上海2020年高三数学基础知识回顾辅导讲义——解析几何(教师版)

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2020届三轮冲刺上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第二讲函数(一)教师版

2020上海高考数学基础知识回顾：第二讲函数一一、函数的有关概念★1、函数的定义：在某个变化过程中有两个变量y x 、，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数．．，记作)(x f y =（D x ∈）.2、函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域．．．、值域．．和对应法则．．．．． ★（1）函数的定义域的常用求法：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数大于等于零；③对数的真数大于零；④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑤三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围. ★（2）函数的解析式的常用求法：①定义法；②换元法；③待定系数法；④函数方程法；⑤参数法；⑥配方法. ★★（3）函数的值域的常用求法：①换元法；②配方法；③判别式法；④几何法；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦直接法. ★★（4）函数的最值的常用求法：①配方法；②换元法；③不等式法；④几何法；⑤单调性法. 二、二次函数、幂指对函数1、二次函数：★（1）二次函数的解析式的三种形式:① 一般式 =++≠2()(0)f x ax bx c a ；② 顶点式 =-+≠2()()(0)f x a x h k a ；③ 零点式、两根式 =--≠12()()()(0)f x a x x x x a .★（2）二次函数-⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭2224(0)24b ac b y ax bx c a x a a a 的图像是抛物线，顶点坐标基础知识⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a . 2、幂函数：★（1）定义：形如ax y =的函数； ★★（2）幂函数的图像和性质：①0>α时，幂函数的图像通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图像下凸；当10<<α时，幂函数的图像上凸；②0<α时，幂函数的图像在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 3、指数函数：★（1）定义：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．★（2）指数函数的图像和性质：定义域为R ，值域为()+∞,0．当10<<a 时，单调递减；当1>a 时单调递增． 4、对数和对数函数：★（1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．由对数定义可知=b a N ⇔=a log N b （>0a ，1a ≠，0N >）． ★★（2）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >；② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a Na N =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ．★★（3）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）； ② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）★★（4）对数函数：①定义：一般地，函数x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．②对数函数的图像和性质：定义域为()+∞,0，值域为R ．当10<<a 时，单调递减；当1>a 时单调递增． 5、反函数：★（1）反函数的概念：一般地，对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ．如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应（即一一对应），且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为))((1A x x f y ∈=-．★★（2）反函数的性质：① 互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图像关于y x =对称； ② 定义域上的单调函数必有反函数；③ 奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ④ 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数； ⑤ 周期函数在整个定义域内不存在反函数；⑥ 原函数图像过点()a b ，，则它的反函数图像过点()b a ，. ★（3）求反函数的一般步骤： ① 求原函数的值域；② 反解，由()y f x =解出1()x fy -=；③ 写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 6、指对方程：★（1）简单的指数方程：①b a x f =)((0>a 且0,1>≠b a )，解法是b x f a log )(=； ②)()(x g x f a a= (0>a 且1≠a )，解法是)()(x g x f =；③02=+⋅+⋅C a B aA x x(0>a 且1≠a )，解法是转化成关于x a 的二次方程．