案例一：生产计划优化问题某工厂生产 A、B 两种产品，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的工时。
工厂现有 100 个单位的原材料和 80 个单位的工时，A 产品的单位利润为 5 元，B 产品的单位利润为 4 元。
问如何安排生产计划，才能使工厂获得最大利润？首先，我们设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。
那么，目标函数就是利润最大化，即 Z ＝ 5x ＋ 4y。
然后，我们需要考虑约束条件。
原材料的限制为 2x ＋3y ≤ 100，工时的限制为 3x ＋2y ≤ 80，同时 x、y 都应该是非负整数。
接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解这个问题。
通过绘制可行域，找到目标函数在可行域上的最大值点。
经过计算，我们可以得出当 x ＝ 20，y ＝ 20 时，工厂能够获得最大利润 180 元。
这个案例展示了数学建模在生产决策中的应用，通过合理地安排生产计划，能够有效地提高企业的经济效益。
案例二：交通流量预测问题在一个城市的某个十字路口，每天不同时间段的车流量不同。
我们收集了过去一段时间内每天各个时间段的车流量数据，希望建立一个数学模型来预测未来某一天的车流量。
首先，我们对收集到的数据进行分析，发现车流量具有一定的周期性和季节性变化。
然后，我们可以选择使用时间序列分析的方法来建立模型。
比如，可以使用 ARIMA 模型（自回归移动平均模型）。
在建立模型之前，需要对数据进行预处理，包括平稳性检验、差分处理等。
通过建立合适的 ARIMA 模型，并进行参数估计和检验，我们就可以利用这个模型对未来的车流量进行预测。
数学建模：生产计划
问题二：生产计划某厂用一套设备生产若干种产品。
工厂靠银行贷款筹集资金，根据市场需求安排生产，现考虑以下的简化情形：1) 设生产甲乙两种产品, 市场对它们的需求分别为d1,d2 (件/天)，该设备生产它们的最大能力分别为U1,U2 (件/天)，生产成本分别为c1,c2 (元/件)。
当改变产品时因更换零部件等引起的生产甲乙前的准备费用分别为 s1,s2(元)。
生产出的产品因超过当天的需求而导致的贮存费用，按生产成本的月利率r 引起的积压资金的k 倍计算（每月按30天计）。
设每种产品的生产率都可以从零到最大能力之间连续调节，每种产品当前的需求均需满足。
请您为工厂制订合理、易行的生产计划，使上面考虑到的费用之和尽可能小。
2）考虑有n 种产品的情形，自行给出一组数据进行计算，讨论模型有解的条件。
提示：考虑稳定的、周期性的计划（不必考虑初始情况）解：1)设每次生产周期中a 天生产甲产品,第i 天产量为x 1i 件；b 天生产乙产品，第j 天产量为x 2j 件。
则目标函数如下：∑∑==--+--++=bj a i k r c i a d j x k r c j b d i x 1130/**2*)(*)22(30/**1*)(*)11(s2s1minf约束条件为： d1<U1d2<U2x 1i ≤U1x 2j ≤U2解以上线性规划即可得出。
2）设每次生产周期中生产第i 种产品一共 用时k i 天,且在这k i 天中的第j 天产量为x ij 件。
其中，i ，j ≥0.由题可得，目标函数如下：30/***)(min 111k r c d x s f i k j i ij n i n i n i ∑∑∑===-+=约束条件为：di<Uix ij≤Ui0<i≤n0<j≤k i解以上线性规划即可。
以上线性规划都是以一般形式给出了题目的解答，模型缺少一定的数据，缺乏一定得说服力。
数学建模例题
问雪堆全部融化需要多少小时? 15.(目标规划)某厂生产甲乙两种产品,这两种产品都需要在 ABC 三种不同的设备上加工,有 关数据见下表.
