概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
最新概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计习题及答案 第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (01)p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件:前1k -次出现正面,第k 次出现反面,或前1k -次出现反面,第k 次出现正面,所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -,所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==,max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L , 此乃因为,如果r a <,则r 个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球,此时k 应从r a -开始。
3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。
则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=, 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=, 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=,1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4.一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。
概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案

P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立 故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1
p·
16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5
p·
20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却 要写 X 的值域哦~
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1.设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值:)0,0(,)1,1(-,31,1(-及)0,2(,且取这几组值的概率依次为61,31,121和125,求二维随机变量),(Y X 的联合分布律.解:由二维离散型随机变量分布律的定义知,),(Y X 的联合分布律为2.某高校学生会有8名委员,其中来自理科的2名,来自工科和文科的各3名.现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席.设X ,Y 分别为主席来自理科、工科的人数,求:(1)),(Y X 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律.解:(1)由题意,X 的可能取值为0,1,2,Y 的可能取值为0,1,2,3,则561)0,0(3833====C C Y X P ,569)1,0(381323====C C C Y X P ,569)2,0(382313====C C C Y X P ,561)3,0(3833====C C Y X P ,283)0,1(382312====C C C Y X P ,289)1,1(38131312====C C C C Y X P ,283)2,1(382312====C C C Y X P ,0)3,1(===Y X P ,563)0,2(381322====C C C Y X P ,563)1,2(381322====C C C Y X P ,0)2,2(===Y X P ,0)3,2(===Y X P .),(Y X 的联合分布律为:(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他.,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求:(1)常数k ;(2))3,1(<<Y X P ;(3))5.1(<Y P ;(4))4(≤+Y X P .解:方法1:(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰,∴81=k .(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y .(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y .(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x .方法2:(1)同方法1.(2)20<<x ,42<<y 时,⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=,其他,0),,(=y x F ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他.,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P .(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F .(4)同方法1.4.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他.,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求:(1)常数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数.解:(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-,∴2=A .(2)0>x ,0>y 时,⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=,其他,0),(=y x F ,∴⎩⎨⎧>>--=--其他.,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x .5.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他.,0,10,10,),(y x Axy y x f 求:(1)常数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数.解:(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ,∴4=A .(2)10≤≤x ,10≤≤y 时,⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=,10≤≤x ,1>y 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=,10≤≤y ,1>x 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=,1>x ,1>y 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ,其他,0),(=y x F ,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他.,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F .6.把一枚均匀硬币掷3次,设X 为3次抛掷中正面出现的次数,Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求:(1)),(Y X 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律.解:由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3;Y 的可能取值为1,3.易知0)1,0(===Y X P ,81)3,0(===Y X P ,83)1,1(===Y X P ,0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ,0)3,2(===Y X P ,0)1,3(===Y X P ,81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为:7.在汽车厂,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的:一是紧固3只螺栓;二是焊接2处焊点,以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目,以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目,且),(Y X 具有联合分布律如下表:求:(1)在1=Y 的条件下,X 的条件分布律;(2)在2=X 的条件下,Y 的条件分布律.