北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)

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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版).doc

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北航数理统计答案

北航数理统计答案

北航数理统计答案【篇一:北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6分,a班不做)设x1,x2,…,xn是来自正态总体n(?,?2)的样本,令t?x?x),试证明t服从t-分布t(2)二、(6分,b班不做)统计量f-f(n,m)分布,证明1f的?(0?1)的分位点x?是1f1??(n,m)。

三、(8分)设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1,是位置参数。

x1,x2,…,xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。

四、(12分)设总体x的密度函数为?1?x???exp???,x???p(x;?)??????,??0,其它其中???????,?已知,??0,?是未知参数。

x1,x2,…,xn是来自总?体x的简单样本。

(1)试求参数?的一致最小方差无偏估计?;(2)?是否为?的有效估计?证明你的结论。

五、(6分,a班不做)设x1,x2,…,xn是来自正态总体n(?简单样本,y1,y2,…,yn是来自正态总体n(?两样本相互独立,其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本,且21,?1,?2,?222是未知参数,???22。

为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z1,z2,…,zn,在显著性水平?下,试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、(6分,b班不做)设x1,x2,…,xn是来自正态总体n(?简单样本,?0已知,?2未知,试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。

七、(6分)根据大作业情况,试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面?八、(6分)设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa),并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。

北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)Word版

北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)Word版

2014-2015 学年 第一学期期末试卷答案学号 姓名 成绩 考试日期: 2015年1月13日考试科目:《应用数理统计》(B 层)一、填空题(本题共16分,每小题4分)1.设122,,n x x x ,是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本,则c =n mm- 时,统计量2221122211()()mkk k nk k k m xx cx x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。

2. 设12,,n x x x ,是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本,用22211ˆ()ni i nx x n σ===∑估计2σ,则均方误差2222ˆ()E σσσ- 42σ 。

3.设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩,其中0θ>,12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本,则2()q θθ=的矩估计ˆq = 294x 或212n i i x n =∑ 。

4.在双因素方差分析中,总离差平方和T S 的分解式为T A B A B e S S S S S ⨯=+++其中2111()p q re ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑,11rij ijk k x x r ⋅==∑,则e S 的自由度是 (1)pq r - 或n pq -,其中n pqr = 。

二、(本题12分)设总体X 的密度函数为111,(0,1)(;)0,(0,1)x x f x x θθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩,其中0θ>,12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。

(1)求θ的极大似然估计ˆθ;(2)求θ的一致最小方差无偏估计;(3)问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计?证明你的结论。

解(1)似然函数为(1)()11{01}1211()()(,,,)n ni x x n ni L x I x x x θθθ-<≤<==∏对数似然函数为(1)(){01}1211ln ()ln (1)ln ln (,,,)n ni x x n i L n x I x x x θθθ<≤<==-+-+∑求导,有21ln ()1ln nii L n x θθθθ=∂=--∂∑令ln ()0L θθ∂=∂,可得θ的极大似然估计为11ˆln n i i x n θ==-∑。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,扫描版,解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,扫描版,解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分。

三、解答题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题。

每小题5分.共40分)
二.填空题(共6小题。

每小题5分。

共30分)
三、解答题(共6小题,共80分)
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北航研究生数理统计试题

北航研究生数理统计试题

一、(6分,A 班不做)设x 1,x 2,…,x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,令)x x T -=,试证明T 服从t -分布t (2)二、(6分,B 班不做)统计量F-F(n,m)分布,证明111(,)F F n m αααα-的(0<<1)的分位点x 是。

三、(8分)设总体X 的密度函数为(1),01(;) 0 , x x p x ααα⎧+<<=⎨⎩其他其中1α>-,是位置参数。

x 1,x 2,…,x n 是来自总体X 的简单样本,试求参数α的矩估计和极大似然估计。

四、(12分)设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩,其它,其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知,是未知参数。

x 1,x 2,…,x n 是来自总体X 的简单样本。

(1)试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧; (2)σ∧是否为σ的有效估计?证明你的结论。

五、(6分,A 班不做)设x 1,x 2,…,x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本,y 1,y 2,…,y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本,且两样本相互独立,其中221122,,,μσμσ是未知参数,2212σσ≠。

为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z 1,z 2,…,z n ,在显著性水平α下,试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、(6分,B 班不做)设x 1,x 2,…,x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本,0μ已知,2σ未知,试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。