★★（2）简单的对数方程：①b x f a =)(log (0>a 且1≠a )，解法是ba x f =)(；②)(log )(log x g x f a a = (0>a 且1≠a )，解法是0)()(>=x g x f ； ③0log log2=++C x B x A a a(0>a 且1≠a )，解法是转化成关于x a log 的二次方程，要特别注意真数大于0．三、函数零点★1、定义：一般地，对于函数))((D x x f y ∈=，如果存在实数)(D c c ∈，当c x =时，0)(=c f ，那么就把c x =叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． ★★2、二分法:一般地，对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数 ()()y f x x D =∈的零点；将“通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法．★★★3、零点存在定理：一般地，如果函数()y f x =在定义区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么在区间(,)a b 内至少存在一个实数c ，使得()0f c =，也就是在(,)a b 内，函数()y f x =至少有一个零点；若函数在[,]a b 单调，则存在唯一一个零点．四、一元二次方程根的分步设q px x x f ++=2)(，则★★1、方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；★★2、方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；★★3、方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .五、常见的抽象函数模型★★★1、正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=± . ★★★2、幂函数模型：()2x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=；()()y f x f y x f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛ .★★★3、指数函数模型：()xa x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+；()()()y f x f y x f =- . ★★★4、对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ .★★★5、三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()y f x f y f x f y x f ⋅-+=+1 .一、函数的相关概念函数的定义中涉及两个非空数集和一个对应法则.在处理问题时，讨论函数的定义域、函数值的取值集合、对应的解析式是尤为重要和关键，要求掌握求相关的方法如（直接法、换元法、数形结合法等）.【例1】函数20.5log (43)y x x =-的定义域为．【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,430,41Y【例2】设{}20≤≤=x x M ，{}30≤≤=y x N ，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是．（只填写正确图形的序号）题型与方法【难度】★ 【答案】②③【例3】将函数[]()2,03322∈-++-=x x x y 的图像绕坐标原点逆时针选择转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图像，则θ的最大值为．【难度】★★ 【答案】3π 【解析】如图，当圆弧所表示的函数图像旋转到与圆相切时，是极限状态．【例4】下列各组函数中表示相同函数的是（）A 、()2x x f =，()33x x g =B 、()1+=x x x f ，()x x x g +=2、()xx x f =，()()()⎩⎨⎧<-≥=0101x x x g D 、()122--=x x x f ，()122--=t t t g【难度】★★ 【答案】D【例5】若一次函数()x f 满足()[]{}78+=x x f f f ，则()=2f ．【难度】★★ 【答案】5【例6】记[]x 为不超过实数x 的最大整数，设()[]x x x f +=，[)2,1-∈x ，则函数()x f 的值域是．【难度】★★【答案】[)[)[)3,20,11,2Y Y --【例7】函数⎪⎭⎫⎝⎛++=45lg 2kx x y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是．【难度】★★【答案】()5,5-【巩固训练】1．已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)y f x =+的定义域是_______．【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,232．若函数f ：{}{}2121，，→满足()[]1>x f f ，则这样的函数共有_____个．【难度】★★ 【答案】13．将函数[]()4,02442∈--+=x x x y 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()αθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则α的最大值为_____．【难度】★★ 【答案】4π 4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A 、55x y =，2x y =B 、x e y ln =，x e y ln =C 、()()131-+-=x x x y ，3+=x yD 、0x y =，01x y =【难度】★★ 【答案】D5．