参数估计与非参数估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
参数统计与非参数统计
参数统计与非参数统计参数统计和非参数统计是统计学中两个重要的概念。
它们是用来描述和推断数据的统计特征的方法。
在统计学中，参数是用于描述总体特征的统计量，而非参数是不依赖于总体分布的统计方法。
本文将从定义、应用、优劣势等方面对参数统计和非参数统计进行详细分析。
首先，我们来了解一下参数统计。
参数统计是基于总体参数的估计和推断的统计方法。
总体参数是指对整个数据集进行总结的数量，如平均值、方差、标准差等。
参数统计的方法是通过从样本中获取数据来估计总体参数。
常见的参数估计方法包括样本均值估计总体均值、样本方差估计总体方差等。
参数统计的优点是可以提供关于总体的精确估计和推断结果。
然而，参数统计要求总体数据必须服从特定的概率分布，例如正态分布、二项分布等。
如果总体数据不符合这些分布，参数统计的结果可能会有偏差。
接下来，我们来介绍非参数统计。
非参数统计是不依赖于总体分布的统计方法。
这意味着非参数统计不对总体的概率分布做出任何假设。
相反，它使用基于排序和排名的方法进行统计推断。
常见的非参数统计方法包括Wilcoxon符号秩检验、Kruskal-Wallis检验等。
非参数统计的优点是可以在数据不符合特定分布情况下使用，并且对异常值不敏感。
然而，非参数统计通常需要更多的数据以获得稳健的结果，并且在处理大规模数据时的计算负担较重。
参数统计与非参数统计的应用领域不同。
参数统计主要应用于数据符合特定分布的情况下，例如医学研究中对患者的生存率进行分析、工业生产中对产品质量的控制等。
非参数统计则主要应用于数据分布不明确或数据不符合特定分布的情况下，例如社会科学中对调查结果的分析、财务领域中对公司经营绩效的评估等。
在参数统计和非参数统计的比较中，我们可以看到它们各自的优势和劣势。
参数统计的优势是可以提供精确的估计和推断，并且通常需要较少的数据。
然而，参数统计对总体数据的分布有严格的要求，如果分布假设不正确，结果可能产生误差。
非参数统计的优势是可以在数据分布不明确的情况下进行分析，并且对异常值不敏感。
贝叶斯 参数估计 和 非参数估计
贝叶斯参数估计和非参数估计文档下载说明Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document 贝叶斯参数估计和非参数估计can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to knowdifferent data formats and writing methods, please pay attention!贝叶斯参数估计和非参数估计是统计学中两种重要的参数估计方法，它们在不同情境下有着不同的应用和特点。
本文将深入探讨这两种估计方法的原理、特点以及应用。
贝叶斯参数估计。
贝叶斯参数估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
在贝叶斯理论中，参数被视为随机变量，并且通过引入先验分布来描述参数的不确定性。
具体步骤如下。
1. 先验分布。
在进行实际观测之前，根据先验知识或者经验，给定参数的一个先验分布。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
参数方法和非参数方法
参数方法和非参数方法引言在统计学中，参数方法和非参数方法是两种常用的统计分析方法。
参数方法是基于某些假设条件下，通过对总体分布进行近似推断的方法；而非参数方法则是不对总体分布作出任何假设，通过对样本数据进行直接分析的方法。
本文将从定义、应用范围、优点和缺点等方面对参数方法和非参数方法进行综合探讨。
一、参数方法1.1 定义参数方法是一种基于总体分布假设的统计分析方法。
在参数方法中，我们假设总体服从某种特定的分布（如正态分布、二项分布等），并通过样本数据进行推断，从而得到总体参数的估计值。
1.2 应用范围参数方法在许多领域中得到广泛应用，如市场调研、医学研究等。
通过参数方法，我们可以对总体的特性进行准确、精确的估计，并进行统计推断。
1.3 优点参数方法的优点主要体现在以下几个方面： - 精确性高：通过对总体分布的假设，参数方法可以得到对总体参数的精确估计。
- 推断性强：参数方法可以利用参数估计的结果，进行统计推断和假设检验，得到较为可靠的结论。
1.4 缺点参数方法的缺点主要体现在以下几个方面： - 对总体分布的假设：参数方法要求对总体分布做出合理的假设，如果假设不合理，可能导致估计结果的失真。
- 复杂性：参数方法在推断过程中可能涉及到复杂的统计理论和计算方法，需要一定的专业知识和技能。
二、非参数方法2.1 定义非参数方法是一种不对总体分布作出任何假设的统计分析方法。
