极限计算练习的解答和其他Word版

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极限练习册答案

极限练习册答案1. 求下列函数在x=0处的左极限和右极限：\[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]解：首先，我们可以将函数f(x)重写为：\[ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \]当x不等于1时，我们可以消去分子和分母的(x - 1)项，得到：\[ f(x) = x + 1 \]因此，当x趋向于1时，f(x)的左极限和右极限都是2。

2. 判断函数f(x) = x^2 在[0, ∞)区间上是否连续。

解：函数f(x) = x^2是一个二次函数，它在所有实数范围内都是连续的。

特别地，在[0, ∞)区间上，它没有不连续点，因此是连续的。

3. 求下列函数的极限：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]解：由于正弦函数的值在-1和1之间振荡，而x趋向于无穷大，分母x的增长速度远大于正弦函数的振荡幅度，因此这个极限的值为0。

4. 求下列函数的极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]解：这个极限是正弦函数的导数在x=0处的值，根据微积分的基本定理，这个极限的值为1。

5. 判断下列函数是否在x=0处存在极限：\[ f(x) = \frac{1}{x} \]解：函数f(x) = 1/x在x=0处没有极限，因为当x趋向于0时，函数值趋向于无穷大或无穷小，而不是趋向于某个固定的值。

结束语：以上是极限练习册的部分答案，极限是微积分中的基础概念，理解并掌握极限的性质对于深入学习微积分至关重要。

希望这些答案能够帮助你更好地理解极限的求解方法和应用。

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

七道数学极限计算习题F3

七道数学极限练习题及计算过程1.计算 lim n →∞16n ²-226n ⁴+12n-14. 解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n 趋近无穷大时，所求极限等于0。

lim n →∞16n ²-226n ⁴+12n-14 ,分子分母同时除以n ⁴，= lim n →∞16n -2n ⁴26+12n ³-14n ⁴=0。

2.计算 lim n →∞ 23n-22n-1631+11n-26n ². 解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n ²，即：lim n →∞23n-22n-1631+11n-26n ²= limn→∞23-22n-16n²31n+11n-26=23-00-26=-2326。

思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：lim n→∞23n-22n-16 31+11n-26n²= limn→∞46n-2211-52n，继续使用罗必塔法则，= limn→∞46-00-52，=-23 26。

3.求极限 limx→1x³-39x+38x⁴-39x+38.解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：lim x→1x³-39x+38 x⁴-39x+38= limx→1(x-1)(x²+x-38)(x-1)(x³+x²+x-38),= limx→1x²+x-38x³+x²+x-38,=1+1-381+1+1-38=3635。

4.求 limx→010x+22sin7x27x-42sin11x.解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式limx→0sinxx=1应用计算而得，则：lim x→010x+22sin7x 27x-42sin11x= limx→010+22sin7xx27-42sin11xx，= limx→010+154sin7x7x27-462sin11x11x，=10+15427-462=-164435。

