高二数学选修2-1测试题(综合试题)
高中数学选修2-1综合测试卷带答案
高中数学选修2-1综合测试卷带答案解析：p是q的必要不充分条件，即p成立时q一定成立，但q成立时p不一定成立。
根据题目中的条件，当a＝3，b＝2，c＝5，d＝4时，q成立但p不成立。
因此选项A不成立，选项B、C、D均成立。
答案：BCD8．若f(x)＝x3－3x2－9x＋19，则f(x)的最小值为()A．－5B．－6C．4D．5解析：f(x)＝x3－3x2－9x＋19＝(x－1)3－9(x－1)＋10，令x－1＝t，则f(x)＝t3－9t＋10，f'(x)＝3t2－9＝0，解得t＝±1，代入f(x)得f(0)＝10，f(2)＝－5，所以f(x)的最小值为－5.答案：B9．已知等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＋a3＋a4＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则d的值为()A．2B．4C．6D．8解析：将等式a1＋a2＋a3＋a4＝10两边同时加上a5－a1，得a5＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－2a1＝20－2a1.因为a2＋a3＋a4＋a5＝20，所以a5＋a2＋a3＋a4＝20－a1.联立以上两式，得2a1＝10，所以a1＝5.又因为a1＋a2＋a3＋a4＝10，所以2a1＋3d＝10，解得d＝2.答案：A10．已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，则必存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)＝ξ。
()A．正确B．错误解析：考虑函数g(x)＝f(x)－x，g(0)＝0，g(1)＝0，因此在区间[0,1]上必存在一点ξ，使得g'(ξ)＝0，即f'(ξ)－1＝0，即f(ξ)＝ξ。
答案：A11．已知圆锥的底半径为R，高为H，若圆锥的体积为底面积的三倍，则圆锥的母线长为()A．3RB．4RC．5RD．6R解析：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面积为πR2，体积为(1/3)πR2H，根据题意得(1/3)πR2H＝3πR2，解得H＝9R/π，根据勾股定理得l2＝H2＋R2，代入H的值，得l＝(82+π2)R/π，约等于5R。
高中数学选修2-1、2-2综合试题
④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（ ）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。
1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 （ ）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。
高二数学选修2-1测试试题及答案
（选修2-1）模块测试试题（本试题满分150分；用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >；则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）a b <；则88a b -<-88a b ->-；则a b > a ≤b ；则88a b -≤-88a b -≤-；则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆；那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0； +∞)B ．(0； 2)C ．(0； 1)D ． (1； +∞)3.P:12≥-x ；Q:0232≥+-x x ；则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1；F 2；在左支上过点F 1的弦AB 的长为5； 那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21；则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中；方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2；P 为椭圆上的一点；已知PF 1⊥PF 2；则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1；E 是11A B 的中点；则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．32Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．339．若向量a 与b 的夹角为60°；4=b ；(2)(3)72a b a b +-=-；则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线；则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0；k ＞0且k ≠1)；与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）（A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率 12．如图1；梯形ABCD 中；AB CD ∥；且AB ⊥平面α；224AB BC CD ===；点P 为α内一动点；且APB DPC ∠=∠；则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题；每小题6分；共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题；如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件；但不是乙的必要条件；那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件；②.必要而不充分条件 ；③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中；向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ；)3,0,(k b =；若b a ,成1200的角；则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =；则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点；K 为非零常数；若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ；则动点P 的轨迹是双曲线。
高二数学选修2-1综合测试题(带答案)
高二数学选修2-1测试题(120分钟150分)班级姓名成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【变式训练】命题“若C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m ∥β且n ∥βD.m∥β且n∥l2【变式训练】有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3. “1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【变式训练】若双曲线C：x 2-=1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.3D.5.已知命题p：∀x∈R，x ≥2，那么下列结论正确的是( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-26.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为( )A.1B.C.D.7.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.48.在四边形ABCD中，“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.11.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是( )A. B.C.[-1，0]D.12.已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.15.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量= .16.曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a ≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围. 18.(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.20.