2018年江苏高考数学二轮复习课件：第1部分+知识专题突破+专题5 三角函数与解三角形
3． (2016· 江苏高考)在锐角三角形 ABC 中， 若 sin A＝2sin Bsin C， 则 tan Atan Btan C 的最小值是________．
8 [在锐角三角形 ABC 中，
∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以 cos Bcos C，得
法二
y＝sin 2x， 联立两曲线方程，得 y＝cos x，
两曲线交点个数即为方程组解的个数，
也就是方程 sin 2x＝cos x 解的个数．方程可化为 2sin xcos x＝cos x， 即 cos x(2sin x－1)＝0，
1 ∴cos x＝0 或 sin x＝2. π π 3 5 ①当 cos x＝0 时，x＝kπ＋2，k∈Z，∵x∈[0,3π]，∴x＝2，2π，2π，共 3 个； 1 π 5 13 17 ②当 sin x＝2时，∵x∈[0,3π]，∴x＝6，6π， 6 π， 6 π，共 4 个． 综上，方程组在[0,3π]上有 7 个解，故两曲线在[0,3π]上有 7 个交点．]
tan B＋tan C＝2tan Btan C.
tan B＋tan C 2tan Btan C ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝ ＝ .① tan Btan C－1 tan Btan C－1 ∵A，B，C 均为锐角， ∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1. tan A 由①得 tan Btan C＝ . tan A－2 tan A 又由 tan Btan C>1 得 >1， tan A－2 ∴tan A>2.
2．(2016· 江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数 y＝sin 2x 的图象与 y＝cos x 的图象 的交点个数是________．
7
2π [法一 函数 y＝sin 2x 的最小正周期为 2 ＝π，y＝cos x 的最小正周期为 2π，
在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象， 如图所示． 通过观察图象可知， 在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是 7.
1 4．(2015· 江苏高考)已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝7，则 tan β 的值为________．
1 －－2 tanα＋β－tan α 7 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝ ＝3.] 1 1＋tanLeabharlann ＋βtan α 1＋7×－23
4 π 5．(2016· 江苏高考)在△ABC 中，AC＝6，cos B＝5，C＝4. (1)求 AB 的长； (2)求
tan2A ∴tan Atan Btan C＝ tan A－2 tan A－22＋4tan A－2＋4 ＝ tan A－2 4 ＝(tan A－2)＋ ＋4≥2 4＋4＝8， tan A－2 4 当且仅当 tan A－2＝ ，即 tan A＝4 时取得等号． tan A－2 故 tan Atan Btan C 的最小值为 8.]
7 ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝ . 5
法二 tan
π π α＝tan α－4＋4
π tan α－4＋tan ＝ π 1－tan α－4tan
π 1 4 6＋1 7 ＝ ＝ .] 1 5 π 1－6×1 4
专题五 三角函数与解三角形
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(对应学生用书第 15 页) 1．(2017· 江苏高考)若
π 1 tanα－4＝6，则
tan α＝________.
7 5
π tan α－tan 4 tan α－1 1 π [法一 ∵tanα－4＝ ＝ ＝ ， π 1＋tan α 6 1＋tan αtan 4
π 3cosx＋6.
π π 7π 因为 x∈[0，π]，所以 x＋ ∈6， 6 ， 6
7 2 因为 0<A<π，所以 sin A＝ 1－cos A＝ 10 .
2
π 因此，cosA－6＝cos
π π Acos ＋sin Asin 6 6
2 3 7 2 1 7 2－ 6 ＝－ × ＋ × ＝ . 10 2 10 2 20
6．(2017· 江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]． (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f (x)＝a· b，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
π cosA－6的值.
【导学号：56394028】
[解]
4 (1)因为 cos B＝ ，0<B<π， 5
2
所以 sin B＝ 1－cos B＝ AC AB 由正弦定理知sin B＝sin C，
4 3 2 1－ 5 ＝5.
