环境系统数学模型复习进程
环境数学模型问题概述
跨学科合作与集成建模
跨学科合作
环境数学模型的建立和应用需要多学科知识的融合，如数学、物理、化学、生物学等，加强跨学科合作能够提高 模型的全面性和科学性。
集成建模
集成建模是将多个模型、方法和数据整合到一个统一的框架中，以实现更全面、准确的环境模拟和预测，有助于 解决复杂的环境问题。
政策与决策支持的加强
环境数学模型问题 概述
目 录
• 环境数学模型的定义与分类 • 环境数学模型的应用领域 • 环境数学模型的基本原理 • 环境数学模型面临的挑战与问题 • 环境数学模型的发展趋势与展望
01
CATALOGUE
环境数学模型的定义与分类
定义
定义
组成
环境数学模型是用来描述环境系统中 各因素之间相互关系和动态变化规律 的数学表达方式。
数据预处理
环境数据通常具有时空特性，需要进行数据清洗 、去噪、插值等预处理工作，以提升数据质量。
模型复杂性与可解释性
模型复杂性
环境系统通常具有高度的非线性、时 变性和不确定性，导致数学模型变得 复杂，难以理解和分析。
可解释性
为了使模型更易于理解和接受，需要 提高模型的透明度和可解释性，这可 能需要对模型进行简化或采用可视化 技术。
05
CATALOGUE
环境数学模型的发展趋势与展望
大数据与人工智能技术的应用
大数据技术
环境数学模型需要处理大量的数据，大数据技术能够提供高效的数据存储、处 理和分析能力，提高模型的预测精度和可靠性。
人工智能算法
人工智能算法如深度学习、机器学习等在环境数学模型中具有广泛应用，能够 自动提取数据中的特征，优化模型参数，提高模型的自适应性和预测能力。
参数估计
第5章环境质量预测基本数学模型
三、污染物在环境介质中迁移扩散 的基本微分方程
设环境介质中任一点P(x,y,z)，在其周围作一微 元，边长为2dx、2dy、2dz，P点流速U(x,y,z)在x、y、 z方向上的分量为Ux、Uy、Uz，则三个方向上污
染物质量通量为
4
4
4
m x m i ;x m y m i ;y m z m i z
x
y
z
总质量通量为
F x F 1 x F 2 x ; F y F 1 y F 2 y ; F z F 1 z F 2 z
x方向上通过微元左右断面的质量通量为
4dydzFx Fx dx x
两者之差为
4dydzFx Fx dx
x
8dxdydzFx x
同样，y、z方向上得通量为
8dxdydzFy y
五、稳态条件下的解析解
零维：
V
dc dt
Qc0
c
k
cV
0
c
c0 1 V
k
Q
V 称水力停留时间 Q
例题：一个库容1×105m3的水库，进水和出水流量为
4×104 m3/d，进水BOD5=8mg/L，降解系数k=0.5，河水 可与库水迅速混合，求出水的BOD5。
解c： 11 4 1 185 4 0 0•0.53.6(m/gL)
稳态条件下一维模型的解析解
E
x
2c x 2
u
x
c x
kc
0
c c 0 exp
uxx 2E x
1
忽略弥散作用，有
1
4 kE
u
2 x
x
c
c 0 exp
kx ux
c0
Qc 1 Q
环境系统数学模型
环境系统数学模型引自 文献《环境评价》1 环境系统简化图：图中，系统A 的状态参数（变量）以节点x 表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u 和单一输出的结果y ；真实的环境系统结构远较图中复杂。
为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。
2 模型建立的目的建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。
3 灰箱模型建立·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。
此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。
在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。
·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。
