小题练透：第6讲函数的性质
函数的性质与应用综合练习题
函数的性质与应用综合练习题1. 利用函数的性质解决问题在数学中，函数的性质是我们解决问题的有力工具。
考虑以下综合练习题，通过运用函数性质，我们能更有效地解决问题。
问题一：某物体自由落体的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系可以用函数h(t) = 5t^2表示。
求物体从自由落体开始下落3秒后的高度。
解答：根据给定的函数h(t) = 5t^2，我们可以计算出物体下落3秒后的高度。
将t = 3代入函数中，得到h(3) = 5(3^2) = 45。
因此，物体从自由落体开始下落3秒后的高度为45米。
问题二：某公司产品销售量与广告投入之间的关系可以用函数S(x) = 50x + 1000表示，其中x表示广告投入金额（万元），S(x)表示销售量（件）。
如果该公司希望销售量达到5000件，需要投入多少万元的广告费用？解答：根据给定的函数S(x) = 50x + 1000，我们可以计算出需要投入多少万元的广告费用才能使销售量达到5000件。
将S(x) = 5000代入函数中，得到5000 = 50x + 1000。
解这个方程，得到x = (5000 - 1000) / 50 = 80。
因此，该公司需要投入80万元的广告费用才能使销售量达到5000件。
2. 利用函数的应用解决实际问题函数的应用不仅存在于数学领域，还可以帮助我们解决实际问题。
考虑以下综合练习题，通过运用函数的应用，我们能更好地解决实际问题。
问题三：某商品的单价与销售量之间的关系可以用函数P(x) = 100 - 0.01x表示，其中x表示销售量（件），P(x)表示单价（元）。
某商家希望获得最大的销售利润，请问应该销售多少件商品？解答：根据给定的函数P(x) = 100 - 0.01x，我们可以找到使销售利润最大化的销售量。
销售利润可以通过销售量和单价之间的乘积来计算，记为L(x) = x * P(x)。
我们需要找到使L(x)取得最大值的x。
对函数L(x)进行求导，得到L'(x) = P(x) + x * P'(x)。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
小题考法(一)函数图象与性质课件
数 x 成立，
所以 ax2＋1－4x2＝1 即 ax2＝4x2 对任意实数 x 成立，从而可知 a＝4.
法二：因为函数 f(x)＝ln( ax2＋1＋2x)是定义在 R 上的奇函数，
所以 f(1)＋f(－1)＝ln( a＋1＋2)＋ln( a＋1－2)＝ln(a－3)＝0，解得 a＝4， 经验证当 a＝4 时函数 f(x)是奇函数． (2)因为 f(x)是定义在 R 上的以 5 为周期的偶函数， 所以 f(2 021)＝f(5×404＋1)＝f(1)＝f(－1)． 因为 f(2 021)＝23a－－a4，f(－1)＞－6，所以23a－－a4＞－6，整理得112aa－－241＞0， 解得 a＜2111或 a＞2，所以实数 a 的取值范围是－∞，2111∪(2，＋∞)． [答案] (1)D (2)C
偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性． 考性质
(3)周期性：若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝ f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数
续表
七组运 算公式
三种基 本初等
函数
(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn； (3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)logaMN ＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝llooggbbNa . (a，b>0 且 a，b≠1，M>0，N>0)
(1)指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0， 且 a≠1)的图象和性质，分 0<a<1，a>1 两种情况，当 a>1 时，两函数在定义域内都为增函数；当 0<a<1 时，两函数 在定义域内都为减函数． (2)幂函数 y＝xα，α∈－1，12，1，2，3的图象和性质与 α 的具体数值有关
函数的基本性质知识点及习题(附答案)
函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数的性质练习题
函数的性质练习题函数的性质练习题函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。
函数的性质是我们研究函数的重要内容之一，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数的性质。
下面，我们来进行一些函数性质的练习题。
1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数所接受的自变量的取值范围，值域是指函数所能取得的因变量的取值范围。
考虑函数f(x) = √(4 - x^2)，求出它的定义域和值域。
解答：由于√(4 - x^2)中的被开方数不能为负数，所以4 - x^2 ≥ 0。
解这个不等式，我们可以得到-2 ≤ x ≤ 2。
因此，函数的定义域为[-2, 2]。
又因为函数的值域是被开方数的非负实数集合，所以值域为[0, 2]。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的对称性。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
考虑函数f(x) = x^3 - x，判断它的奇偶性。
解答：将函数f(-x)代入函数f(x)中，得到f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。
