初中数学人教教材培训资料

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新人教版八年级数学培训资料Word版上下册(全年级全章节培优)

新人教版八年级数学培训资料Word版上下册目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图BF AC E NMPDD A CB FE21ABCPQE F D。

人教版初中数学教材培训第3章一元一次方程介绍

“第三章一元一次方程”简介一、教科书内容和课程学习目标1．教科书内容本章继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。

人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。

从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。

从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。

本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。

其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。

分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。

列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。

讨论一元一次方程的解法时，会直接应用“合并同类项”“去括号”等法则，而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的基础知识。

全章共包括四节：3．1 从算式到方程这一节分为两个小节．3.1.1 一元一次方程在小学阶段，数学课中用算术方法解应用题是重要内容，此外还有关于最简单的方程的内容．本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步．算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数．列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破．正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且对于“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳．3.1.2 等式的性质方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，本章不涉及方程的同解理论，而以等式的性质作为解方程的根据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面几节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据．3.2 一元一次方程的讨论（一）———合并同类项与移项本节仍然结合一些实际问题展开，重点讨论两方面的问题：（１）如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题．（２）如何解方程？这节重点讨论解方程中的“合并同类项”和“移项”，这样就已经可解=ax++cxdb类型的一元一次方程．本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问“对消”与“还原”是什么意思，作为后面要讨论的内容的引子．在本节内容展开中引出“合并同类项”和“移项”．本节中用框图形式归纳出“用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程”．3.3 一元一次方程的讨论（二）———去括号与去分母本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程，重点讨论两方面的问题：（１）如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题．（２）如何解方程？本节重点讨论解方程中的“去括号”和“去分母”，这样就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．本节从一道“用电问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程．在本节中，以解一个具体方程的过程为例，用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤．3．4实际问题与一元一次方程本节在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题（“销售中的盈亏”“油菜种植的计算”“球赛积分表问题”）要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近．本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．2. 本章知识结构图（1）利用一元一次方程解决问题的基本过程（2）本章知识安排的前后顺序3. 课程学习目标1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。

初中数学教材培训教材

代数基础
总结词
掌握代数的基本概念和性质，理解代数式和方程的解法。
代数式
介绍代数式的概念和性质，以及代数式的化简和变形。
方程
讲解一元一次方程、二元一次方程组等方程的解法，以及方程的应用。
平面几何
总结词
掌握平面几何的基本概念和性质，理解几何图形的性质和计算方法。
平面几何的基本概念
介绍点、线、面等基本概念，以及平行、垂直等基本关系。
几何图形的性质和计算方法
讲解三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法，以及面积和周长的计算。
概率与统计
总结词
统计
理解概率与统计的基本概念和方法，掌握数据分析和处理的基本技能。
介绍数据收集、整理、分析和表达的基本方法，以及统计图表的绘制。
概率
讲解概率的基本概念和计算方法，以及概率的应用。
03
详细描述
提高习题解析应注重解题思路的拓展和方法的多样性，引导学生深入思考问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。同时，解析中应包含对题目涉及知识点的归纳和总结，帮助学生构建完整的数学知识体系。
综合习题解析
要点一
总结词
综合习题是难度最大的题目，涉及多个数学知识点，需要学生综合运用所学知识解决问题。
同事间交流与合作
教师之间应该加强交流与合作，共同探讨教学问题，分享教学经验，提高教学质量。
THANKS
感谢观看
要点二
详细描述
综合习题解析应注重培养学生的综合运用能力和创新思维能力。在解析过程中，应引导学生分析题目的核心要点，挖掘隐含条件，寻找解题突破口。同时，通过一题多解的训练，鼓励学生尝试不同的解题方法，培养他们的创新意识和实践能力。此外，综合习题解析还应强调题目中涉及的重要数学思想和方法的提炼，帮助学生加深对数学本质的理解。

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6．已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9．把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,22b x a-±=这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b+-=-，那么ba 的值是（）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（）A 、12± B 、12- C 、12±或12- D 、12-± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a-=，那么代数式1||a a +=（）A 、2 B 、2- C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ；（河南省竞赛试题）（3） 1)1998()1999(33=-+-x x ；（山东省竞赛试题）（4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题）解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4．设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211b a +的值为（）A ．5B ．7C ．9D ．11 8．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ；（武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个（天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题）解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题）解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3-），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使PA ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题）解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题）解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________；（2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3）（盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（）（大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米（吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________.（昆明市中考试题）第2题图第3题图第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标；（2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于。

初中数学人教培训资料

初中数学人教培训资料第一章：有理数1. 有理数的概念有理数是指能够表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零以及正负分数。