如下：(){}(),,;y t f x u t t αξ∨=+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+ （3.2）{},,y g x u α= （3.3）式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）；α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）；ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）；η——输出的观测误差向量（即测量噪声）；t ——时间历程；k t ——第k 次观测的时间；y ∨——表示随着时间t 变化的输出向量y4 灰箱模型的灵敏度分析输出变量对模型的灵敏度系数'y s 定义为'y y s α∂=∂ （4.1）'y y s s y α= （4.2）式中 α——模型的系数值y ——系数值为α时的输出变量值当模型系数误差范围为%E α±时，则引起输出变量变化的范围为 ()%%y y E s E α= （4.3）5 模型的有效性统计检验（预测值和实际值）见（203页）6 黑箱模型的建立·适用范围：这是一种纯经验模型，它依据系统的输入——输出数据或各种类型输出变量数据所提供的信息，建立各个变量之间的函数关系，而完全不追究系统内部状态变化的机理。
02-环境工程数学模型概论(第二次课)
3年
1675年
用“∫”(拉丁文 Sum 的头一个字母的变 形)代替omn
说到数学符号我们当然还不应忘记图形：点、线、面、 体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括，欧氏几 何、非欧几何、解析几何正是研究这些图形的分支。除 此之外，还有许多精彩的例子，首先我们会想到“哥尼斯 堡七桥问题”： (拓扑学和图论产生的源头) 布勒格尔河流经哥尼斯堡市区，河中有两个河心岛，它们彼此以及 它们与河岸共有七座桥连接(如上图)。当地居民曾被一个问题搞得 百思不得其解，这个问题是： 你能否无遗漏又不重复地走遍七座桥而回到出发地？
由上看来，数学符号对于表现数学的简洁性，是何等重要！ 这就是说：数学符号简化了复杂的数学理论，且通过它可 把远离的数学理论巧妙地联系起来。
从上面的例子我们可以看到：数学符号的重要在于它有无限的 力量来协助直觉，把社会和自然字宙中的数学关系联系起来， 去解答一些问题，去创造新的思维形式。
！另外，还想指出一点：
进一步计算还可知它们的比值均为0.618…，
人体肚脐不但是黄金点美 化身型，有时还是医疗效果黄 金点，许多民间名医在肚脐上 贴药治好了某些疾病。人体最 人与黄金分割 感舒适的温度是 23℃( 体温 ) ， 也是正常人体温（ 37℃）的黄 金点（ 23=37×0.618 ）。这说 明医学与0.618有千丝万缕联系, 尚待开拓研究。人体还有几个 黄金点：肚脐上部分的黄金点 在咽喉，肚脐以下部分的黄金 点在膝盖，上肢的黄金点在肘 关节。上肢与下肢长度之比均 近似0.618.
一般的微分方程解法间的关系(这显然体现了方程解法间的关 系，如此一来这些解法在某种意义下统一了)：
从上面论述可以看出：统一不仅是数学 美的重要特征，同时它也是数学本质的 一种反映
第二章 环境工程数学模型概论
环境数学模型
n——观测值数量。
18
▪ 相关系数法基于如下假设：以观测值y和计算 值y’存在一定的线性关系： y＝α+βy’+ε 式中：α和β——分别是计算值 和观测值线性关系的截矩和斜率，ε是两者间 的误差。
▪ 相关系数检验需进行相应的显著性分析，只 有当假设α＝0和β＝1为真时，用相关系数验 证才有实际意义。
偏差，同时有助于建立运行上较可靠的低灵 敏度系统和确定合理的设计裕量。
17
模型的吻合度检验
（一）相关系数法
n
( yi y)(y'i y')
R
i 1
n
n
( y'i y')2 ( yi y)2
i 1
i 1
式中y和y’——分别表示观测值和计算值的平均
值；
R——相关系数,R越接近1,相关性越强，反 之，R越接近0，相关性越弱；
不二存是在与误各差测，量因 值y变’j拟量合的得值最y’j好含的有线测性量方误程差； y=a1x1+a2x2+….+anxn+b 是能使各点到直线的竖向偏差的平方和最小的
直线。
15
m
m
Z
d
2 j
[
y
' j
(a1 x1 j
a2 x2 j
ai xij
an xnj
b)]2
j 1
j 1
据极值存在的条件，分别对Z作ai,b的一阶偏导
Z Z
0, 0
ai
b
由此可求得偏差平方和Z最小时的参数ai
16
四、模型的检验
▪ 模型在投入使用之前，要进行模型的检验。 检验包括两部分：
环境数据处理与数学模型课程复习笔记
数学模型的定义：根据对研究对象所观察到的现象和实践经验，归结成一套反映其数量关系的数学公式和具体算法，描述研究对象的规律，某个属性随时间、空间、其他属性、其他研究对象某些属性的变化特征数学模型的功能：再现历史（事件驱动的分布式参数非点源模型），预测未来，优化调控模型使用的意义：评价（回顾性评价，预测性评估），预测（社会经济发展/排放预测，环境质量预测），决策（单目标，多目标）数学模型的特征：抽象性：用数学符号表达具体事物的特征和数量关系，对研究对象的本质进行高度抽象。
局限性：对实际事物进行抽象，需要对研究对象作出简化和假设。
这些假设可能会偏离事物原来的特征，或者只反映事物的部分特征。