2 6× 2 AC· sin C 所以 AB＝ ＝ ＝5 2. sin B 3 5
[解]
(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
所以－ 3cos x＝3sin x. 若 cos x＝0，则 sin x＝0，与 sin2x＋cos2x＝1 矛盾， 故 cos x≠0. 3 于是 tan x＝－ 3 . 5π 又 x∈[0，π]，所以 x＝ 6 .
(2)f (x)＝a· b＝(cos x，sin x)· (3，－ 3) ＝3cos x－ 3sin x＝2
(2)在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 A＝π－(B＋C)， 于是 cos
π A＝－cos(B＋C)＝－cosB＋4
π π ＝－cos Bcos 4＋sin Bsin 4. 4 3 又 cos B＝ ，sin B＝ ， 5 5 4 2 3 2 2 故 cos A＝－5× 2 ＋5× 2 ＝－ 10 .
第5讲 三角函数、解三解形
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
江苏专版18版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量微点突破三角函数解三角形中的实际应用问题课件理
则四边形 BCEF 的面积为 1 2S 梯形 ABCD＝S 梯形 BCEG＋S△EFG，
1 1 1 3 3 1 3 即2×2× 3×(1＋2)＝2× 2 ×1＋2＋2×GF×2，解 3 得 GF＝ 6 ， 所以 EF＝ EG ＋GF ＝ 21 ＝ (km). 3 21 答：灌溉水管 EF 的长度为 3 km.
＝1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将
绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图1，若E为CD的中点，F 在边界AB上，求灌溉水管EF 的长度；
(2)如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度.
解 (1)因为 AD＝DC＝2， BC＝1， ∠ABC＝∠BAD＝90°， 所以 AB＝ 3. 3 如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG，则 EG＝2，
微点突破
三角函数、解三角形中的实际 应用问题
【例】 (2013· 江苏卷)如图，游客从某旅游景区的 景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 12 3 1 260 m，经测量，cos A＝13，cos C＝5.
实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题 经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角 形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形， 有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方 程(组)得出所要的解.
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题二 三角函数与平面向量 第1讲 精品
[微题型 2] 三角函数图象与性质的综合应用
【例 2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数 f(x)＝sin2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ为常数，且 ω∈12，1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点π4 ，0，求函数 f(x)在 x∈0，π2 上 的值域.
答案 π 38π＋kπ，78π＋kπ(k∈Z)
考点整合 1.常用三种函数的易误性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
在－π2 ＋2kπ， π2 ＋2kπ 单
(k∈Z)上单调递增；在 调 性 π2 ＋2kπ， 3π 2 ＋2kπ
(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2k π，2kπ](k∈Z) 在－π2 ＋kπ， 上单调递增；在 [2kπ，π＋2k π2 ＋kπ(k∈Z) π](k∈Z)上单 上单调递增 调递减
2.(2011·江苏卷)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，
φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，
则 f(0)＝________. 解析 因为由图象可知振幅 A＝ 2，T4＝71π2 －π3 ＝π4 ，
所以周期 T＝π＝2ωπ，解得 ω＝2，将71π2 ，－ 2代入 f(x)
＝ 2sin(2x＋φ)，解得一个符合的 φ＝π3 ，
∴ω＝2Tπ＝21π6 ＝π8 .∴y＝4sinπ8 x＋φ，
把点(6，0)代入得：π8 ×6＋φ＝0，得 φ＝－3π 4 . ∴y＝4sinπ8 x－3π 4 ，又∵|φ|＜π2 .∴y＝－4sinπ8 x＋π4 .
(2)根据图象可知，A＝2，34T＝111π2 －π6 ，所以周期 T＝π，
2018江苏高考数学总复习要点——知识篇(全套)精选课件
六 数列
2 等差数列 （C）
⑴ 相关概念
① 公差d对数列的影响
② 通项公式
若d>0，则为递增数列 若d=0，则为常数数列 若d>0，则为递减数列
ana1(n1)d anam(nm)d
③ 前n项和
Sn
(a1
an)n 2
Sn na1n(n21)d
等差数列的通项an
a x1 x2 2 y1 y2 2 . 这就是平面内两点间的距离公式
3.cos a b .