解:(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=,所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ,81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ,101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ,401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ,故在1=Y 的条件下,X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=,所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ,41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ,81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ,故在2=X 的条件下,Y 的分布律为:Y 012P8541818.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他.,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求:(1)常数c ;(2)X 的边缘概率密度函数;(3))2(<+Y X P ;(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y .解:(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-,∴2=c .(2)0>x 时,⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=,0≤x 时,0)(=x f X ,∴⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(2x x x f x X ,同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y .(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x .(4)由条件概率密度公式得,当0>y 时,有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他.其他.,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ,同理,当0>x 时,有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他.其他.,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y .9.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他.,0,0,10,3),(x y x x y x f 求:(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数;(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y .解:(1)10<<x 时,⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰,其他,0)(=x f X ,∴⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,3)(2x x x f X ,密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ,∴10<<y 时,⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰,其他,0)(=y f Y ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10),1(23)(2y y y f Y .(2)当10<<y 时,有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他.其他.,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X .当10<<x 时,有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他.其他.,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y .10.设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他.,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P .解:⎩⎨⎧<<<==其他.,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ,则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx .11.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他.,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求:(1)),(Y X 的边缘概率密度;(2)X 与Y 是否独立;(3))),((D Y X P ∈,其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域.解:(1)10<<x 时,x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-,其他,0)(=x f X ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他.,0,10,322)(2x x x x f X ,20<<y 时,⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ,其他,0)(=y f Y ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他.,0,20,316)(y y y f Y .(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠,∴X 与Y 不独立.(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=,∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x .12.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他.,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ,Y 的独立性.解:当0>x 时,xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002,当0≤x 时,0)(=x f X ,故⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x x f x X ,同理,可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ,因为)()(),(y f x f y x f Y X =,所以X 与Y 相互独立.13.设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布,求X 与Y 的边缘概率密度,并判断X 与Y 是否相互独立.解:由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他.,0,,21),(2a y x a y x f ,当0<<-x a 时,有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-,当a x <≤0时,有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-,当a x ≥时,0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2,同理,由轮换对称性,可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2,显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠,所以X 与Y 不相互独立.14.设X 和Y 时两个相互独立的随机变量,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ,试求a 有实根的概率.解:(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,1)(x x f X ,因为X 与Y 相互独立,所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他.,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ,(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤,记为D ,即}|),{(2X Y Y X D ≤=,设=A {a 有实根},则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=.15.设i X ~)4.0,1(b ,4,3,2,1=i ,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,求行列式4321X X X X X =的分布律.解:由i X ~)4.0,1(b ,4,3,2,1=i ,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,易知41X X ~)84.0,16.0(b ,32X X ~)84.0,16.0(b .