由于f(-x) ≠ f(x)且f(-x) ≠ -f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
3. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性。
如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。
考虑函数f(x) = x^2 - 2x，判断它的单调性。
解答：求出函数f(x)的导数f'(x) = 2x - 2。
当f'(x) > 0时，函数递增；当f'(x) < 0时，函数递减。
解不等式2x - 2 > 0，得到x > 1。
因此，函数f(x)在定义域内的x > 1时递增，在x < 1时递减。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第6讲不等式
第三篇 第6讲一、单项选择题(共8小题)1. (2023·道里区校级模拟)已知a ＜b ＜0，则下列不等式恒成立的是( B ) A ．ea －b＞1B ．b a ＋a b>2 C ．ac 2＜bc 2D ．ln(b －a )＞0【解析】 因为a ＜b ＜0，所以a －b ＜0，e a －b＜1，A 错误；ba >0，ab >0，b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，显然等号无法取得，B 正确；当c ＝0时，C 显然错误；当b －a ＜1时，D 错误．故选B.2. (2023·海淀区一模)已知二次函数f (x )，对任意的x ∈R ，有f (2x )＜2f (x )，则f (x )的图象可能是( A )【解析】 二次函数f (x )，对任意的x ∈R ，有f (2x )＜2f (x )，令x ＝0得，f (0)＜2f (0)，即f (0)＞0，故C 、D 都不可能，对于B ，二次函数的对称轴方程为x ＝－b2a ，由图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，设f (x )的图象与x 轴的两个交点为x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2，则x 1＋x 2＝－b a >0，所以0＜x 1<－b 2a <x 2<－b a ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a >0，当x ＝－b 2a 时，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a <2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，两者相矛盾，故B 不可能．故选A.3. (2023·渝中区校级一模)已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为( B )C ．10D ．12【解析】 因为正实数a ，b 满足4a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b ＋1＝(a ＋b ＋b ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b ＋11＋b ＝5＋4b ＋4a ＋b ＋a ＋b 1＋b ≥5＋24b ＋4a ＋b ·a ＋b 1＋b ＝9，当且仅当4b ＋4a ＋b ＝a ＋b 1＋b 且4a ＋b＋1b ＋1＝1，即b ＝2，a ＝4时取等号，此时a ＋2b 取得最小值8.故选B. 4. (2023·浑南区校级模拟)已知正实数x ，y 满足1x ＋2y＝1，则2xy －2x －y 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．9【解析】 因为正实数x ，y 满足1x ＋2y＝1，所以2x ＋y ＝xy ，则2xy －2x －y ＝2x ＋y ＝(2x＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x 且1x ＋2y＝1，即x ＝2，y ＝4时取等号．故选C.5. (2023·蒙城县校级三模)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为(－∞，m )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞，其中m ＜0，则b a ＋2b 的最小值为( D )A ．－2B ．2C ．2 2D ．3【解析】 因为不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为(－∞，m )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，＋∞，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，m ＋1m＝－b a，m ·1m ＝1a ，解得a ＝1，b ＝－m －1m ；因为m ＜0，所以b ＝－m －1m≥2－m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝2，当且仅当－m ＝－1m ，即m ＝－1时取“＝”，所以b a ＋2b ＝b ＋2b，且b ≥2，因为函数y ＝b ＋2b 在b ≥2上单调递增，所以b ＋2b 的最小值为3，即b a ＋2b的最小值为3.故选D.6. (2023·香坊区校级三模)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则4a ＋2b 的最小值是( D )C ．13D ．