(12分)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求的值. 21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.22.(12分)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.高二数学选修2-1测试题答案一、选择题1、【解析】选C.当-1≤a≤1时，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5--12≤5--12<0，所以原命题为真，逆否命题亦为真.反之，如a=-2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[-1，1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假.【变式训练】【解析】选C.原命题是真命题.其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C=90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角.这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题.因此真命题的个数是2.2.【解析】选B.对于选项A，α，β也可能相交，此时，l1，m都平行于交线，是必要不充分条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B符合题意；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，【变式训练】【解析】选 A.a>b>0⇒a2>b2，a2>b2⇒|a|>|b|⇒a>b>0，故①错.a>b>0⇒<，但<⇒a>b>0，故②错.a>b>0⇒a3>b3，但a3>b 3⇒a>b>0故③错故选A.3. 【解析】选 B.当方程+=1表示椭圆时，必有所以1<m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x 2+y2=1，它表示一个圆.4【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF⊥x轴得-=1得|y|=，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即=2c.得b2=2ac，所以=，e2-1=2e，所以e=+1.【拓展延伸】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以=，解得b=1，所以c=，所以e==.5.【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∃x0∈R，x0<2.6. 【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=，BM=，CN=，DN=，MN=1.由于=++，所以||2=(++)2=||2+||2+||2+ 2(·+ ·+·)=+12++2(0+0+0)=，所以||=.7.【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|===5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y 轴的距离等于4.8. 【解析】选C.若=λ，=λ，则∥，∥，即AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC ，即=，=，此时λ=1，所以∃λ∈R ，使得=λ，=λ成立.所以“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9. 【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD 1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以=(0，1，-1)，=(1，1，-1)，=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n ，>===-1.所以<n ，>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90°.10. 【解析】选C.双曲线方程化为-=1(a>0)，因为·=0，所以PF1⊥PF2.所以||2+||2=4c2=20a. ①由双曲线定义||-||=±4，②又已知||·||=2，③由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11. 【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)其中0≤x≤1，0≤y≤1.则=(1-x，-y，1) =(-x，1-y，0)所以·=(1-x，-y，1)·(-x，1-y，0)=+-，因为+的几何意义是平面区域到点的距离的平方，所以当x=y=时，+有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，+有最大值，所以-≤+-≤0，即·的取值范围是.12. 【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，根据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则即x2=4x1，又AF==2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以=，x1=，即p===.二、填空题13.【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=，x1x2=-m，所以5=，把x1+x2=，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y. 答案：x2=4y或x2=-20y 14.【解析】由条件知PC，AC，BC 两两垂直，设=a ，=b ，=c，则a·b=b·c=c·a=0，因为∠BAC=60°，AB=8，所以|a |=||=8cos60°=4，|b |=||=8sin60°=4，|c |=||=4.设=x=x(b -a)，其中x∈[0，1]，则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+x b-c，||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)x a·b-2x b·c-2(1-x)a·c=16(1-x) 2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64+28，所以当x=时，||2取最小值28，所以||min =2. 答案：215. 【解析】因为BG=2GD ，所以=.又=+=-+-=a+c-2b，所以=+=b +(a+c-2b)=a -b +c.答案：a -b +c16.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·=k2，①，将(-1，1)代入得0=k2，因为k>0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，①错误.②，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，②正确.③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以+≥2=2k，故③正确.④，由题意知点P0在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2=4·=4k2，所以④正确.综上所述，正确结论的序号是②③④.答案：②③④三、解答题17.【解析】当p真时，0<a<1，当q 真时，即a>，所以p假时，a>1，q假时，a ≤.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a ≤；当p假q真时，a>1. 综上a 的取值范围为∪(1，+∞). 18.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=-，=-，又因为=，=，所以=，所以BD∥B1D1.又B1D1⊂平面B1CD1，BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)=++=++(+)=++(-+)=++.设=a ，=b ，=c，则=(a+b+c).又=-=b-a，所以·=(a+b+c)·(b-a)=(b2-a2+c·b-c·a).又因为⊥，⊥，所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以·=0.所以MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为-1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.【解析】(1)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，|PF2|=，所以=.