数学模型的分类：空间维数（零维、一维、二维、三维），变量与时间（稳态、动态（离散/连续）），变量间关系（线性模型、非线性模型），参数性质（集中式、分布式），变量变化规律（确定性模型、随机模型），模型用途（模拟模型、管理模型），研究方法（优化模型、系统动力学模型、神经网络模型、时间序列模型……），模型结构（白箱模型、灰箱模型、黑箱模型）✓白箱模型：通过逻辑演绎法建模，普遍适用，建立在模型变量的变化规律及其理论推理的基础上✓灰箱模型：介于“白”与“黑”之间，具有一定普适性，模型结构通过理论推导建立，参数取值利用实际数据确定✓黑箱模型：通过统计归纳法建模，仅适用于较窄的时空范围以反映事物客观变化的数据为基础，通过统计方法建立特定关系式来描述输入输出关系灰箱模型建立的基本过程：数据收集与处理（观测数据组1）→模型结构确定→模型参数估计→模型验证（观测数据组2）→模型应用✓数据收集与处理：收集反映研究对象特征的各种数据，与研究对象直接相关的数据（环境质量数据、污染源数据），与研究对象间接相关的数据（气象数据、社会经济发展数据）。
数据收集的途径：已有数据（二手）和现场监测数据（一手）。
对收集的数据进行整理分析，找出之间的相互关系（变量与变量、变量与时间、变量与空间，绘制变量的时间过程线、空间分布图等）✓模型结构的确定：环境模型大多属于灰箱模型，突发性污染事故的预测有时采用黑箱模型；既包含机理，又包含经验；质量守恒、能量守恒、经济理论、行为假设、反应类型、反应级数；根据研究对象内各个变量之间的物理、化学或生物过程建立起原则性的定量关系，同时引入一系列取值未知的参数。
环境系统数学模型
《环境系统数学模型》课程教学大纲（Environmental System Mathematical Model）一、基本信息课程编号：C2113215课程类别：专业选修课适用层次：本科适用专业：环境工程、环境科学开课学期：7总学分：1.5总学时：24学时考核方式：考查二、课程教育目标环境系统数学模型是指用数学语言对环境系统各组成要素之间的关系进行描述，通过数学上的演绎推理和分析求解，使我们能够发掘出环境系统发展的内在规律，进而寻求到解决环境与经济之间的矛盾的有效途径。
三、教学内容与要求第一章：环境系统与数学模型（4学时）教学内容：环境系统、数学模型基本要求：了解环境系统和数学模型的定义与内在选择关系，掌握建立环境系统数学模型的思路。
重点：模型建立的过程难点：数学模型第二章：环境质量模型（4学时）教学内容：污染物运动的特征、模型的推导与解析基本要求：掌握环境质量模型的推导、建立和解析的基本原理和方法重点：模型的推导与解析难点：模型的推导与解析第三章:水质模型（8学时）教学内容：地表水一维、二维模型基本要求：掌握河流、河口、近海、湖库、排污水的水质模型的建立与解析重点：河流、湖库、排污水、近海等水质模型难点：河流三维水质模型第四章：大气质量模型（8学时）教学内容：大气污染预测模型、大气质量规划模型、大气污染扩散模型基本要求：了解大气污染预测模型和规划模型、掌握大气污染扩散模型重点：大气污染源扩散模型难点：大气污染源扩散模型四. 作业、练习的安排与要求每章留有思考题或文献阅读。
五. 各个章节学时分配六. 相关联的课程1.预修课程高等数学、大气污染控制工程、水污染控制工程2.后续课程：无七. 教材与教学参考书1.建议教材：《环境系统数学模型》郑彤、陈春云著化工出版社 2003年2.建议参考书目：《环境系统工程》侯可复北京理工大学出版社 1992年《环境系统工程方法》汤岳勇等中国环境科学出版社 1990年《环境系统分析》程声通高教出版社 1990年八.成绩评定考核的方式与方法：考查平时考核、提问为20% ；课程论文为80%编写人（签字）：李光浩编写人职称：教授审阅人（签字）：审阅人职称：审批人（签字）：审批人职务：本大纲启用日期：年月日《环境系统数学模型》课程简介课程编号：C2113215英文名称：Environmental System Mathematical Model学分：1.5 学时：24授课对象：环境工程、环境科学课程目标：环境系统数学模型是指用数学语言对环境系统各组成要素之间的关系进行描述，通过数学上的演绎推理和分析求解，使我们能够发掘出环境系统发展的内在规律，进而寻求到解决环境与经济之间的矛盾的有效途径。
环境质量评价的数学模型(1)
4
6.5
10.3
4.55
5.41
1.19
2.52
4
15
32.2
17.5
9.2
24.59
6.6
6.5
5
总氰化物
0.2
0.017
0பைடு நூலகம்002
0.001
0.007
0.002
0.002
6
挥发酚
0.005
0.015
0.013
0.006
0.006
0.002
0
7
总镉
0.005
0.003
0.002
0.005
0.007
是用来定量描述空气质量状况的，是一个无量纲数值。