ab
用于计算向量的夹角
设a x1, y1 , b x2 , y2 , 则cos
4.ab a b
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、函数概念与基本初等函数
• 7函数模型及其应用 • （1）实际问题中的自变量取值的合理性
• （2）对函数 y=x+1/x 的认识 • 定义域 (-∞,0)U(0,+ ∞) • 值域 (- ∞,-2]U[2,+ ∞) • 单调性：增区间(-∞,-1),(1,+ ∞)
» • 奇偶性:奇函数
减区间[-1,0),(0,1]
五 平面向量
⑸ 数量积的运算律 ①交换律： abba
②对数乘的结合律： (a)b(ab)a(b)
③分配律： (ab)cacbc
注意： 数量积不满足结合律，即：
(ab)ca(bc)
方向不同
五 平面向量
5 平面向量的平行与垂直（Ｂ）
⑴ 平行（即共线）记作： a//b
二、函数概念与基本初等函数
二、函数概念与基本初等函数
• (5)周期性 f(x+T)=f(x) • ①f(x+a)=-f(x) T=2a • ②f(x+a)=1/f(x) T=2a • ③ f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] T=4a • (6)对称性 • ①f(a-x)=f(a+x) 对称轴：x=a • ②f(2a-x)=f(x) 对称轴： x=a
2018届江苏省高三数学二轮复习专题讲座5--三角函数二轮复习建议
三角函数二轮复习建议在江苏高考考试说明中，三角函数部分涵盖了八个知识点，其中两角和（差）的正弦、余弦和正切为C 级点，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质及几个三角恒等式为A 级点，其余均为B 级点，高考中一般以基础题为主，难度基本为容易题或中档题，涉及到的问题主要有三个方面——三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形．二轮复习应紧紧抓住这三个方面，对于典型问题应从解题策略上讲清讲透，使学生对典型问题的解题思路和方法做到心中有数，让学生练到位，力争拿高分．本单元二轮专题和课时建议：第一、二课时 三角函数的图象与性质教学目标1. 充分运用数形结合的思想，把三角函数的图象（正、余弦曲线或单位圆）和性质两者紧密结合起来，既利用图象的直观性描述其性质，又能利用函数的性质细化其图象； 2. 能运用三角公式将所给函数解析式正确转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而研究函数的单调性，周期性，奇偶性，及函数在某给定区间上的值域问题； 3．掌握简单的函数图象变换问题． 专题回顾1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)（ω＞0）的最小正周期为π，则ω＝_________，它的对称中心是________________________，对称轴方程是_______________________，单调增区间为___________________________，若x ∈[0，π2]，则函数f (x )的值域为_____________． 2．当函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)取得最大值时，x ＝_______________．3．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移式是____________________．4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0）的图象如右图所示，则ω＝_________，若φ∈(－π，0)，则φ＝___________．5． 已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)－3sin(x ＋φ)（0＜φ＜π）是偶函数，则φ的值为_________．6．已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是__________．典型例题基本题型一：研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期性，单调性及该函数在某指定区间上的值域．例1．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间； （2）求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．说明：对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的相关性质的考查是三角函数部分的重要内容之一，这类问题经常以齐次式的形式出现，需要学生经过两角和与差的正余弦、降幂、辅助角等变形，进而转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式．教学中应加强对此类题型的训练，不轻易放弃任何一个学生，这不仅是考高分的基础，更是提高均分的一个关键点．基本题型二：通过对函数图象的研究函数的性质，或经过简单的函数图象变换，研究变换后的函数的相关性质．例2．已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )（A ＞0），函数f (x )＝m ·n 的最大值为6． （1）求A ；（2）将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．说明：以平面向量为载体，通过平面向量的共线或垂直，转化为与三角函数有关的问题．在处理与三角有关的问题时，除需掌握例1中解决问题的基本方法外，还需注意与图象变换有关的问题，正确处理图象的平移和伸缩变换与解析式之间的关系．第（2）题中也可将两种变换交换一下变换的次序，进而使学生能真正把握住平移变换和伸缩变换．基本题型三：给出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的某种性质（周期性、单调性或最值），求待定字母系数的取值（或范围）．例3．设f (x )＝4cos(ωx －π6)sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0．（1）若f (x )的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点间的距离为π2，求ω的值；（2）若f (x )在区间[－3π2，π2]上为增函数，求ω的最大值．说明：对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质的研究，有时也会反过来研究，即先给出它的某种性质，通过对这些性质的识别得出函数的解析式，如该题中f (x )图象与x 轴的交点中相邻两交点间的距离就是该函数的半个周期，对于这类性质的刻画还可以通过两邻两对称轴间的距离，过最高或最低点的曲线的切线两邻两切点间的距离等来体现．本题的第（2）问也可以改成：若，且f (x )在(π6，π3)上的有最小值而没有最大值，求ω的值．基本题型四：与三角函数有关的应用问题．例4．