第二章 空间向量与立体几何 章末小结
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且长度相等。
若侧棱垂直于底面，则为直棱柱；若底面是正多边形，则为正棱柱。
2) 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
3) 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
上下底面平行且是相似的多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆台。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇环形。
7) 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积1) 几何体的表面积为各个面的面积之和。
2) 特殊几何体表面积公式：直棱柱侧面积=底面周长×高圆锥侧面积=π×底面半径×母线正棱台侧面积=(上底+下底+侧棱)×高/2圆柱侧面积=2π×底面半径×高正棱锥侧面积=(底面周长1+底面周长2+侧棱)×高/2圆台侧面积=(上底半径+下底半径)×母线×π/2圆柱表面积=2π×底面半径×(底面半径+高)圆锥表面积=π×底面半径×(底面半径+母线)圆台表面积=π×(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径×(上底半径-下底半径)/母线)3) 柱体、锥体、台体的体积公式：直棱柱体积=底面积×高圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高圆锥体积=底面积×高/3=π×底面半径²×高/3圆台体积=底面积×高/3=(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径)×高/3圆台的体积公式为V=(S+S'+√(SS'))h/3，其中S和S'分别为圆台的上下底面积，h为圆台的高。
立体几何与空间向量知识点归纳总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则|||||,cos |sin n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d =直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C A P =A B +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z O P =O A +O B +O ++=． 7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4c o s ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p O P =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p x e y e z e =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若b ≠，则12//,,a b a b xλλλλ⇔=⇔==．()721a a a x =⋅=+ ()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=。
空间向量与立体几何知识点总结
空间向量与立体几何知识点总结一、基本概念：1、空间向量:2、相反向量:3、相等向量：4、共线向量：5、共面向量：6、方向向量：7、法向量8、空间向量基本定理： 二、空间向量的坐标运算： 1。
向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1） a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； （2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R ）； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++; 2。
设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---。
3、设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠; a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.4.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=。
5．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+.6．平面外一点p 到平面α的距离已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法 向量，A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中，若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为（ ）A 。
(1,2,1)-B 。
(1,2,1)--C 。
(1,2,1)-- D.(1,2,1)--BAαn2．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( ）A ．1715B ．21C ．178D ．233.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点,若PA a =，PB b =，PC c =,则BE =（ )A 。
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空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
ab b a//（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a。
b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为a a 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p ,a b数使。
,x y p xa yb =+（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在,,a b cp 一个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以表示为三个坐标的有序三元组，分别表示在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
2）坐标系的建立：选择三个不共面的向量作为基向量，建立起一个空间直角坐标系。
3）向量在坐标系中的表示：向量的坐标表示为它在基向量上的投影长度所组成的有序三元组。
7.向量的数量积与向量积。
1）数量积：定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为___或ab。
2）性质：⑴交换律：a·b=b·a；⑵结合律：(ka)·b=k(a·b)；⑶分配律：(a+b)·c=a·c+b·c。
3）向量积：定义为两个向量所在平行四边形的面积乘以一个垂直于这个平行四边形的单位向量，表示为a×b。
4）性质：⑴反交换律：a×b=-(b×a)；⑵结合律：a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c；⑶分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
二．练题。
1.已知向量a(1,2,3)，b(4,5,6)，c(7,8,9)，求向量a-b+2c的坐标。
解：a-b+2c=(1-4+14,2-5+16,3-6+18)=（11,13,15）。
2.已知向量a(2,1,-3)，b(1,2,1)，c(3,-1,2)，判断向量a,b,c 是否共面，并说明理由。
解：由四点共面定理，a,b,c共面，当且仅当存在实数x,y,z，使得x·a+y·b+z·c=0.代入向量坐标，得到方程组2x+y+3z=0，x+2y-z=0，-3x+y+2z=0.解得x=-1，y=1，z=-1，满足方程组，因此a,b,c共面。
3.已知向量a(1,2,3)，b(2,-1,1)，求向量a与b的数量积和向量积。
解：a·b=1×2+2×(-1)+3×1=-1；a×b=(5,1,-5)。
高中数学《空间向量与立体几何》章末复习
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点，
∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12→AB＝a＋c＋12b.