在非参数方法中，我们通过直接对样本数据进行计算和分析，得到对总体分布的估计。
2.2 应用范围非参数方法在一些场景中具有优势，例如样本数据不满足参数方法假设条件、总体分布未知等情况下，非参数方法能够给出相对可靠的结果。
2.3 优点非参数方法的优点主要体现在以下几个方面： - 数据分布要求低：非参数方法不对总体分布作出任何假设，因此适用范围更广，对样本数据的分布要求较低。
-灵活性高：非参数方法可以灵活地应对各种数据类型和样本规模的情况，并给出相对稳健的结果。
参数估计与非参数估计的联系与区别
参数估计与非参数估计的联系与区别参数估计要求明确参数服从什么分布，明确模型的具体形式，然后给出参数的估计值。
根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
和参数估计不同，非参数估计并不加入任何先验知识，而是根据数据本身的特点、性质来拟合分布，这样能比参数估计方法得出更好的模型。
非参数估计对解释变量的分布状况与模型的具体形式不做具体规定，运用核密度函数与窗宽去逐步逼近，找出相应的模型。
统计学中常见的一些典型分布形式不总是能够拟合实际中的分布。
此外，在许多实际问题中经常遇到多峰分布的情况，这就迫使必须用样本来推断总体分布，常见的总体类条件概率密度估计方法有Parzen窗法和Kn 近邻法两种。
非参数估计也有人将其称之为无参密度估计，它是一种对先验知识要求最少，完全依靠训练数据进行估计，而且可以用于任意形状密度估计的方法。
最简单的直方图估计，把所有可能取值的范围分成间隔相等的区间，然后看每个区间内有多少个数据？这样就定义出了直方图，因此直方图就是概率密度估计的最原始的模型。
直方图用的是矩形来表示纵轴，当样本在某个小区间被观测到，纵轴就加上一个小矩形。
非参数估计更适合对原函数关系进行模拟，但不能预测；而参数估计则可以预测。
3 第三章 参数估计与非参数估计
1第三章参数估计与非参数估计•参数估计与监督学习•参数估计理论•非参数估计理论2基于样本的Bayes分类器：通过估计类条件概率密度函数，设计相应的判别函数分类器功能结构基于样本直接确定判别函数方法3基于样本的Bayes 分类器设计•Bayes 决策需要已知两种知识：–各类的先验概率P (ωi )–各类的条件概率密度函数p(x |ωi )(|)()(|)(|)()i i i j j jp P P p P ωωωωω=∑x x x 知识的来源：对问题的一般性认识或一些训练数据基于样本两步Bayes 分类器设计¾利用样本集估计P (ωi )和p(x |ωi )¾基于上述估计值设计判别函数及分类器面临的问题：¾如何利用样本集进行估计¾估计量的评价¾利用样本集估计错误率4基于样本的Bayes 分类器训练样本集样本分布的统计特征：概率密度函数决策规则：判别函数决策面方程•最一般情况下适用的“最优”分类器：错误率最小，对分类器设计在理论上有指导意义。
•获取统计分布及其参数很困难，实际问题中并不一定具备获取准确统计分布的条件。
5直接确定判别函数•基于样本直接确定判别函数方法：–针对各种不同的情况，使用不同的准则函数，设计出满足这些不同准则要求的分类器。
–这些准则的“最优”并不一定与错误率最小相一致：次优分类器。
–实例：正态分布最小错误率贝叶斯分类器在特殊情况下，是线性判别函数g (x)=w T x （决策面是超平面），能否基于样本直接确定w ?训练样本集决策规则：判别函数决策面方程选择最佳准则6一．参数估计与非参数估计参数估计：先假定研究问题具有某种数学模型，如正态分布，二项分布，再用已知类别的学习样本估计里面的参数。
非参数估计：不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本先验知识估计数学模型。
§3-1 参数估计与监督学习13¾估计量：样本集的某种函数f (X)，X ={X 1, X 2 ,…, X N }¾参数空间：总体分布未知参数θ所有可能取值组成的集合(Θ)12ˆ(,,...,)N d θθ=x x x 的（）是样本集的函数，它对样本集的一次实现估计称计量点估为估计值¾点估计的估计量和估计值§3-2 参数估计理论14¾估计量评价标准: 无偏性，有效性，一致性–无偏性：E ( )=θ–有效性：D ( )小，估计更有效–一致性：样本数趋于无穷时，依概率趋于θ：ˆθˆlim ()0N P θθε→∞−>=ˆθˆθ15最大似然估计计算方法•Maximum Likelihood (ML)估计–估计参数θ是确定而未知的，Bayes 估计方法则视θ为随机变量。
非参数统计与参数统计的联系与区别
非参数统计与参数统计的联系与区别在统计学中，统计推断的两个最基本的形式为：参数估计和假设检验，其大部分内容是和正态理论相关的，人们称之为参数统计。
在参数统计中，总体的分布形式或分布族往往是给定的，而诸如均值和方差的参数是未知的。