若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以=2，综上，=2或.21.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以=，=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ===.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，=(-1，0，1)，=.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n ·=0，n ·=0，得所以x=z，y=z.取z=2，得n=(2，1，2).因为F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1). 又B1(1，0，1)，所以=(t-1，1，0).而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ⇒·n=0⇔(t-1，1，0)·(2，1，2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.22.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE.(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m ，>===-，从而sin<m ，>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ====.于是=，解得λ=，所以AM=.【一题多解】(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B 1+E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，B1C1∩B1G=B1，故CE⊥平面B1C1G，又C1G⊂平面B1C1G ，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x，在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.。
高二数学选修2-1测试试题及答案
高二数学选修2-1测试试题及答案本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：1.命题“若a>b，则a-8>b-8”的逆否命题是（）A.若a<b，则a-8<b-8B.若a-8≤b-8，则a≤bC.若a≤b，则a-8≤b-8D.若a-8b2.如果方程x^2+ky^2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0.+∞)B．(0.2)C．(0.1)D．(1.+∞)3.已知x-3x+2≥0，2x-2≥1，则“非P”是“非Q”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.双曲线16/(x^2)-9/(y^2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、24B、25C、26D、285.若焦点在轴上的椭圆x^2/3+y^2/2=1的离心率为e，则m=A.3B.38/2C.23/2D.33/26.在同一坐标系中，方程x^2/2+y^2/2=1与ax+by^2=(a>b>)的曲线大致是（）ab7.椭圆25x^2+16y^2=400的面积为（）A.9B.12C.10D.88.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是（）A.√2/2B.√6/2C.√3/2D.√29.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则a=A.2B.4C.6D.1210.方程x^2/k-y^2/k=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．-1<k<1B．k>0XXX≥1D．k>1或k<-111.方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,k>且k≠1)，与方程y^2/a^2+x^2/b^2=1的图形是（）两个坐标轴上的椭圆12.若x^2+y^2+z^2=1，则x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2的最大值为（）1/3二、填空题：13.当k>1时，曲线x^2/k-y^2/k=1是（）。
选修2-1综合测试题
选修2-1综合测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列命题中是全称命题，并且又是真命题的是( ) A ．所有菱形的四条边都相等 B ．∃x ∈N ，使2x 为偶数 C ．对∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0 D ．π是无理数解析：根据全称命题的定义可以判断A 、C 两项为全称命题，对于C 项，在x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，故C 项为假命题．答案：A2．已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，M 是平面内任一点，则“|MF 1|＋|MF 2|＝4”是“点M 在椭圆E 上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长2a ＝4，根据椭圆的定义知，C 选项正确．答案：C3．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.答案：C4．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .则下列命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q ，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知p 为真命题，q 为假命题，故②④为真命题． 答案：B5．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋x 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1解析：双曲线x 24－y 212＝－1即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案：D6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63解析：建系如图，设正方体棱长为1，则BB 1→＝(0,0,1)． ∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取B 1D →＝(－1，－1，－1)为面ACD 1的法向量．设BB 1与面ACD 1所成的角为θ，则 sin θ＝|BB 1→·B 1D →||BB 1→||B 1D →|＝13＝33， ∴cos θ＝63. 答案：D7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.34解析：依题意d 1＋d 2＝2a .而d 1,2c ，d 2成等差数列，所以d 1＋d 2＝4c .而2a ＝4c ，所以e ＝c a ＝12.答案：A8．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5D.92解析：由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的准线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然当P ，F ，(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172，故选A. 答案：A9．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( ) A.32B ．2C.10－24D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫12BA →－12BC →＋BD →2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.答案：D10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.32解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)， C 1(0,1,1)．∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)， ∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23×2＝－63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33. 