三角函数之三角比总结(全)
三角函数总结归纳
最新三角函数总结归纳大全三角函数是数学中的重要概念，主要用于描述三角形中角度和边长之间的关系。
以下是三角函数的总结归纳：1. 定义：- 正弦（sin）：定义为对边与斜边的比值，记作sin(θ)，其中θ为角度。
- 余弦（cos）：定义为邻边与斜边的比值，记作cos(θ)。
- 正切（tan）：定义为对边与邻边的比值，记作tan(θ)。
2. 基本关系：- Pythagorean identity：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。
这是三角函数的基础，常用于角度和三角形的计算。
- Pythagorean theorem：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
- Cotangent identity：cot(θ) = 1/tan(θ)。
- Secant identity：sec(θ) = 1/cos(θ)。
- Cosecant identity：csc(θ) = 1/sin(θ)。
3. 诱导公式：- 公式一：sin(π/2 - α) = cos(α)。
- 公式二：cos(π/2 - α) = sin(α)。
- 公式三：sin(π/2 + α) = cos(α)。
- 公式四：cos(π/2 + α) = -sin(α)。
- 公式五：sin(π- α) = sin(α)。
- 公式六：cos(π- α) = -cos(α)。
- 公式七：sin(π+ α) = -sin(α)。
- 公式八：cos(π+ α) = -cos(α)。
4. 和差公式：- sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ。
- cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ。
- tan(α+ β) = (tanα+ tanβ)/(1 - tanαtanβ)。
5. 倍角公式：- sin2α= 2sinαcosα。
- cos2α= cos^2(α) - sin^2(α)。
- tan2α= 2tanα/(1 - tan^2(α))。
了解三角函数与三角比的基本概念
了解三角函数与三角比的基本概念三角函数与三角比是数学中重要的概念，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
它们不仅有着深厚的理论基础，还具有实际的应用价值。
本文将介绍三角函数与三角比的基本概念，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角函数的定义和性质三角函数是以角度作为自变量，输出一个比值的函数。
在平面几何中，我们常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）的定义是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数（cos）的定义是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数（tan）的定义是一个角的对边与邻边的比值。
这些定义可以用下面的公式表示：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边三角函数具有一些重要的性质。
首先，它们都是周期函数，周期为360度或2π弧度。
其次，正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = co s(90° - θ)，cosθ =sin(90° - θ)。
最后，正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
二、三角比的定义和应用三角比是三角函数的特殊应用，它们是一种比较两个角或两个边之间关系的方法。
常见的三角比有正弦比、余弦比和正切比。
正弦比（sin比）定义为一个角的正弦值与另一个角的正弦值之比，余弦比（cos比）定义为一个角的余弦值与另一个角的余弦值之比，正切比（tan比）定义为一个角的正切值与另一个角的正切值之比。
三角比在实际应用中有着广泛的运用。
例如，在三角测量中，我们可以利用正弦比来计算两个不相似的三角形的边长比例。
在航海中，我们可以利用余弦比来计算两个不相似的三角形的角度差。
在物理学中，我们可以利用正切比来计算物体在斜面上的滑动摩擦力。
三、三角函数的图像和性质三角函数的图像是理解它们的性质和应用的关键。
正弦函数的图像是一个周期为2π的正弦曲线，它在原点处取得最小值0，在π/2和3π/2处取得最大值1和-1。
三角比资料
• 钝角三角比（90° < θ < 180°）
• tanθ的取值范围是实数集
• 直角三角比（θ = 90°）
02
三角比的常用公式与定理
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理
• a / sinA = b / sinB = c / sinC
• 用于求解三角形的角度和边长
余弦定理
• c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC
• 使用生活实例引入三角比概念
• 举例说明三角比的应用
• 利用图形直观展示三角比性质
• 引导学生进行三角比的练习
• 通过实际问题激发学生学习兴趣
通过实例与应用提高学生的解题能力
教学方法
• 分析三角比在实际问题中的应用
• 讲解三角比的计算方法和技巧
• 组织学生进行三角比应用的练习
教学技巧
• 使用实际案例提高学生解题能力
• 计算三角形的周长
• 计算三角形的外接圆半径
三角比在计算问题中的应用实例
• 使用海伦公式计算三角形的面积
• 使用周长公式计算三角形的周长
• 使用正弦定理计算三角形的外接圆半径
几何问题中的三角比应用
三角比在几何问题中的应用
• 证明几何定理
• 求解几何问题
• 设计几何图形
三角比在几何问题中的应用实例
三角比与概率知识的结合
• 三角比在概率计算中的应用
• 三角比在概率分布中的应用
• 三角比在概率分析中的应用
三角比与概率知识结合的应用实例
• 使用三角比计算概率
• 使用三角比分析概率分布
• 使用三角比求解概率问题
05
三角比的教学方法与技巧
锐角的三角比
锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。
锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。
三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。
这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。