有理数可以用分数表示，或者以小数形式表示，例如-2、0、3/4、-1.5等都是有理数。

2. 有理数的比较有理数的比较可以通过求绝对值和大小关系来进行。

例如，对于两个数a和b，如果|a|>|b|，则a>b；如果|a|<|b|，则a<b。

如果a与b同号，则可以直接比较大小；如果a与b异号，则需要先求绝对值再比较大小。

3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和减法的规则是同号相加取绝对值相加，异号相减取绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号；乘法和除法的规则是同号得正，异号得负，绝对值相乘或相除。

4. 有理数的应用有理数在日常生活中有许多应用，比如表示温度、海拔等。

另外，在代数表达式的求值和方程的解的过程中，也经常会涉及有理数的运算和比较。

第二章：方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常表示为ax+b=0的形式。

解一元一次方程的方法有整除法、加减法和变形法。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，通常表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。

解一元一次不等式的方法同样有整除法、加减法和变形法。

3. 二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c的形式。

解二元一次方程的方法有代入法、化归法和消元法。

4. 二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式，通常表示为ax+by>c或ax+by<c的形式。

解二元一次不等式的方法同样有代入法、化归法和消元法。

第三章：图形的性质1. 直角三角形直角三角形是指内部含有一个直角（90度）的三角形。

直角三角形的性质包括直角边、斜边、勾股定理等。

2. 等腰三角形等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

初中数学人教教材培训资料(ppt 77页)

调整第三节实际问题，用物理问题引入P49
探究1：矩形场地周长、面积问题；探究2：商品涨价问题；探究3：拱桥问题。
更换数学活动P54 最值——二次函数
将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。
更换数学活动P54 初高衔接——二次函数
将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。
更换数学活动P54 几何画板——二次函数
具体内容揽胜：
23.1 图形的旋转
首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念.然后设置了一个“探究”栏目，让学生探索在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.
具体内容揽胜：
具体内容揽胜：
接下来，按要求画出简单平面图形旋转后的图形最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容。旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：
中心对称
图案设计
关于原点对称的点的坐标
学习一种图形的变化大致包括以下内容：
（1）通过具体实例认识这种图形的变换；（2）探索图形变换的性质；（3）作出一个图形经过变换后的图形；（4）利用图形的变换进行图案设计；（5）用坐标表示图形的变换。
看课标
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
2a
数学的应用意识和能力：
实际情境抽象
数学问题
分析已知量、未知量、等量关系
不
建
合
立
实
模
符
际
型
解释
合实
解的合理性
验证
方程的解
解模

新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)

新人教版八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数；（2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32；（2）2ba 33；（3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算：（1）351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式：（1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练：1、使式子有意义的x 的取值范围是（） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（）A 、1；B 、C 、19；D ．4、n 的最小值是（）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7． 5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x x x x成立的条件是（）A x ≠3B x ≥0C x ≥0且x ≠3D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是。