第二章极限习题及答案：极限的四则运算共13页word资料

分类讨论求极限例已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim-∞→nnn S S .（2019年全国高考试题，理科难度0.33）解： ()()111111--+--=q q b p p a S n n n()()()()()()()()111111111111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论；（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<pq， ∴1lim-∞→n nn S S()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n np p q p b p q a p p p q p b p q a p()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p()()p q a q a p =--⋅=1111 （2）当1<p 时，∵ 10<<<p q ， ∴ 1lim-∞→n nn S S()()()()()()()()11111111lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=p b q a p b q a()()()()111111111=--------=p b q a p b q a . 说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→x x x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim 2223xx xx x x x x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→xx xx x（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→xx xx x说明：当<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++xx xx xx x x x．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n Λ；（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1Λ. （1992年全国高考试题，文科难度0.63）解：（1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n . （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131limnn[]41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→nn . 说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式123lim14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n Λ （2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ΛΛn n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设*N p ∈，求nn p n 1111lim1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n ΛΘ pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴Λ11111lim 111+==-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 2Λ11111+=+++=+p p 43421Λ个说明：要注意p 是与n 无关的正整数，111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求.)1(lim n n n n -+∞→分析：当∞→n 时，所求极限相当于∞⋅0型，需要设法化为我们熟悉的∞∞型．解： n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim =++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n说明：对于这种含有根号的∞⋅0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nn n++1，即为∞∞型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n ，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例已知161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim)2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ．说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫⎝⎛+42的极限必为0，而0→nq 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ．零比零型的极限例求xx x 11lim10-+→．分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数x x 1110-+分子、分母中约去x 有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时x 化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ．原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y Λ 说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题．例如对于11lim 21--→x x x ，我们一般采用因式分解，然后约去1-x ，得到2)1(lim 1=+→x x ．其实也可以采用这种代换，即设1-=x t ，则当1→x 时，0→t ，这样就有.2)2(lim 1)1(lim 11lim 02021=+=-+=--→→→t tt x x t t x 组合与极限的综合题例 ) (lim 1222=++∞→n n n n n C CA ．0B ．2C ．21 D ．41 分析：将组合项展开后化简再求极限．解： 1222lim ++∞→n n nn n C C.4126412lim )22)(12()1(lim)!22()!1()!1(!!)!2(lim 222=++++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n 故应选D ．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算.________)2(lim =+∞→nn n n 2．若数列{}n a 的通项公式是)N ()1(1*∈+=n n n a n ，则.________)(lim 21=+∞→n n a n a3．计算：.________)13(lim =++∞→nn n n 1．解析 22222221221lim 2lim -+--+-∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e n n n n n n n nn n n说明：利用数列极限公式e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析 .21,)1(11=∴+=a n n a n Θ.23121)11121(lim )1(121lim 2=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+∴∞→∞→nn n n n n说明：本题的思考障碍点是如何求1a ？——只要懂得在通项公式中令1=n ，可立得1a 的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析 nn n n )13(lim ++∞→ 21221)121(lim e n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++∞→说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例若12lim =∞→n n na ，且n n a ∞→lim 存在，则.________)1(lim =-∞→n n a nA ．0B ．21 C ．21- D ．不存在分析：根据题设知n na 和n a 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：,lim ,12lim 存在n n n n na na ∞→∞→=Θ0lim 021lim2lim lim =∴==∴∞→∞→∞→∞→n n n nn nn a n na a又21lim ,12lim ==∞→∞→n n n n na na ∴21210lim lim )(lim )1(lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n na a na a a n 即.21)1(lim -=-∞→n n a n选C ．说明：n n a ∞→lim 是关键，不能错误地认为0lim =∞→n n a ，0)1(lim =-∞→n n a n ．两个数列{}n a 、{}n b 的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的极限不一定存在．化简表达式再求数列的极限例求下列极限（1）⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→112171513lim 2222n n n n n n Λ（2）nnn 21412113191311lim ++++++++∞→ΛΛ （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211511411311lim n n n Λ 分析：先运用等差数列、等比数列的前n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式1)12(753lim2++++++=∞→n n n Λ 11121lim 1)2(lim 22=++=++=∞→∞→nn n n n n n （2）原式nn n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→211311lim 34211231123lim4301013421lim 1lim 31lim 1lim 34=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→∞→∞→n n n nn n （3）原式.222lim 21544332lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n Λ 说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0112lim ,,015lim ,013lim 222=++=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→n n n n n n n Λ而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限：（1）n n n n n 3423352lim 11⋅+⋅⋅-++∞→ （2）)0(11lim>+-∞→a a a nnn 分析：第（1）题属“∞∞”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式432315322lim 342331522lim +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+⋅⋅-⋅=∞→∞→n nn n n n n n .41540315024lim 32lim 315lim 32lim 2-=+⨯-⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→∞→n nn n nn （2）当10<<a 时，01111lim 11lim=+-=+-∞→∞→n n n n a a ，当1>a 时，.110101lim 1lim 1lim 1lim 1111lim 11lim -=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n a a a a a a说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0lim =∞→n n a ．根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且有211lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n q q a ，求1a 的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知nn q ∞→lim 存在，因此可得q 的取值范围，从而确定出1a 的取值范围．解：由211lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→n n q q a ，得n n q ∞→lim 存在． ∴1<q 且0≠q 或1=q ．．当1<q 时，有2111=+q a ， ∴121-=a q ，∴112<-a 解得101<<a ，又0≠q ，因此211≠a ．当1=q 时，这时有2112lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→a n ， ∴31=a ．综上可得：101<<a ，且211≠a 或31=a ．说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q 的特点，容易将0≠q 这一条件忽视，从而导致错误．求函数在某一点处的极限例求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→22423lim 3322x x x x x （2）401335172lim 225++++→x x x x x （3）xx x 320cos 1sin lim -→ （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→9631lim 23x x x 分析：第（1）题中，2=x 在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“00”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“∞-∞”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．解：（1）22lim 423lim 22423lim 332223322++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→→→x x x x x x x x x x x )2(lim 2lim )4(lim )23(lim 3232222++++=→→→→x x x x x x x x 2lim lim lim 24lim lim 2lim lim 32323223222→→→→→→→++++=x x x x x x x x x x x.513581222242223322=+=+⨯+++⨯= （2）.18)5(7)5(2872lim )8)(5()72)(5(lim 401335172lim 55225-=+-+-⨯=++=++++=++++→→→x x x x x x x x x x x x x（3）xx x x x x x x x x x 20220320cos cos 1cos 1lim )cos cos 1)(cos 1(cos 1lim cos 1sin lim +++=++--=-→→→ .3211111=+++= （4）.6133131lim 96)3(lim 9631lim 32323=+=+=--+=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x 说明：不能错误地认为，由于31lim3-→x x 不存在，96lim 23-→x x 也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“∞-∞”型，一般要先对函数式进行变形，变为“00”型或“∞∞”型，再求极限．函数在某一点处零比零型的极限例求下列极限：（1）3111lim x x x --→ （2）xx x x 32sin sin tan lim -→π 分析：第（1）题中，当1→x 时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．解：（1）原式)1)(1)((1()1)(1)(1(lim 32333231x x x x x x x x x +++-+++-=→.23111111)1(lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=+++=+-++-=→→xx x x x x x x x x （2）原式xx x x x x xx x x cos sin cos sin sin lim sin sin cos sin lim 3232⋅-=-=→→ππ .211)11(1cos )cos 1(1lim cos sin cos 1lim222=⨯+=⋅+=⋅-=→→x x x x x ππ 说明：如果分子、分母同乘以31x +，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是)1(323x x ++．。