若函数()x f ，()x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xe x g xf =-，则()0g ，()2f ，()f 的大小关系是．【难度】★★【答案】()()()320f f g <<6．已知函数122+++-=x x b x ax y 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，，则=+b a ．【难度】★★ 【答案】27．函数862++-=k x kx y 的值域为[)+∞,0，则实数k 的取值范围是．【难度】★★【答案】[]10，二、二次函数、幂指对函数一元二次方程根的分步、一元二次不等式的解、二次曲线交点都可以利用二次函数作为突破点来解决；幂指对函数是高中的基本函数，从定义→图像→性质→应用的分析是解决这类题型的基本方法．【例8】已知二次函数()()R c b c bx x x f ∈≥++=,02，若()x f 的定义域为[]0,1-，值域也是[]0,1-，符合上述条件的函数()x f 的解析式为．【难度】★★【答案】()12-=x x f 或()x x x f 22+=【例9】方程()0112=+--x m mx 在()1,0内有两个不同的实数根，则m 的取值范围为．【难度】★★ 【答案】223+>m【例10】幂函数()()5237321t t x t t x f -++-=是偶函数，且在()∞+，0上为增函数，则函数解析式为．【难度】★★【答案】()52x x f =或()58x x f =【例11】若20≤≤x ，则函数523421+⋅-=-x x y 的值域是．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡2521，【例12】若函数()()R a x f ax ∈=-2满足()()x f x f -=+11，且()x f 在[)+∞,m 上单调递增，则实数m 的最小值等于．【难度】★★ 【答案】1【例13】已知函数()x m x f a log +=（0>a 且1≠a ）的图像过点()28，，点()13-，P 关于直线2=x 的对称点Q 在()x f 的图像上，则()=x f ．【难度】★★ 【答案】1log 2-x【巩固训练】1．已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为．【难度】★★ 【答案】22 2．若函数()a x x x f +-=32在()3,1内有零点，则实数a 的取值范围为．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛490，3．幂函数942--=a a x y 是偶函数，且在()+∞,0是减函数，则整数a 的值是．【难度】★★ 【答案】-1，1，3，54．已知()xxa x f 421⋅++=，若()0>x f 在(]1，∞-上恒成立，则a 的取值范围为．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎝⎛-∞-43，5．已知函数()x f 为偶函数且()()4-=x f x f ，又()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+--=-2122105232x x x x x f xx ，，，函数()a x g x+⎪⎭⎫⎝⎛=21，若()()()x g x f x F -=恰好有4个零点，则a 的取值范围是．【难度】★★★ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛82，6．函数()11log +-=x y a （0>a 且1≠a ）的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图像上，其中m ，0>n ，则nm 21+的最小值为．【难度】★★ 【答案】8三、指对方程指数方程的常见解法是利用换元思想变成一次或二次方程的模型来进行计算，有时也可以利用两边取对数来降低次数化为对数方程来解决；对数方程可以利用换元或是利用对数与指数的互逆运算来计算．【例14】解下列指数方程：（1）12492800x x ++-⋅+=；（2）()()107222440x x x x ---+++=．【难度】★★【答案】（1）2或2log 5；（2）0（令xxt -+=22）．【例15】解下列方程：（1）()()2lg 426lg 31x x x +---=；（2）()()122log 44log 23x x x ++=+-；（3）21log (235)2x x x ++-=；（4）242(log )log 30x x --=【难度】★★【答案】（1）8x =；（2）2x =；（3）2x =；（4）16464x x ==或【例16】若关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有解，求实数a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】30a -≤<【巩固训练】1．解下列指数方程：（1）4669x x x +=⋅；（2）2212=-xx．【难度】★★【答案】（1）23log 2x =；（2）()2log 12x =+．2．解下列对数方程：（1）()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=；（2）()()2212lg 1lg 6lg 1lg 62x x x -+--+=；（3）()()122log 44log 23x x x ++=+-．【难度】★★ 【答案】（1）132x =；（2）7x =或3x =或4x =；（3）2x =．3．22log 12log ()x x a +=-有且只有一解，求a 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】0a ≥或12a =-四、复合函数解决复合函数问题一般是将其拆解成内外两个函数，根据内函数和外函数的图像和性质来进行求解．【例17】已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题： ① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -。

