线性回归的基本模型
线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
线性回归模型的经典假定及检验修正
线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。
为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
假设1：回归模型是正确设定的。
模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。
假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。
假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。
对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。
假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。
该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。
§2.1线性回归模型概述解析
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总体分布
200
150
Y
100 50 50
100
150 X
200
250
300
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总体回归曲线 （Popular Regression Curve）
条件分布：以X取定值为条件的Y的条件分布 条件概率：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。 例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7。 条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y的 期望值，记为E(Y|X)。 例如，E(Y|X=80)=55×1/5＋60×1/5＋65×1/5＋ 70×1/5＋75×1/5＝65 （总体回归曲线的几何意义）：当解释变量给定值时 因变量的条件期望值的轨迹。
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§2.1 线性回归模型概述
一、 线性回归模型的特征 二、 线性回归的普遍性 三、 线性回归模型的基本假设
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单方程回归模型概述
单方程回归模型分为；线性和非线性 线性模型（按变量划分）；变量以1次的形式出现 线性模型（按参数划分）；参数以1次的形式出现 线性回归模型是线性模型的一种，参数以1次形式出现， 通常可以通过一些变换，将非1次的变量化为1次。 线性回归模型的数学基础；回归分析，企图通过回归 模型的形式揭示变量之间的因果关系 线性回归模型是是一类最为普遍的计量经济模型
展开泰勒级数，得到一个线性近似公式
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三、线性回归模型的基本假定
线性回归模型的建模与分析方法
线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。
一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。
其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。
3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。
4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。
5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。
6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。
三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。
2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。
若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。
3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。
4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。
5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。