北航数理统计期末考试题

北航数理统计期末考试题

材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分,A 班不做)设x1,x2,⋯,x n是来自正态总体N( , 2) 的样本,令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ,试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分, B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布,证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。

F F1 (n,m) 。

三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1,是位置参数。

x1,x2,⋯,x n是来自总体X 的简单样本,试求参数的矩估计和极大似然估计。

四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ,xp(x; )0 , 其它其中, 已知,0, 是未知参数。

x1,x2,⋯,x n 是来自总体X 的简单样本。

1)试求参数的一致最小方差无偏估计;2) 是否为的有效估计?证明你的结论。

五、(6分,A 班不做)设x1,x2,⋯,x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本,y1,y2,⋯,y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本,且两样本相互独立,其中1, 12, 2, 22是未知参数,1222。

为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z1,z2,⋯,z n,在显著性水平下,试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、(6 分,B 班不做)设x1,x2,⋯,x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本,0 已知,2未知,试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。

七、(6 分)根据大作业情况,试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面?八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ,并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。

北京大学2014年高等代数与解析几何试题及解答

北京大学2014年高等代数与解析几何试题及解答

都乘以 −1 得到. 又 2014 = 2 × 19 × 53, 因此将 2014 表示为两个正整数的乘积只有 8 种不同的表示方法.
由抽屉原理知,

g(k)

8
个可能取值中至少有一个出现的次数大于等于
2013 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
>
251,
设这个数为
l,

有 (x − a1)(x − a2) . . . (x − a252) | g(x) − l, 其中 a1, a2, . . . , a252 为 {1, 2, . . . , 2013} 中互不相同的数. 因为
(1) 若线性变换 A 是正的,则 A 可逆;
(2) 若线性变换 B 是正的, A − B 是正的,则 B−1 − A−1 是正的;
(3) 对于正的线性变换 A, 总存在正的线性变换 B , 使得 A = B2.
7.
求单叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
=
1
的相互垂直的直母线的交点的轨迹.

4. (1) 线性变换的最小多项式整除它的零化多项式, 故 xn−1 不是 A 的零化多项式, 从而 An−1 ̸= O =⇒ ∃α ∈ V, 使得 An−1α ̸= 0. 此时将有 α, Aα, . . ., An−1α 线性无关, 结合 V 的维数为 n, 故得到 V 的一 组基.
(2) 设 AB = BA, Bα = k0α + k1Aα + · · · + kn−1An−1α. 令 f (x) = k0 + k1x + · · · + kn−1xn−1, 则

2014年考研数二真题及解析

2014年考研数二真题及解析

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2014-2015 学年 第一学期期末试卷答案
学号 姓名 成绩 考试日期: 2015年1月13日
考试科目:《应用数理统计》(B 层)
一、填空题(本题共16分,每小题4分)
1.设122,,n x x x ,是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本,则c =
n m
m
- 时,统计量2
22112
2211
()()m
k
k k n k
k k m x
x c
x
x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。

2. 设12,,n x x x ,是来自正态总体2
(0,)N σ的简单样本,用2
2
21
1ˆ()n
i i nx x n σ
===∑估计2σ,则均方误差2222ˆ()E σσ
σ- 42σ 。

3.设总体X 的密度函数为22
,[0,]
(;)0,
[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩,其中0θ>,12,,,n x x x 是
来自总体X 简单样本,则2()q θθ=的矩估计ˆq
= 2
94
x 或2
1
2n i i x n =∑ 。

4.在双因素方差分析中,总离差平方和T S 的分解式为
T A B A B e S S S S S ⨯=+++
其中2
111
()p
q
r
e ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑,11r
ij ijk k x x r ⋅==∑,
则e S 的自由度是 (1)p q r - 或n pq -,其中n pqr = 。

二、(本题12分)设总体X 的密度函数为111,(0,1)
(;)0,(0,1)x x f x x θ
θθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩
,其中0θ>,
12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。

(1)求θ的极大似然估计ˆθ;(2)求θ的一致最小方差无偏估计;(3)问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计?证
明你的结论。

解(1)似然函数为
(1)()1
1
{01}121
1
()()
(,,,)n n
i x x n n
i L x I x x x θ
θθ-<≤<==

对数似然函数为
(1)(){01}121
1
ln ()ln (1)ln ln (,,,)n n
i x x n i L n x I x x x θθθ
<≤<==-+-+∑
求导,有
2
1
ln ()1
ln n
i
i L n x θθθθ
=∂=--∂∑
令ln ()0L θθ∂=∂,可得θ的极大似然估计为1
1ˆln n
i i x n θ==-∑。