2020年上海各区高三二模分类汇编-5解析几何(教师版)

2020年二模汇编——解析几何一、填空题【奉贤2】已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是【答案】2【解析】考察圆的参数方程, ()2264,2x y r -+==【松江3】已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x =【解析】动点到定点的距离等于它到定直线的距离，因为定点不在定直线上，所以的轨迹是抛物线，为焦点，为准线。

因为22y px =的焦点是(,0)2p，即，所以2p =，进而抛物线方程为24y x =.【闵行3】若直线01=++by ax 的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为_______【答案】4π 【解析】()4,1tan ,1,1πθθ====k【奉贤4】已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为【答案】【解析】考察焦点三角形的面积21tan222P P b c y y θ=⋅⋅⇒=代入若原椭圆方程解得P x =，所以P点坐标为【宝山4】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是。

【答案】y x =±P (1,0):1l x =-P (1,0):1l x =-(1,0)【解析】由题意知by x a=±，a b =，所以y x =±。

【黄浦4】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为【答案】6-【解析】60,6a a +==-【青浦5】双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．【答案】2【解析】双曲线22144x y -=的焦点为()±，渐近线方程为y x =±，由点到直线距离公式得距离2d =.【金山6】已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = .【答案】12【解析】2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为：x y a =±，12,2x y x a a ===【浦东6】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是．【答案】相交【解析】直线l 的一般方程是10x y -+=，圆O 的一般方程是221x y +=，圆心到直线距1<，直线l 与圆O 的位置关系是相交【长宁6】直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】由直线的参数方程定义可知直线方程为()122y x =-+-，所以2k =【黄浦7】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为【答案】221520x y -= 【解析】22222222,5,5255,1520b x yc c a b a a a ===+==⇒=-= 【浦东8】已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】12222=-y x【解析】抛物线x y 42=的焦点为()10，，设双曲线的方程为22x y λ-=，即221x y λλ-=，则1+12λλλ=⇒=，所以双曲线的方程是12222=-y x 【徐汇8】已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 .【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±【杨浦8】已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为15cos 5sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C 5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l 【虹口10】已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >）的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60o的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的长轴长为【答案】232+【解析】依据题意画出大致图像：因为1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，即等价为1290F MF ︒∠=211tan 3,22M F MF S b y ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得：()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=【嘉定11】设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=【青浦11】已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的ABC ∆的三个顶点的横坐标之和为__________．【答案】10-【解析】令()()()222112233,,,,,A x x B x x C x x.令22212121ABx x k x x x x -==+=-ABC中22313131ACx x k x x x x -==+==-223232325BCx x k x x x x --==+==-由此可得出13210x x x ++=-.【黄浦12】点A是曲线y =（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值22；（2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52+；其中正确结论的序号是【答案】①②【解析】（1）由题意可知，曲线22y x =+（2y ≤）是双曲线22122y x -=的上半支，根据双曲线定义可知，正确（2）曲线28x y =的准线2y =-，故正确（3）||||||||||5||5||||522PA AB BC PA AB QB PA AQ ++=++-=+-=+,故错误【奉贤12】在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m = 【答案】51-+，12-，16-【解析】12||2122m AB m pm p m<∴=-∴=∴=Q 抛物线的准线方程为14x m =-由抛物线的定义知1||||4AF m m =+于是条件可转化为12(2)||64m m m-++= 当0m >时, 25481012m m m +-=∴=-+(舍负) 当0m <时, 21128106m m m ++=∴=-或12m =- 【杨浦12】已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二、选择题【宝山13】抛物线24y x =的准线方程是（）【A 】2x =- 【B 】1x =- 【C 】18y =-【D 】116y =- 【答案】D【解析】由24y x =得到214x y =，则其准线方程为116y =-. 【虹口13】已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：4【松江13】若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为（）【A 】2【B【C 【D 】2 【答案】B【解析】OP 的最小值为原点O 到直线20x y -+=的距离，即：min d ==【崇明14】若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（）【A 】1- 【B 】1 【C 】2 【D 】13 【答案】B【解析】由()20,2=⇒c F ，所以1432=⇒=+=n n c ，故选B【闵行15】已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于,M N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（）【A 】2- 【B 】12-【C 】1【D 】1- 【答案】D【解析】设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=m E y x N y x M my x l 1,0,,,,,1:2211 112114,4044412121221*********-=+⋅--=+-+-=+-==+∴=--⇒⎩⎨⎧=+=y y y y m y m y y m y y y m y y my y xy my x λλ【青浦15】记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞=（）．【A 】2 【B 】4 【C 】3【D 】【答案】D【解析】令2222cos ,sin 441x ny n θθ==+，2cos ,x y θθ∴==2cos ),x y θθθϕ∴+=+=+lim n n n μ→∞→∞∴==【杨浦15】设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（）【A 】逐渐变大【B 】逐渐变小【C 】先变大后变小【D 】先变小后变大【答案】B【解析】令()()()()()202020202100520,5,0,5,,y x y x s F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B 三、解答题【宝山20】已知直线:l y kx m =+ 和椭圆22:142x y Γ+=相交于点()()1122,,,A x y B x y .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程；（2）点)C在Γ上，若0m =，求ABC ∆面积的最大值；（3）如果原点O 到直线l的距离是3，证明：AOB ∆为直角三角形。

高三数学知识点归纳沪教版

高三数学知识点归纳沪教版作为高中最后一年的学生，高三生活无疑是紧张而重要的。

对于理科学生而言，数学是其中的重要科目之一。

为了更好地备考数学，今天我将对高三数学中的几个重要知识点进行归纳和总结，以帮助大家更好地掌握这些内容。

一、函数与方程函数与方程是高中数学中的重要基础，也是高三数学的核心。

其中，函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，而方程则包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程等。