有一个圆心角为120°，半径为R 的扇形铁片，要在其中截下一矩形铁片，有两种截法：如图（a ），矩形的一边在半径OA 上：如图（b ），矩形的一边平行于弦AB ．请问：哪一种截法截下的矩形面积最大？并求这个矩形的最大面积．O ABCDE图(a )B QPN说明：与三角函数有关的应用问题是热点之一，在08年和10年都曾涉及到，在列出函数解析式后，根据解析式的特点，选择求最值的方法，有时可直接利用求三角函数的最值的方法，有时可能需转化成其它的基本函数类型，还有时需要利用导数来解决问题．在讲解时，不妨可以把江苏08年和10年的高考题拿出来一并处理． 课后检测 一、填空题1．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是最小正周期为________的________函数（奇偶性）．2．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，当0≤x ＜π2时，f (x )的最大值为_________，最小值为_________．3．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的单调递增区间为________________________．4．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的_________________条件． （填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件） 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)( x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数f (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象向________平移________个单位长度．6．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ( ω＞0)，y ＝f (x )的图像与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是____________________．7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为_____________．8．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则9．设函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是________．①f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图像关于点(π4，0)对称；③把f (x )的图像向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图像；④f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数．10．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，f (π3)＝f (2π3)，且f (x )在区间(π3，2π3)有最大值，无最小值，则ω＝________． 二、解答题11．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ（x ∈R ）的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．（1）求函数f (x )的最小正周期;（2）若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．12．设函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a （其中a ∈R ，ω＞0）且f (x )的图像在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为π6．（1）求ω的值及函数f (x )的单调增区间；（2）如果f (x )在区间[－π6，π12]上的最大值为3，求a 的值．13．若函数f (x )＝sin ωx (sin ωx －cos ωx )（ω＞0）的图像与直线y ＝m （m 为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，公差为π2．（1）求m 的值；（2）若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图像的对称中心，且x 0∈[0，π2]，求点A 的坐标．14．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x ． （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈[0，π2]时， g (x )＝12－f (x )，求函数g (x )在[－π，0]上的解析式．第三、四课时 三角变换教学目标1. 熟练掌握同角三角函数间的基本关系、正余弦的诱导公式、两角和与两角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式．2. 掌握三角变换的基本解题规律：寻找联系，尤其是角与角之间的联系，能够用已知角表示未知角，缩小已知条件和所求结论之间的差异，并最终消除差异．要注意积累各种变换方法与技巧，不断提高分析和解决问题的能力． 专题回顾1. 已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝_____________． 2．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝______________．3．已知x ∈(－π2，－π6)，cos(x ＋π6)＝45，则sin x ＝_________________．4．已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β的值为__________．5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝__________________．6．设α为锐角，若sin(α－π3)＝－35，则cos(2α－π6)的值为__________．典型例题基本题型一：已知一个角的三角函数值，求三角表达式的值． 例1．已知tan α2＝2， 求:（1）tan(α＋π4)的值；（2）6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．说明：三角函数式的求值问题是一类重要的三角问题，不仅可以在小题中进行考查，也可以在解答题中进行考查．解决这类问题的基本方法和策略就是研究已知和所求之间的差异，这种差异可以角，可以函数名称，也可以函数表达形式，解决问题的目标就是消除这种差异，一般情况上，首先考虑消除的是角的差异，其次是函数名称的差异，最后是表达形式上的差异．