(2)因为
(1)()1
1
12{01}121
1
(,,,;)()
(,,,)n n
n i x x n n
i f x x x x I x x x θ
θθ-<≤<==

(1)(){01}121
1
1
(,,,)exp{(1)ln }n n
x x n i n
i I x x x x θθ
<≤<==-∑
令1
()n
c θθ
=
,(1)(){01}12()(,,,)n x x n h x I x x x <≤<= ,1
()1w θθ
=
-,1
ln n
i i T x ==∑,由于()
w θ的值域(0,)+∞有内点,由定理2.2.4知1
ln n
i i T x ==∑是完全充分统计量。


1
1
1
1
(ln )(ln )i E x x x dx θθθ
-=
=-⎰
所以
1
1
(ln )(ln )n
n
i i i i E x E x n θ====-∑∑
因而11ˆln n i i x n θ==-∑既是完全充分统计量1
ln n i i T x ==∑的函数,又是θ的无偏估计,由定理2.2.5知11ˆln n
i
i x n θ==-∑是θ一致最小方差无偏估计。

(3)由于1
1ˆ()(ln )Var Var x n
θ=,而 22
111(ln )(ln )((ln ))Var x E x E x =-11
1
2
220
1
(ln )x x dx θθθθ
-=
-=⎰
所以21ˆ()Var n
θ
θ=。

又因为当(0,1)x ∈时,
2223
ln (;)12
ln f x x θθθθ∂=+∂,所以 222
ln (;)1()()f x I E θθθθ
∂=-=∂ 从而22()ˆ()()
Var n nI θθθθ'==
,即信息不等式等号成立,故11ˆln n
i i x n θ==-∑是θ的有效估计。

三、(本题12分)设n x x x ,,,21 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本,
其中2
0σ是已知常数,μ是未知参数。

考虑假设检验问题
0010::H H μμμμ=<
(1)求显著性水平α(01)α<<下的似然比检验;(2)求犯第二类错误的概率。

解:(1)当0μμ≤时,μ的极大似然估计为0ˆmin{,}x μ
μ=似然比统计量为 01212120sup{(,,,;)}(,,,)(,,,;)n n n p x x x x x x p x x x μμ
μλμ≤=
0201,1exp{},2x x x μμ>⎧

⎪≤=⎨⎪
⎪⎩
令x U =
,则
0122
01,(,,,)1exp{},2
n x x x x U x μλμ>⎧⎪
=⎨≤⎪⎩ 即
122
1,0(,,,)1exp{},02
n U x x x U U λ>⎧⎪
=⎨≤⎪⎩ 由于12(,,,)n x x x λ 的最小值是1,所以当0H 成立()x λ远离1时拒绝0H ,即()x c λ≥拒绝0H ,只有在0U <时才能获得,因而有
001{()}{}P x c P U c μμλα≥=≤=
又由于0H 成立时,U 服从(0,1)N ,因此11c u u αα-==-。

故似然比检验的统计量可取为
x U =
,拒绝域为121{(,,,):}n x W x x x U u α-=
≤- 。

(2)二类错误的概率为
11{}x P U z P u μαμα-->-=>-
11(u αΦ-=---
,0μμ<
四、(本题10分)考虑某四因子二水平试验,除考察因子D C B A ,,,外,还需考察交互作用B A ⨯,A C ⨯。

今选用表)2(78L ,表头设计及试验数据如表所示,所考虑指标是越小越好。

试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

五、(本题10分)随机向量),,(321x x x 的相关系数矩阵
1
1
1R ρρρ
ρρρ
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝

(1)根据主成分75%的选取标准,若只选取一个主成分,求ρ满足的条件。

解:(1)求特征根
21||1(1)(12)1
I R λρρ
λρλρλρλρρρλ----=---=-+-----
令||0I R λ-=,可得112λρ=+,21λρ=-,11λρ=-。

若只选取一个主成分,只要1123120.83
λρλλλ+=≥++,即0.7ρ≥。

(2)求解齐次线性方程组
1232202u u u ρρρρρρρρ
ρ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
可获得对应于特征值112λρ=+
的单位特征向量为α'=,则第一主
成分为1123y x x x =+。

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