因为1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,所以41X X 与32X X 也相互独立,又32414321X X X X X X X X X -==,则X 的所有可能取值为1-,0,1,有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=,)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=,)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=,故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他.,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数.解:0≤z 时,若0≤x ,则0),(=y x f ;若0>x ,则0<-=x z y ,也有0),(=y x f ,即0≤z 时,0),(=y x f ,此时,0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F .0>z 时,若0≤x ,则0),(=y x f ;只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时,0),(≠y x f ,此时,⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1.综上⎩⎨⎧≤>--=--.0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ,所以⎩⎨⎧≤<='=-.0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z .17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他.,0,10,1)(x x f X ,⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度.解:0<z 时,若0<x ,则0)(=x f X ;若0≥x ,则0<-=x z y ,0)(=-x z f Y ,即0<z 时,0)()(=-x z f x f Y X ,此时,0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z .10≤≤z 时,若0<x ,则0)(=x f X ;只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ,此时,z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(.1>z 时,若0<x ,0)(=x f X ;若1>x ,0)(=x f X ;若10≤≤x ,则0>-=x z y ,此时,0)()(≠-x z f x f Y X ,z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(.综上,⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--.0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z .18.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他.,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立?(2)求Y X Z +=的概率密度.解:(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠,∴X 与Y 不独立.(2)0≤z 时,若0≤x ,则0)(=x f X ;若0>x ,则0<-=x z y ,0),(=y x f ,此时,0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z .0≥z 时,若0≤x ,则0)(=x f X ;只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ,此时,⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ .19.设X 和Y 时相互独立的随机变量,它们都服从正态分布),0(2σN .证明:随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ.证:因为X 与Y 相互独立,均服从正态分布),0(2σN ,所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=,(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时,有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ,此时,2222e)(σσz Z z z f -=;当0<z 时,=≤+}{22z Y X ∅,所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ,此时,0)(=z f Z ,综上,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ.20.设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布,求},min{Y X Z =的概率密度.解:由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他.,0,20,10,21),(y x y x f ,易证,X ~]1,0[U ,Y ~]2,0[U ,且X 与Y 相互独立,⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ,可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.1,1,10,223,0,02z z z z z ,求导,得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10,23)(z z z f Z .21.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他.,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ;(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ;(3)求函数},max{Y X U =的分布函数.解:(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ,∴1e11--=b .(2)10<<x 时,1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ,其他,0)(=x f X ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他.,0,10,e 1e )(1x x f xX ,0>y 时,⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1,0≤y 时,0)(=y f Y ,∴⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y .(3)0≤x 时,0)(=x F X ,10<<x 时,101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ,1≥x 时,1)(=x F X ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--.1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ;0≤y 时,0)(=y F Y ,0>y 时,y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0,∴⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(y y y F y Y ,故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---.1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu .。
概率论与数理统计第3章课后题答案

概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率:(1)P( a);(2)P( a);(3)P( a);(4)P( a) 解:(1)P( a) F(a 0) F(a);(2)P( a) F(a 0);(3)P( a)=1-F(a);(4)P( a) 1 F(a 0)。
3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果(1) x(2)0 x ,在其它场合适当定义;(3)- x 0,在其它场合适当定义。
解:(1)F(x)在(- , )设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x),即p(x) p( x),证明:对任意的a 0,有(1)F( a) 1 F(a)12ap(x)dx;(2)P( a) 2F(a) 1;(3)P( a) 2 1 F(a) 。
证:(1)F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 (2)P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx;ap(x)dx 2 p(x)dx,由(1)知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1;12ap(x)dx。
