DFT计算卷积
用DFT计算线性卷积
用DFT 计算线性卷积1 基本原理1.1用 DFT 实现线性卷积的原理线性与圆周卷积分别由下式给出其中 x [n ] : 0≤n ≤P －1 ⇒ 0≤m ≤P －1 y [n ]: 0≤n ≤L －1 ⇒ 0≤n － m ≤L －1 w [n ]的最大长度为 ：L+P-1，单 wp [n ] 的长度为 N 。
当N ≥L+P －1 , wp [n ] = w [n ]; 当 N ≤ L+P －1, wp [n ] ≠ w [n ];所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为：N ≥ P+L －1 即线性与圆周卷积一致的样本为: P+L － N －1≤ n ≤N －11.2 重叠保留法原理设h (n )的点数为M ，信号x (n )为很长的序列。
我们将x (n )分解为很多段，每段为L 点，L 选择成和M 的数量级相同，用xi (n )表示x (n )的第i 段：要求x (n )和h (n )的卷积时，若x (n )的点数很多，远大于h (n )的点数M 时，通常不允许等x (n )全部采集齐后再进行卷积，否则，使输出相对于输入有较长的延时。
因此需要采用][]))[((][][[][][][][][][1n R m n y m x n y n x n w m n y m x n y n x n w N NN m p m -==-=*=∑∑-=∞-∞=根据线性卷积的原理 :x [n ] * y [n ] D F T X (e j ω)Y ( e j ω),且， w [n ] = x [n ] * y [n ] 可用下式求得：F －1{X (e j ω)Y ( e j ω)}分段卷积或称分段过滤的办法，即将x (n )分成点数和h (n )相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，一种分段卷积的方法就是重叠保留法。
设h (n )的点数为M ，信号x (n )为很长的序列。
数字信号处理名词解析及滤波器原理和设计
论述计算题（40分）1、试分析DFT与DTFT及Z变换之间的关系，并详细阐述用DFT计算线性卷积的方法和步骤。
FT（傅里叶变换）是对纯虚数变换的情况，是拉普拉斯变换的特殊情况，即傅里叶变换是S仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。
Z变换是离散化的拉普拉斯变换（即拉普拉斯变换对应的是连续信号，而Z变换对应的是离散信号），是离散时间傅里叶变换（DTFT）的一种拓展形式，所以Z变换和拉普拉斯变换类似。
DFT（离散傅里叶变换）是傅里叶变换的离散形式，也即将x(t)进行傅里叶变换后进行离散采样得的函数X[jw]DTFT（离散时间傅里叶变换）为将x(t)先进行离散采样处理得到离散时间系列x[n]，然后再对x[n]进行傅里叶变换。
可以看作是将()jwX e在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是x[n]。
DTFT是Z变换的特殊情况，只有绝对可和的离散信号才有DTFT，所以Z变换用于那些不满足绝对可和的信号，如T j Tz eσ+Ω=(T 是采样间隔)，当σ=0时,就是DTFT。
此时其时域是离散的，而频域依然是连续的。
图像上，对应的是z平面的单位圆。
用DFT计算线性卷积：线性卷积：一个离散序列通过一个离散的线性时不变系统，它的输出即为y[k]，即在时域上，输出信号等于输入信号和系统的单位脉冲响应h[k] 的卷积。
即：y[][]*[]k x k h k=y[k]利用DFT 的循环卷积特性，可由DFT 计算线性卷积：比如若系列x[k]的长度为N，系列h[k]的长度为M，则L>=N+M-1点的循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。
即：x[k]*h[k]=x1[k] h1[k]DFT实现具体过程为：1. 首先将两序列在尾部补零，延拓成长度为L=M+N -1的序列2. 将两序列进行循环卷积，卷积后的结果即为线性卷积的结果 即：其中乘法总次数为：23log 2LL L ⨯+ 结论：线性卷积可以完全使用DFT 实现，而DFT 可以使用其快速算法FFT 大大降低计算量。
5离散傅立叶变换(DFT)的性质_数字信号处理
N−1 = ∑x1(m)x2 ((n − m))N RN (n) = x1(n)N x2(n) m=0
N−1 = ∑x2 (m)x1 ((n − m))N RN (n) = x2 (n)N x1(n) m=0
ɶ ɶ ɶ 证：由周期卷积和，若Y (k) = X1(k) ⋅ X2 (k)， ɶ ɶ 则 y(n) = IDFS[Y (k)]
共轭对称
共轭反对称
