函数的最值经典例题

函数的最值

根据条件确定函数的参数是否存在

例 已知函数1

log )(223++++=cx x b ax x x f ，是否存在实数a 、b 、c ，使)(x f 同时满足下列三个条件：（1）定义域为R 的奇函数；（2）在[)+∞,1上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a 、b 、c ；若不存在，说明理由．

分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a 、b 、c 存在，然后用三个已给条件逐一确定a 、b 、c 的值．

解：)(x f 是奇函数.1,0log 0)0(3=∴=⇒=⇒b b f

又)()(x f x f -=- ，即1

1log 11log 223223++++-=+-+-cx x ax x cx x ax x ， ∴222222222222)1()1(1111x c x x a x ax

x cx x cx x ax x -+=-+⇔++++=-+-+． ∴c a c a =⇒=22或c a -=，但c a =时，0)(=x f ，不合题意；故c a -=．这时1

1log )(223+++-=cx x cx x x f 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是1． 设1

1)(22+++-=cx x cx x x u 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是3． 2

22222222)1()1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(++-+=++-=+++-+-++-='cx x x x c cx x x c cx x cx x c x cx x c x x u ，当1>x 时0)(012>'⇒>-x u x ，故0>c ；又当1-'x u ；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x u ； 故0>c ，又当1-'x u ，当)1,1(-∈x 时，0)(<'x u ．

所以)(x u 在),1()1,(+∞--∞ 是增函数，在（－1，1）上是减函数．

又1>x 时，1,1)(,1122-=∴<++<+-x x u cx x cx x 时)(x u 最大值为3． ∴.1,1,31

111-===+-++a c c c 经验证：1,1,1==-=c b a 时，)(x f 符合题设条件，所以存在满足条件的a 、b 、c ，即.1,1,1==-=c b a

说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义．

此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施．若用求导数的方法解决就迎刃而解．

因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法．切不可忘记．

供水站建在何处使水管费最少

例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？

分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置．

解：解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km ，则

222240,50,40+=+=∴-==x CD BD BC x AC BD 又设总的水管费用为y 元，依题意有 ).500(405)50(322<<++-=x x a x a y

224053++-='x ax

a y ．令0='y ，解得.30=x

在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，

函数在30=x （km ）处取得最小值，此时2050=-=x AC （km ）．

∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省．

解法二：设θ=∠BCD ，则).2

0(,cot 40,sin 40πθθθ<<⋅==

CD BC ∴θcot 4050⋅-=AC ．

设总的水管费用为)(θf ，依题意，有 θ

θθθθsin cos 3540150sin 405)cot 4050(3)(-⋅+=⋅

+⋅-=a a a a f ∴θ

θθθθθ2sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(40)('⋅--⋅'-⋅='a f θ

θ2sin cos 5340-⋅=a 令0)(='θf ，得53cos =θ．

根据问题的实际意义，当5

3cos =θ时，函数取得最小值，此时20cot 4050,4

3cot ,54sin =-=∴=∴=θθθAC （km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省．

说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．

运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．

利用导数求函数的最值

例 求下列函数的最值：

1．)33(,3)(3≤≤--=x x x x f ；

2．)22(,2sin )(π

π

≤≤--=x x x x f ；

3．)0,0,10(,1)(2

2>><<-+=b a x x

b x a x f 4．21)(x x x f -+=．

分析：函数)(x f 在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间[]b a ,上函数的最值时，只需求出函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．

解：1．233)(x x f -='，令0)(='x f ，得1±=x ，

∴2)1(,2)1(-=-=f f ．又.18)3(,0)3(-==-f f

∴.18)]([,2)]([min max -==x f x f

2．12cos 2)(-='x x f ，令0)(='x f ，得6π

±=x ， ∴6236,6236ππππ+-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 又22,22ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭

⎫ ⎝⎛f f ． ∴.2)]([,2)]([min max π

π-==x f x f