人们的任务就是对这些参数进行估计或检验。
当假定分布成立时，其推断有较高的精度。
然而，在实际问题中，对总体分布的假定并不是总成立，也就是说，有时数据并不是来自所假定分布的总体。
因此，在假定的总体分布下进行推断，其结果可能会背离实际。
于是人们希望在不假定总体分布的情形下，尽量从数据本身获得所需要的信息，这就是非参数统计的初衷，即在对总体的分布不作假设或仅作非常一般性假设条件下的统计方法称为“非参数统计”，其与参数统计的区别如下：①适用的数据类型不同。
参数统计常用于定距或定比数据，非参数统计常用于仅由一些等级构成的数据，或待分析数据不满足参数检验所要求的假定，因而无法应用参数检验。
例如：我们曾遇到过的非正态总体小样本，在t-检验法不适用时，就可用非参数检验。
②对参数的假定不同。
参数统计就是需要人们对所提问题中的参数进行估计或检验；而非参数统计所提的问题并不包含参数，也不能用参数检验。
例：我们想判断一个样本是否为随机样本，采用非参数检验法就是恰当的。
③对总体依赖程度不同。
在参数统计中，总体的分布形式或分布族需要给定，才能对参数进行估计和检验；而在非参数统计中，则对总体分布不作假设或仅作非常一般性假设，对总体的依赖程度低，而是根据样本来推断总体的特征分布不是参数值。
④适用的范围不同。
由于每一种具体的参数统计方法都是建立在特定的理论分布基础上的，所以参数统计对所要分析处理的资料都有一定的要求和限制。
而非参数统计由于不依赖某种特定的理论分布，因此对资料的条件要求相对宽松，适用范围广。
⑤时间花费不同和对统计学知识要求不同。
当我们需要迅速得出结果时，也可以不用参数统计方法而用非参数统计方法来达到目的。
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V
所以起伏比较大,噪声比较大,需要对V进行改进.
对体积V进行改进：
为了估计X点的密度,我们构造一串包括X的区域序列R1,R2,.. RN. 对R1采用一个样本进行估计，对R2采用二个样本进行估计..。 设VN是RN的体积，KN是N个样本落入VN的样本数则
kN 密度的第N次估计： PN (x) VN
ΣN , μN 有以下关系
1 N 1 1 ...........(A)
N
0
1 NN
1 ( N xk )
1 0
0.
.......( B)
k 1
1
由( A)式得: N
0
0
1 N
1 N
1
代入(B)
式得：
N
0
0
1 N
(
1 N
N k 1
xk)
1 N
( 1 0N
1 ) 0
2
N k 1
Xk
0 )]}
2 0
其中a’,a’’包含了所有与μ无关的因子
∴P(μ| xi)是u的二次函数的指数函数
∴P(μ| xi)仍然是一个正态函数, P(μ|Xi)=N(μN,σN2)
另外后验概率可以直接写成正态形式：P( | X i)
1
exp[ 1
N
2
]
2 N
2 N
比较以上两个式子,对应的系数应该相等
2 ]
2 N
2 N
P(x | )
1
exp[ 1
x
2
]
2
2
服从正态分布
代入P(x | xi) P(x | ) P( | xi)d P(x | ) P( | xi)d
1
1 x 2
exp[
]
1
exp[ 1
N
2
]d
2
2
2 N
2 N
1
exp[ 1
x N
k
1)
0
N
k 1
2
log
P( X
k
| i)
N
[
k 1
1
2 2
(X k 1)2]
2
2 2
0
1 1
1 N
N k 1
Xk
即学习样本的算术平均
2
2 1
1 N
N k 1
2
Xk
样本方差
• 讨论： 1.正态总体均值的最大似然估计即为学习样本的算术平均 2.正态总体方差的最大似然估计与样本的方差不同，当N较 大的时候，二者的差别不大。
③
lim
N
KN N
0
，KN的变化远小于N的变化。
因此尽管在
R内落入了很多的样N满足以上条件：
∴对概率P的估计:P k 。 N
k 是P的一个比较好的估计 N
k
P R P(x')dx' N
设P(x’)在R内连续变化,当R逐渐减小的时候,小到使P(x)在其上
几乎没有变化时，则
k
P P(x')dx' P(x) V
R
N
其中 V dx' 是R包围的体积 R
∴ P(x) V P k
N
k
∴ 条件密度的估计：P(x) N
V
(V足够小)
讨论:① 当V固定的时候N增加, k也增加,当 N 时 k
P
k
1
P(x)
k N
1
只反映了P(x)的空间平均估计
N
VV
而反映不出空间的变化
② N固定,体积变小
k
当 V 0时,k=0时 P(x) N 0
V
k
k 0 时 P(x) N
§5-2参数估计理论 一．最大似然估计
假定：
①待估参数θ是确定的未知量 ②按类别把样本分成M类X1，X2，X3，… XM
其中第i类的样本共N个
Xi = (X1,X2,… XN)T 并且是独立从总体中抽取的
③ Xi中的样本不包含 j (i≠j)的信息，所以可以对每一