共轭对称与共轭反对称序列示意图
x(n) = xep (n) + xop (n)
1 * xep (n) = [ x(n) + x ( N − n)] 2 1 xop (n) = [ x( n) − x* ( N − n)] 2
N −1
循环卷积过程： 循环卷积过程：
m=0
补零(当两序列不等长时) 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓 3）翻褶 4）取主值序列 5）循环移位 6）相乘相加
以N=8 x2 (m) x2 ((m))N → 延拓
x2 ((− m)) N →
取主值 → x2 ((−m)) N i RN (n)
结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 圆周移位导致频谱线性相移， 结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响。 对频谱幅度无影响。
4. 频域循环移位定理
如果X (k) = DFT[x(n)],0 ≤ k ≤ N −1
Y(k) = X ((k + l))N iRN (k)
x1 ( n) = R5 ( n)
x1(n)
x 2 ( n ) = n + 1 ( 0 ≤ n ≤ 2)
1 0 1 2 3 4 5 x2(n) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n n
用matlab验证卷积定理
⽤matlab验证卷积定理
⽤matlab验证卷积定理
卷积定理
⼀、实验⽬的
通过本实验，验证卷积定理，掌握利⽤DFT和FFT计算线性卷积的⽅法。
⼆、实验原理
时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因⽽可以采⽤FFT的算
法来计算圆周卷积，当满⾜
121
L N N
≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利⽤FFT计算线性卷积。
三、实验内容和步骤
1．给定离散信号()
x n和()
h n，⽤图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积；
3．⽐较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。
四、实验设备
计算机、Matlab软件
五、实验报告要求
1．整理好经过运⾏并证明是正确的程序，并且加上详细的注释。
2．给出笔算和机算结果对照表，⽐较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果对照，作出原因分析报告。
3．结出⽤DFT计算线性卷积的⽅法。
fpga 快速傅里叶变换实现卷积
标题：FPGA实现快速傅里叶变换加速卷积的原理与应用在当今信息时代，数字信号处理和数据处理已经成为许多领域中不可或缺的部分。
而在处理这些信号和数据时，快速傅里叶变换（FFT）和卷积运算是常用的数学工具。
在很多实际应用中，由于其高复杂度，这两个运算往往需要花费大量的时间和资源。
然而，通过利用现代的FPGA技术，我们可以实现这些运算的高效加速，本文将探讨如何利用FPGA来加速实现快速傅里叶变换卷积。
1. 背景介绍快速傅里叶变换（FFT）是一种离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。
它不仅可以用于频域分析和信号处理，还被广泛应用于图像处理、通信、雷达和生物医学领域等。
而卷积运算则是数字信号处理和图像处理中常见的运算之一，用于实现信号的滤波、特征提取和模式识别等。
然而，这两种运算都具有较高的计算复杂度，特别是在涉及大规模数据时，传统的处理方法往往效率低下。
2. FPGA加速计算的优势FPGA（Field-Programmable Gate Array）是一种灵活可编程的数字集成电路，它通过可编程的逻辑单元和可编程的连接网络，可以实现大规模的并行计算和高速数据处理。
这使得FPGA在加速计算领域具有独特的优势。
与传统的CPU和GPU相比，FPGA可以根据具体的应用需求进行快速定制和优化，提供更高的计算密度和更低的功耗。
利用FPGA来加速实现FFT和卷积运算，可以大幅提高运算速度和效率。
3. FPGA实现快速傅里叶变换在实现FFT时，FPGA可以充分利用其并行计算的特性，通过设计合适的硬件结构和算法，实现FFT运算的高效加速。
可以采用基于蝶形运算单元（Butterfly）的并行计算结构，利用FPGA的片上资源进行数据流控制和计算单元的并行化。
通过巧妙的数据流设计和数据重用策略，还可以有效地减少时序延迟和资源消耗，进一步提高FFT算法的运行速度。