此题是一种较为典型的三角求值问题，其中不仅有角的差异，也有函数名的差异，在消除函数名的差异时，除可以利用同角间的三角函数间的关系，根据正切分别求出正余弦外，也可以利用正余弦的齐次分式直接转化为切的分式．解题时，既要讲切化弦，也得讲一讲弦化切的解题方法．如（2）中可改求一个关于角α的正余弦的二次齐次式的值．基本题型二：与三角函数的图象与性质有关的综合问题．例2．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6) (其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.（1）求ω的值；（2）设α，β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65， f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．说明：三角求值问题中，研究已知角和所求角之间的关系，较常见的方法是用已知角去表示所求角，从而将问题转化为两角和与差的三角函数的求值问题或二倍角的计算问题，但有时用已知角表示所求角不太方便求解，也需学会将已知角用所求角去表示，从而将问题转化为方程或方程组问题．如可在此补充：已知0＜α＜π2，0＜β＜π2，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2 α2，求α＋β的值．此题中，若能将条件3sin β＝sin(2α＋β)中的β表示成(α＋β)－α，并把2α＋β表示成(α＋β)＋α，那么问题的解决将会易如反掌．例3．函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求函数f (x )的解析式；（2）设α∈(0，π2)，且f (α2)＝2，求α的值．说明：三角求值问题中常遇到的另一类问题就是求一个角的大小，这时只需求出该角的某一三角函数值即可，具体选择哪种三角函数值时应根据题目中的条件，尤其是角的范围来决定．例4．函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． （1）求ω的值及函数f (x )的值域；（2）若f (x 0＋1)＝765，且x 0∈(－13，23)，求f (x 0)的值．课后检测 一、填空题1．已知x 为锐角，若cos x ＝45，则tan(x ＋π4)＝___________，tan2x ＝_____________．2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝___________．3．cos(α＋β)＝35，sin(β－π4)＝513，α，β∈(0，π2)，则cos(α＋π4)的值为___________．4．已知x ∈(－π2，0)，sin x ＋cos x ＝－15，则sin x －cos x 的值为___________．5．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝ ___________． 6．若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝___________．7．已知tan(α－π6)＝33，则sin αcos α3cos 2α－2sin 2α＝___________．8．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___________．9．若sin(α＋π8)＝14，则cos(3π4－2α)的值为___________．10．△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，3cos A ＋4sin B ＝1，则角C 的大小为___________． 二、解答题11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． （1）若a ∥b ，求tan θ的值； （2）若|a |＝|b |，0＜θ＜π，求θ的值．12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255．（1）求cos(α－β)的值；（2）若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－1213，求cos α的值．13．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)，A ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π在x ＝π12时取得最大值4．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若α∈(0，π2)，且f (α2－π4)＝125，求sin α的值．14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)°cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)°cos55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广三角恒等式，并证明你的结论．第五、六课时 解斜三角形教学目标：1. 掌握正弦定理，余弦定理的运用；2．掌握解三角形的一般思路与方法——化边或化角． 专题回顾1．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则角A 的度数是_____________． 2．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝__________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________．4．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围为______________．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝__________．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C＝________． 典型例题基本题型一：利用正、余弦定理求解三角形．例1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ．（1）求tan C 的值；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积．例2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，A ＝π6，(1＋3)c ＝2b ．（1）求C ；（2）若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c ．说明：根据已知条件解三角形的基本方法主要有两个：一是化边；二是化角．化边后，一般就是将问题转化为代数的计算问题，而且这种转化后的变形相对较为单一，故教学中常被作为首选方法，但由于这种转化后的变形往往需要一定的运算基础和运算能力，包括分解因式的能力，所以在一定程度上制约了学生解题的成功率，尤其是数学基础相对较弱的学生．