设备
每吨产品的加工台时 甲 乙 4 4 8 30
总有限台时
A B C 利润(元/吨)
3 5 9 32
36 40 76
工厂在安排生产计划时,有以下要求: (1) 根据市场信息,甲产品的销售量有下降的趋势 ,故考虑甲产品的产量不大于乙产品的产
xi 0 , i 1 , 2 , , 8
x1 10, x2 50, x4 30 ，其余为 0，
min z 90 ，
余料 16m 。
（4—100，6—50，余 10） 3. (指派问题)有一份说明书要译成英文,日文,德文和俄文四种文字,规定一人只能译一种 文字,一种文字也只能由一人来译,四人翻译所需时间如下,如何安排可使所花费的总时 间最少? 英 甲 乙 丙 丁 2 10 9 7 日 15 4 14 8 德 13 14 16 11 俄 4 15 13 9
i 1 j 1
x
i 1
4
3
ij
b j ( j 1, 2, 3, 4)
ai ( i 1, 2, 3)
x
j 1
ij
xij 0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3,4
5.(动态投资)某地区在今后三年内有四种投资机会: (1) 在三年内每年年初投资,年底可获利 20%,并可将本金收回; (2) 在第一年年初投资,第二年年底可获利 50%,并可将本金收回,但该项投资不得超过 2 万 元; (3) 在第二年年初投资,第三年年底收回本金,并可获利 60%,但该项投资不得超过 1.5 万元; (4) 在第三年年初投资,于该年年底收回本金,且可获利 40%,但该项投资不得超过 1 万元. 现在该地区准备拿出 3 万元资金,问如何制订投资计划,可使到第三年年底本利和最大? 6.(风险组合投资)市场上有 n 种资产(如股票,债券等) si (i=1,2,…n),某公司有数额为 M 的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资 . 设购买 si 的平均收益率为 ri , 风险损失率为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一题：生产计划安排2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产答：max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量st!限制条件6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件End！结束限制条件得到以下结果1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变3. max3x1+x2+4x3st6x1+3x2+5x3<45end可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位4. max3x1+x2+4x3+3x4st6x1+3x2+5x3+8x4<453x1+4x2+5x3+2x4<30endginx1ginx2ginx3ginx4利润没有增加，不值得生产第二题：工程进度问题某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。
工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。
然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。
每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。
例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。
试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。
答：假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。
另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润：50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13)工程2利润：70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24)工程3利润：20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)工程4利润：20*X43+20*（X43+X44）max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44))st 5000*X11+15000*X31=30005000*X12+8000*X22+15000*X32=60005000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=70008000*X24+15000*X34+12000*X44=70008000*X25+15000*X35=7000X11+X12+X13=1X22+X23+X24+X25≥X22+X23+X24+X25≤1X31+X32+X33+X34+X35≥X31+X32+X33+X34+X35≤1X43+X44=1全为大于零的数Lingo语句：Model:max=50*(4*X11+3*X12+2*X13)+70*(3X22+2*X23+1*X24)+150*(4*X31+3*X32+2*X33+1*X3 4)+20*(2*X43+1*X44)!约束条件5000*X11+15000*X31<=3000;5000*X12+8000*X22+15000*X32<=6000;5000*X13+8000*X23 +15000*X33+1200*X43<=7000;8000*X24+15000*X34+1200*X44<=7000;8000*X25+15000*X35< =7000;X11+X12+X13=1;X22+X23+X24+X25<=1;X22+X23+X24+X25>=;X31+X32+X33+X34+X35<=1; X31+X32+X33+X34+X35>=;X43+X44=1;End输出结果：Objective value:Total solver iterations: 9Variable Value Reduced CostX11X12X13X22X23X24X31X32X33X34X43X44X25X35Row Slack or Surplus Dual Price123456789101112结果分析：要获得最大利润，需在第一年投资3000万的资金在工程3上，第二年投资6000万资金在工程3上，第三年投资5000万在工程1上，1200万在工程4上，800万投资在工程3上，第四年投资1800万在工程2上，5200万在工程3上，第五年投资200万在工程2上，剩余6800万，获得的最大利润万元。