极限计算练习题

极限计算练习题首先，让我们研究一些关于极限计算的练习题。

通过解答这些问题，我们将深入理解极限的概念，并熟悉常见的计算方法。

问题一：计算 $\lim_{x\to 2} (3x+1)$解答：对于这个问题，我们可以直接将 $x$ 替换为 2 来计算极限。

因此，我们有：$$\lim_{x\to 2} (3x+1) = 3(2) + 1 = 7$$因此，上述极限的结果为 7。

问题二：计算 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$解答：这是一个经典的极限计算问题，也被称为正弦极限。

我们可以利用泰勒级数展开式来解决该问题。

根据泰勒级数展开式，我们有：$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\ldots$$如果我们将上式代入所给的极限，则会发现 $x$ 的系数逐渐消失，得到以下结果：$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots\right) = 1$$因此，上述极限的结果为 1。

问题三：计算 $\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$解答：这个问题涉及到一个重要的极限，也就是自然对数的底，通常用 $e$ 来表示。

我们可以重写问题三的极限表达式：$$\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x\to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right)$$我们知道，上述极限的结果是 $e$。

因此，问题三的答案为 $e$。

通过以上的练习题，我们巩固了极限计算的基本方法。

(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

极限方程题型练习题答案

极限方程题型练习题答案随着教育水平的提高，数学的重要性日益凸显。

而在数学中，极限是一个关键的概念，涉及到许多不同的题型和解题方法。

本文旨在提供一些极限方程题型的练习题答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 问题：求极限lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)]解答：我们可以使用泰勒级数展开来解决这个问题。