18【解析】 因为实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，所以lg(ab )＝lg(a ＋2b )，所以a ＋2b ＝ab ，a ＞0，b ＞0，所以1b ＋2a＝1，则4a ＋2b ＝(4a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝10＋4b a ＋4a b≥10＋24b a ·4ab＝18，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故4a ＋2b 的最小值是18.故选D.7. (2023·大东区校级四模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，则x ＋1y ＋1xy的最小值为( C )A ．4＋4 3B ．12C ．8＋4 3D ．16【解析】 由x ＋2y ＝1可得，x ＋1y ＋1xy＝x ＋x ＋2yy ＋x ＋2yxy＝2x ＋2yx ＋3y xy＝2x 2＋8xy ＋6y2xy＝2xy＋6yx＋8≥22x y ×6y x＋8＝8＋4 3.当且仅当2x y＝6y x时，等号成立，即x 2＝3y 2.所以x ＋1y ＋1xy的最小值为8＋43，故选C.8. (2023·雁峰区校级模拟)已知实数x ，y ，满足x 2＋xy ＋3y 2＝3，则x ＋y 的最大值为( B )A.31111 B ．61111C.3＋13D ．3＋33【解析】 令t ＝x ＋y ，则x ＝t －y ，则x 2＋xy ＋3y 2＝3可化为(t －y )2＋(t －y )y ＋3y 2－3＝0，整理得3y 2－ty ＋t 2－3＝0，∴Δ＝(－t )2－12(t 2－3)≥0，即t 2≤3611，∴t ≤61111，故x ＋y ≤61111.故选B. 二、多项选择题(共4小题)9. (2023·济南二模)已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列说法正确的是( BC )A.1a －c >1b －cB ．a －c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab ＋bc ＞0【解析】 对于A ，∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞b －c ＞0，∴1a －c <1b －c，A 错误；对于B ，∵a＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴b ＋c ＝－a ＜0，a －b ＞0，∴a －b ＞b ＋c ，即a －c ＞2b ，B 正确；对于C ，∵a －b ＞0，a ＋b ＝－c ＞0，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＞0，即a 2＞b 2，C 正确；对于D ，ab ＋bc ＝b (a ＋c )＝－b 2≤0，D 错误．故选BC.10. (2023·向阳区校级模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( BD )A ．a ＜0B ．不等式bx ＋c ＞0的解集是{x |x ＜－6}C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式cx 2－bx ＋a ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】 由题意可知，－2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a ＞0，∴－2＋3＝－ba ，(－2)×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，a ＞0，即选项A 错误；不等式bx ＋c ＞0等价于a (x ＋6)＜0，∴x ＜－6，即选项B 正确；∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴当x ＝1时，有a ＋b ＋c ＜0，即选项C 错误；不等式cx 2－bx ＋a ＜0等价于a (6x 2－x －1)＞0，即a (3x ＋1)(2x －1)＞0，∴x ＜－13或x >12，即选项D 正确．故选BD.11. (2023·东风区校级模拟)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则下列结论正确的是( AC ) A.1a ＋1b的最小值是4B ．ab ＋1ab的最小值是2C ．2a＋2b的最小值是2 2 D ．log 2a ＋log 2b 的最小值是－2【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝b a ＋ab＋2≥21＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，a ＝b ＝12时取等号，∴1a ＋1b 的最小值为4，∴A 正确，∵ab ＋1ab≥21＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝1时取等号，∵⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝1无解，∴ab ＋1ab＞2，∴B 错误，∵a ＋b ＝1，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴2a ＋2b的最小值为22，∴C 正确，∵a ＞0，b ＞0，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 214＝－2，∴log 2a ＋log 2b 的最大值为－2，∴D 错误，故选AC.12. (2023·濠江区校级三模)若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列不等式对一切满足条件a ，b 恒成立的是( ACD )A.ab ≤2 B ．a ＋b ≤2 C.a 23＋b 2≥4 D ．