(2)∵N 是 BC 的中点，
∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12→BC＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
学科思想培优 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向 量的分解定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几 何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线 与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化 为向量代数运算．
4．线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： (1)证明直线方向向量与平面的法向量平行； (2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行 (1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题．
6．面面垂直 (1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．
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二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正 交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与 a，b，c 同向． 2．向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b
3．求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两 个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向 量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个 面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 4．点到平面的距离的求法 点 P 到它在一个平面 α 内射影的距离，叫做点 P 到这个平面 α 的距离．若 A 为平面 α 内任一点，n 为平面 α 的法向量，则点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→|An·|n|.
高中数学新湘教版选修2-1 空间向量与立体几何 章末小结复习
1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝x2＋y2＋z2.(4)向量的夹角：cos θ＝v1·v2 |v1|·|v2|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则[例1]M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .则有，(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． ∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP ―→＝(0,0，a )，AD ―→＝(0，a,0)， ∴MN ―→＝12AD ―→＋12AP ―→.又∵MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：PC ―→＝(b ，a ，－a )，PM ―→＝⎝⎛⎭⎫b2，0，－a ， PD ―→＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，n 1·PM ―→＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC ―→＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD ―→＝0⇒ay 2－az 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)， ∵n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面PMC ⊥平面PDC .(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；②通过向量或坐标，研究向量之间的关系；③根据②的结论得出立体几何问题的结论．(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l ∥平面α，只需证l ＝λa ，l ⊄α，其中l 是直线l 的方向向量，a ⊂α；如果要证l ⊥α，只需在平面α内选取两个不共线向量m ，n ，证明⎩⎪⎨⎪⎧l ·m ＝0，l ·n ＝0，即可．1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ， 则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0， A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12(a ＋b )，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→ ＝OC ―→ ＋CG ―→ ＝12(AB ―→＋AD ―→ )＋12CC 1―→＝12(a ＋b )－12c ，∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0，∴A 1O ―→⊥BD ―→.∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→.∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1，1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)， DG ―→＝(0,2,1)，则A 1O ―→·DB ―→＝(－1,1，－2)·(2,2,0)＝0， A 1O ―→·DG ―→＝(－1,1，－2)·(0,2,1)＝0，所以A 1O ―→⊥DB ―→，A 1O ―→⊥DG ―→.即A 1O ⊥DB ，A 1O ⊥DG . 又DB ∩DG ＝D ，故A 1O ⊥平面GBD .法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1,1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)，DG ―→＝(0,2,1)． 设向量n ＝(x ，y ，z )为平面GBD 的一个法向量， 则n ⊥DB ―→，n ⊥DG ―→. 即n ·DB ―→＝0，n ·DG ―→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，z ＝2， 所以n ＝(1，－1,2)． 所以A 1O ―→＝－n .即A 1O ―→∥n . 所以A 1O ⊥平面GBD .2.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点． (1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；(2)用向量法证明MN ⊥平面A 1BD . 证明：(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， BD ―→＝AD ―→－AB ―→，B 1D 1―→＝A 1D 1―→－A 1B 1―→， 又∵AD ―→＝A 1D 1―→，AB ―→＝A 1B 1―→，∴BD ―→＝B 1D 1―→， ∴BD ∥B 1D 1. 同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1， 所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12(CB ―→＋BB 1―→)＝12AB ―→＋AD ―→＋12(－AD ―→＋AA 1―→) ＝12AB ―→＋12AD ―→＋12AA 1―→.设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝12(a ＋b ＋c )．又BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ， ∴MN ―→·BD ―→＝12(a ＋b ＋c )·(b －a )＝12(b 2－a 2＋c ·b －c ·a )． 又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c ·b ＝0，c ·a ＝0. 又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2.∴b 2－a 2＝0. ∴MN ―→·BD ―→＝0.∴MN ⊥BD . 同理可证MN ⊥A 1B . 又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD .[例2] 四棱锥＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P -AM -N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，D (0，2,0)， ∴PC ―→＝(2,2，－2)，PD ―→＝(0,2，－2)． 设M (x 1，y 1，z 1)，PM ―→＝λPD ―→， 则(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0,2，－2)． ∴x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2. ∴M (0,2λ，2－2λ)．∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ―→⊥AM ―→， ∴PC ―→·AM ―→＝0.∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0. ∴λ＝12.∴M (0,1,1)．设N (x 2，y 2，z 2)，PN ―→＝t PC ―→， 则(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2,2，－2)．∴x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2. ∴N (2t,2t,2－2t )．∵PC ―→⊥AN ―→，∴AN ―→·PC ―→＝0. ∴(2t,2t,2－2t )·(2,2，－2)＝0. ∴4t ＋4t －2(2－2t )＝0， ∴t ＝13.∴N ⎝⎛⎭⎫23，23，43. (1)∵cos 〈AM ―→，PD ―→〉＝(0，1，1)·(0，2，－2)0＋1＋1×0＋4＋4＝0，∴AM 与PD 所成角为90°.(2)∵AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，∴AB ―→，PC ―→分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量． ∵AB ―→·PC ―→＝(2,0,0)·(2,2，－2)＝4， |AB ―→|＝2，|PC ―→|＝23， ∴cos 〈AB ―→，PC ―→〉＝443＝33.∴二面角P -AM -N 的余弦值为33. (3)∵PC ―→是平面AMN 的法向量，∴CD 与平面AMN 所成角即为CD 与PC 所成角的余角． ∵CD ―→·PC ―→＝(－2,0,0)·(2,2，－2)＝－4， ∴cos 〈CD ―→，PC ―→〉＝－42×23＝－33.∴直线CD 与PC 所成角的正弦值为63， 即直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63.(1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n 1，n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. (2)求二面角的大小：如图，设平面α，β的法向量分别为n 1，n 2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.3.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC折起，使D 在平面ABC 上的射影E 恰好落在AB 上，求这时二面角B -AC -D 的余弦值．解：如图所示，作DG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H .在Rt △ADC 中， AC ＝AD 2＋DC 2＝5， cos ∠DAC ＝AD AC ＝35.在Rt △AGD 中，AG ＝AD ·cos ∠DAC ＝3×35＝95，DG ＝AD 2－AG 2＝9－8125＝125. 同理，cos ∠BCA ＝35，CH ＝95，BH ＝125.AD ―→·BC ―→＝(AE ―→＋ED ―→)·BC ―→＝AE ―→·BC ―→＋ED ―→·BC ―→＝0， GD ―→·HB ―→＝(GA ―→＋AD ―→)·(HC ―→＋CB ―→) ＝GA ―→·HC ―→＋GA ―→·CB ―→＋AD ―→·HC ―→＋AD ―→·CB ―→ ＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125.又|GD ―→|·|HB ―→|＝14425，∴cos 〈GD ―→，HB ―→〉＝916.因此所求二面角的余弦值为916.4.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正四棱柱． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)二面角C 1-BD -C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)证明：建立空间直角坐标系D -xyz ，如图．设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )，∴BD ―→＝(－a ，－a,0)，AC ―→＝(－a ，a,0)，CC 1―→＝(0,0，b )， ∴BD ―→·AC ―→＝0，BD ―→·CC 1―→＝0. ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1.又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于点O ，连接C 1O ， 则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，OC 1―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，b . ∵BD ―→·OC 1―→＝0，∴BD ⊥C 1O . 又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD -C 的平面角， ∴∠C 1OC ＝60°， ∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b22a ＝3， ∴b ＝62a . ∵AC ―→＝(－a ，a,0)，BC 1―→＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC ―→，BC 1―→〉＝AC ―→·BC 1―→|AC ―→|·|BC 1―→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A2．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→的化简结果为( )A ．AB ―→B ．2BD ―→C ．0D ．2DE ―→解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE ―→＝DF ―→. ∵12BC ―→＝BF ―→，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→＝AB ―→＋BF ―→－DF ―→－AD ―→＝AF ―→＋FD ―→－AD ―→＝AD ―→－AD ―→＝0.答案：C3．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基； ⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C4．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ―→＝a ，CB ―→＝b ，CC 1―→＝c ，则A 1B ―→＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：A 1B ―→＝CB ―→－CA 1―→＝CB ―→－(CA ―→＋CC 1―→)＝b －a －c . 答案：D5．已知四面体ABCD 的各边长都是a ，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF ―→的值是( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：由已知得ABCD 为正四面体，因为AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，AF ―→＝12AD ―→，所以AE ―→·AF―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→) ＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C6．已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A (1,0,0)，则B (0,1,0)，D (0，－1,0)，AB ＝2，SD ＝2，∴SO ＝1，∴S (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫0，12，12，AE ―→＝－1，12，12，SD ―→＝(0，－1，－1)．∴cos 〈AE ―→， SD ―→〉＝AE ―→·SD ―→|AE ―→||SD ―→|＝－12－1262×2＝－33， ∴AE 与SD 所成角的余弦值为33. 