根据泰勒级数展开公式，sinx在x等于0的情况下的展开式为x-x^3/6。

将其代入题目中的极限式中得到：lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)] = lim(x→0) [(2x-2x^3/3)/(x^2)] = lim(x→0) [2-2x^2/3] = 2-0 = 2。

因此，极限lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)]等于2。

2. 问题：求极限lim(x→∞) [ln(x+1)/ln(x)]解答：我们可以利用洛必达法则来解决这个问题。

洛必达法则可以用于解决形如f(x)/g(x)形式的极限问题，其中f(x)和g(x)均可导。

不妨设f(x) = ln(x+1)和g(x) = ln(x)，则我们可以直接对其求导：f'(x) = 1/(x+1) 和 g'(x) = 1/x。

根据洛必达法则，当x趋于正无穷时，lim(x→∞) [f(x)/g(x)] =lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)]，所以我们可以计算lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)]：lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)] = lim(x→∞) [(1/(x+1))/(1/x)] = lim(x→∞)[(x/(x+1))] = 1。

因此，极限lim(x→∞) [ln(x+1)/ln(x)]等于1。

通过以上两个解答示例，我们可以看到在解决极限方程题时，有时需要运用到泰勒级数展开和洛必达法则等更高级的数学工具。

这也反映了数学的深度和复杂性。

极限习题及答案极限的则运算

极限习题及答案极限的则运算极限习题及答案：1. 计算极限：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)解：当 x 趋近无穷大时，分子和分母的最高次项都是 x，所以可以将 x 提取出来：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)= lim(x→∞) (2 + 1/x)/(3 - 2/x)当 x 趋近无穷大时，1/x 趋近于 0，所以可以将其忽略：= lim(x→∞) (2 + 0)/(3 - 0)= 2/32. 计算极限：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)解：当 x 趋近 0 时，sin 3x 趋近 0，所以可以将其忽略：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)= lim(x→0) (3)/(2)= 3/23. 计算极限：lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行因式分解：(x^2 - 1)/(x - 1) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = x + 1当 x 趋近 1 时，x + 1 趋近 2，所以极限为 2。

4. 计算极限：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)解：当 x 趋近无穷大时，e^x 趋近无穷大，所以可以将其忽略：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)= lim(x→∞) (1 + 1)/(1 - 1)= 2/0这个极限不存在。

5. 计算极限：lim(x→0) (1 - cos x)/(x^2)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行泰勒展开：1 - cos x = 1 - (1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6! + .)= x^2/2 - x^4/4! + x^6/6! - 。

当 x 趋近 0 时，x^2/2 趋近 0，所以极限为 0。

这是一些常见的极限习题及答案，通过这些例子，你可以更好地理解极限的概念和运算法则。

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《极限计算练习》课堂测验的题解及其他各位同学：11月23日下午进行了《高等数学（上册）》的第2次课堂练习，从教学计划来说，这是例行的测验，从学习的角度看，也是对大家大半个学期来学习情况的一次检验。

测验的结果很不理想，出乎我的预料。

看来有相当数量的同学，还没有进入大学学习的轨道，没有化起码的功夫。

当然，学习好的同学也不少，我教的两个班上，有近30-40位同学的成绩一直稳定在90分上下，可见他们已经具有的数学基础很不错。

我很欣赏他们。

希望他们走向成功的明天。

我这么说其实还包含了一层意思：学数学是没有底的，不要满足于目前《高等数学》的层面，因为这门课毕竟只是对一般的理工科学生开设的，要求并不高，不要满足于能做几个题。

不知这些同学有没有理解我的苦心。

另外，我一直不认为分数是衡量数学好坏的绝对标准，即使那些考了90分的同学，只表明你做这几个“死”题做的不错，不等于能应用数学解决实际问题，活的数学题你们还没有接触到。

所以，每个人都要保持“在科学面前要有敬畏之心，谦卑之心”。

那些老是不及格，或在40—60分上下浮动的同学，要提高警惕，不要在大一上学期就被拉下，这样被动下去，你的大学生涯恐怕是不会乐观的，你的心里也许会有变化。

你的这个大学上得没有意思了。

同学们的队伍由此拉开了距离——就像长跑一样，拉开了距离，一般是很难追上的。

为此，我这里对其中若干题目进行分析，提供几种思路，供大家思考和回味，特别对不会做的同学，你还是要努力学懂啊！不要放弃！放弃了，没有可能再抓回了，第二年重修的人，很少能够通过，这是历史的教训。