(3)P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数,又a 0,b 0是两个常数,且a b 1。
证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数,并由此讨论,分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型?证:因为F1(x)与F2(x1) F2(x2),于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数,当x1 x2时,F1(x1) F1(x2),又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以,F(x)也是分布函数。
《概率论》数学3章课后习题详解

概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解:由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。
解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量,因此∑==1001i i ξξ,则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值:)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题(15分)题型一:概率分布的考察 【相关公式】(P379)【相关例题】 1、设(,)XU a b ,()2E X =,1()3D Z =,则求a ,b 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第三章1.解:考虑分5次取产品,每次取一个。
设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数,引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果:1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩,第次取到次品 (=1,2,3,4,5),第次取到合格品则有12345X X X X X X =++++易知,X i 有相同的分布律:14109951001{1}10i C P P P X ⨯===, 19{0}11010i X P ==-=则911()01101010i X E =⨯+⨯=,于是51234511()()()50.510i i E X E X X X X X E X ==++++==⨯=∑。
注意:随机变量X 并不服从二项分布,这是因为每次取产品的结果不是相互独立的,前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。
为了理解这一点,可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值;或者改成100个产品中有2个次品,求任意取出的5个产品中次品数的期望值;注意在这两种情形下,随机变量X 的可能取值。
2.解:设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数,由于每个人生日在各个月份的机会是同样的,并且每个人的生日应该相互独立,因此(,)13 4X B ,那么3人中生日在第一季度的平均人数为().130754E X n p ==⨯=。
3.略。
4.解:由于()X P λ ,因此(),()E X D X λλ==,再由公式()()[()]22D XE X E X =-,可求得()()[()]222E X D X E X λλ=+=+。
由数学期望的性质,有[()()][]()()22221232 32 32 22E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+则可得到关于λ的方程2221λλ-+=亦即2210λλ-+=容易求得1λ=。
5.解:(1)设随机变量X 表示发生故障的设备台数,则依题意可知(,.)20 001X B ,由于20n =较大,.001p =较小,因此(.)02X P 近似。
当发生故障的设备超过一台的时候,维修工就不能及时维修,其概率为{}{}{}...11011081870163700176P X P X P X >=-=-==--=;(2)设随机变量X 表示发生故障的设备台数,则依题意可知(,.)80 001X B ,由于80n =较大,.001p =较小,因此(.)08X P 近似。
当发生故障的设备超过三台的时候,维修工就不能及时维修,其概率为{}{}{}{}{}.....310123 10449303595014380038300091P X P X P X P X P X >=-=-=-=-==----=6.解:方法一:由于函数12xxe-为奇函数,因此()()102xE X xf x dx xedx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰;方法二:由期望的计算公式,可得()()[][]001112221111 02222xxxxxxxE X xf x dx xedx xe dx xedxxe e xee+∞+∞+∞---∞-∞-∞--+∞-∞===+=-+--=-+=⎰⎰⎰⎰7.解为奇函数,因此()()10E X xf x dx +∞-∞-===⎰⎰;方法二:由期望的计算公式,可得()()()112111102xE X xf x dx x +∞-∞--===--=-=⎰⎰⎰8.解:依题意,可得()()().10110110752aa k f x dx kx dx a k E X xf x dx kx dx a +∞-∞+∞+-∞⎧===⎪⎪+⎨⎪====⎪+⎩⎰⎰⎰⎰; 因此,求解上述方程组,可求得,2 3a k ==。
9.解:(1)由概率密度函数的性质,可得()sin cos sin cos 4440221244kk k f x dx k x xdx xdx xπππ+∞-∞===-==⎰⎰⎰;因此,可求得4k =;(2)由期望的计算公式,可得()()sin cos sin cos cos cos sin 4404444042211 222222E X xf x dx x x xdx x xdxx d x x xxdx xππππππ+∞-∞==⋅=⋅=-⋅=-+==⎰⎰⎰⎰⎰。
10.解:依题意,可知(.)0002X E ,其中.0002λ=; (1)...{}().100100100000200020210000021xxP X f x dx edx ee----∞>===-=-⎰⎰;(2)热水器平均能正常使用的时间为().115000002E X λ===小时。
11.解:由课本48页定理2随机变量函数的期望计算公式,有()(sin )sin ()sin 0xE Y E X xf x dx xedx +∞+∞--∞===⎰⎰;而sin sin sin sin cos cos cos cos sin 01xxxxxxxxxxedx xdexe ed x xedxxdexe ed xxedx+∞+∞--+∞+∞+∞---+∞+∞+∞---+∞-=-=-+==-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰;即sin 021xxedx +∞-=⎰,因此()(sin )sin 012xE Y E X xedx +∞-===⎰。
12.解:由于(,) X B n p ,因此有()()()1218E X n p D X n p p ==⎧⎨=-=⎩; 因此,求解上述方程组,可求得,136 3n p ==。
13.比较两种测量方法所测得数据的方差,方差小的精确度较好。
14.解:方法一:由于函数x 是偶函数,因此()()110E X xf x dx x x dx +∞-∞-==⋅=⎰⎰;()()[()]()()2221122311 22D XE X E X E X x f x dx x x dx x dx +∞-∞-=-===⋅==⎰⎰⎰; 方法二:由期望和方差的计算公式,可得()()101221111033E X xf x dx x x dx x dx x dx +∞-∞--==⋅=-+=-+=⎰⎰⎰⎰;()()[()]()()22212211331111 442D XE X E X E X x f x dx x x dx x dx x dx +∞-∞--=-===⋅=-+=+=⎰⎰⎰⎰。
15.解:方法一:容易验证()()f x f x -=,即概率密度函数()f x 是偶函数,因此()()()110E X xf x dx xf x dx +∞-∞-===⎰⎰;()()[()]()()()()()222122111221 2216D XE X E X E X x f x dx x f x dxx f x dx x x dx +∞-∞-=-=====-=⎰⎰⎰⎰。
方法二:由期望和方差的计算公式,可得()()()()()101111111066E X xf x dx xf x dx x x dx x x dx +∞-∞--===++-=-+=⎰⎰⎰⎰;()()[()]()()()()2220122211 116D XE X E X E X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞-=-===++-=⎰⎰⎰。
16.解:由期望和方差的计算公式,可得()()13334E X xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰;()()1224335E X x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰;()()[()]2223354D X E X E X ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。
17.解:容易求得12c =,可知X 服从均匀分布,即(,)1 3X U ,因此可求得()1322E X +==,()()2311123D X -==。