类样本独立进行处理。
④ 第i类的待估参数 i (1, 2,... n)T
N
N
N
2 0
2 0
2
N k 1
Xk
N
2
2 0
2
0
若令P(μ)=N(μ0, σ02 )=N(0,1)
1
N
Xk 与最大似然估计相似，只是分母不同
N N 1 k 1
三．贝叶斯学习 1.贝叶斯学习的概念：求出μ的后验概率之后，直接去推导总
体分布即P(X | Xi) P(X | )P( | Xi)d P(X | )P( | Xi)d
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
② ∑， μ均未知
A. 一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单
情况：
1
1,
2
2 1
log
P(
X
k
|
i)
1 2
log
2
2
1
2
2
Xk
2
1
(n=1)由上式得
N
代入
k 1
1
log
P(X k
| i)
N1 (X
k 1 2
出使它最大时的θi值。
∵学习样本独立从总体样本集中抽取的
N
∴ P( X i | i. i) P( X i | i) P( X k | i)
k 1
N个学习样本出现概率的乘积
N
N
取对数 ：log P( X k | i) log P( X k | i)
k 1
k 1
对θi求导,并令它为0：
i=1,2,…M
所以后验概率
P(
|
X i)
P( X i | ).P() P( X i | )P()d(贝叶斯公式)
因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成
N
P( | X i) a P(X k | ).P()
k 1
其中 a
1
P( X i | )P()d 为比例因子,只与x有关,与μ无关
这就是在多维情况下，对μ的估计
将N代入P(x | xi) P(x | )P( | xi)d就可以
设计Bayes分类器
§ 5-3非参数估计
参数估计要求密度函数的形式已知，但这种假定有时并不成
立，常见的一些函数形式很难拟合实际的概率密度，经典的密
度函数都是单峰的，而在许多实际情况中却是多峰的，因此用
∴
1 N
2
N 2
1
2 0
N
N 2
1
2
N k 1
Xk
0
2 0
解以上两式得
2 0
N
Xk
2
0
N
N
2 0
2
k 1
N
2 0
2
N 2
2 0
2
N
2 0
2
将μN,σN2代入P(μ|Xi)可以得到后验概率，再用公式
P( | X i)d , 求的估计
∵ P( | X i)d N
∴对μ的估计为
估计则是把待估的参数作为具有某种先验分布的随机变量，通
过对第i类学习样本Xi的观察，使概率密度分布P(Xi/θ)转化为
后验概率P(θ/Xi) ，再求贝叶斯估计。
估计步骤:
① 确定θ的先验分布P(θ),待估参数为随机变量。
② 用第i类样本xi=(x1, x2,…. xN)T求出样本的联合概率密度分布
P(xi|θ)，它是θ的函数。 ③ 利用贝叶斯公式,求θ的后验概率
当观察一个样本时，N=1就会有一个μ的估计值的修正值 当观察N=4时，对μ进行修正，向真正的μ靠近 当观察N=9时，对μ进行修正，向真正的μ靠的更近 当N↑,μN就反映了观察到N个样本后对μ的最好推测，而σN2 反映了这种推测的不确定性, N↑, σN2↓,σN2 随观察样本增 加而单调减小，且当N→∞, σN2 →0 当N↑，P(μ|xi)越来越尖峰突起 N→∞, P(μ|xi)→σ函数，这个过程成为贝叶斯学习。
用
2 N
2
代替原来的方差
2
即可。
③把估计值μ 作为μ的实际值，那么使方差由原来的 2 变
N
为
2 N
2
,使方差增大
⑵多维正态（ 已知Σ，估计μ ） 设P(x|μ)=N(μ,∑) P(μ)=N(μ0,∑0).
根据Bayes公式，仿上面步骤可以得到：
P(
|
xi)
a
exp[
1 2
N
T
1
N
N
]
其中a与μ无关
P(x)
P(X’)为P(X)在R内的变化值,P(X)就是要求的总体概率密度
假设有N个样本X=(X1, X2,… XN)T都是按照P(X)从总体中独 立抽取的
若N个样本中有k个落入在R内的概率符合二项分布
Pk
C
k N
pk
1 P
N k
数学期望:E(k)=k=NP
其中P是样本X落入R内的概率 Pk是k个样本落入R内的概率
根据以上四条假定，我们下边就可以只利用第i类学习样 本来估计第i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类 的学习样本来估计。
1.一般原则：
第i类样本的类条件概率密度：
P(Xi/ωi)= P(Xi/ωi﹒θi) = P(Xi/θi) 原属于i类的学习样本为Xi=(X1 , X2 ,…XN,)T i=1,2,…M 求θi的最大似然估计就是把P(Xi/θi)看成θi的函数，求