3.投资问题假设投资者有如下四个投资机会，A在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息元，每年取息后可重新将本息投入生息，B在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息元。
两年后取息，可重新将本息投入生息，这种投资最多不得超过20万元。
C，在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息元，这种投资最多不得超过15万元。
D在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元可获得利息元，这种投资不得超过10万元，假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30万元的资金可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益。
答：用xiA ,xiB ,xiC, xiD ,i=1,2,3, 表示第i年初给项目A,B,C,D的投资金额，则max ＋＋s．t．x1A+x1B=30=x2A+x2Cx3B＋x3A+x3D=+x1B≤20x2C≤15x3D≤10程序如下：model:1]max=*X3a+*X2c+*X3d;2]X1a+X1b=30;3]X2a+*X1a=0;4]X3b+X3a+**X1b=0;5]@bnd(0,X1b,20);6]@bnd(0,X2c,15);7]@bnd(0,X3d,10);End运行结果如下：Global optimal solution found at iteration: 4Objective value:Variable Value Reduced CostX3AX2CX3DX1AX1BX2AX3BRow Slack or Surplus Dual Price1234因此，第一年在机会A上投资万元，在机会B上投资万元，第二年在机会C上投资15万元，第三年在机会A上投资万元，在机会D上投资10万元，可获得最大收益万元。
4.生产计划与库存问题某产品的制造过程由前后两道工序一和二组成。
下表提供了在未来的6-8月份的相关数据。
生产一件的产品在工序一上花小时，在工序二上另外花小时，在任何一个月过剩的产品，可以是半成品工序一，也可以是成品工序二，允许在后面的月中使用，相应的储存成本是每间每月1元和2元，生产成本随工序和随月份变化。
对于工序一，单位生产成本在六七八月份分别为50元，60元，和55元。
对于工序二，相应的单位生产费用分别为75元，90元答：model:min = 50*x11 + 75*x21 + (x11-500) + (x21-500)*2+ 60*x12 + 90*x22 + (x11 + x12 -950) + (x21 + x22 -950)*2+ 55*x13 + 80*x23 + (x11 + x12 + x13 - 1550) + (x21 + x22 + x23 - 1550)*2;*x11 <= 800;*x21 <= 1000;x11 >= 500;x21 >= 500;x11 >= x21;x11 + x12 -950 >= 0;x21 + x22 -950 >= 0;*x12 <= 700;*x22 <= 850;x11 + x12 >= x21 + x22;x11 + x12 + x13 - 1550 >= 0;x21 + x22 + x23 - 1550 >= 0;*x13 <= 550;*x23 <= 700;x11 + x12 + x13 >= x21 + x22 + x23;endgin 75.志愿者排班问题1）一家医院雇佣志愿者作为接待处的工作人员，接待时间是从早上八点到晚上十点，每名志愿者连续工作三小时，只有在晚上八点开始工作的人员除外，他们只工作两小时，对于志愿者的最小需求可以近似成2小时间隔的阶梯函数，其函数在早上八点开始，相应的需求人数分别是4、6、8、6、4、6、8.因为大多数志愿者是退休人员，他们愿意在一天的任何时间（早上八点到晚上十点）提供他们的服务，然而，由于大多数慈善团体竞争他们的服务，所需的数目必须保持尽可能的低。
为志愿者的开始时间确定最优的时间表。
2）在问题一中，考虑到午饭和晚饭，假定没有志愿者愿意在中午十二点和晚上六点开始工作，确定最优的时间表。
答：X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14人数时间段8X149X1X210X1X2X3611X2X3X412X3X4X5813X4X5X614X5X6X7615X6X7X81）假设每个小时段的Xi,i=1,2,3,-14Lingo程序：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+X14;x1>=4;x1+x2>=4;x1+x2+x3>=6;x2+x3+x4>=6;x3+x4+x5>=8;x4+x5+x6>=8;x5+x6+x7>=6;x6+x7+x8>=6;x7+x8+x9>=4;x8+x9+x10>=4;x9+x10+x11>=6;x10+x11+x12>=6;x11+x12+x13>=8;x12+x13+X14>=8;end运行结果Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 11Variable Value Reduced CostX1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14Row Slack or Surplus Dual Price123456789101112131415结果显示，最少需要32名志愿者参加志愿工作。