线性回归模型的基本假设与原理
线性回归模型的基本假设与原理线性回归是一种广泛应用于数据分析和预测的统计模型。
它基于一系列基本假设，通过拟合数据点之间的线性关系来预测或解释连续型变量之间的关联。
本文将介绍线性回归模型的基本假设和原理，并探讨其适用范围和应用。
一、线性回归模型的基本假设1. 线性关系假设：线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系。
这意味着因变量的期望值在自变量的各个水平上是一个线性函数。
2. 多元正态分布假设：线性回归模型假设观测误差项（残差）服从多元正态分布。
这意味着在每个自变量的取值上，因变量的观测值会在一个正态分布的范围内变动。
3. 独立性假设：线性回归模型假设观测误差项与自变量之间是独立的。
这意味着自变量的取值不会对误差项产生影响。
4. 同方差性假设：线性回归模型假设观测误差项在自变量的各个取值范围内具有相同的方差。
也就是说，误差项的方差不会因自变量的取值而发生变化。
二、线性回归模型的原理线性回归模型基于最小二乘法来估计回归系数。
其原理是通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和，来确定自变量对因变量的影响程度。
设自变量为X，因变量为Y，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y是因变量，X1到Xn是自变量，β0到βn是回归系数，ε是观测误差项。
线性回归模型的目标是找到最优的回归系数，使得观测值与模型估计值之间的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到回归系数的估计值。
三、线性回归模型的应用线性回归模型被广泛应用于实际问题的预测和解释。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：线性回归模型可以用来解释经济现象，如消费者支出和收入之间的关系，利率和投资之间的关系等。
2. 市场营销：线性回归模型可以用来预测产品销售量与广告投入、价格和竞争对手数量等因素之间的关系。
3. 医学研究：线性回归模型可以用来分析临床试验数据，研究疾病风险因素和治疗方法的有效性。
lasso回归模型公式
lasso回归模型公式Lasso回归模型是一种常用的线性回归模型，它在解决多重共线性问题上表现出色。
Lasso回归通过对参数进行约束，使得模型更加简洁，具有较好的解释性和预测性能。
我们来了解一下线性回归模型。
线性回归是一种广泛应用于预测和建模的方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是自变量的系数，ε是误差项。
线性回归模型的目标是找到最优的系数β，使得模型拟合数据最好。
然而，在实际应用中，往往存在多重共线性问题。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，这会导致线性回归模型的参数估计不准确，模型的解释性下降。
为了解决这一问题，Lasso回归模型被提出。
Lasso回归模型通过对系数进行约束，将某些系数压缩到零，从而实现模型的稀疏化。
Lasso回归模型的优化目标是：min (1/2n) * Σ(y i - (β0 + β1xi1 + β2xi2 + ... + βnxi))² + λ * Σ|βi|其中，yi是观测值，xi是自变量，βi是系数，λ是正则化参数。
Lasso回归模型的关键之处在于正则化参数λ的选择。
正则化参数控制着模型的稀疏度，λ越大，模型的稀疏性越强。
通过调整λ的取值，可以在模型的解释性和预测性能之间进行权衡，找到最合适的模型。
与传统的线性回归模型相比，Lasso回归模型具有以下优点：1. 可以处理高维数据集。
Lasso回归模型能够对大量自变量进行筛选，选择出对因变量有重要影响的自变量。
2. 提高模型的解释性。
Lasso回归模型将某些系数压缩到零，得到稀疏的模型，更容易解释和理解。
3. 降低模型的复杂度。
Lasso回归模型通过正则化参数控制模型的复杂度，避免了过拟合的问题。
然而，Lasso回归模型也存在一些限制：1. 当自变量之间存在高度相关性时，Lasso回归模型只会选择其中一个自变量，而忽略其他相关的自变量。
简单线性回归模型
简单线性回归模型线性回归是统计学中一个常见的分析方法，用于建立自变量与因变量之间的关系模型。
简单线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过最小二乘法对该关系进行拟合。
本文将介绍简单线性回归模型及其应用。
一、模型基本形式简单线性回归模型的基本形式为：y = β0 + β1x + ε其中，y为因变量，x为自变量，β0和β1为常数项、斜率，ε为误差项。
二、模型假设在使用简单线性回归模型之前，我们需要满足以下假设：1. 线性关系假设：自变量x与因变量y之间存在线性关系。
2. 独立性假设：误差项ε与自变量x之间相互独立。
3. 同方差性假设：误差项ε具有恒定的方差。
