2020高考数学一轮复习 第3节 等比数列我来演练.doc

【三维设计】高考数学一轮复习 第3节 等比数列我来
演练
一、选择题 1.2＋1与2－1两数的等比中项是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1 D.12
解析：设等比中项为x ，
则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x ＝±1.
答案：C
2．(2011·辽宁高考)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 解析：由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1，
两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋1
16
n ＝16，∴q 2＝16， ∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比为正数，∴q ＝4.
答案：B
3．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N ＋)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：显然，n ∈N ＋，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，
举反例，如数列为1,0,0,0，…
答案：A
4．(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )
A ．80
B ．30
C ．26
D ．16
解析：设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，
由等比数列的性质知：
2(14－a )＝(a －2)2
，
解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，
同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，
所以b ＝S 4n ＝30.
答案：B
5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 6＝( )
A ．63
B ．64
C ．31
D ．32 解析：令等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2，
又a 1＝1,4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则4q ＝4＋q 2，得q ＝2.
∴S 6＝1－261－2
＝26－1＝63. 答案：A
二、填空题
6．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.
解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 6b 8＝16.
答案：16
7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝－8，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝127，则n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，
则|a n |＝2
n －1，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1.所以2n －1＝127，n ＝7.
答案：7
三、解答题
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N ＋有a n ＋S n ＝n .设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列．
证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12
. 又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .
∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12
为公比的等比数列． 9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.
解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2
n －2(2－1)＝2n －2. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝1，2n －2 n ≥2.
(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4
n 1－4＝24n －13
. ∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n
－13＝22n ＋1＋13. 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.
当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.
两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．
又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0， 所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3
n －1(n ∈N ＋)． (2)因为S n ＝a 11－3n
1－3
＝12a 1·3n －12a 1， b n ＝1－S n ＝1＋1
2a 1－12a 1·3n .
要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12
a 1＝0，即a 1＝－2. 所以存在a 1＝－2，使数列{
b n }为等比数列．。