在学习函数与方程时，重点掌握函数与方程的性质，解法以及应用，是高三数学备考的关键。

二、三角函数与立体几何三角函数是数学中的一大难点，包括正弦、余弦、正切等函数，以及它们的性质、变换、解析式和应用等。

在学习三角函数时，需要熟练掌握各种角的换算关系及特殊角的性质。

此外，立体几何也是高三数学中重点关注的内容，包括空间图形的特征与性质以及计算几何等，特别需要关注例如平行四边形、棱柱、棱锥、球的面积与体积的计算。

三、概率与统计概率与统计在高三数学中占有一定的比重，也是我们日常生活中经常遇到的内容。

学习概率与统计需要了解基本概念，掌握一些常用的概率模型和统计方法，如排列组合、事件的独立与相关、随机变量及其分布等。

同时，要注重实际问题的解决方法，通过概率与统计的知识分析和解答，提高我们的实际问题解决能力。

四、数列与数学归纳法数列是高三数学中的一个重要概念，包括等差数列、等比数列和特殊数列等。

通过研究数列的性质和规律，可以了解数列的通项公式、前n项和以及数列的求和等。

此外，数学归纳法也是解决数列问题的重要方法，通过归纳与推理，可以得出一些重要的结论和规律。

以上只是高三数学知识点归纳的一部分，还有很多内容没有涉及到。

在学习高三数学的过程中，我们要注重掌握基本概念和原理，重视练习和巩固，同时注重提高问题解决能力。

此外，我们要积极利用各种资源，比如参考书、习题集、辅导班等，以增强自己的学习效果。

不同的学生在数学学习中可能存在不同的问题和困惑，但通过刻苦努力和持之以恒的学习，我们一定能够掌握高三数学知识，取得好成绩。

上海2020届高三数学基础知识回顾辅导讲义—椭圆双曲线—-教师版

1/ 61高三数学（教师版）一、椭圆1.椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距．注意：若设动点为P ，则（1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆．（2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质椭圆的标准方程及性质列于下表中．焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -椭圆与双曲线知识梳理2/ 613．椭圆的其他性质①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -． ③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大． ④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．直线与椭圆的位置关系联立方程，看∆．0∆>（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； 0∆<，直线与椭圆无交点．二、双曲线1.双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））．这两个定点叫双曲线的焦点． 2.双曲线标准方程的两种形式：3/ 613.直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-b y a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。

上海2020届高三数学基础知识回顾辅导讲义—轨迹方程—-教师版

1 / 30高三数学（教师版）一、曲线方程的定义（一）、知识精讲一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程的曲线．二、求轨迹方程的步骤和方法（一）、知识精讲1、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．0),(=y x F C 0),(=y x F 0),(=y x F y x 、轨迹方程知识梳理2 / 30上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 2、求轨迹方程的方法：直接法、定义法、代入法、参数法。

三、曲线方程综合（一）、知识精讲1、两条曲线若存在交点，则它们的交点坐标就是两曲线方程所构成方程组的解.2、弦长公式若直线与二次曲线的交点为A()和B () 方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离．方法二：利用弦长公式：==一、 “曲线的方程”、“方程的曲线”的定义【例1】已知坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上，则下列命题中正确的是( )()A 曲线C 上的点的坐标都适合方程(,)0F x y =；b kx y +=1,1,y x 2,2,y x ⇒||1||212x x k AB -+=2212121()4k x x x x ++-g ||21211y y k-+=21212211()4y y y y k ++-g 例题解析3 / 30()B 不在曲线C 上的点的坐标有些适合方程(),0F x y =； ()C 凡坐标不适合方程(,)0F x y =的点都不在曲线C 上； ()D 不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程(,)0F x y =；【难度】★★【答案】由曲线的方程的定义可知,曲线C 上的点的坐标不一定都满足方程(),0=F x y ，故A 错；不在曲线C 上的点一定不适合(),0=F x y ，故B 错；坐标不适合方程(),0=F x y 的点可能在曲线C 上，故D 错；正确答案D .【例2】方程2x 2－y 2－4x －4y －2=0的曲线是____________。