4. 正态性假设：误差项ε符合正态分布。
三、模型参数估计为了估计模型中的参数β0和β1，我们使用最小二乘法进行求解。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值与模型预测值之间的平方差。
四、模型拟合度评估在使用简单线性回归模型进行拟合后，我们需要评估模型的拟合度。
常用的评估指标包括：1. R方值：衡量自变量对因变量变异的解释程度，取值范围在0到1之间。
R方值越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好。
2. 残差分析：通过观察残差分布图、残差的均值和方差等指标，来判断模型是否满足假设条件。
五、模型应用简单线性回归模型广泛应用于各个领域中，例如经济学、金融学、社会科学等。
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，可以预测和解释因变量的变化。
六、模型局限性简单线性回归模型也存在一些局限性，例如：1. 假设限制：模型对数据的假设比较严格，需要满足线性关系、独立性、同方差性和正态性等假设条件。
2. 数据限制：模型对数据的需求比较高，需要保证数据质量和样本的代表性。
3. 线性拟合局限：模型只能拟合线性关系，无法处理非线性关系的数据。
简单线性回归模型是一种简单且常用的统计方法，可以用于探索变量之间的关系，并进行预测和解释。
然而，在使用模型时需要注意其假设条件，并进行适当的拟合度评估。
线性模型知识点总结
线性模型知识点总结一、线性模型概述线性模型是统计学中一类简单而又常用的模型。
在线性模型中，因变量和自变量之间的关系被描述为一个线性方程式。
线性模型被广泛应用于各种领域，如经济学、医学、社会科学等。
线性模型的简单和普适性使得它成为数据分析中的一种重要工具。
线性模型可以用来建立预测模型、对变量之间的关系进行建模和推断、进行变量选择和模型比较等。
在实际应用中，线性模型有多种形式，包括简单线性回归、多元线性回归、广义线性模型、岭回归、逻辑回归等。
这些模型在不同的情况下可以更好地满足数据的特点和要求。
二、线性回归模型1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的线性模型之一，它描述了一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
简单线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1分别是截距项和斜率项，ε是误差项。
简单线性回归模型基于最小二乘法估计参数，从而得到最优拟合直线，使得观测值和拟合值的离差平方和最小。
简单线性回归模型可以用来分析一个自变量对因变量的影响，比如身高和体重的关系、学习时间和考试成绩的关系等。
2. 多元线性回归多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展而来的模型，它能够同时描述多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，X1、X2、...、Xp是p个自变量，β0、β1、β2、...、βp分别是截距项和各自变量的系数，ε是误差项。
多元线性回归模型通过估计各系数的值，可以得到各自变量对因变量的影响情况，以及各自变量之间的相关关系。
3. 岭回归岭回归是一种用来处理多重共线性问题的线性回归方法。
在多元线性回归中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致参数估计不准确，岭回归通过对参数加上一个惩罚项来避免过拟合，从而提高模型的稳定性和泛化能力。
岭回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε - λ∑(β^2)其中，λ是岭参数，用来平衡参数估计和惩罚项之间的关系。
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换元令lgy=Y lga=A lgb=B
得：
Y=A+Bx，化成直线方程的形式，求出A、B的参数值，再分别 求反对数，就可求出a、b的参数值，
指数曲线因a、b的取值不同而表现出不同的变化形式：
x
x
x
x
y y
y
y
ŷ=a+blnx,令x’=lnx，把方程变成直线方程的形式，求出a、b 的参数值。
对数函数的特点是随着x的增大，x的单位变动对Y的影响效果 递减。
ŷ =1/a+be-x
y
换元令y’=1/y, x’=e-x
得y’=a+bx’化成直线方程的形式
p
可求出a、b的参考值。该方程的
特点是某变量刚开始时，随着X
x
的增加，y的增长速度逐渐增加， I
II III IV
当y达到一定水平时，其增长速度又放慢，最后超近于 一条渐近
线。该方程经常用来描述某消费品的生命周期的变化，可将其 分为四个阶段，即缓慢增长→快速增长→增速放慢→相对饱和 p为一拐点。
相关系数： R=Lxy/ LxxLyy