化角后，运算虽相对较少，但却需要一定的三角变换能力．进行此类问题的解题教学时，应将两种方法都讲解到位，让学生在比较中去感受两种解法的差异，进而寻找到适合自己的解法．以此题为例，由于第（1）题求的是角C ，故只需求出角C 的某一三角函数值即可，结合此题的条件，若选择化角，则应将(1＋3)c ＝2b 转化为(1＋3)sin C ＝2sin B ，再根据A ＋B ＋C ＝π，以及A ＝π6，即可得到(1＋3)sin C ＝2sin(C ＋π6)，从而得到一个关于角C 的三角方程，展开化简后可求得tan C ＝1，再根据C ∈(0，π)，即可求得C ＝π4．若选择化边，即通过余弦定理先求出cos C ，再求角C ，那么就应利用A ＝π6，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc ，再结合(1＋3)c ＝2b ，可得到a＝22c ，代入cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 中求得cos C ＝22．讲解完此题之后，不妨再把江苏12年高考第15题让学生去想一想，做一做，边与角两条路都去走一走，试一试．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →．（1）求证：tan B ＝3tan A ；（2）若cos C ＝55，求A 的值．基本题型二：在三角形中研究取值范围的问题．例3．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若AB →·BC →＝－32，b ＝3，求a ＋c 的值；（2）求2sin A －sin C 的取值范围．基本题型三：和正、余弦定理有关的应用问题．例4渔船在方位角为30°，距离为10海里的C 以30海里/时的速度向小岛P 靠拢．我海军舰艇立即以303海里顺时针转到目标方向线的角） 课后检测AP一、填空题1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，则最大角的余弦值为____________． 2．若三角形的三个内角之比为1:2:3，则所对边长之比是____________．3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝________．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝_____．5．已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，则角C ＝_____．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，则角B ＝________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3，则S △ABC＝________．9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 的度数为 ． 10．下列命题中是真命题的有_______________．（填写真命题的序号）①若f (x )是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f (sin θ)＞f (cos θ)；②若锐角α，β满足cos α＞sin β，则α＋β＜π2；③在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的充要条件；④要得到函数y ＝cos(x 2－π4)的图象, 只需将y ＝sin x 2的图象向左平移π4个单位．二、解答题11．设函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)在x ＝π处取最小值．（1）求φ的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C ． （1）求cos A 的值；（2）若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab ．（1） 求ca的值；（2）若cos B ＝13，求tan C 的值．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ．（1）求证：B －C ＝π2；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积．参考答案：第一、二课时专题回顾：1．2；(k π2－π12，0)，k ∈Z ；x ＝k π2＋π6，k ∈Z ；[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z ；[－12，1]．2．2k π＋2π3，k ∈Z ． 3．y ＝cos2x ＋1． 4．32；－π2． 5．2π3． 6．[12，54]．典型例题：例1．（1）由题意可得f (x )＝2sin(2x ＋π4)，所以f (x )的最小正周期为π；单调增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z ；（2）函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2，最小值为－1． 例2．由题意可得f (x )＝A sin(2x ＋π6)．（1）A ＝6；（2）由题意可得g (x )＝6sin(4x ＋π3)，所以g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3，6]．例3．（1）由题意可得f (x )＝3sin2ωx ＋1，所以ω＝1；（2）因为f (x )在区间[－3π2，π2]上为增函数，且ω＞0，所以－π2≤－3ωπ＜ωπ≤π2．解得0＜ω≤16．所以ω的最大值为16．例4．图（a ）：连接OD ，设∠DOC ＝θ(0＜θ＜π2)，则OC ＝R cos θ，CD ＝R sin θ．所以S 矩形OCDE ＝OC ·CD ＝R cos θ·R sin θ＝12R 2sin2θ．所以当θ＝π4时，S 矩形OCDE 取最大值为12R 2． 图（b ）：过点O 作AB 的垂线，交QM 、PN 分别与点E ，F ，设∠POF ＝θ(0＜θ＜π3)，则PF ＝R sin θ，EF ＝OF －OE ＝R cos θ－R sin θtan60°＝R cos θ－R sin θ3．所以S 矩形MNPQ ＝2PF ·EF ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ3)＝R 23[2sin(2θ＋π6)－1]．所以当θ＝π6时，S 矩形MNPQ 取最大值为3R 23．因为12R 2＜3R 23，所以用图（b ）那种截法截出的矩形面积最大，最大面积为3R 23．课后检测：1．π；奇． 2．2；1． 3．[k π＋π4，k π＋3π4]，k ∈Z ． 4．充分不必要． 5．左；π8．6．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z ．7．π6． 