2020年教师版高中数学解析几何高考考点复习与解析

(2)计算公式:若由
A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于
x
轴,则
k=
22-
1(x1≠x2).
1
若直线的倾斜角为θ 4.直线方程的五种形式
≠
π 2
,则
k=tanθ
.
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VIP MATH 高考数学精准辅导工作室
名称几何条件斜截式纵截距、斜率点斜式过一点、斜率
两点式过两点
叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
注:若集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数,则有如下结论:
(1)若 a>c,则集合 P 为椭圆 ;
(2)若 a=c,则集合 P 为线段 F1F2 ;
(3)若 a<c,则集合 P 为空集 .
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
一般
充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标: - ,-
22
方程
半径： r D2 E2 4F 2
8.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0,y0)与圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 之间存在着下列关系:
(1)d>r⇔M 在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M 在圆外 ; (2)d=r⇔M 在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M 在圆上 ; (3)d<r⇔M 在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M 在圆内 . 9.直线与圆的位置关系
= 1+ 2 ,
则

2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾6解析几何

1 •直线方程的五种形式(1)点斜式：y — y 1 = k(x — x”(直线过点P 1(X 1, y”，且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线)•⑵斜截式：y = kx + b(b 为直线I 在y 轴上的截距，且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线)•标轴和平行于坐标轴的直线 )•行于坐标轴和过原点的直线 )•(5)—般式：Ax + By + C = 0(其中A , B 不同时为0) • 2 •直线的两种位置关系当不重合的两条直线 11和12的斜率存在时： (1) 两直线平行 11 II 12? k l = k 2. (2) 两直线垂直l i 丄12? k i • k 2=— 1.［提醒］当一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略•3 •三种距离公式(1) A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)两点间的距离 |AB|=\R X 2 — x 1)2 +( y 2 — y 1)2.|Ax 0+ By 0 + C |(2) 点到直线的距离 d = (其中点P (X 0, y 0)，直线方程为 Ax + By + C = 0) •|C 2— C 1|⑶两平行线间的距离 d =——2 2(其中两平行线方程分别为11： Ax + By + C 1= 0, I 1: AxV A 2 + B 2+ By +C 2= 0且 CM C 2)•［提醒］应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x , y 的系数应对应相等.回顾6解析几何［必记知识］(3)两点式:y —如= y 2 — y 1x —X 1X —(直线过点 P 1(X 1, y 1), P 2(X 2, y 2),且 X 1M X ,y 1M y 2,不包括坐(4)截距式:t b+1(a , b 分别为直线的横、纵截距，且 a 工0, 0,不包括坐标轴、平4 •圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x—a)2+ (y—b)2= r2.⑵圆的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2—4F > 0).5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.⑵圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.