1a ＋1b≥1【解析】 对于A ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故ab ≤2，故A正确；对于B ，(a ＋b )2≤4×a ＋b2＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故a ＋b ≤22，故B 错误；对于C ，由题意得b ＝4－a ＞0，所以0＜a ＜4，a 23＋b 2＝a 23＋(4－a )2＝43a 2－8a ＋16，根据二次函数的性质可知，当a ＝3时，上式取得最小值4，故C 正确；对于D ，∵a ＋b＝4，a ＞0，b ＞0，∴12×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋b a ＋a b ≥14(2＋2)＝1，当且仅当ab ＝ba，即a ＝b ＝2时等号成立，故D 正确．故选ACD. 三、填空题(共4小题)13. (2023·贵阳模拟)若x ＞0，则x ＋4x ＋1的最小值为_3__. 【解析】 因为x ＞0，所以x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥2x ＋1·4x ＋1－1＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．14. (2023·开福区校级二模)函数y ＝log a (x ＋4)－1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为 23＋4 .【解析】 ∵函数y ＝log a (x ＋4)－1的图象恒过定点A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＝1，y ＝0－1，解得，x ＝－3，y ＝－1，故A (－3，－1)；∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴3m ＋n ＝1，又∵mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (3m ＋n )＝3m n ＋n m ＋4≥23＋4，(当且仅当m ＝3－36，n ＝3－12时，等号成立)． 15. (2023·岳麓区校级模拟)正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝2，且不等式x ＋y 4≥m 2－m 恒成立，则实数m 的取值范围为_[－1,2]__.【解析】 因为正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝2，所以x ＋y 4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋4x y ＋y 4x≥12⎝⎛⎭⎪⎫2＋24xy ·y 4x ＝2，当且仅当y 4x ＝4x y 且1x ＋4y ＝2，即x ＝1，y ＝4时取等号，则x ＋y 4的最小值为2.因为x ＋y4≥m 2－m 恒成立，所以m 2－m ≤2，解得－1≤m ≤2.故m 的范围为[－1,2]．16. (2023·浙江二模)若a 2＋b 2＝a ＋b ，则a 3＋b 3a 2＋b 2的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98 . 【解析】 由a 2＋b 2＝a ＋b 可得a ＋b ＝a 2＋b 2≥2ab ，而2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 2≥a ＋b22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即a ＋b ≥a ＋b22，解得0≤a ＋b ≤2，由a 3＋b 3a 2＋b 2＝a 3＋b 3a ＋b ＝a 2＋b 2－ab 可知a ＋b ≠0，∴0＜a ＋b ≤2，所以a 3＋b 3a 2＋b 2＝a ＋b －ab ＝a ＋b －a ＋b2－a ＋b 2，令t ＝a ＋b ，t ∈(0,2]，则a 3＋b 3a 2＋b 2＝－12t 2＋32t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋98，函数y ＝－12t 2＋32t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2单调递减，故0<－12t 2＋32t ≤98，即a 3＋b 3a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98.。
函数的基本性质含答案
当 时，
， ，
则 当 时，
， ，
则 故 .
∴f〔－*〕=－f〔*〕.∴f〔*〕是奇函数.
〔2〕证明：任取*1、*2∈R，且*1＜*2，则f〔*1〕－f〔*2〕=f〔*1〕－f［*1+〔*2－*1〕］=f〔*1〕－［f〔*1〕+f〔*2－*1〕］=－f〔*2－*1〕.由*1＜*2，∴*2－*1＞0.∴f〔*2－*1〕＜0.
∴－f〔*2－*1〕＞0，即f〔*1〕＞f〔*2〕，从而f〔*〕在R上是减函数.
4．如果偶函数在 具有最大值，则该函数在 有〔 〕
A．最大值 B．最小值C ．没有最大值D． 没有最小值
5．函数 ， 是〔 〕
A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与 有关
6．函数 在 和 都是增函数，假设 ，且 则〔 〕
A． B．
C． D．无法确定
7．函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是〔 〕
〔3〕解：由于f〔*〕在R上是减函数，故f〔*〕在［－3，3］上的最大值是f〔－3〕，最小值是f〔3〕.由f〔1〕=－2，得f〔3〕=f〔1+2〕=f〔1〕+f〔2〕=f〔1〕+f〔1+1〕=f〔1〕+f〔1〕+f〔1〕=3f〔1〕=3×〔－2〕=－6，f〔－3〕=－f〔3〕=6.从而最大值是6，最小值是－6.