答案：C7．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，若AC ′―→＝x AB ―→＋2y BC ―→＋3zC ′C ―→，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23解析：如图，AC ′―→＝AB ―→＋BC ―→＋CC ′―→＝AB ―→＋BC ―→－C ′C ―→，所以x ＝1,2y ＝1，3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：B8.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线P Q 与AM 所成的角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM ―→＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，Q P ―→＝(0，－1,2)，所以Q P ―→·AM ―→＝0，所以Q P 与AM 所成角为π2.答案：D9．如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1―→＝(－2,0,1)，AC ―→＝(－2,2,0)，且AC ―→为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→|·|AC ―→|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：D10．已知OA ―→＝(1,2,3)，OB ―→＝(2,1,2)，OP ―→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A ―→·Q B ―→取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则Q A ―→＝(1－x ，2－x,3－2x )， Q B ―→＝(2－x,1－x,2－2x )．∴Q A ―→·Q B ―→＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，Q A ―→·Q B ―→取得最小值，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：C11.如图，在四面体P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C 的余弦值为( )A.22 B.33C.77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于点D ，作CE ⊥AP 于点E .设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC ―→＝BD ―→＋DE ―→＋EC ―→，∴BC ―→2＝BD ―→2＋DE ―→2＋EC ―→2＋2BD ―→·DE ―→＋2DE ―→·EC ―→＋2EC ―→·BD ―→， ∴EC ―→·BD ―→＝－14，∴cos 〈BD ―→，EC ―→〉＝－77.故二面角B -AP -C 的余弦值为77. 答案：C12.如图，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，且底面边长与侧棱长都等于2，O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，则平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离为( )A.355B.255C.55D.510解析：如图，连接OO 1，根据题意，OO 1⊥底面ABC ，则以O 为原点，分别以OB ，OC ，OO 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AO 1∥OC 1，OB ∥O 1B 1，AO 1∩O 1B 1＝O 1，OC 1∩OB ＝O ，∴平面AB 1O 1∥平面BC 1O .∴平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离即为O 1到平面BC 1O 的距离．∵O (0，0,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)，O 1(0,0,2)，∴OB ―→＝(3，0,0)，OC 1―→＝(0,1,2)，OO 1―→＝(0,0,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BC 1O 的法向量，则n ·OB ―→＝0，∴x ＝0.又n ·OC 1―→＝0，∴y ＋2z ＝0，∴可取n ＝(0,2，－1)．点O 1到平面BC 1O 的距离记为d ，则d ＝|n ·OO 1―→||n |＝25＝255.∴平面AB 1O 1与平面BC 1O间的距离为255.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q )共线，则p ＋q ＝________. 解析：由已知得AB ―→＝(1，－1,3)，AC ―→＝(p －1，－2，q ＋2)，因为AB ―→∥AC ―→，所以p －11＝－2－1＝q ＋23，所以p ＝3，q ＝4，故p ＋q ＝7.答案：714.已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝3GN ―→，现用基向量OA ―→，OB ―→，OC ―→表示向量OG ―→，并设OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的和为________．解析：OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋34MN ―→＝12OA ―→＋34⎝⎛⎭⎫－12 OA ―→＋OC ―→＋12 CB ―→＝12OA ―→－38OA ―→＋34OC ―→＋38OB ―→－38OC ―→＝18OA ―→＋38OB ―→＋38OC ―→， ∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：7815．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为______________．解析：由OA ―→＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上， 可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH ―→·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12， ∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 16.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13， GE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD ―→＝(0，－a,1)． ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→·BD ―→＝0，解得a ＝2. ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1―→＝(2，－2,2)， ∵GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→为平面ABD 的一个法向量． 又cos 〈GE ―→，BA 1―→〉＝GE ―→·BA 1―→|GE ―→||BA 1―→|＝4363×23＝23， ∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23. 答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ―→⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)OE ―→＝OA ―→＋AE ―→＝OA ―→＋t AB ―→ ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )． 若OE ―→⊥b ，则OE ―→·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ―→⊥b ， 此时E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25.18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝60°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝45°.(1)求|BD 1―→|；(2)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1. 