纳什均衡

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第二节 纳什均衡
例8.2.4（古诺的两寡头模型）设市场有1、2两 家厂商，他们生产相同的产品。设厂商1的产 量为 q1 ，厂商2的产量为 q2 ，则市场总产量 为 Q q1 q2 。p 为市场的出清价格 (可以将产品 p =100- Q 。再假设 全部卖出去的价格)， 两厂商的生产无固定成本，两厂家边际生产成 本相等，c1 c2 2 ，两厂家同时决定各自产量， 使利润最大。
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囚徒1
坦白 不坦白 坦白
（-5，-5）
（0，-8）
囚 徒 2
不坦白
（-8，0）
（-1，-1）
（图8.2.1） 2.严格下策反复消去法 不管其他人策略如何变化，自己某一策略带
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来的收益总被其他某些策略带来的收益要小， 称这某一策略为相对于其他某些策略的严格下 策策略。决策者是不可能选择任何严格下策的。 如果发现某策略是相对于其他某些策略的严格 下策，就可以将它从对策方的策略空间中去掉， 这样就只需要在剩下的较小的策略空间中进行 分析了。 例8.2.3这是一个抽象对策问题：


* * * 对任意 S ij S i 都成立则称 S1 , S 2 ,S n 为 一个纯策略纳什均衡。


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例8.2.1 “囚徒的困境” 警察抓住了两个罪犯，但 是警察局缺乏足够的证据指证他们所犯的罪行。如果 罪犯中至少有一人供认犯罪，就能确认罪名成立。为 了得到所需的口供，警察将这两名罪犯分别关押以防 止他们串供或结成攻守同盟，并分别跟他们讲清了他 们的处境和面临的选择：如果他们两人都拒不认罪， 则他们会被以较轻的妨碍公务罪各判1年徒刑；如果两 人中有一人坦白认罪，则坦白者立即释放而另一人将 重判8年徒刑；如果两人都坦白认罪，则他们将被各判 5年监禁。
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§2.1 纳什均衡的概念
用 G 表示一个对策，若一个对策中有 n 个局 中人，每个局中人可选策略的集合分别用
S1 , S 2 ,S n 表示； ij 表示局中人 i 的第 j 个 S 策略，其中 j 可取有限个值、也可取无限个
h 值；对策方 i 的得益用 h i表示； i 是各对策方 策略的多元函数， 个局中人的对策 G 常写成 n
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过这个限度，每只羊都无法吃饱，从而羊的产
出就会减少，甚至只能勉强存活或要饿死。假 设这些农户只有夏天才到公共草地放羊，而每 年春天决定养羊的数量，各农户在决定自己养 羊的数量时是不知道其他农户的养羊数量的， 各农户养羊数的决策是同时作出的。假设下面 信息知道的：每只羊的产出（价格）是羊只总 Q p 数的减函数， 120 Q， q1 q2 q3, q i 为第i 个农 户饲养羊的数量，每只羊的饲养成本为8元。
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参与人2 参 与 人 1 上 下 左 （1，0） 中 （1，2） 右 （0，1）
（0，3） （0，1） 图8.2.2 参与人2
左 中 （1，2）
（2，0）
参
与 人 上 （1，0） 下
1
（0， 3） （0，1）
图8.2.3
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参与人2 左 中 上 （1，0） （1，2） 图8.2.4
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由 dP ，解之得 Q * =56（只），总收益 dQ 0 P =3136。这说明纳什均衡常是低效的。
§2.2 纳什均衡的求解
1.箭头法：纳什均衡是最优的，任何单方面的 改变都将使改变者自己受损。这是箭头法的基 础。箭头法对每个策略组合判断，看各博弈方 能否通过改变自己的策略而改善其得益，如能， 则从所考察的策略组合引一箭头到改变后的策 略组合。对每个可能的策略组合进行判断
定理8.2.2 在个博弈方的博弈G = S1 , S2 ,Sn ; h1 , h2 ,hn S1* , S2* ,Sn*是G的一个纳什均衡，则严 中，如果 格下策反复消去法一定不会将它消去。 3.反应函数法 （适应于变量为产量等这样连续变化的情况）
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* * 排除了 S1* , S 2 ,S n 以外的所有策略组合，则一定 * * * S1 , S2 ,Sn 是G的唯一的纳什均衡。
1
对参与人2，左又成为严格劣战略，仅剩的 (上，中)就是此博弈的结果 。通过上面的讨 论可以看出，严格下策反复消去法与纳什 均衡之间有密切的关系。下面的两个定理 就是表明这种关系的 。
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定 理8.2.1 在个博弈方的博弈在对策 G =
S1 , S2 ,Sn ; h1 , h2 ,hn 中，如果严格下策反复消去法
* 求其最大得：q1 49
* q2 1 49 2
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与古诺模型相比，此时总产量 Q* 3 98 > 2 98 ， 3 4
此时价格更低，利润更少。这说明垄断的效果 不如自由竞争。
当然并非所有的对策都有纳什均衡，如石头、 剪子、布就没有均衡。
§2.3 混合策略和混合纳什均衡
* 1 * 2 * 3