8．23． 9．③． 10．13或133．11．（1）由题意可得f (x )＝2sin(53x －π6)＋λ，所以T ＝6π5；（2）将点(π4，0)代入f (x )的解析式中可得λ＝－2，所以函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．12．（1）ω＝1，函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z ；（2）3－12．13．（1）m ＝1±22；（2）点A 的坐标为(3π16，12)或(7π16，12)．14．（1）T ＝π；（2）g (x )＝⎩⎨⎧－12sin2x ，－π2＜x ≤0，12sin2x ，－π≤x ≤－π2．第三、四课时专题回顾：1．－35．2．－1．3．－33＋410． 4．π4． 5．3． 6．2425．典型例题：例1．（1）－17；（2）76．例2．（1）ω＝15；（2）－1385．例3．（1）f (x )＝2sin(2x －π6)＋1；（2）π3．例4．（1）ω＝π4，f (x )的值域为[－23，23]；（2）f (x 0)＝835．课后检测：1．7；247． 2．12． 3．5665． 4．－75． 5．－53． 6．34． 7．－33．8．－45． 9．－78．10．π6．11．（1）14；（2）3π4或π2． 12．（1）35；（2）6365． 13．（1）f (x )＝4sin(2x ＋π3)；（2）33＋410．14．（1）34；（2）sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34，证明略．第五、六课时专题回顾：1．2π3． 2．4． 3．12． 4．(2，3)． 5．4． 6．725．典型例题：例1．（1）5；（2）52． 例2．（1）π4；（2）a ＝2，b ＝1＋3，c ＝2． 例3．（1）23；（2）(－32，3)． 例4．设我海军舰艇经过t 小时在B 处与渔船相遇，则△ABC 中，AC ＝10， AB ＝303t ，BC ＝30t ，∠ACB ＝120°．根据余弦定理有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ．即2700t 2＝100＋900t 2＋300t ．解得t ＝13或t ＝－16（舍去）．AB ＝103，BC ＝10，∠CAB＝30°．所以舰艇沿方位角为60°的方向航行，20分钟可与渔船相遇．课后检测：1．－528． 2．1:3:2． 3．2． 4．145． 5．－24． 6．π6． 7．π3． 8．36＋9350．9．30°． 10．②③．11．（1）π2；（2）15°或105°． 12．（1）13；（2）32． 13．（1）2；（2）42．1 14．（1）略；（2）2．。
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五 解析几何 第1讲 精品
解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a＞－2， （a＋2）2＋（ 3）2＝r2，
半径为 r，得|2a4－＋45|＝r， 解得满足条件的一组解为ar＝＝2－，1， 所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4
T→A＋T→P＝T→Q，求实数 t 的取值范围.
解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝ 25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5， 由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且 （6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得 b＝1， ∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a， b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二 次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 B＝0， 是A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形，
∴OO1＝ 5＋20＝5，
S△OO1A＝12·A2B·OO1＝12·OA·AO1，
因此 AB＝2·OOAO·1 AO1＝2×
5×2 5
5＝4.
答案 (1)45π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与 过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于 半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方 程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外 点距离，利用勾股定理处理.
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
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4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sin A ＝ 2sin Bsin C ， 则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数， 解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)， 由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
解析答案
热点二 正弦定理、余弦定理
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第2讲 三角变换与解三角形
栏目索引
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高考真题体验
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64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34， 则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解 由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)， 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22， 因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，
(江苏专版)2018版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理
的最小正周期为________.