［提醒］椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度•因为a2= b2+ c2,所以b=「 1 —e2,因此，当e越趋近于1时，上越趋近于0, a a 椭圆越扁；当e越趋近于0时，-越趋近于1,椭圆越接近于圆•所以e越大椭圆越扁；e越小a椭圆越圆，当且仅当a = b, c= 0时，椭圆变为圆，方程为x2+ y2= a2(a>0).7.双曲线的标准方程及几何性质［提醒］⑴离心率e的取值范围为(1, +8)•当e越接近于1时，双曲线开口越小；当 e 越接近于+时，双曲线开口越大•(2)满足||PF i|—|PF2||= 2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a = 0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当O v 2a v|F i F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a= |F i F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a>|F i F2|时，点P的轨迹不存在•［必会结论］1. 与圆的切线有关的结论(1) 过圆x1 2 3 4 5+ y2= r2上一点P(X0, y o)的切线方程为x o x + y o y= r2(2) 过圆(x —a)2+ (y—b)2= r2上一点P(x°, y o)的切线方程为(x o—a)(x—a) + (y o —b)(y —b)= r2.⑶过圆x2+ y2= r2外一点P(x o, y o)作圆的两条切线，切点为A, B，则过A, B两点的直线方程为X o x+ y o y= r2.⑷过圆x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0(D2+ E2—4F>0)外一点P(x o, y o)引圆的切线，切点为T, 则|PT|= x2+ y2+ Dx o+ Ey o+ F.(5) 过圆C: (x —a)2+ (y—b)2= r2(r> o)外一点P(x o, y o)作圆C的两条切线，切点分别为A, B,则切点弦AB所在的直线方程为(x o—a)(x—a) + (y o —b)(y—b)= r2.(6) 若圆的方程为(x —a)2+ (y —b)2= r2(r > o)，则过圆外一点P(x o, y o)的切线长 d =.(x o—a) 2+( y o—b) 2—r2.2 •椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理.x2 y2以椭圆尹+ £ = 1(a> b>0)上一点P(x o, y o)(y o z 0)和焦点F1(—c, 0), F2(c, 0)为顶点的△ PF1F2 中，若/ F1PF2= 0,则2 |PF1| = a+ ex o, |PF2|= a —ex o(焦半径公式)，|PF1|+ |PF2|= 2a.(e 为椭圆的离心率)3 4c2= |PF1|2+ |PF2|2—2|PF1||PF2| • cos 01 204 S A PF1F2= 2|PF1||PF2| • sin 0= b2tan^ = c|y o|，当|y o|= b，即P 为短轴端点时，S A PF1F2取得最大值，为bc.5 焦点三角形的周长为2(a + c).3. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x2—y2= 1(a>0, b>0)，则渐近线的方程为笃一占=0，即y=氏.a b a b a(3) 若所求双曲线与双曲线x 2 — y 2= 1(a >0, b >0)有公共渐近线，其方程可设为—牡人入 > 0,焦点在x 轴上；疋0,焦点在y 轴上). 4.双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.⑵若P 是双曲线右支上一点，F I ,F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF i | min = a + C , |PF 2|min=c — a.短的为实轴，其长为 2a.b 2 b 2k PA • k PB = ~2， S A PF I F2= ，其中a 6 0tanX 2 V 2⑸P 是双曲线p —詁=1(a >0, b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点,a b 曲线的左、右焦点，IPF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标恒为a.5.抛物线焦点弦的相关结论设AB 是过抛物线y 2= 2px(p >0)的焦点F 的弦，若A(X 1,屮)，B(X 2, y 2), a 为直线AB 的倾斜角，则⑴焦半径 AFI =対+2=i —Os a|BF |=x2+21.过圆X 2 + y 2— X — y + 4= 0的圆心，且倾斜角为 n 勺直线方程为(B . x — 2y + 3= 0 D . x — y + 1 = 0b > 0)，即a ±b =。