在实际应用中，基于FPGA的FFT加速器已经被广泛应用于通信系统、无线电频谱监测和图像处理等领域。
数字信号处理第三章补
在此频谱图中就分辨不出来。
v(n) 6
4
T＝1 / fs
2
0
0 0
2 2T
4 4T
6 6T
8 8T t p ＝1 / F
10 10 T
12 12 T
14 14 T
16 16 T
18
n t
(a) |V(k )| 40 30 20 10 0 0 0 2 2F 4 4F 6 6F F＝1 / tp
8 8F fs ＝1 / T
m 0
M 1
用DFT算法也就是用圆周卷积来代替这一线性卷积时，为了
不产生混叠，其必要条件是使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少
N=M+L-1， 即:
x(n) x(n) 0
0≤n≤L-1 L≤n≤N-1
h(n) 0≤n≤M-1 h(n ) 0 M≤n≤N-1
然后计算圆周卷积
y (n) x(n)
N
h( n )
这时，y(n)就能代表线性卷积的结果。 用FFT计算y(n)的步骤如下：
① 求N点X(k)=DFT［x(n)］, N点；
② 求H(k)=DFT［h(n)］， N点；
③ 计算Y(k)=X(k)H(k);
④ 求y(n)=IDFT［Y(k)］，N点。
率(单位： Hz)。
由图可知：
t p NT fs 1 1 F N NT t p
在实际应用中, 要根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求， 来确定T、tp和N的大小。 （1）首先，由采样定理，为保证采样信号不失真，fs≥2fh(fh为 信号频率的最高频率分量，也就是前置低通滤波器阻带的截止 频率)， 即应使采样周期T满足
n
快速傅里叶与卷积
快速傅里叶与卷积
傅里叶变换和卷积是信号处理和图像处理中常用的数学工具。
快速傅里叶变换（FFT）与卷积之间存在密切的关系，这体现在卷积定理中。
快速傅里叶变换（FFT）：
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，用于分析信号的频谱成分。
FFT是一种用于高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，它通过减少计算的复杂性，显著提高了计算速度。
在信号处理中，给定两个信号的离散傅里叶变换，它们的乘积在时域上等于它们的卷积的傅里叶变换。
这反映在卷积定理中。
卷积：
卷积是一种将两个函数通过加权求和得到第三个函数的操作。
在信号处理中，卷积通常用于描述一个信号与另一个信号的重叠区域。
卷积在时域上的计算是通过将两个信号的乘积在不同的时间点上进行累加。
卷积定理：
卷积定理表明，在频域中，两个信号的卷积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换的乘积。
这是说，如果F表示傅里叶变换，∗∗表示卷积操作，那么卷积定理可以用以下方程表示：
F{f∗g}=F{f}⋅F{g}
其中，f和g是两个函数，∗∗表示卷积操作，F 表示傅里叶变换。
FFT与卷积的关系：
由卷积定理可知，在频域中，两个信号的卷积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换的乘积。
FFT提供了一种快速计算信号的傅里叶变换的方法，因此可以通过FFT来高效地计算卷积。
在实际应用中，卷积操作通常是通过FFT算法来计算，以提高计算效率，特别是对于长信号序列。
这种方法被称为快速卷积。
FFT与卷积的结合在许多领域中都有广泛的应用，包括信号处理、图像处理和数字滤波等。
圆周卷积
五. 圆周卷积定理 （ Circular convolution ）
1. 圆周卷积和的定义：
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用 符号 N 表示： （N表示圆周卷积的点数）
x1(n)
N
x2
(n)
N 1 m0
将 Y (k) 周期延拓： Y~(k) X~1(k)X~2(k)
则有： ~y (n) IDFS Y~(k)
N 1
~x1 (m)
~x2
(n
m)
m0
N 1
x1((m))N x2 n mN m0
在主值区间 0 m N 1, x1((m)) N x1(m) ，所以：
y(n) ~y(n)RN (n)
其中
k e j
k
z
z e j
1 zN
N (1WNk z 1) ze j
1 N
1 e jN
j k 2
1 e N
k e j
1 N
1 e jN e j 2k
j k 2
1 e N
1 1 e j (N 2k ) j k 2
N 1e N
j N 2k
N
1
W (mn N
)
k
k 0
x(n rN ) r
利用性质