我再次强调，解数学题没有定规，解题的角度不是固定不变的，我这里的解法未必覆盖全部，只是提供一种思考的角度，大家没有必要照抄照搬，也没有必要用一种解法去否定另一种解法。

对大家而言，能从不同的角度来分析和求解，是一种最好的学习方式。

第1大题的6个小题，比较简单，这次没有要求大家去做，但对有些同学来讲，等助教把试题本发下后，也请独立做一遍。

下面我从第2大题开始。

2. 判别下列极限0lim ()x f x →是否存在，若存在，请计算器极限值。

（1）()f x 111arctan 12x x =++； 1sin ,0()(1),0xexx x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+>⎩。

【分析】本题给出的2个函数，在0x =点处没有定义！却要我们求极限0lim ()x f x →，你能理解吗？这里我要特别强调，求函数值时，必须要有定义，但求极限却不必要求有定义，理由是极限过程是0x →，即趋向于0，永远不等于0。

那么，要判别极限是否存在的充要条件是什么呢？是0x →的左、右极限都存在，并且相等。

不知大家对左、右极限的理解如何? 所谓0x →的右极限是指变量x 从0的右边趋向于0，在这个过程中变量x 始终是正的；而0x →的左极限是指变量x 从0的左边趋向于0，在这个过程中变量x 始终是负的。

有了这些概念，求解这些题目应该是没有什么原则困难的。

当然结合具体函数，我们还要解决一些难点。

（1）这个函数的极限问题的难点在于处理好1arctan x和12x 在0x →的左、右极限。

首先右极限 01100001111(0)lim()lim arctan lim arctan lim 1212x x x x xxf f x xx +++++→→→→⎛⎫⎪==+=+ ⎪⎝+⎭+，其中第1个极限 01lim arctan lim arctan 2t x t x π+→+∞→==，第2个极限 1111lim 0121lim 2x xxx ++→→==++，（因为1lim 2lim 2txt x +→+∞→==∞）所以()f x 在0x →的右极限等于 10011lim()lim arctan 212x x xf x xπ++→→⎛⎫ ⎪=+= ⎪⎝+⎭。

再考虑左极限，01100001111(0)lim ()limarctan lim arctan lim 1212x x x x xxf f x xx -----→→→→⎛⎫⎪==+=+ ⎪⎝+⎭+，其中第1个极限 01lim arctan x x -→=lim arctan 2t t π→-∞=-，第2个极限 111111lim 11lim 210121lim 2t x xxt x --→→-∞→====++++，所以()f x 在0x →的左极限等于 10011lim()lim arctan 1212x x x f x xπ--→→⎛⎫⎪=+=-+ ⎪⎝+⎭。

虽然()f x 在0x →时的左、右极限都存在，但不相等，则()f x 在0x →时的极限不存在。

（2）本小题的函数是一个分段函数，在在0x =点处没有定义，在0x =的两边的函数是不同的。

不难计算得到0sin sin lim ()lim lim x x x ex exf x e e x ex---→→→==⋅=， 10lim ()lim(1)xx x f x x e ++→→=+=，可见()f x 在0x →时的左、右极限都存在，而且相等，则()f x 在0x →时的极限存在，且等于 0lim ()x f x e →=。

3. 计算下列极限（1）)x x →∞【分析】这是一个∞-∞的未定型极限，要做适当的处理。

解法1：先将根号中的x 开出来，然后利用等价无穷小公式 (1)1(mm +-值无穷小量）：))lim 1)x x x x x x →∞→∞→∞==32121212lim (()lim()3333x x x x x x →∞→∞=+=+=。

（因为321x x+在x →∞时为无穷小）解法2：令1x t =，原式30001(2)123lim lim 3t t t t t t t →→→+⎫====⎪⎪⎭。