二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。
正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。
三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。
在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。
四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。
五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。
数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。
六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。
当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。
七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。
数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。
当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。
初中数学三角函数公式必备大全
对于初中数学来说，让学生头痛的一部分就是三角函数部分公式不能够数量的记忆和掌握。
很多同学对与三角函数中正弦、余弦、正切、余切中的公式容易混淆，导致在做题的时候不能够运用正确的公式，以至于三角函数题成为了他们失分的重要部分，为了让初中生们能够熟练掌握这一部分知识，下面小编总结了初中三角函数公式大全，下面给大家做一下分享。
关于初中三角函数公式，在考试中用的最多的就是特殊三角度数的特殊值。
如：sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3其次就是两角和公式，这是在初中数学考试中问答题中容易用到的三角函数公式。
两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)除了以上常考的初中三角函数公示之外，还有半角公式和和差化积公式也在选择题中用到。
所以同学们还是要好好掌握。
半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB以上就是给大家介绍的关于初中主要的三角函数公式，实际上三角函数这块内容还是比较好学的，只要掌握了公式的意义，能够熟练记忆这些公式，在考题中很容易就找到解答方法。
三角比的和差公式
三角比的和差公式三角比的和差公式，这可是数学中的重要内容，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
咱先来说说啥是三角比的和差公式。
简单来讲，就是能把两个角的三角函数通过加加减减变成一个角的三角函数。
比如说，正弦的和差公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB ，sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB ；余弦的和差公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB ，cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB ；还有正切的和差公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) ，tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB) 。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我出了一道题：已知sinα = 3/5 ，cosβ = -12/13 ，α 是第一象限角，β 是第二象限角，求sin(α + β) 。
这可把小明难住了，他抓耳挠腮，半天也没理出头绪。
我就提醒他，先利用同角三角函数的基本关系求出cosα 和sinβ ，然后再用正弦的和差公式。
小明恍然大悟，赶紧动手计算。
他先算出cosα = 4/5 ，sinβ = 5/13 ，然后代入正弦的和差公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ ，得到：sin(α + β) = (3/5)×(-12/13) + (4/5)×(5/13) = -36/65 + 20/65 = -16/65 。
算出答案的那一刻，小明脸上露出了开心的笑容，我也为他感到高兴。
其实，三角比的和差公式在解决很多实际问题中都特别有用。
比如在测量山的高度时，如果我们知道了两个角度和一条边的长度，就可以利用这些公式算出山的高度。
再比如说，在物理学中，研究波动、振动等问题时，也经常会用到三角比的和差公式。
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳三角函数是数学中的重要概念，涉及到角度和三角形的关系。
下面是三角函数的一些重要知识点的归纳：1. 弧度与角度：角度是常见的度量角的方式，弧度是另一种度量角的方式。
弧度是以半径长为单位的角度度量，一个圆上的一弧长等于半径长的角度称为一弧度，记作1 rad = 180/π°。
2. 三角比的定义：三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，余切函数(cot)，正割函数(sec)和余割函数(csc)。
这些函数都是角度的函数，可以表示角度和三角形的关系。
3.正弦函数和余弦函数：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
在单位圆中，正弦函数定义为纵坐标与半径之比，余弦函数定义为横坐标与半径之比。
4.正切函数和余切函数：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，余切函数定义为邻边与对边之比。
在单位圆中，正切函数定义为纵坐标与横坐标之比，余切函数定义为横坐标与纵坐标之比。
5.正割函数和余割函数：正割函数定义为斜边与邻边之比，余割函数定义为斜边与对边之比。
在单位圆中，正割函数定义为半径与横坐标之比，余割函数定义为半径与纵坐标之比。
6.三角函数的性质：三角函数有一些重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数的值在区间[-1,1]之间，正切函数和余切函数的值在整个实数轴上都有定义。
另外，三角函数具有周期性，即在一定的角度范围内，函数值会重复出现。
7. 三角函数的关系：三角函数之间存在一些重要的关系。