解：(1)∵BD 1―→＝BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→∴|BD 1―→|2＝(BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→)2＝BA ―→2＋BC ―→2＋BB 1―→2＋2(BA ―→·BC ―→＋BA ―→·BB 1―→＋BC ―→·BB 1―→)＝1＋1＋1＋2⎝⎛⎭⎫－12－22＋22＝2，∴|BD 1―→|＝ 2.(2)证明：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→， ∴AA 1―→·BD ―→＝AA 1―→·(AD ―→－AB ―→)＝0， ∴BD ⊥AA 1，又BD ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面ACC 1A 1.19．(本小题满分12分)如图，已知点P 在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA ―→＝(1,0,0)，CC 1―→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1.在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH ―→＝(m ，m,1)(m ＞0)， 由已知〈DH ―→，DA ―→〉＝60°，由DH ―→·DA ―→＝|DA ―→||DH ―→|cos 〈DA ―→，DH ―→〉， 可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH ―→＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH ―→，CC 1―→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH ―→，CC 1―→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC ―→＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH ―→，DC ―→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH ―→，DC ―→〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． 解：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB ―→，AD ―→，AA 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD ―→＝(0,1,0)．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD ―→是平面ABB 1A 1的一个法向量， 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则 sin θ＝|BE ―→·AD ―→||BE ―→|·|AD ―→|＝132×1＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，连接B 1F ，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)， 又B 1(1,0,1)，所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D -AE -C 的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形，所以BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角． 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向，|OA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC ―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0， 可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77.由图知二面角D -AE -C 为锐角， 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.22.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD ， 故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)如图，以H 为坐标原点， HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.故sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.。
人教版高中数学选修2-1《空间向量与立体几何小结与复习》
空间向量运 算的几何意 义（如平行 四边形法则）
空间向量的 定义及其运 算
用空间向量表示 点、直线、平面 等元素 建立空间图 形与空间向 量的联系
利用空间 向量的运 算解决立 体几何中 的问题
空间向量运 算的坐标表 示（加、减、 数乘、数量 积）
归纳整理 （一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量．
长沙市第一中学高二数学备课组
2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模.即表示向量的有向线段的长度. 4. 单位向量：模是 1 的向量.
5. 零向量：模是 0 的向量.零向量的方向 是任意的.有向线段的起点与终点重合.
解答
知识点二
用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下： (1) 选择恰当的坐标系 . 坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点 的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2) 点的坐标、向量的坐标的确定 . 将几何问题转化为向量的问题，必须 确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题. (3) 几何问题与向量问题的转化 . 平行、垂直、夹角问题都可以通过向量 计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.
归纳整理
（一）基本概念
长沙市第一中学高二数学备课组
7. 相反向量：模相等且方向相反的向量叫 做相反向量．
6. 相等向量：模相等且方向相同的向量叫 做相等向量．
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第二章 空间向量与立体几何
第14课时 章末小结
问题1 直线与平面的夹角
例1. 如图1，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，点D 是CC 1的中点，求AA 1与平面AB 1D 所成的角的大小.
解:如图1建立直角坐标系，则),2,1,3(AB 1
=
)1,2,0(AD =，设平面AB 1
D 的法向量)z ,y ,x (n =，
由n AB 1⊥，得0z 2y x 3n AB 1=++=⋅ ①
由⊥
，得0z y 2=+=⋅ ②
令y=1，由①、②联立解得)2,1,3(,2z ,3x -=∴-==
∴,135,AA ,22
824
,AA cos 011>=<-=->=<故AA 1
与平面AB 1
D 所成的角为450.
即时突破1. 如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB=2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F 求A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值. 笔记：
即时突破2. 在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8. ⑴求CD 的长度；⑵求CD 与平面α所成的角 笔记：
问题2 平面间的夹角
例2. 如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC .
（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ；（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小.
（Ⅰ）∵AC =BC ,AP =BP ,∴△APC ≌△BPC . 又PC ⊥AC .∴PC ⊥BC.∵AC ∩BC =C , ∴PC ⊥平面ABC .∵AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB .
(Ⅱ)以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz .则C （0，0，0），A （0，2，0），B （2，0，0）. 设P （0，0，t ）,∵｜PB ｜=｜AB ｜＝22， ∴t =2,P (0,0,2).取AP 中点E ，连结BE ，CE .
∵｜AC ｜=｜PC ｜,｜AB ｜=｜BP ｜,∴CE ⊥AP ,BE ⊥AP .
