立体几何(同步)-潍坊市某中学高中数学二轮复习

9.立体几何1．掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2．能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．3．能借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系．4．能从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系．5．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥． 由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒， 也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒．【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交； 当,,m n l 两两相交时，设mn A =，m l B =，n l C =，根据公理2可知，,m n 确定一个平面α， 而B m α∈⊂，C n α∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面，综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用．一、选择题．1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥ ③若m α∥，n α∥，则//m n④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A【解析】对于①，因为n α∥，所以经过n 作平面β，使l βα=，可得n l ∥，又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合n l ∥得m n ⊥．由此可得①是真命题； 对于②，因为αβ∥且βγ∥，所以αγ∥，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题； 对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m α∥且n α∥成立，但不能推出//m n ，故③不正确； 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出αβ∥，故④不正确， 综上所述，其中正确命题的序号是①和②．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，M 、N 分别是正方形ABCD 、11BCC B 的中心．则过点1C 、M 、N 的截面是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．梯形D ．直角三角形【答案】A【解析】如下图所示，连接BN 、BD 、1BC ，由于M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则M 、N 分别为BD 、1BC 的中点，所以，过点1C 、M 、N 三点的截面为1BC D △，易知1BC D △为正三角形． 因此，过点1C 、M 、N 三点的截面为正三角形．3．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．24【答案】A【解析】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC -是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得， 所以11423432D ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．4．如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．34【答案】C【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则OD AC ∥， 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角， 设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，可得DF =，EF = 则DE ==因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥，进而可得OE ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥，在直角ODE △中，可得cos 2OD ODE DE ∠==，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为2．5．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A ．若,m n m α⊥⊥，则n α∥B ．若,,m n m n αα⊄∥∥，则n α∥C ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,m ααβ∥∥，则m β∥或m β⊂【答案】A【解析】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则n α∥或n ⊂α，故A 错误，BCD 正确． 6．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱AB ，1CC 的中点，则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线（ ）A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条【答案】D【解析】平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ， 由公理3知平面11ADD A 与平面1D EF 必有过1D 的交线l ，在平面11ADD A 内与l 平行的直线有无数条，且它们都不在平面1D EF 内， 由线面平行的判定定理可知它们都与平面1D EF 平行．7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC ∥截面PQMNC ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒【答案】C【解析】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ MN ∥、QM PN ∥， 则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ AC ∥，QM BD ∥，由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，故A 正确； 由PQ AC ∥可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确．8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ）A ．11B ．11C D 【答案】A【解析】设ABC △的中心为E ，M 为AB 的中点，过O 作OD PA ⊥，则D 为PA 的中点，∴CPM ∠是直线PC 与平面PAB 所成角．∵ABC △是边长为2的等边三角形，∴233OD AE CM ===，∵34π33OP ⋅=，∴OP =∴2PA PD ===，∴PM ==，∴tan CM CPM PM ∠==9．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．1D O ∥平面11A BCB ．MO ⊥平面11A BCC ．二面角M AC B --等于90︒D ．异面直线1BC 与AC 所成的角等于60︒【答案】C【解析】对于A ，连接11B D ，交11A C 于E ，则四边形1D OBE 为平行四边形， 故1D O BE ∥，∵1D O ⊄平面11A BC ，BE ⊂平面11A BC ，∴1D O ∥平面11A BC ，故正确； 对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点， ∴1MO B D ∥，易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为BO AC ⊥，MO AC ⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒， 故错误；对于D ，∵11AC A C ∥，∴11AC B ∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11A C B △为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确．10．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．84πC ．252πD ．126π【答案】C【解析】设ABE △的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ， 过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O ， 即几何体ABCDE 外接球的球心．取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒．连接OF ，因为12OFO OFO ≅△△，从而1OO =． 连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径．又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法错误的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M 使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90︒C ．二面角P BC A --的大小为45︒D ．BD ⊥平面PAC 【答案】D【解析】解：如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，∴PM AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，∴ABD △是等边三角形， ∴AD BM ⊥， 又PMBM M =，PM ，BM ⊂平面PMB ，∴AD ⊥平面PBM ，故A 正确；对于B ，∵AD ⊥平面PBM ，∴AD PB ⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 正确；对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，∴BC PB ⊥，BC BM ⊥，∴PBM ∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则BM =，PM =在PBM Rt △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒， 故C 正确；对于D ，假设BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥， 又依题意平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BM ⊥，则BM⊥平面PAD ，故BM PA ⊥，而BD ，BM 相交，且在平面ABCD 内，故PA ⊥平面ABCD ，与PM ⊥平面ABCD 矛盾，因此BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BDC △内（不含边界）的一个动点，若11A P BC ⊥，则线段1A P 的长的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由正方体的性质可知，11A BDC -是正四面体，且正四面体的棱长为∵P 在1BDC △内，∴1A P的最大值为1111AC A B A D ===， 1A P 的最小值是1A 到平面1BDC 的距离，设1A 在平面1BDC 的射影为H ，则H 为正三角形1BDC的中心，3BH =，1A H === ∴1A P， 又因为P 不在三角形1BDC 的边上，所以1A P的范围是．二、填空题．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则π2π12π2π2r l r l ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩， 解得1r =，2l =．14．一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．【答案】48【解析】根据几何体的三视图得该几何体的体积为长宽高分别为6，4，4的长方体体积的一半， 即体积为1446482⨯⨯⨯=．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别为PA ，PD的中点，则平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为 ．【答案】35【解析】设四棱锥P ABCD -的体积为V ，连接FA ，FB ，则下面部分几何体的体积为F ABCD B AEF V V --+， 其中12F ABCD V V -=，11112448B AEF B APF B ADP P ABD V V V V V ----====， 所以58F ABCD B AEF V V V --+=， 则上面部分几何体的体积为5388V V V -=，故平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为35．16．已知三棱锥P ABC -中，满足1PA BC ==，PC AB ==2AC =，则当三棱锥体积最大时，直线AC 与PB 夹角的余弦值是 ．【答案】5【解析】如图所示，因为ABC △的面积为定值，所以当平面PAC ⊥平面ABC 时，三棱锥PAC 体积最大，过P 作//PE AC ，过A 作AE PE ⊥，所以BPE ∠为AC 与PB 所成角或补角． 过点P 作PD AC ⊥交AC 于D ，则PD ⊥平面ABC ，所以AE ⊥平面ABC ，即AE AB ⊥，因为1PA =，PC =，2AC =，所以PAC △为直角三角形，所以PD AE ==12AD PE ==， 因为1BC =，AB =2AC =，所以ABC △为直角三角形，π6BAC ∠=，所以211732424BD =+-⋅=，则2375442BP =+=，2315344BE =+=，所以1515cos 5BPE +-∠==-， 因此直线AC 与PB夹角的余弦值是5．。