Lxy= ∑xy- (∑x ∑y)/n Lxx= ∑x2-(∑x)2/n Lyy= ∑y2- (∑y)2/n
●线性回归模型预测
当计算回归模型由大样本计算时（n>30)，其 预测区间的误差分布服从正态分布，则预测区间为：
ŷ0=(a+bx0) ±(Z2/2)×Sy
●抛物线方程
抛物线方程： ŷ=a+bx+cx2
根据最小二乘法原理，求该方程待定a、b、c参数的方程组如下：
∑y=na+b ∑x+c ∑x2
y
∑xy=a ∑x+b ∑x2+c ∑x3
∑x2y=a ∑x2+b ∑x3+C ∑x4
x
判定某变量趋势是否符合抛物线议程时，可利用差分法：
1、当X以一个常数变化时，Y的一阶差分即△Y=Yt-Yt-1的绝对值也 接近一个常数时，该变量的变化可用直线方程来拟合。
当计算回归模型由小样本计算时（n<30),其 预测区间的误差分布服从七分布，则预测区间为：
ŷ0 =（a+ bx0) ±(Ta/2) × Sy ×1+1/n+[(X0-X)2/ ∑(X-X)2]
❖ 例：
❖ 解：
b＝［338.4－1/6(23)(86.5)]/[95-1/6(23)2]=0.998 a＝86.5/6－0.998×(23/6)=10.59 待线性回归方程： ŷ＝10.59+0.998x 即建筑面程每增加一万m2，建造成本要平均增加0.998万元
2、回归方程与实际现象的变量值应要有较高的拟合程度，能 较好地反映经济实际运行趋势
3、在对方程的模型一时无法判断时，可先画散点图，观察现 象实际值的变动趋势，来选择相应的拟合回归模型。或者 多选择几个回归模型，加以拟合，分别计算估计标准误差， 选择估计标准误差最小的那个回归模型
4、回归模型的数学形式要尽可能简单，一般说来，数字型式 越简单，则基回归模型的可操作性越强。过于复杂的回归 模型的数学形式在实际经济分析和经济预测中，其实际应 用价值不大
得： a= ∑y/n-b (∑y/n)
b= [∑xy- (∑x) (∑y) /n]/ ∑x2-(∑x)2=Lxy/Lxx 回归系数b说明当x变动一个单位时，y平均变动一个b的值
❖ 回归误差估计和相关系数
估计标准误差： Sy= ∑(y- ŷ)2/(n-2) =
(∑y2-a ∑y-b ∑xy)/n-2
Sy= ∑(y- ŷ)2/(n-2)= 0.0181924/(6-2)=0.2133
r=Lxy/ LxxLyy = (∑xy- ∑x ∑y/n)/ [∑x2-(∑x)2/n][∑y2-(∑y)2/n] =0.973 预测：假设x0=4.5时，y0=10.59+0.998×4.5=15.081(万元），当
b1 b2 B= …
bn
按矩阵计算原理： Y=XB→X’Y’=X’XB →(X’X)-1×X’Y=(X’X)-1(X’X)B →B=(X’X)-1X’Y
一、线性回归模型
❖ 最小二方程原理和参数估计
Ŷ=a+bx
y
Q=∑(y- ŷ) →最小
=∑(y-a-bx)2 →最小
ŷ
对a和b求一阶微分
bx)=0
2Q/2A=2 ∑(y-a-bx)(-a)=0 2Q/2B= 2 ∑(y-a-bx)(-
x
得: ∑y-na-b ∑x=0 → ∑y=na+b∑x=0 ∑xy-a∑x-b∑x2=0 ∑xy=a∑x+b∑x2=0
得：a=-5.0657 b=1.0072 c=-1.0698
二元回归方程： ŷ=-5.0657+1.0072x1-1.0698x2
二元回归方程的矩阵形式表现为：Y=XB 其中： Nhomakorabeay1
y2
Y=
…
1 x21 … … xk1 1 x22 … … xk2 X= … … … … …
yn
1 x2n … … xkn
2、当X从一个常数变化时，Y的二阶差分即△Y2t= △Yt- △Yt-1的绝 对值接近一个常数时，该变量的变化可用抛物线方程来拟合。
●指数曲线方程
❖ 该于方一程个常常用数于时拟，合就某可变用量指值数的曲环线比方，程即来Y拟t/Y合t-。1的绝对值近似
ŷ=abx
对方程两边求对数：
lgy=lga+lgb×x
∑x1y= a∑x1 +b∑x12 +c∑ x1 x2 ∑x2y= a∑x2 +b∑ x1 x2 +c∑x22
例：根据下表计算二元回归方程
将上述有关数字代入二元回归的方程组：
986=7a+3622b+2472c 501415=3622a+1877174b+1281444c 341923=2472a+1281444b875116c
三、多元回归模型
❖ 模型与参数估计
ŷ =a+bx1+cx2+dx3+…….. 多元回归就是分析在多个自变量（x)与因变量（y)相互关系的基
础上，确定一个多元回归模型，然后根据各个自变量的变动来 估计或预测因变量的变动程度。 根据最小二乘法原理，以二元回归方程为例，说明求其参数的方 法： ŷ=a+ bx1+cx2 ∑y=na+b∑x1+c∑x2
n=6<30时，查七分布表ta/2(n-2)=t(0.025)(4)2.78 ta/2(n-2) ×Sy × 1+1/n+(x0-x)2/ ∑ (x-x)2=0.6579
二、非线性回归模型—曲线回归模型
在对客观现象选择回归模型时，应注意：
1、回归方程的形式应与经济学的基本理论相一致，应该在定 性分析和定量分析的基础上选择适当的回归模型