利用函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的周期公式求解 . 函数 y ＝ 2π π 3sin2x＋ 的最小正周期为 T＝ 2 ＝π. 4
答案 π
2.(2011· 江苏卷)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞ 0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.
π 3 4.(2017· 全国Ⅱ卷)函数 f (x)＝sin x＋ 3cos x－4x∈0， 2 的最大值是________.
2
π 3 解析 f (x)＝sin x＋ 3cos x－4x∈0， ， 2 3 2 f (x)＝1－cos x＋ 3cos x－4，令 cos x＝t 且 t∈[0，1]， 1 3 2 2 y＝－t ＋ 3t＋4＝－t－ ＋1， 2 3 则当 t＝ 时，f (x)取最大值 1. 2
第1讲
三角函数的图象与性质
高考定位
高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关
知识大部分是 B 级要求，只有函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象
与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答 题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.
真题感悟
1.(2013· 江苏卷)函数
解析
π y＝3sin2x＋ 4
3.三角函数的两种常见变换 向左（φ＞0）或向右（φ＜0） (1)y＝sin x―--------------------------―→ 平移|φ|个单位
y＝sin(x＋φ)
纵坐标变为原来的A倍 y＝sin(ωx＋φ)―--------------------------―→ 横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0).
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习课件：专题一 三角 第1课时 三角函数(基础课)
[题组练透] 1．(2017·盐城期中)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
则此三角形的最大内角的大小为________． 解析：由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7 知，a∶b∶ c＝3∶5∶7，可设 a＝3k，b＝5k，c＝7k，且角 C 是最大内角， 由余弦定理知 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝9k22＋×235kk×2－54k9k2＝－12，因为 0°<C<180°，所以 C＝120°. 答案：120°
1－sin2θ＋π4＝45.
tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－csionsπ2π2－－θθ＋＋π4π4
＝－csionsθθ＋＋π4π4＝－45×53＝－43.
答案：－43
4．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝13，则 sin A＝________.
解析：∵sin(C－A)＝1，
∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A，∵sin B＝13，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝13，
即 1－2sin2A＝13，∴sin A＝ 33.
答案：
3 3
[方法归纳]
三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
3.(2017·天津高考改编)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中
ω＞0，|φ|＜π.若 f58π＝2，f118π＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则 ω＝________，φ＝________.
解析：∵f58π＝2，f118π＝0，∴118π－58π＝T4(2m＋1)，m∈N， ∴T＝2m3＋π 1，m∈N，∵f(x)的最小正周期大于 2π，∴T＝3π，
2018届高考数学文新课标二轮专题复习课件：2-7 三角函数 精品
热点调研
调研一 三角函数求值
命题方向： 1．恒等变换求值；2.二倍角公式求值； 3．变角求值；4.齐次式求值；5.求角．
[恒等变换求值] π
(1)(2016·河北省三市二次联考)若 2sin(θ＋ 3 )＝3sin(π－θ)，
则 tanθ等于( )
A．－
3 3
23 C. 3
3 B. 2 D．2 3
(2)解给值求角问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角．
(3)①三角函数式的化简与求值的原则：化为同名同角，常用 的技巧有：切割化弦、降幂、异角化同角、高次化低次．
②三角函数恒等变形的基本策略： a．常值代换．特别是用“1”的代换，如 1＝cos2x＋sin2x 等． b．项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－ α－2 β等．
【解析】 ∵α，β∈(0，π2 )，∴－π4 <α－β2<π2 ，－π2 <α2－
β<π4 ，由 cos(α－β2)＝ 23和 sin(α2－β)＝－12，得 α－β2＝±π6 ，α2－β
π ＝－ 6 .
当
α－β2＝－π6 ，α2－β＝－π6 时，α＋β＝0，与
π α，β∈(0，2 )
矛盾；当 α－β2＝π6 ，α2－β＝－π6 时，α＝β＝π3 ，此时 cos(α＋β)
[求角]
已知
－
β) ＝
13 14
，
且
π 0<β<α< 2 ，则
β＝
________．
【解析】 由 cosα＝71，0<α<π2 ，得 sinα＝ 1－cos2α＝