把新标准中6项污染物实测浓度值按规定方法与新标准相 应限值进行比较，就得出了各项污染物的空气质量分指数 （Individual Air Quality Index，简称IAQI），在6项污染 物中IAQI数值最大的即为AQI。当AQI值大于50时，6个
计权型多因子环境质量指数的基本出发点是认 为各种环境因子对环境的影响是不等权的，其 影响应该计入各环境因子的权系数。 计权型多因子环境质量指数的计算式为:
n
I Wi Ii i 1
式中 Wi 为第 i 个环境因子的权系数。
n
Wi 1
i 1
1.2.3 N.L.Nemerow (内梅罗)指数
内梅罗指数是一种兼顾极值或称突出最大值的计权型 多因子环境质量指数。内梅罗指数的基本计算式为:
每天，我们分别计算出各监测点的污染指数，这 个指数所对应级别就定义为这个监测点的空气质 量级别，对应的污染物就是这个监测点的主要污 染物。
API越小、空气质量越好。使用API比使用级别说 明空气质量更详细。比如 API 等于101和API等于 200，都属于Ⅲ级，但实际上101是接近良好的水 平，而200是接近中度污染的水平。
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环境系统数学模型
环境系统数学模型
引自文献《环境评价》
1环境系统简化图：
图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y；真实的环境系统结构远较图中复杂。
为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。
2模型建立的目的
建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。
3灰箱模型建立
·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。
此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。
在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。
·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。
如下：
(){}(),,;y t f x u t t αξ∨
=+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+
（3.2） {},,y g x u α= （3.3）
式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）；
u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）；
α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）；
ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）；
η——输出的观测误差向量（即测量噪声）；
t ——时间历程；
k t ——第k 次观测的时间；
y ∨
——表示随着时间t 变化的输出向量y
4 灰箱模型的灵敏度分析
输出变量对模型的灵敏度系数'y s 定义为 'y y s α
∂=∂ （4.1） 'y y s s y α
= （4.2）
式中 α——模型的系数值
y ——系数值为α时的输出变量值
当模型系数误差范围为%E α±时，则引起输出变量变化的范围为
()%%y y E s E α= （4.3）
5 模型的有效性统计检验（预测值和实际值）
见（203页）
6 黑箱模型的建立
·适用范围：这是一种纯经验模型，它依据系统的输入——输出数据或各种类型输出变量数据所提供的信息，建立各个变量之间的函数关系，而完全不追究系统内部状态变化的机理。
该模型用语环境预测时，只涉及到开发活动的性质、强度与其环境后果之间的因果关系。
通常，输入环境系统的干扰与输出之间存在因果关系，通过对大量实测资料的统计处理（常用多元分析、时间序列分析等方法），建立起开发活动与环境后果之间的统计关系。
该模型本身不能表示过程，在无法了解变化过程而又可以取得较多符合要求的实测数据时，可以用该模型进行环境预测。
输出和输入关系为：
(){},y t u t φ=
输出变量之间的函数关系为
(){}123
,,m y t y y y t φ=
将调查、监测的数据随机地分为两个集合，数据集Ⅰ用于建模，数据集Ⅱ用于验证。
较理想的做法是将历史数据作为数据集Ⅰ，将近期调查监测数据作为数据集合Ⅱ 。
常用的建模方法有：
回归分析法、时间序列分析法和数量化理论的回归法。
（见统计分析方法）7 环境介质中污染物运动的基本模型
包括三维模型、零维模型、一维模型、二维模型（见209——216页）。