∴∠BEC 是二面角B-AP -C 的平面角.∵E (0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(--=--=EB EC ∴cos ∠BEC .336
22
=⋅=
∴二面角B-AP-C 的大小为arccos .33
笔记:
点睛：如果与直线l 共线的非零向量与平面α的法向量所成的角为θ，那么直线l 与平面α所成的角则为|900
-θ|.
若00≤θ<900
，则直线l 与平面α所成的角为900
-θ；若900
≤θ≤1800
，则直线l 与平面α所成的角为θ-900
.这是因为直线与平面所成的角的范围是[0，900
].
点睛：如果二面角α-l -β中α、β的法向量所成的角为θ，那么二面角α-l -β的大小则为θ或1800
-θ.（取θ还是1800
-θ，要视问题中的二面角是“钝角”，还是“锐角”而定）
( 图1 )
A
D C
A 1
B 1
D 1
C 1
E
F
即时突破4. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°， E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. 求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
笔记：
问题3 距离的计算
例2如图3，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1的中点。
（1） 求点D 到BE 的距离； （2） 求点D 到面BEF 的距离；
解：（1）以点A 为原点建立如图3所示的空间直角坐标系，因E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1的中点，所以B （4，0，0），E （2，0，4），D （0，4，0），则BE =（-2，0，4），BD =（-4，4，0）
∴在
=
5
4
∴点D 到BE 的距离为
5512
= (2)设=（x,y,1）为平面BEF 的法向量，则⊥，⊥，=（0，2，4），
∴BE n ∙=-2x+4=0,
BF n ∙=2y+4=0∴x=2, y=-2∴n =(2,-2,1)
∴向量在
316
-
=∴点D 到面BEF 的距离为3
16
.
即时突破5. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC
π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，
N 为BC 的中点（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
（Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。
笔记：
即时突破6. 如图4，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2， D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 笔记：
点睛：如果平面α的法向量为n ，
点B 是平面α上的任一点， 则点A 到平面α的距离
||
n ||
d ⋅=.
|
n |
平面α的单位法向量）
【反馈测评】
1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的
中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是 （
A ．51
arccos B ．31arccos C ．
3π D ．
6
π 2．设a 、b 是平面α内的两个非零向量，则n ·a ＝0，n ·b ＝0是n 为平面α的法向量的（ ）
A ．充分条件
B ．充要条件
C ．必要条件
D ．既非充分又非必要条件
3．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△
ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出 ①⋅AC
BD ②∠BAC ＝ ③三棱锥D —ABC 是正三棱锥；
④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
4．在空间直角坐标系O —xyz 中，有一个平面多边形，它在x O y
平面的正射影的面积为8，在y O z 平面和z O x 平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为
（ ） A ．46
B ．2
46
C ．
34 D ．2
34
5．若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x ，－1，－3)是直角三角形的三个顶点，则x ＝ ．
6．若a ＝(3x ，－5，4)与b ＝(x ，2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为 ．
7．设向量a ＝(1，－2，2)，b ＝(－3，x ，4)，已知a 在b 上的射影是1，则x ＝ ．
8．设A(1，2，－1)，B(0，3，1)，C(－2，1，2)是平行四边形的三个顶点，则此平行四边形的面积为 9. 如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -，中，
11,2A D A A
A B =
==，点
E 在棱AD 上移动 (1)当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；
（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --4
π
10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，
AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '若D E '与平面PQEF 所成的角为45面PQGH 所成角的余弦值．
11. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -
中，
124AA AB ==，点E 在1CC 上且求二面角
1A DE B --的大小
12. 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面
ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．
C
D
E A
B
C
答案
即时突破1
630 2.(1) 172||.682
1
862846||2222==⨯⨯⨯-++=所以 (2) 34
51
3arcsin
.3451317233sin =∠===
∠CDE CD CE CDE 所以 (3)
arcsin
3． (4)
arccos 5(5) （Ⅰ）3π
Ⅱ)
23
(6) （Ⅰ）37arccos
Ⅱ3
6
2 【反馈测评】1.A2.C3.D4.D5. 163或－11 6．2
43
x -<< 7．0
8．
9.(1) .313212|
|1=-+=
=
n h (2) 4π
(10)
|cos |3
D E A D -''<>
=
，(11) arccos 42．(12) πarccos -⎝⎭。