这个解法称为“倒数法”，以后在学积分时还会看到它的作用。

解法3：对上式中00型极限0t →采用L ’hospital 法则，但计算比上面采用等价无穷小麻烦。

大家可一试。

不要因为计算麻烦就否定它，那是中学思维。

（2） 43420tan ln(13)lim (1cos )(1)x x x x x x e →+++--【分析】这是一个型极限。

当然可以一开始就用L ’hospital 法则，但未必计算容易。

解法一：用等价无穷小代换： 0x →时，有等价无穷小：tan x x ，33ln(13)3x x +，1cos x -212x ，212x e x -，这样原式等于434334423400042tan ln(13)33lim lim lim 31(1cos )(1)22x x x x x x x x x x x x e x x x x x→→→++++===+--++⋅。

这样就得出了结果，很简洁。

这里没有减法，可以放心地去做。

解法二：如果你能看出分子43tan ln(13)x x ++中的第2项等价于33x ，4tan x 等价于4x ，它等于3()o x ，所以分子可等价于33x +3()o x ；同理，分母中的第二项23(1cos )(1)xx e x --，故分母等价于33()x o x +。

这样，最中结果等于3。

解法三：用Taylor 公式也是一条路，留给大家。

一般而言，总是能化简的线化简，在用其他“重”武器。

等价无穷小代换，是一种不可缺少的基本功。

（3）1)ln(12)nn →∞+解法一：这是数列的极限，属于0⋅∞型。

数列的极限无法直接使用L ’hospital 法则或Taylor 公式等“武器”，但数列也有无穷小序列的概念，要充分利用。

本题的难点在于化简ln(12)n+，提出2n ，使得出现ln(12)n-+e 为底的指数，这些都可以认为是最基本的极限方法。

ln3lim 1)ln(12)lim (1)ln 2(12)nn n n n n e -→∞→∞⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦ln3lim (1)ln 2ln(12)nnn en -→∞⎡⎤=-++⎣⎦ （利用ln3ln 31nen- ln 3limln 2ln(12)lim(ln 3ln 22)ln 3ln 2n nn n n n--→∞→∞⎡⎤=++=⋅+=⋅⎣⎦。

最后第2个等号是因为等价无穷小 ln(12)2nn --+。

解法二：先研究函数1()(31)ln(12)xxf x =-+在x →∞的极限，然后用到()f n 上去。

其实，解一已经很简洁，一般不用这么转来转去。

但有的情况下，这样思路也有价值。

（4）11cos lim sin2xx x π+→⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】这是一个1∞型极限，它总与e 有关。

（这一点，请各位千万别忘记！）解法一：引入变量代换，令x t π=-，那么x π→改为0t →，1111cos 1cos()1cos 00lim sinlim sin lim cos 222xt tx t t x t t πππ++--→→→-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00ln(cos ln(cos )22lim exp exp lim 1cos 1cos t t t t t t →→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又 000ln(cos )ln(1cos 1)cos 1222lim lim lim1cos 1cos 1cos t t t t t tt tt →→→+--==--- 2021122lim142t t t→⎛⎫- ⎪⎝⎭==-。

故原式140ln(cos )2exp lim 1cos t t e t -→⎛⎫ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭。

解法二：1∞型极限问题也可以改写为 1(1)+的形式。

由解法一， 1111cos 1cos()1cos 00lim sinlim sin lim cos 222xt tx t t x t t πππ++--→→→-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0cos 112cos 121cos limcos 11cos 2lim 1cos12t tt t t tt t e→--⋅---→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，又 0cos 112lim 1cos 4t t t →-=--故得原式140ln(cos )2exp lim 1cos t t e t -→⎛⎫ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭。

（5）230arcsin(1)lim sin ln(12)x x e x x x →---本题用等价无穷小做十分容易，留给大家吧。

（6）2lim n n →∞⎛⎫+++本题是一个无穷多个无穷小之和的极限，一个适用于两面夹准则的典型题目。

留给大家。

4. 计算极限 0sin 22cos lim lim nx nx x n x e x x e →→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭解：记 sin 22cos ()lim nx nx n x e x f x x e→∞+=+。