N 1 j 2 pk N ，p rN
eN
k 0
0
，其他
p
由 ~xN (n) x(n rN ) 可知： r ~xN (n) 是 x(n) 以 N 为周期的周期延拓； 也就是说： 频域抽样造成时域周期延拓。
3. 频域抽样定理：
x1
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将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列
x1[k ]
x 2 [k ]
x3 [ k ]
k
L
2L
3L
定义
x[ k nL ] xn [ k ] 0
0 k L -1 其他
xn[k - nL] x[k ] DFT 计算卷积
n0
长序列和短序列的线性卷积
1. 重叠相加法（overlap add） 计算: yn [k ] xn [k ] h[k ]
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分
依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最 终的线性卷积结果。
DFT计算卷积
重叠相加法分段卷积举例
h[k ] 1
M=4
0 1 2 M-1
x[k ] 1
k
L=7
0 1 2
L-1
k
重叠相加法分段卷积举例(L=7,M=4)
y 0 [k ]
4 2 3 6 9
1
0 1 2 3
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
问题提出： DFT{x1[k] 实际需要：
N
x2[k]}=X1[m]X2[m]
LTI系统响应
y[k]=x [k]h[k]
可否利用DFT计算线性卷积？
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
设 x [k] 的非零范围是 g[k] 的非零范围是 y[k]=x [k]h[k]非零范围 序列y[k]的长度为 0 k N-1 0 k M-1 0 k N+M- 2 L=N+M-1
4点滑动平均系统去噪结果
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
10
20
30
40
50
60
70
问题讨论
若x1[k]为 M 点序列, x2[k]为L 点序列 ， L>M
x1[k ]
x2 [ k ]
M-1
k
L -1
k
x1[k] L x2[k]中哪些点不是线性卷积的点?
x1[n ]
x2 [ n ]
结论
若x1[k]为 M 点序列, x2[k]为L 点序列 ， L>M 则L点循环卷积 x1[k] L x2[k]
k=0 ~M-2, 前M-1个点不是线性卷积的点 k= M-1 ~ L-1 , L-M+1个点与线性卷积的点对应 线性卷积 L ~ L+M-2 后M -1点没有计算
长序列和短序列的线性卷积
2. 重叠保留法（overlap save） 方法：
(1) 将x[k]长序列分段，每段长度为L。
(2) 各段序列xn[k]与 M点短序列h[k]循环卷积。
(3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。
因yn[k]=xn [k] L h[k] 前M-1个点不是线性卷积的点， 故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。
x1[0] x [1] 1 x1[ M - 1]
0 x1[0] x1[ M - 2] x1[ M - 1]
0 0 x1[0] x1[1] x1[2] x1[ M - 1]
0 0 0 x1[0] x1[1] x1[ M - 2] x1[ M - 1]
至少要做 L=N+M-1点的循环卷积
DFT计算卷积
利用DFT计算序列线性卷积的步骤
若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则 LN+M-1点循环卷积等于x[k] 与h[k]的线性卷积。
x[ k ]
补L-N零
x 1 [ k]
L点DFT
y[ k ]
L点IDFT
h[ k ]
补L-M零
h1[k]
L点DFT
利用MATLAB实现分段卷积
% Generate the noise sequence N = 64; d = rand(1,N)-0.5; % Generate the uncorrupted sequence and add noise n = 0:N-1; s= 2*n.*((0.9).^n); x= s+ d; % the length of moving average filter M = 4; % Generate the moving average filter coefficients h = ones(1,M)/M; % Perform the overlap-add filtering operation y = fftfilt(h,x,8);