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具体内容揽胜：
➢23.1 图形的旋转
✓ 首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念.然后设置了一个“探究”栏目，让学生探索在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.
具体内容揽胜：
具体内容揽胜：
➢ 接下来，按要求画出简单平面图形旋转后的图形最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容。 ➢ 旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：
第二十三章旋转
23.1 图形的旋转 23.2 中心对称
图形变化2的课定时义；
图形变化的性质；
设计图案3。课时
23.3 课题学习图研究案思设路计：由一1课般到时特殊
数学活动
小结
学习理念：实1践课、时应用
学习几何图形，研究思路？
内容安排：
旋转及其性质平移及其性质轴对称及其性质
中心对称图形
第26章反比例函数(九下)
第28章锐角三角函数（九下）
二次函数：
看课标
1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为
y = a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
中心对称
图案设计
关于原点对称的点的坐标
学习一种图形的变化大致包括以下内容：
（1）通过具体实例认识这种图形的变换；（2）探索图形变换的性质；（3）作出一个图形经过变换后的图形；（4）利用图形的变换进行图案设计；（5）用坐标表示图形的变换。
看课标
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
✓ 数形结合： y＝x²的研究就是从画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了从解析式到图象，从图象到性质的过程。包括第22.3节中，关于二次函数的最小（大）值的结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点获得的。
具体内容揽胜：
➢从特殊例子归纳一般结论
学习方程，研究思路？
1课时 7课时 3课时
2课时
课标要求
• 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
• 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
• *了解一元二次方程的根与系数的关系。 • 能根据具体问题的实际意义，检验方程的
解是否合理。
内容安排:
思维严谨
根的判别
b2-4ac≥0
方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根
-b b2 - 4ac x=
2a
数学的应用意识和能力：
实际情境抽象
数学问题
分析已知量、未知量、等量关系
不
建
合
立
实
模
符
际
型
解释
合实
解的合理性
验证
方程的解
解模
方程
际
具体内容揽胜：
➢ 注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识 ✓ 利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，建立一
元二次方程模型，引出本章内容； ✓ 通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问
题，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示；
具体内容揽胜：
✓ 安排“实际问题与一元二次方程”，使学生完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证” 的数学活动过程。
✓ 目的：使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要；体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。
具体内容揽胜：
➢ 重视联系性、逻辑性，突出基本策略 ✓ 特殊到一般、从具体到抽象，方程x2=p，一般
ax2+bx+c=0；利用“配方法”，把“新方程”化归为已解决的形式而得解： ✓ 方程x2=25的解，方程x2=p的解，引导学生对p＞ 0，p＝0和p＜0三种情况进行详细讨论；
具体内容揽胜：
➢ 注重“四能”培养 ✓ 独立探究解法：一元一次方程→一元二次方程
七年级上册（62）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（19）第4章几何图形初步（16）
八年级上册（62）第11章三角形（8）第12章全等三角形（11）第13章轴对称（14）第14章整式的乘法与因式分解（14）第15章分式（15）
九年级上册（62）第21章一元二次方程（13）第22章二次函数（12）第23章旋转（9）第24章圆（16）第25章概率初步（12）
看课标
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。（4）知道三角形的内心和外心。
看课标
（5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。（6）*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。（7）会计算圆的弧长、扇形的面积。（8）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系
次
x+n =+ p 或 x+n =- p (x -x1 )(x -x1 )=0
根的判别
b2-4ac≥0
方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根
-b b2 - 4ac x=
2a
思想方法、能力培养：
方程ax2+bx+c=0 (a≠0）
配方
计算能力简
程序化化归 (x+n)2=p
推理能力便
特殊一般 (x -x1 )(x -x1 )=0
具体内容揽胜：
➢重视知识之间的联系
✓ 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。
✓ 二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。深化学生对一元二次方程的认识；运用二次函数解
决一元二次方程的有关问题。
具体内容揽胜：
➢体现模型思想
✓ 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模来刻画，就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。这一过程体现了模型思想。
整体把握注重细节
落实课程标准把握人教版义务教育数学教材
人民教育出版社讲师团刘金凤
2014年8月23日于安康
《数学》九年级上册 51课时
章名第21章一元二次方程
章名课时第21章 1二3课次时根式
整体把握
第22章二次函数
第22章 8一课元时二次方程
第23章旋转
第23章 7旋课转时
第24章圆
教科书注重通过栏目和“边空设问”等方式启发学生的思维，为他们提供独立探究的机会
具体内容揽胜：一元二次方程解法的探索
➢ 教科书在讨论了“方程x2=p的解”以后，循序渐进地安排了如下栏目：
具体内容揽胜：一元二次方程解法的探索
➢ 在上述两个“探究”的基础上，得出：
具体内容揽胜：一元二次方程解法的探索
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数
看课标
课标增加内容：
*知道给定不共线的三点坐标可以确定一个二
次函数
研究二次函数 y =ax2+bx+c的图象和性质
y = ax2的图象和性质
y = a(x-h)2的图象和性质
y = a(x-h)2+k的图象和性质
将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。
具体内容揽胜：
➢体现类比、数形结合和归纳的思想
✓ 类比思想：在讨论二次函数之前的一段话中指出，可以类比一次函数研究二次函数。对于二次函数y＝ax²，分a>0和a<0两种情况讨论，先讨论a>0的情况， a<0的情况类比a>0的情况。
具体内容揽胜：
➢体现类比、数形结合和归纳的思想
由概念得出性质；由性质得出有关作图的方法。
23.2 中心对称本节分三部分内容：中心对称的概念、性质和有关画图；中心对称图形的概念；关于原点对称的点的坐标的关系。
了解中心对称和中心对称图形的联系和区别. 关于原点对称的点的坐标的关系是很基本的坐标关系，教学中可以让学生自行探究得出，由此得到利用这一关系画和已知图形关于原点对称的图形的方法.
6课时 1课时 3课时
2课时
学习函数，研究思路？
螺旋上升/紧密联系
方程一元一次方程（七上）二元一次方程组（七下）
一元二次方程（九上）
函数
一次函数（八下）二次函数（九上）反比例函数（九下）
数与代数
数与式
方程
函数
第1章有理数(七上)
第2章整式的加减（七上）第3章一元一次方程(七上)
y = ax2+bx+c的图象性质
研究二次函数 y =ax2+bx+c的图象性质
y = ax2的图象和性质
y = ax2+c的图象和性质
y = ax2+bx的图象和性质
y = ax2+bx+c的图象和性质
教材内容：
看到这段教构建研究思路材的思考？加强学法指导
类比学习数形结合由易到难
通过图象理解二次函数的变化情况P39
第6章实数（七下）