2020版高考数学(新课改省份专用)一轮复习(讲义)第八章解析几何第四节双曲线

第四节双曲线突破点一双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题； (2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ，则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ， y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .。

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1 / 26一、直线与方程★1、直线的倾斜角及斜率：（1）倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的范围是[)π，0.（2）斜率：①倾斜角不是2π的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即αtan =k （2πα=时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：()211212x x x x y y k ≠--=.★2、直线的方程：点方向式：vy y u x x 00-=-（过点()00,y x ，方向向量()v u ,）点法向式：()()000=-+-y y b x x a （过点()00,y x ，法向量()b a ,）斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x截矩式：1x ya b+=（与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ）一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）高考数学基础知识回顾：解析几何基础知识2 / 26★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：01=++C By Ax 与02=++C By Ax ；（2）垂直直线系：01=++C By Ax 与02=+-C Ay Bx ；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l ；②当:1111=++c y b x a l ，:2222=++c y b x a l 时，//122121=-⇔b a b a l l ；0212121=+⇔⊥b b a a l l★★4、直线的夹角公式：（1）对直线0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，2222212121212121||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα；（2）对直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，21211tan k k k k +-=α★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离为2200BA C By Ax d +++=；（2）点在直线的同侧或异侧的问题：令δ=，当两点在直线l的同侧，则它们的δ同号；当两点在直线l 的异侧，则δ异号；（3）两平行线间的距离公式：0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 为2221BA C C d +-=★6、线性规划：①设出所求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可行域；①运用图解法求出最优解．二、圆与方程★1、圆的方程：（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422F E D -+，能形成圆的充要条件是0422>-+F E D ；（3）参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x ，圆心()b a ,，半径为r ．3 / 26★2、点与圆的位置关系：点()00,y x 与圆的位置关系通过代入圆的方程，若0002020<++++F Ey Dx y x ，点在圆内；若等于0，点在圆上；大于0，点在圆外．★★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22BA C Bb Aa d +++=，则有l r d ⇔>与C 相离；l r d ⇔=与C 相切；C l r d 与⇔<相交；（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有l ⇔<∆0与C 相离；l ⇔=∆0与C 相切；l ⇔>∆0与C 相交．★★★4、过圆上一点的切线方程：①圆222r y x =+，圆上一点为()00,y x ，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ ；①圆()()222r b y a x =-+-，圆上一点为()00,y x ，则过此点的切线方程为()()()()200r b y b y a x a x =--+--．★★5、圆与圆的位置关系：设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-，d为两圆的圆心距，当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含；当0=d 时，为同心圆．三、圆锥曲线 1、椭圆：★（1）定义：平面内到两定点的距离的和为常数（）的动点的轨迹叫椭圆．（长轴长，短轴长，长半轴，短半轴，焦距c 2，222c b a +=）21,F F 2a 2a >21F F 2a 2b a b4 / 26★（2）方程：①标准方程：焦点在轴上时：；焦点在轴上时：；②参数方程：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（焦点在x 轴上） ★（3）椭圆的的内外部：①点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<；②点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>★★★（4）椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是；①若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是；①椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为；①是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；①已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．2、双曲线：★（1）定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（）的动点的轨迹叫双曲线．（实轴长，虚轴长，实半轴，虚半轴，）x 12222=+b y a x y 12222=+bx a y ()0>>b a 000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y ya b +=000(,)P x y 22221x y a b +=0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b+=22221x y a b +=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan2F PF S b γ∆=AB22221x y a b +=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a⋅=-0202y a x b K AB-=22221x y a b +=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PBk 22b a=-21,F F 2a <<a 2021F F 2a 2b a b 222b a c +=5 / 26★（2）标准方程：焦点在轴上时：，渐近线x aby ±=；焦点在轴上时：，渐近线x bay ±=★（3）共轭双曲线和等轴双曲线：与12222=-a x b y 互为共轭双曲线；形如12222=-ay a x 的双曲线叫等轴双曲线★★★（4）双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是；①若在双曲线（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是；①双曲线（）的左右焦点分别为，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；①是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；①已知双曲线，直线y kx =交双曲线于A ，B 两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则． 3、抛物线：★（1）定义：到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹．（定点不在定直线上）x 12222=-b y a x y 12222=-b x a y 12222=-b y a x 000(,)P x y 22221x y a b -=0,0a b >>0P 00221x x y ya b-=000(,)P x y 22221x y a b -=0,0a b >>0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b-=22221x y a b -=0,0a b >>12,F F 12F PF γ∠=122t 2F PF S b co γ∆=AB 22221x y a b -=0,0a b >>00(,)M x y AB 22OM ABb K K a ⋅=0202y a x b K AB =22221x y a b-=P A B PA k PB k PA k ⋅PBk 22b a=6 / 26★（2）标准方程：①，焦点(,0)，准线；①px y 22-=，焦点(-,0)，准线；①，焦点(0,)，准线；①，焦点(0,-)，准线（3）抛物线的相关结论：①设抛物线方程（），F 为其焦点，AB 为过F 的弦，，．则（），()，．①抛物线在点的切线方程为：．四、解析几何综合问题★★1、直线与圆锥曲线的位置关系：①把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系，方程解的个数为交点个数；②利用区域划分的图形效果，用数形结合的方式讨论；③椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222Aa Bbc +=，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B bc -=，抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =．★★2、弦长公式： ★★★3、距离问题：（1）点与圆锥曲线的距离：一般通过两点间距离公式，转化为二次函数问题来解决，注意变量范围．特殊的，当该点为焦点时，椭圆这侧的长轴顶点到该点的距离最小，双曲线这侧的实轴顶点到该点的距离最小．抛物线一般转化为到准线的距离解决．（2）到定直线的距离：一般是通过作定直线的平行线与圆锥曲线相切来解决．另外，通过参数方程也可以解决．（3）到圆上点的距离：一般转化为到圆心的距离加减半径．px y 22=2p 2p x -=2p 2p x =py x 22=2p 2p y -=py x 22-=2p 2p y =22y px =22x py =11(,)A x y 22(,)B x y 2124p x x =2124p y y =212y y p =-212x x p =-112AF BF p+=22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+∆||1||212x x k AB -+=||21211y y k-+=7 / 26★★★4、弦中点问题：（1）解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．（2）点差法：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。