y1 [k - L]
k
4
1 0 1 2
y[k ]
2
3
7
n
9
k
y
3
4
[k - 列x[k]=k+2,0k12, h[k]={1,2,1}试利用重
叠相加法计算线性卷积, 取L=5 。 解: 重叠相加法
x1[k]={2, 3, 4, 5, 6}
x2[k]={7, 8, 9 ,10, 11} x3[k]={12, 13, 14, 0, 0} y1[k]= x1[k]*h[k]= {2,7,12,16,20,17,6} y2[k]= x2[k]*h[k]= {7,22,32,36,40,32,11} y3[k]= x3[k]*h[k]= {12,37,52,41,14,0,0}
x[k]○ N h[k]= x[k]*h[k]
DFT计算卷积
例：利用MATLAB由DFT计算x[k]* h[k]。 x[k]={1, 2, 0, 1}, h[k]={2, 2, 1, 1}
% Calculate Linear Convolution by DFT x = [1 2 0 1]; h = [2 2 1 1]; % determine the length for zero padding L = length(x)+length(h)-1; % Compute the DFTs by zero-padding XE = fft(x,L); HE = fft(h,L); % Determine the IDFT of the product y1 = ifft(XE.*HE);
x3[k]={6 ,7 , 8, 9, 10}
x5[k]={12,13, 14, 0, 0}
长序列和短序列的线性卷积
2. 重叠保留法（overlap save）
x [ k -( M -1)]
x 1[k] x 0[k]
M-1 L- 1 L- ( M-1) 2L-M k
第一段前需补M-1个零
长序列和短序列的线性卷积
2. 重叠保留法（overlap save）
y0 [k]
记：yn[k] =xn [k] L h[k]
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
利用DFT计算序列线性卷积
利用DFT计算序列线性卷积的步骤 长序列和短序列的线性卷积
直接计算与由DFT间接计算结果比较
Result of Linear Convolution
3 x 10-15 Error Magnitude
6
Amplitude
Amplitude
2
4 2 0 0
1
1
2 3 4 Time index k
5
6
0 0
1
2
3 4 Time index k
5
6
长序列和短序列的线性卷积
0
M -1
L -1
k
y1 [k] k
0
M -1
L -1
例: 已知序列x[k]=k+2,0k12, h[k]={1,2,1}试利用重
叠保留法计算线性卷积, 取L=5 。 解: 重叠保留法
x1[k]={0, 0, 2, 3, 4} x2[k]={3, 4, 5, 6 ,7}
x4[k]={9, 10 , 11, 12,13} y1[k]= x1[k] ⑤h[k]= {11, 4, 2, 7, 12} y2[k]= x2[k] ⑤ h[k]= {23, 17, 16, 20, 24} y3[k]= x3[k] ⑤ h[k]= {35, 29, 28, 32, 36} y4[k]= x4[k] ⑤ h[k]= {47, 41, 40, 44, 48} y5[k]= x5[k] ⑤ h[k]= {12, 37, 52, 41, 14} y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}
x1[ M - 1] 0 0 x1[0] x1[ M - 3] x1[ M - 2]
x1[ M - 2] x1[ M - 1] 0
x1[ M - 4] x1[ M - 3]
x1[1] x2 [0] x1[2] x2 [1] 0 x2 [ M - 1] 0 x2 [ M ] 0 x2 [ M 1] 0 x2 [ L - 2] x1[0] x2 [ L - 1]
(M=3)
y[k]=x[k]*h[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}
利用MATLAB实现分段卷积
fftfilt(h,x,n)
h: FIR filter x: input sequence
n 为DFT点数，一般取2的整数次幂
x2 [0] x [1] 2 x [ M 1] 2 x [ L 1] 2 0 x1[0] x2 [ L M - 2]