例如，正弦函数和余弦函数是互为余角的，即sin(π/2 - x) = cos(x)。
正切函数和余切函数是互为倒数的，即tan(x) = 1/cot(x)。
8.三角函数的图像：三角函数的图像是学习三角函数的重要内容。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，正切函数和余切函数的图像有无穷多个渐近线。
9.三角函数的应用：三角函数在物理、工程、几何等领域有广泛的应用。
中学三角比的知识点和公式汇总
三角比的各个知识点和公式与解斜三角形同角的三角比关系tanA³cotA=1互为余角的三角比关系sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A),tanA=cot(90-A)cotA=tan(90-A)直角三角形边、角关系边与边a^2+b^2=c^2角与角∠A+∠B=90°边与角：锐角三角比概念所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。
任意角的三角比象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角其三角比的定义：正弦sinθ=y/r余弦cosθ=x/r正切tanθ=y/x余切cotθ=x/y正割secθ=r/x余割cscθ=r/y公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝ tanαcot（π＋α）＝ cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝ cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于k²π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（单变双不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
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第三组诱导公式： 第四组诱导公式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( 第五组诱导公式： 第六组诱导公式： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(3. 两角和与差的余弦、正弦和正切：两角差的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-两角和的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+两角和的正弦公式： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+两角差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-两角和的正切公式：)tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβα-⋅+=+⇒-+=+两角差的正切公式： )tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβα+⋅-=-⇒+-=-※，)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a 其中（通常取）由，确定。
βπβ20<≤22cos ba a +=β22sin ba b +=β4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切：二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin ⋅=二倍角的余弦公式： ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2sin -=-=-=二倍角的正切公式： ααα2tan 1tan 22tan -=半角的余弦公式：2cos 12cos ββ+±=半角的正弦公式： 2cos 12sin ββ-±=半角的正切公式：，，βββcos 1cos 12tan+-±=βββcos 1sin 2tan +=βββsin cos 12tan -=ββββsin cos 1cos 1sin -=+⇒万能置换公式：，，2tan 12tan2sin 2ααα+=2tan 12tan 1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2ααα-=二、典型例题：三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通常“切化弦”。
再次观察代数式的结构特点。
基本技巧有：（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。
例如：，， ，ββαββαα+-=-+=)()()()()()(2αβαββαβαα--+=-++=22βαβα+⋅=+等等。
)2()2(2βαβαβα---=+【例1】 已知，，那么 _____（答：）52)tan(=+βα41)4tan(=-πβ=+)4tan(πα223【例2】已知，且，，则______（答：παπβ<<<<2091)2cos(-=-βα32)2sin(=-βα=+)cos(βα） 729490（2）三角比名称互化（切化弦）：【例3】求值（答：1）)10tan 31(50sin oo +（3）公式变形使用：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±【例4】已知A 、B 为锐角，且满足，则_____（答：） 1tan tan tan tan ++=B A B A =+)cos(B A 22-（4）三角比次数的升降：本质-----倍角公式和半角公式【例5】若，化简为_____（答：） )23,(ππα∈α2cos 21212121++2sin α（5）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)：【例6】求证：2tan 12tan 12sin 21sin 12αααα-+=-+（6）常值变换-----主要指“1”的变换：【例7】已知，求（答：）2tan =ααααα22cos 3cos sin sin -+53（7）正余弦“三兄妹”---“，”：知一求二x x cos sin ±x x cos sin 【例8】若，则= __（答：)； 特别提醒：这里t x x =±cos sin x x cos sin 212-±t ]2,2[-∈t（8）辅助角公式： (其中角所在的象限由a , b 的符号确定，角的值)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a ββ由确定)在求最值、化简时起着重要作用。
