卷积计算图解法
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卷积积分及零状态响应的卷积计算法.
t
e RC
RCT
T RC t
e RCT 0
RC T RC
(t 0)
u0T T RC
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。根据定积分的 几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积 函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面
§4-6 卷积积分及零状态响 应的卷积计算法
➢ 卷积积分的推导
激励函数的 近似表示
f (t) fa (t) f (0)ε(t) ε(t )
f ( )ε(t ) ε(t 2 )
f (2 )ε(t 2 ) ε(t 3 )
f (n 1) ε(t (n 1) ) ε(t n )
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
1 e t
0
(t 0)
(t 0)
1 1 e t ε(t)
例2 设图示RC串联电路中电压源的电压
t
u(t) u0e T ε(t)
求零状态响应电压uC(t)。
解： 用卷积积分公式求uC(t)，应先求冲激响应
如按
t
r(t) h( ) f (t ) d h(t) f (t)
0
当 0<t <1 时
计算。
r(t ) te ε( )d t e d 1 et
0
0
当 t >1时
r(t ) t e ε( )d t 1
t e d e(t1) et t 1 返回
注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分上、下限
卷积计算(图解法)
(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果， 可归纳如下： 综合以上结果，y(n)可归纳如下： 可归纳如下
§7.6 离散卷积(卷积和)
X
第
y(n)的元素个数 的元素个数? 的元素个数
x(n) nA
d
6 页
h(n)
y(n)
nB
nC = nA + nB − 1
若：
x(n)序列
h(n)序列
n1 ≤ n ≤ n2，
n3 ≤ n ≤ n4
则y(n)序列
(n1 + n3 ) ≤ n ≤ (n2 + n4 )
4个元素 5个元素 8 个元素
X
例如： 例如：
x(n)： 0 ≤ n ≤ 3 h(n)： 0 ≤ n ≤ 4 y(n)： 0 ≤ n < 7
§7.6 卷积（卷积和） 卷积（卷积和）
卷积和定义 离散卷积的性质 卷积计算
第
一．卷积和的定义
状态响应： 回顾连续时间系统的零 状态响应： r(t ) = ∫ e(τ ) ⋅ h(t −τ )dτ
−∞ ∞
2 页
推导
= e(t ) ∗ h(t )
离散时间信号的分解： 离散时间信号的分解：
x : 任意序列 (n)表示为 (n)的加权移位之线性组合 δ
x(n) =
m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
x(n) δ (n) h(n) y(n) h(n)
X
∞
问题：输出y(n)=？ 问题：输出 ？
第 3 页
时不变 均匀性 可加性 则输出： 则输出：
δ (n − m) →h(n − m)
x(m)δ (n − m) → x(m)h(n − m)
x(n) = y(n) =
X
第
三．卷积计算
x(n) ∗ h(n) =
∞ m=−∞
d
5 页
∑x(m)h(n − m)
第
y(n)的元素个数 的元素个数? 的元素个数
x(n) nA
d
6 页
h(n)
y(n)
nB
nC = nA + nB − 1
若：
x(n)序列
h(n)序列
n1 ≤ n ≤ n2，
n3 ≤ n ≤ n4
则y(n)序列
(n1 + n3 ) ≤ n ≤ (n2 + n4 )
4个元素 5个元素 8 个元素
X
例如： 例如：
x(n)： 0 ≤ n ≤ 3 h(n)： 0 ≤ n ≤ 4 y(n)： 0 ≤ n < 7
§7.6 卷积（卷积和） 卷积（卷积和）
卷积和定义 离散卷积的性质 卷积计算
第
一．卷积和的定义
状态响应： 回顾连续时间系统的零 状态响应： r(t ) = ∫ e(τ ) ⋅ h(t −τ )dτ
−∞ ∞
2 页
推导
= e(t ) ∗ h(t )
离散时间信号的分解： 离散时间信号的分解：
x : 任意序列 (n)表示为 (n)的加权移位之线性组合 δ
x(n) =
m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
x(n) δ (n) h(n) y(n) h(n)
X
∞
问题：输出y(n)=？ 问题：输出 ？
第 3 页
时不变 均匀性 可加性 则输出： 则输出：
δ (n − m) →h(n − m)
x(m)δ (n − m) → x(m)h(n − m)
x(n) = y(n) =
X
第
三．卷积计算
x(n) ∗ h(n) =
∞ m=−∞
d
5 页
∑x(m)h(n − m)
卷积计算(图解法)
m0
m0
n
an am
m0
an
1 a (n1) 1 a1
1 a1n 1 a
2021/3/11
5
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
y(n) x(m)h(n m)
m0
m 04
h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
2021/3/11
2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
n 06
h(n-m)
(1)对于n<0；
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
1 a1
1 a
2021/3/11
6
x(m)
(4)在6<n≤10区间上
n
y(n) x(m)h(n m)
mn6
n
4
1 anm an am
mn6
mn6
an
a a (n6)
( 4 1)
1 a1
an4 a7 1 a
m 04
h(n-m)
m 0 6 10 n-6 n
2021/3/11
7
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
正数时，右移n；当n为负数时，左移n。
(3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应序列值相乘。
计算卷积的方法.ppt
' t
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
与冲激函数或阶跃函数的卷积
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列
r (n) e(n) * h(n)
k
e(k )h(n k )
0 k n
k 0, e(k ) n k 0 k n, h(n k ) 0
f1 (t t1 ) * f 2 (t t2 ) s(t t1 t2 )
3.3 卷积和定义
r ( n) e( n) * h( n)
3.4 图解法、列表法、解析法
k
e(k )h(n k )
•L=L1+L2-1
作业：1-9, 2-1(1) ,2-3, 2-15(2),2-16(1) 作业：2-4(1) (3)
r ( n)
k n
e(k )u(k )h(n k )u(n k )
k 0
e( k ) h ( n k )
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1 (n) f 2 (n)
k
f (k ) f
1
2
(n k )
满足交换律、分配率、结合律
f1 (t ) * f 2 (t ) * (t t1 ) * (t t2 ) s(t ) * (t t1 t2 ) s(t t1 t2 )
（2）与冲激偶‘（t）的卷 积
卷积的微分性质
f (t ) * ' (t )
f ' (t ) * (t ) f ' (t )
t1 0
t1
e(t )t (t t )
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m 04
h(n-m)
m
n-6 0 n 4
n
n
y(n) x(m)h(nm) 1anm
m0
m0
anmn0aman1 1a a( n11)
1a1n 1a
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m
4
y(n) x(m)h(n m) m0
04 h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
卷积计算——图解法
y(n) x(m )h(nm )x(n)h(n) m
计算步骤如下： (1)翻褶：先在坐标轴m上画出x(m)和h(m)，
将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。 (2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为
正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应序列值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0,
1
a 1 n
,
1 a
y(n)
a
n4 a 1n 1 a
,
a n4 a7
1 a
,
0 ,
n0 0n4 4n6 6 n 10 10 n
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
(5)对于(n-6)>4，即n>10。
(1) n<0
x(m)
y(n )x(n ) h (n ) 0 0 4
m
h(n-m)
m n-6 n 0
x(m)
(2)在0≤n≤4区间上
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
x(m)
(4)在6<n≤10区间上
m 04
n
y(n) x(m)h(n m)
h(n-m)
mn6
n
4
1 a nm a n a m
m 0 6 10 n-6 n
mn6
mn6ห้องสมุดไป่ตู้
an
a (n6) a (41) 1 a 1
an4 a7 1 a
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0n4 x(n)0, 其它
和
an, 0n6 h(n)0, 其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
n 06
h(n-m)
m
(1)对于n<0；