C． D．
2．如果奇函数 在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，则 在区间 上是 ( )
Ａ．增函数且最小值为 Ｂ．增函数且最大值为
Ｃ．减函数且最小值为 Ｄ．减函数且最大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为
3．以下函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( )
A． B． C． D．
4．对于定义域是R的任意奇函数 有 ( )
数学下册综合算式专项练习题函数的像与性质
数学下册综合算式专项练习题函数的像与性质数学下册综合算式专项练习题：函数的像与性质函数是数学中非常重要的概念，它在数学的各个领域都有广泛的应用。
函数的像是函数的一个重要性质，它描述了定义域中元素在函数作用下所得到的值的集合。
本文将通过综合算式专项练习题，探讨函数的像与性质。
一、函数与像的概念在数学中，函数可以被定义为两个集合之间的对应关系。
一个集合称为函数的定义域，另一个集合称为函数的值域。
函数通过定义域中的元素与值域中的元素一一对应。
定义一个函数f(x)，其中x表示定义域中的元素，f(x)表示值域中的元素。
称f(x)为函数f在x处的像。
二、函数的像的性质1. 函数的像的集合对于一个函数f(x)，它的像的集合可以用大括号{}表示。
例如，如果f(x) = x^2，那么函数f(x)的像的集合可以表示为{y | y = x^2, x∈R}，代表实数集中所有平方数的集合。
2. 函数的全射性如果一个函数的像等于它的值域，那么称这个函数为全射函数。
换句话说，对于函数f(x)的任意y值，都存在定义域中的x值，使得f(x) = y。
3. 函数的单射性如果一个函数的不同定义域中的元素对应到不同的值域中的元素，那么称这个函数为单射函数。
换句话说，函数f(x)中的不同x值对应到不同的f(x)值。
4. 函数的满射性如果一个函数同时是全射函数和单射函数，那么称这个函数为满射函数。
满射函数在定义域中的任意x值对应到值域中的唯一f(x)值。
三、综合算式专项练习题1. 设函数f(x) = 3x + 2，求函数f(x)的像的集合。
解答：将函数的定义域代入函数表达式中，得到函数的像的集合：f(x) = 3x + 2f(x) = {y | y = 3x + 2, x∈R}2. 设函数g(x) = x^2，求函数g(x)的值域。
解答：将函数的定义域代入函数表达式中，得到函数g(x)的值域：g(x) = {y | y = x^2, x∈R}3. 判断函数h(x) = sin(x)是否为全射函数。
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第6 讲函数的性质单调性和奇偶性
1.函数的单调性:
增函数：对于属于定义域 D 内某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2,
当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数即增函数：x1 < x2⇔f(x1) < f(x2) 减函数：对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，
当x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数即减函数：x1 < x2⇔f(x1) > f(x2
2.函数单调性质：(1)增函数+增函数=增函数, (2)增函数-减函数=增函数，
(3)减函数+减函数=减函数，(4)减函数-增函数=减函数；
3.奇偶性
奇函数⇔f(−x) = −f(x)⇔图象关于原点中心对称
偶函数⇔f(−x) = f(x) ⇔图象关于y 轴对称
4.函数奇偶性的性质：(1)奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；
（3）奇函数×奇函数=偶函数；（4）偶函数×偶函数=偶函数；（5）奇函数×偶函数=奇函数. 5.
若奇函数在 x=0 处有定义，则f(0) = 0，若y = f(x)是偶函数，则f(x) = f(|x|)＝f(−x)奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性
6.初等函数的单调性与奇偶性
8.在二次函数f(x) = ax2 + bx + c中，若有f(m) = f(n)成立，则二次函数的对称轴为直线x = m+n
2
9.利用函数单调性比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内.