答案：C11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 6D. 5解析：双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，由⎩⎨⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消y 得x 2－ba x ＋1＝0.由题意，知Δ＝(b a )2－4＝0 ∴b 2＝4a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2＋4a 2＝5a 2. ∴ca ＝ 5. 答案：D12．过M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0，整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12.设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21.∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12.答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：p ∨q ，綈p14．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝________.解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1， 又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4， 因为|PF 1|－|PF 2|＝1， 所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－42×52×32＝35.答案：3515．如图，已知A (－3p,0)(p >0)，B ，C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB →·BQ →＝0，BC →＝12CQ →，则动点Q 的轨迹方程为________．解析：设Q (x ，y )，因为BC →＝12CQ →，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－y 2.又A (－3p,0)，所以AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫3p ，－y 2，BQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，3y 2.由已知AB →·BQ →＝0，所以3px －34y 2＝0， 即y 2＝4px (p >0)． 答案：y 2＝4px (p >0)16．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，有以下四个命题：①点H 是△A 1BD 的垂心；②AH 垂直于平面CB 1D 1；③二面角C —B 1D 1—C 1的正切值为 2.其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． 解析：∵AB ，AD ，AA 1两两垂直，故点H 为△A 1BD 的垂心．∵平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，故AH 垂直于平面CB 1D 1.连接A 1C 1，与B 1D 1交于点O ，则∠C 1OC 为C —B 1D 1—C 1的平面角，tan ∠C 1OC ＝2，故①②③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知a 、b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件是a 2－b 2＝1.该条件是否是必要条件？证明你的结论．证明：充分性：若a 2－b 2＝1，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， ∴a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件． a 2－b 2＝1也是a 4－b 4－2b 2＝1的必要条件． 证明如下：若a 4－b 4－2b 2＝1，则a 4－(b 2＋1)2＝0， 即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0. ∵a 、b 是实数，∴a 2＋b 2＋1≠0，∴a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 18．(12分)双曲线的离心率等于3，且与椭圆x 216＋y 27＝1有相同的焦点，求此双曲线方程．解：因为椭圆x 216＋y 27＝1的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为c ＝3，又双曲线的离心率等于3， 即ca ＝3，解得a ＝1. 所以b 2＝c 2－a 2＝32－12＝8.故所求双曲线方程为x 2－y28＝1.19．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b . (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎨⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3.20．(12分)在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；(2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．解：(1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ， 因为AA 1∥BB 1，得OE ⊥BB 1， 因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ， 所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ， 所以OE ⊥平面BB 1C 1C .又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5， 得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2，0)，A 1(0,0,2)， 由AE →＝15AA 1→得点E 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫45，0，25，由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫45，0，25，设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·AB→＝0，n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0， 令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)， 所以cos 〈OE →，n 〉＝OE →·n |OE →|·|n |＝3010， 即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是3010.21．(12分)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解：(1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又因为半焦距c ＝2，故虚半轴长b ＝c 2－a 2＝2， 所以W 的方程为x 22－y 22＝1，x ≥ 2.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，故x 1＋x 2＝2km1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 从而OA →·OB→>2. 综上，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB→取得最小值2.22．(12分)如图，矩形ABCD 所在的平面和正方形ADD 1A 1所在的平面互相垂直，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)当E 为AB 的中点时，求点E 到平面ACD 1的距离； (2)AE 等于何值时，二面角D —EC —D 1的大小为π4？ 解：(1)由题意得AD 1＝2，D 1C ＝5，AC ＝5， S △ACD 1＝122×322＝32. VE —ACD 1＝13S △ACD 1h ＝12h .S △AEC ＝12×1×1＝12，VD 1—AEC ＝13S △AEC ·DD 1＝16. 又VE —ACD 1＝VD 1—AEC ，∴12h ＝16，h ＝13. 点E 到平面ACD 1的距离为13.(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，设E (x,0,0)，则C (2,1,0)，D 1(0,1,1)，EC →＝(2－x,1,0)，CD 1→＝(－2,0,1)．设平面D 1EC 的法向量为n ＝(1，t 1，t 2)， 则n ⊥EC →，n ⊥CD 1→， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＋t 1＝0，－2＋t 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝x －2，t 2＝2.∴n ＝(1，x －2,2)．又平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)， ∵二面角D —EC —D 1的大小为π4， ∴cos π4＝212＋(x －2)2＋22＝22， 解得x ＝2±3. 又x ≤2，∴当AE ＝2－3时，二面角D —EC —D 1的大小为π4.。
