概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
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第三章
1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果：
1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩，第次取到次品 （=1,2,3,4,5)，第次取到合格品
则有
12345X X X X X X =++++
易知，X i 有相同的分布律：
14
1099
5
1001{1}10
i C P P P X ⨯===
， 19{0}110
10
i X P ==-
=
则911
()0110
10
10
i X E =⨯
+⨯=
，于是
5
123451
1()()()50.510
i i E X E X X X X X E X ==++++=
=
⨯=∑
。
注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。
2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)1
3 4X B ，那么3人中生日在第
一季度的平均人数为().130754
E X n p ==⨯=。
3．略。
4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22
D X
E X E X =-，可求得()()[()]2
2
2
E X D X E X λλ=+=+。
由数学期望的性质，有
[()()][]()()2
222
1232 32 32 22
E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+
则可得到关于λ的方程
2
221λλ-+=
亦即
2
210λλ-+=
容易求得1λ=。
5．解：（1）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)20 001X B ，
由于20n =较大，.001p =较小，因此(.)02X P 近似
。
当发生故障的设备超过一台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为
{}{}{}...11011081870163700176P X P X P X >=-=-==--=；
（2）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)80 001X B ，由于
80n =较大，.001p =较小，因此(.)08X P 近似
。
当发生故障的设备超过三台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为
{}{}{}{}{}.....310123 10449303595014380038300091
P X P X P X P X P X >=-=-=-=-==----=
6．解：方法一：由于函数
12
x
xe
-为奇函数，因此
()()102
x
E X xf x dx xe
dx +∞+∞--∞
-∞
=
=
=⎰
⎰
；
方法二：由期望的计算公式，可得
()()[][]00
11
1
2
2
2
1111 0
2
2
22
x
x
x
x
x
x
x
E X xf x dx xe
dx xe dx xe
dx
xe e xe
e
+∞+∞+∞---∞
-∞
-∞
--+∞
-∞==
=+=
-+
--=-+=⎰
⎰
⎰⎰
7．解
为奇函数，因此
()()10E X xf x dx +∞-∞
-=
=
=⎰
⎰
；
方法二：由期望的计算公式，可得
()()()112
1
11
10
2
x
E X xf x dx x +∞-∞
--=
=
=-
-=-
=⎰
⎰
⎰
8．解：依题意，可得
()()().1011011
0752a
a k f x dx kx dx a k E X xf x dx kx dx a +∞-∞+∞+-∞⎧===⎪⎪+⎨
⎪====⎪+⎩
⎰⎰⎰⎰； 因此，求解上述方程组，可求得,2 3a k ==。
9．解：（1）由概率密度函数的性质，可得
()sin cos sin cos 4
440
2212
4
4
k
k k f x dx k x xdx xdx x
π
π
π
+∞-∞
=
=
=-
=
=⎰
⎰
⎰；
因此，可求得4k =；
（2）由期望的计算公式，可得
()()sin cos sin cos cos cos sin 440
4
4440
42211 22222
2
E X xf x dx x x xdx x xdx
x d x x x
xdx x
ππ
π
π
π
π
+∞-∞
=
=
⋅=
⋅=-⋅=-+
=
=⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
。
10．解：依题意，可知(.)0002X E ，其中.0002λ=； （1）...{}().1001001000002000202
10000021x
x
P X f x dx e
dx e
e
----∞
>=
=
=-=-⎰
⎰
；
（2）热水器平均能正常使用的时间为().1
1
5000002
E X λ
=
=
=小时。
11．解：由课本48页定理2随机变量函数的期望计算公式，有
()(sin )sin ()sin 0
x
E Y E X xf x dx xe
dx +∞+∞--∞
==
=
⎰
⎰
；
而
sin sin sin sin cos cos cos cos sin 0
1x
x
x
x
x
x
x
x
x
xe
dx xde
xe e
d x xe
dx
xde
xe e
d x
xe
dx
+∞+∞--+∞+∞+∞---+∞+∞
+∞---+∞
-=-=-+
=
=-=-+
=-
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
；
即sin 0
21x
xe
dx +∞-=⎰
，因此
()(sin )sin 0
12
x
E Y E X xe
dx +∞-==
=
⎰
。
12．解：由于(,) X B n p ，因此有
()()()12
18E X n p D X n p p ==⎧⎨
=-=⎩
； 因此，求解上述方程组，可求得,136 3
n p ==
。
13．比较两种测量方法所测得数据的方差，方差小的精确度较好。 14．解：方法一：由于函数x 是偶函数，因此
()()11
0E X xf x dx x x dx +∞-∞
-=
=
⋅=⎰
⎰
；