ab=βtan 【例9】若方程有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）c x x =-cos 3sin三、课堂练习：1．若，则使成立的的取值范围是_______________（答：） π≤≤x 0x x 2cos 2sin 12=-x ],43[]4,0[πππ2．已知，，则___________（答：） 53sin +-=m m θ524cos +-=m m θ)2(πθπ<<=θtan 125-3．已知，则______；_______（答：；）11tan tan -=-αα=+-ααααcos sin cos 3sin =+⋅+2cos sin sin 2ααα35-3134．已知，则_______（答：B ）a o=200sin =o160tan A 、 B 、 C 、 D 、21a a--21aa-a a 21--a a 21-5．的值为______________（答：） πππ21sin )67tan(49cos+-+3322-6．已知，则，若为第二象限角， 54)540sin(-=+αo______)270cos(=-oαα则=________。
（答：；） )180tan()]360cos()180[sin(2ααα+-+-oo o 54-1003-7．命题P ：，命题Q ：，则P 是Q 的_________（答：C ）0)tan(=+B A 0tan tan =+B A A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 8．已知，那么（答：） 53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα______2cos =β2579．______（答：4）=-oo 80sin 310sin 110．已知为锐角，,，，则与的函数关系为______巧变角 βα,x =αsin y =βcos 53)cos(-=+βα（答：） x x y 541532+--=)153(<<x 11．已知，，求（答：）切化弦 12cos 1cos sin =-ααα32)tan(-=-βα______)2tan(=-αβ8112．设中，，，则此三角形是_____________三角形ABC ∆B A B A tan tan 33tan tan =++43cos sin =A A （答：等边）公式变形使用13．函数的单调递增区间为__________________三角比次数的升降 )(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-=（答：） )](125,12[Z k k k ∈+-ππππ14．化简：（答：）式子结构的转化 )4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππx 2cos 2115．若，，求的值。
（答：）正余弦三兄妹),0(πα∈21cos sin =+αααtan 374+-16．已知，试用k 表示的值（答：）正余弦三兄妹 k =++αααtan 1sin 22sin 2)24(παπ<<ααcos sin -k -117．当函数取得最大值时，的值是______(答：) 辅助角公式 x x y sin 3cos 2-=x tan 23-18．如果是奇函数，则= (答：－2) 辅助角公式 )cos(2)sin()(ϕϕ+++=x x x f ϕtan 19．求值：________(答：32) 辅助角公式 =+-ooo 20sin 6420cos 120sin 3222斜三角形一、知识点梳理：§1.4正弦定理和余弦定理： 三角形面积公式： C ab B ac A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 正弦定理：（R 为的外接圆半径） R CcB b A a 2sin sin sin ===ABC ∆余弦定理：，，bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=解题思想：采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想．二、典型例题：【例1】在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin Bsin A6【例2】在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B baA ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π2【例3】在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6B ．2C ．3D ．4 666解析：选A.由余弦定理，得AC ＝＝ ＝6.AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 42＋62－2×4×6×13【例4】在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．3解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10， 3∴AB ＝.10三、课堂练习：1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、3C 2C 214A2c .解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A2sin B sin C ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin Ab sin B csin Cb ＝c ＝a ＝2×＝2.sin B sin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2. 2π3π62．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为2.153．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos 2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π42104．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．【学生总结】：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【教师寄语】：春天是碧绿的天地，秋天是黄金的世界。