高中数学选修2-1测试题
当 时，坐标平面内有无数条黄金直线；
当 时，黄金点的轨迹是个椭圆；
当 时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．命题 ： ；命题 ： 。
若 为假命题， 为假命题，则求 的取值范围。
18．已知双曲线 ： 的焦距为 ，且经过点 。
解得 ………………………………………………………………………………8分
∵ 假，且“ ”为假命题,故q真p假………………………………………………10分
所以 ∴实数a的取值范围为 ……………………………………………12分
18.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2,0）
根据定义有
∴ ，由以上可知： ．∴所求双曲线C的方程为： ．…4分
则 ，取 ，得 ．……………………………8分
依题意可知平面A1CA的法向量： ………………………………………………10分
则
∴面 与面 所成的锐二面角的余弦值为 ……………………………………12分
（法二）(1)如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ………………………………………………1分
∴ ∴ ， ,
高中数学选修2-1测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．命题：“ ， ”的否定形式是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．抛物线 的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
若向量 ，向量 ，且满足向量 // ，则 等于（）
渐近线方程为： …………………………………………………………………………6分
高中数学选修2-1综合试卷
高中数学选修2-1综合试卷数学选修2-1一、选择题1.椭圆的焦点坐标为（XXX.）。
2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于（B）。
3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（45°），则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。
4.已知中，点O为正方体的中心，异面直线所成角为60°，则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。
5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（8）。
6.命题“的否定是（）。
7.给出如下四个命题：1.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；2.命题“若，则”的否命题为“若，则”；3.“，”的否定是“，”；4.在中，“”是“”的充要条件。
其中正确的命题的个数是（B）。
8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（0）。
9.若A点坐标为（-3,0），是椭圆的最大值为（4），的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则（AP+PF=6）。
10.若点O和点F分别为椭圆的最大值为3的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则（OP²=OF²+FP²）。
11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（y=±(x²/2)）。
12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且∠BAC=∠BCD=45°，平面ABCD且平面PCD所成角的正弦值为（1/3），则PB与平面的法向量为（-2,1,2）。
二、填空题13.抛物线的准线方程为（y=p）。
14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是（0<k<1）。
15.“”是“直线和直线平行”的充要条件。
16.给出下列命题：直线l的方向向量为（1,2,3），直线l的方向向量1，2，3，直线m的方向向量2,1,1，平面的法向量1,2，-1，则向量1,2，-1与平面垂直；平面经过三点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，u=2,3，-1是平面的法向量，则真命题的是（命题1和命题3）。
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选修2-1数学综合测试题一、选择题1．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若p q Λ是假命题，则（ ） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题C.p 、q 至少有一个是假命题D.p 、q 至少有一个是真命题3．1F ,2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆4． 双曲线221169x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±=5．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F ，1，则双曲线的方程是（ ）A ．2212x y -= B ．2212y x -= C ．221x = D ．221y -= 6．已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )A 1B ．2C 1D ．27．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．38．与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ） （A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18222=-y x 9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r与的夹角是（ ） A ．0B ．2π C ．π D ．32π10．与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22） 11．11．已知长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ,21=AA ,E 是侧棱1BB 的中点，则直线AE 与平面11ED A 所成角的大小为( ) A ．060 B ．090 C ．045D ．以上都不正确12．若直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 二、填空题13．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是 _______________.14．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是_______________．15．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离． 三、解答题17．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F,G 分别是C 1C,D 1A 1,AB 的中点,求点A 到平面EFG 的距离.18．求渐近线方程为x y 43±=，且过点)3,32(-A 的双曲线的标准方程及离心率。