此为三农户同时独立决定数量时所获得的 稳定结果。任何单方面的擅自改变会使自己受 损。各自得益为784，三农户总收益为2352。
从总体利益的角度来考察公共草地上羊的最 佳数量。设羊的总数为 Q ，则总得益为：
P = Q(120 Q) 8Q =112 精品课程《运筹学》

- Q2
都是对其余对策方策略组合的最佳策略，即
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(S , S ,, S
* 1 * 2
* i 1
* * * , Si* ,, S n ) (S1* , S 2 ,, Si*1 , Sij ,, S n ) i
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* * 对任意 Sij Si 都成立，则称G * S1* , S 2 ,S n 为 G 的一个混合策略纳什均衡。
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局中人为两个囚徒，两个人都有两种策略 （坦白、不坦白），两人的策略集共有四个 元素。我们用-1、-5、-8分别表示被判刑的得 益，用0表示被释放的得益，则可由下面的得 益矩阵将此对策予以表示：表8.2.1
囚 徒
策略
1
囚
徒 2
坦白
不坦白
策略
坦白
（-5，-5）
（0，-8）
设第个厂商的利润为Pi
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qi ( pi ci )=qi (98 (q1 q2 ))
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反应函数的概念：对厂商1来说，给定厂商2 的任意产量 q2 ，厂商1的最佳反应为 q1 1 (98 q2 ) 2 即厂商1的最佳产量为厂商2的产量的连续函数， 称此函数为厂商1对厂商2的产量的反应函数记 R1 : q2 。同理，厂商2对厂商1的产量的 q1 为 R2 : q1 。 q2 反应函数记为 用反应函数表示两厂商之间的产量关系为
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R1 (q2 ) 1 (98 q2 ) 2
与
(0,98)
R2 (q1 ) 1 (98 q1 ) 2
R1 (q2 )
R 2 (q1 )
q1
(49,0)
(0,49)
(98,0)
图8.2.5
在双方反应函数 对应直线交点上，才是双方都满 意的最佳反应组合，此时， * * 1 。 q1 q2 3 98
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§2.1 纳什均衡的概念 §2.2 纳什均衡的求解 §2.3 混合策略和混合纳什均衡
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第二节 纳什均衡
纳什均衡是对策 论中一个重要的概念。尤 其在非合作对策分析中具有十分关键的作用。 通过对经典对策模型的分析知道:对于对策中的 每一个局中人，真正成功的措施应该是针对其 他局中人所采取的每次行动，相应地采取有利 于自己的策略。于是，每一个局中人应采取的 策略必定是他对其他局中人策略的预测的最佳 反应。Nash均衡正是体现这一基本原则。
不坦白
（-8，0）
（-1，-1）
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对囚徒l来说，囚徒2有坦白和不坦白两种选 择，假设囚徒2选择的不坦白，则对囚徒l来说， 不坦白得益为一l，坦白得益为O，应该选择坦 白；假设囚徒2选择的是坦白，则囚徒1不坦白 得益为一8，坦白得益为一5，他更应该选择坦 白。囚徒2唯一的选择也是坦白。 例8.2.2 设某村庄有3个农户，该村有一片大 家都可自由牧羊的公共草地。由于这片草地的 面积有限，草的数量只能让数量有限的羊吃饱， 如果在此草地上放牧的羊的实际数量超
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将上面模型略作修改，即为斯塔克博格模型。 两个厂商中，一方较强，一方较弱。强的一方 领先行动，而较弱的一方则跟在较强的一方之 后行动 。设厂商1是领头厂商先行选择，厂商 2追随其后，其他条件不变。
厂商1的产量 q1 为已经确定，厂商2为使利润 q2 1 (98 q1 ) ，厂商1知道厂商 最大，应选择 2 2的决策思路P1 q1 (98 (q1 1 (98 q1 ))) = 3 (98 q1 )q1 2 2

O≤ pij≤1对
p
j 1
k
j =1，…， k 都成立，且
ij
=1。
mi mi 式中 S xi E xi 0, i 1,2, mi , xi 1 i 1 * i
由定义可以看出，纯策略也可看作混合策略。 定义8.2.3 如果一个策略 G =S1 , S2 ,Sn ; h1 , h2 ,hn 中， 参与者 i 的策略集为 Si Si1 ,, Sik ，如果由各个 对策方的策略组成策略集合 G * S1* , S 2* ,S n*