10.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，
使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(定义域优先原则)
一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(05T4)下列在实数域上定义的函数中，是增函数的为（）
A.y = 2x
B.y = x2
C.y = cos x
D.y = sin x
2.(12T3)下列函数为奇函数的是( )
A.y = x2
B.y = 2 sin x
C.y = 2 cos x
D.y = 2lnx
3.(13T6)下列函数为偶函数的是（）
A.y = e x
B.y = lgx
C.y = sin x
D.y = cos x
4.(19T4)函数y = f(x) ( x ∈ R)是增函数，则下列关系式中正确的是（）
A.f(−2) = f(3)
B.f(2) < f(3)
C. f(−2) < f(−3)
D.f(−1) > f(0)
5.(17T5)设f(x)是定义在R 上的奇函数，
已知当x ≥ 0时，f(x) = x2 − 4x3,则f(−1)=( )
A.−5
B.−3
C.3
D.5
6.(15T7)已知函数f(x)是奇函数，且f(2) = 1，则[f(−2)]3 = ( )
A.−8
B.−1
C.1
D.8
7.(16T10)已知f(x)为偶函数，且y = f(x)的图像经过点(2, −5),
则下列等式恒成立的是（）
A.f(−5) = 2
B. f(−5) = −2
C.f(−2) = 5
D.f(−2) = −5
8.(00T7)偶函数f(x)在（−∞，0]上是减函数，那么( )
A.f(−1) < f(3) < f(2)
B.f(−1) < f(2) <f(3)
C.f(2) < f(3) < f(−1)
D.f(3) < f(2) < f(−1)
9.(09T7)设函数y = f(x)在区间(0, +∞)内是减函数,
则a = f(sin G),b = f(sin G), c = f(sin G)的大小关系是（）
6 4 3
A.c > b > a
B.b > c > a
C.b > a > c
D.a > b > c
10.(05T11)设f(x) = (ax2 + 1) sin x，其中a 为常数，则f(x)是（）
A.既是奇函数又是偶函数
B.奇函数
C.既非奇函数也非偶函数
D.偶函数
log1 x , x > 1
2
11.(11T13)已知函数f(x) = {sin x 0 ≤ x ≤ 1,则下列结论中,正确的是 ( )
x , x < 0
3
A.f(x)在区间(1, +∞)上是增函数
B. f(x)在区间(−∞, 1]上是增函数
C.f(G)=1
D.f(2)=1
2
12.(99T12)已知f(x)是R 上的奇函数a ∈ R,g(x) = af(x) + 2
在[0, +∞)上有最大值6，那么g(x)在(−∞, 0]上（）
A.有最大值-6
B.有最小值-6
C.有最小值-4
D.有最小值-2
13.(02T13)函数f(x) = ax3 + bx + 2，若f(2) = 8，则f(−2) = （）
A.−8
B.−6
C.−4
D.−2
14.(02T15)函数f(x)对任意实数x 都有f(5 + x) = f(5 − x)，
且方程f(x) = 0有不同的3 个实数根，则这3 个实数根的和为（）
A.0
B.3
C.5
D.15
15.(18T15)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对于任意实数x，
有f(x + 4) = f(x),若f(−1) = 3，则f(4) + f(5) = ( )
A.−3
B.3
C.4
D.6
二.填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，满分25 分.
16.若函数f(x) = 3x + m − 1是奇函数,则常数m=
17.(14T18)已知f(x)是偶函数，且x ≥ 0时f(x) = 3x，则f(−2) =
18.已知f(x) = ax3 + bx,且f(−3) = 17,则f(3) =
19.(12T20)f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，
则不等式f(x) > f(2x − 3)的解集是
20.(05T22)函数y = f(x)是实数域上的减函数，也是奇函数，
且f(1 − a) + f(1 − a2) < 0,则a 的取值范围是
第6 讲函数的性质单调性和奇偶性答案一、选择题：
二、填空题：。