19．设命题p:不等式21x x a -<+的解集是1{3}3x x -<<;命题q:不等式2441x ax ≥+的解集是∅,若“p 或q”为真命题,试求实数a 的值取值范围.20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．21．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD ． （I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ （II ）求二面角Q-BP-C 的余弦值．22．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆C的方程.参考答案1．B 【解析】试题分析： 2320(1)(2)0x x x x -+≠⇒--≠，则1x ≠且2x ≠；反之，1x ≠且2x =时，2320x x -+=，故选B.考点：充要条件的判断. 2．C 【解析】试题分析：当p 、q 都是真命题p q ⇔Λ是真命题，其逆否命题为：p q Λ是假命题⇔p 、q 至少有一个是假命题，可得C 正确.考点： 命题真假的判断. 3．C 【解析】解题分析：因为1F ,2F 是距离为6，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,所以M 点的轨迹是线段12F F 。
故选C 。
考点：主要考查椭圆的定义。
点评：学习中应熟读定义，关注细节。
4．C【解析】因为双曲线221169x y -=，a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为x y 43±=,选C.5．A【解析】试题分析：由焦点为(0F ，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c1，所以，a 1）＝1，所以，b =，所以，双曲线方程为：2212x y -=.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 6．A 【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长为1，则根据题意知，121,,2c c =∴=21a =+12a ∴=11.2== 考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.点评：求椭圆的离心率关键是求出ca，而不必分别求出,.a c 7．A 【解析】试题分析：因为椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，所以0a >，且椭圆的焦点应该在x 轴上，所以242,2, 1.a a a a -=+∴=-=或因为0a >，所以 1.a = 考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用. 点评：椭圆中222c a b =-，而在双曲线中222.c a b =+ 8．B【解析】试题分析：设所求的双曲线方程为224y x λ-=，因为过点（2,2），代入可得3λ=-，所以所求双曲线方程为112322=-y x . 考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力.点评：与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线的方程设为224y x λ-=是简化运算的关键. 9．C【解析】试题分析：应用向量的夹角公式||||cos b a ⋅=θ=－1．所以量,OA OB u u u r u u u r与的夹角是π，故选C 。
考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算.点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。
10．C ； 【解析】试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．也可直接运用坐标运算。
经计算选C 。
考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算.点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。
11．B 12．C 【解析】试题分析：根据题意，由于直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则圆心（0,0）到直线x+y=mm 的值为2，故答案为C. 13．1715 14．e =【解析】试题分析：抛物线的焦点为(3,0)F ,椭圆的方程为：22133x y k +=3394k k -=⇒=,所以离心率e ==. 15．11(3,)(,2)22---U 【解析】试题分析：方程12322=-++k yk x 表示椭圆，需要满足302032k k k k+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得k 的取值范围为11(3,)(,2)22---U .考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力. 点评：解决本小题时，不要忘记32k k +≠-，否则就表示圆了. 16【解析】试题分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =u u u u r ，1(2,0,2)C B =u u u u r ，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=r ，则1100n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u u r，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--r ，又11(0,2,0)D C =u u u u u r，11D C n n ⋅∴==u u u u u r rr异面直线1D E 和1BC 间的距离为263． 17．【解析】如图,建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),所以=(1,-2,1),=(2,-1,-1),=(0,-1,0).设n =(x,y,z)是平面EFG 的法向量,则所以所以x=y =z,可取n =(1,1,1),所以d===,即点A 到平面EFG 的距离为.18．双曲线方程为221944y x -=，离心率为53 【解析】试题分析：设所求双曲线方程为)0(91622≠=-λλy x ， 带入)3,32(-A ，41991612-=⇒=-∴λλ， ∴所求双曲线方程为221944y x -=，又4,4922==b a 4252=∴c ， ∴离心率35==a c e .19. 解:由21x x a -<+得113a x a -+<<+,由题意得1123313a a a -+⎧=-⎪⇒=⎨⎪+=⎩.∴命题p:2a =.由2441x ax ≥+的解集是∅,得24410ax x -+≤无解, 即对x R ∀∈,24410ax x -+>恒成立,∴2(4)4410a a >⎧⎨∆=--⨯⨯<⎩,得1a >.∴命题q:1a >.由“p 或q”为真命题,得p 、q 中至少有一个真命题. 当p 、q 均为假命题,则2{1}1a a a a ≠⎧⇒≤⎨≤⎩,而{1}{1}R a a a a ≤=>ð.∴实数a 的值取值范围是(1,)+∞. 20．62±的值为m 【解析】试题分析：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则焦点F （0,2p-），由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=5)23(6222p m pm ，解之得⎩⎨⎧==462p m 或⎩⎨⎧=-=462p m ， 故所求的抛物线方程为y x 82-=，62±的值为m21．解: 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz D -.(Ⅰ)依题意有)0,1,1(Q ，)1,0,0(C ，)0,2,0(P ， 则)0,1,1(=DQ ，)1,0,0(=DC ，)0,1,1(-=PQ ，所以0=⋅DQ PQ ， 0=⋅DC PQ ，即 PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .且DQ DC D =I 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . ……6分 （II ）依题意有)1,0,1(B ，CB =)0,0,1(，BP =)1,2,1(--.设),,(z y x n =是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BP n CB n 即⎩⎨⎧=-+-=.02,0z y x x因此可取 ).2,1,0(--=n设m 是平面PBQ 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0PQ m BP m可取),1,1,1(=m 所以.515,cos -=n m 且由图形可知二面角Q BP C --为钝角 故二面角C BP Q --的余弦值为.515- 22．【解析】因为点E 在椭圆C 上, 所以2a=|EF 1|+|EF 2|=+=6,即a=3.在Rt △EF 1F 2中,|F 1F 2|===2,所以椭圆C 的半焦距c =. 因为b===2, 所以椭圆C 的方程为+=1.。